1、第 1 页（共 25 页） 2020-2021 学年上海市松江区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模）学年上海市松江区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分【下列各题的四个选项中，有且只有一分【下列各题的四个选项中，有且只有一 个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1 （4 分）如果两个相似三角形对应边的比为1:4，那么它们的周长比是( ) A1:2 B1:4 C1:8 D1:16 2 （4 分）在Rt ABC中，9
2、0C，A，2BC ，那么AC的长为( ) A2sin B2cos C2tan D2cot 3 （4 分）将抛物线 2 2yx向右平移 3 个单位，能得到的抛物线是( ) A 2 23yx B 2 23yx C 2 2(3)yx D 2 2(3)yx 4 （4 分）已知2ab，下列说法中不正确的是( ) A20ab Ba与b方向相同 C/ /ab D| 2|ab 5 （4 分）如图，一艘船从A处向北偏东30的方向行驶 10 千米到B处，再从B处向正西 方向行驶 20 千米到C处，这时这艘船与A的距离( ) A15 千米 B10 千米 C10 3千米 D5 3千米 6 （4 分）如图，已知在Rt
3、ABC中，90C，点G是ABC的重心，GEAC，垂足 为E，如果8CB ，则线段GE的长为( ) A 5 3 B 7 3 C 8 3 D10 3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位 第 2 页（共 25 页） 置上】置上】 7 （4 分）已知 5 3 x y ，则 xy y 8 （4 分）已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点， 则较长 线段MP的长是 cm 9 （4 分）计算：sin30cot60 10 （4 分）在Rt ABC中，90C，6A
4、C ， 3 cos 4 A ，那么AB的长为 11 （4 分）一个边长为 2 厘米的正方形，如果它的边长增加(0)x x 厘米，则面积随之增加 y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 12 （4 分）已知点 1 (2,)Ay、 2 (3,)By在抛物线 2 2(yxxc c为常数）上，则 1 y 2 y（填 “” 、 “ ”或“” ) 13 （4 分）如图， 已知直线 1 l、 2 l、 3 l分别交直线 4 l于点A、B、C，交直线 5 l于点D、E、 F，且 123 / / /lll，4AB ，6AC ，10DF ，则DE 14 （4 分）如图，ABC在边长为 1 个单位的方格纸中，ABC
5、的顶点在小正方形顶点位 置，那么ABC的正弦值为 15 （4 分）如图，已知点D、E分别在ABC的边AB和AC上，/ /DEBC， 3 4 DE BC ，四 边形DBCE的面积等于 7，则ADE的面积为 第 3 页（共 25 页） 16 （4 分）如图，在梯形ABCD中，/ /ADBC，2BCAD，设向量ABa，ADb，用 向量a、b表示AC为 17 （4 分）如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、 AC上已知ABC的边16BCcm，高AH为10cm，则正方形DEFG的边长为 cm 18 （4 分）如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且1BE ，将CB
6、E沿直线CE 翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D、F、E在同一直线上， 则线段AE的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）用配方法把二次函数 2 365yxx化为 2 ()ya xmk的形式，并指出这个 函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 20 （10 分）如图，已知/ /ABCD，AD、BC相交于点E，6AB ，4BE ，9BC ， 联结AC （1）求线段CD的长； （2）如果3AE ，求线段AC的长 第 4 页（共 25 页） 21（10 分） 如图， 已知在Rt ABC中，90C， 3 sin 5
7、ABC， 点D在边BC上，4BD ， 联结AD， 2 tan 3 DAC （1）求边AC的长； （2）求cotBAD的值 22（10 分） 如图， 垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处 （点A、 B、C在同一直线上） 某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行 60 米到D点，再沿斜 坡DE方向前行 65 米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内） ，在点E处测得5G信 号塔顶端A的仰角为37，悬崖BC的高为 92 米，斜坡DE的坡度1:2.4i （1）求斜坡DE的高EH的长； （2）求信号塔AB的高度 （参考数据：sin370.60 ，cos370.80 ，tan370.
8、75 ) 23 （12 分）如图，已知在ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE 相交于点F， 2 CEDE BC （1）求证：EBCDCE ； （2）求证：BE EFBF AE 第 5 页（共 25 页） 24（12 分） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 抛物线 2 2yaxbx经过点(2,0)A和( 1, 1)B ， 与y轴交于点C （1）求这个抛物线的表达式； （2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D， 2 3 PD DC 求P点坐标； 点Q在x轴上，如果QCAPCB ，求点Q的坐标 25 （14 分）如图，已知在等腰ABC中，5 5ABAC，t
9、an2ABC，BFAC，垂 足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合） （1）求边BC的长； （2）如图 2，延长DF交BC的延长线于点G，如果4CG ，求线段AD的长； （3）过点D作DEBC，垂足为E，DE交BF于点Q，联结DF，如果DQF和ABC相 似，求线段BD的长 第 6 页（共 25 页） 第 7 页（共 25 页） 2020-2021 学年上海市松江区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模）学年上海市松江区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分【下
10、列各题的四个选项中，有且只有一分【下列各题的四个选项中，有且只有一 个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1 （4 分）如果两个相似三角形对应边的比为1:4，那么它们的周长比是( ) A1:2 B1:4 C1:8 D1:16 【解答】解：两个相似三角形对应边的比为1:4， 它们的周长比是：1:4 故选：B 2 （4 分）在Rt ABC中，90C，A，2BC ，那么AC的长为( ) A2sin B2cos C2tan D2cot 【解答】解：cot AC A BC ，2BC ， cot2cotACBC， 故选：D
11、 3 （4 分）将抛物线 2 2yx向右平移 3 个单位，能得到的抛物线是( ) A 2 23yx B 2 23yx C 2 2(3)yx D 2 2(3)yx 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线 2 2yx向右平移 3 个单位， 能得到的抛物线是 2 2(3)yx 故选：D 4 （4 分）已知2ab，下列说法中不正确的是( ) A20ab Ba与b方向相同 C/ /ab D| 2|ab 【解答】解：A、由2ab得到：20ab，故本选项说法不正确 B、由2ab知，a与b方向相同，故本选项说法正确 C、由2ab知，a与b方向相同，则/ /ab，故本选项说法正确 D、由2ab知，| 2|
12、ab，故本选项说法正确 故选：A 5 （4 分）如图，一艘船从A处向北偏东30的方向行驶 10 千米到B处，再从B处向正西 第 8 页（共 25 页） 方向行驶 20 千米到C处，这时这艘船与A的距离( ) A15 千米 B10 千米 C10 3千米 D5 3千米 【解答】解：如图， BCAE， 90AEB， 30EAB，10AB 米， 5BE米，5 3AE 米， 20515CEBCCE（米)， 2222 15(5 3)10 3ACCEAE（米)， 故选：C 6 （4 分）如图，已知在Rt ABC中，90C，点G是ABC的重心，GEAC，垂足 为E，如果8CB ，则线段GE的长为( ) A 5
13、 3 B 7 3 C 8 3 D10 3 【解答】解：延长AG交BC于D，如图， 第 9 页（共 25 页） 点G是ABC的重心， 1 4 2 CDBDBC，2AGGD， GEAC， 90AEG， 而90C， / /GECD， AEGACD， 2 3 EGAGAG CDADAGGD ， 228 4 333 EGCD 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位 置上】置上】 7 （4 分）已知 5 3 x y ，则 xy y 2 3 【解答】解：由题意，设5x
14、k，3yk， 532 33 xykk yk 故答案为： 2 3 8 （4 分）已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点， 则较长 线段MP的长是 (2 52) cm 【解答】解：P是线段MN的黄金分割点， 51 2 MPMN ， 而4MNcm， 第 10 页（共 25 页） 51 4(2 52) 2 MPcm 故答案为(2 52) 9 （4 分）计算：sin30cot60 3 6 【解答】解：原式 13 23 3 6 故答案为： 3 6 10 （4 分）在Rt ABC中，90C，6AC ， 3 cos 4 A ，那么AB的长为 8 【解答】解： 3 cos 4 AC A AB ，6
15、AC ， 8 cos AC AB A ， 故答案为：8 11 （4 分）一个边长为 2 厘米的正方形，如果它的边长增加(0)x x 厘米，则面积随之增加 y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 2 4yxx 【解答】解：由题意得， 222 (2)24yxxx， 故答案为： 2 4yxx 12（4 分） 已知点 1 (2,)Ay、 2 (3,)By在抛物线 2 2(yxxc c为常数） 上， 则 1 y 2 y（填 “” 、 “ ”或“” ) 【解答】解： 2 2yxxc， 抛物线的开口向上，对称轴是直线 2 1 2 1 x ， 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 123， 12 yy， 故答
16、案为： 第 11 页（共 25 页） 13 （4 分）如图， 已知直线 1 l、 2 l、 3 l分别交直线 4 l于点A、B、C，交直线 5 l于点D、E、 F，且 123 / / /lll，4AB ，6AC ，10DF ，则DE 20 3 【解答】解： 123 / / /lll， DEAB DFAC ，即 4 106 DE ， 20 3 DE 故答案为 20 3 14 （4 分）如图，ABC在边长为 1 个单位的方格纸中，ABC的顶点在小正方形顶点位 置，那么ABC的正弦值为 5 5 【解答】解：由图可得， 22 112AC ， 22 1310AB， 22 222 2BC ， 222 AC
17、BCAB， ACB是直角三角形， 25 sin 510 AC ABC AB ， 故答案为： 5 5 15 （4 分）如图，已知点D、E分别在ABC的边AB和AC上，/ /DEBC， 3 4 DE BC ，四 边形DBCE的面积等于 7，则ADE的面积为 9 第 12 页（共 25 页） 【解答】解：/ /DEBC， ADEABC， 2 9 () 16 ADE ABC SDE SBC ， 9 7 ADE DBCE S S 四边形 ， 四边形DBCE的面积等于 7， 9 ADE S 故答案为：9 16 （4 分）如图，在梯形ABCD中，/ /ADBC，2BCAD，设向量ABa，ADb，用 向量a、
18、b表示AC为 2ab 【解答】解：如图，在梯形ABCD中，/ /ADBC，2BCAD，ADb， 22BCADb， 2ACABBCab， 故答案是：2ab 17 （4 分）如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、 AC上 已知ABC的边16BCcm， 高AH为10cm， 则正方形DEFG的边长为 80 13 cm 第 13 页（共 25 页） 【解答】解：如图，设正方形DEFG的边长为xcm，则DEPHxcm， (10)APAHPHx cm， / /DGBC， ADGABC， DGAP BCAH ，即 10 1610 xx ， 80 () 13 xcm， 故答案为
19、 80 13 18 （4 分）如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且1BE ，将CBE沿直线CE 翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D、F、E在同一直线上， 则线段AE的长为 15 2 【解答】解：四边形ABCD是矩形， ADBC，ABCD，90ADCBDAE ， 把BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处， CFBC，90CFEB ，1EFBE，CEBCEF ， 矩形ABCD中，/ /DCAB， DCECEB ， CEFDCE ， DCDE， 设AEx，则1ABCDDEx， 90AFECFD ， 第 14 页（共 25 页） 90AFEDAE ， AE
20、FDEA， AEFDEA， AEDE EFAE ， 1 1 xx x ， 解得 15 2 x 或 15 2 x （舍去） ， 15 2 AE 故答案为：1 5 2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）用配方法把二次函数 2 365yxx化为 2 ()ya xmk的形式，并指出这个 函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 【解答】解： 2 365yxx 2 3(2 )5xx 2 3(21 1)5xx 2 3(1)2x， 开口向上，对称轴为直线1x ，顶点(1,2) 20 （10 分）如图，已知/ /ABCD，AD、BC相交于点E，6AB
21、 ，4BE ，9BC ， 联结AC （1）求线段CD的长； （2）如果3AE ，求线段AC的长 【解答】解： （1）/ /ABCD， ABEDCE， 第 15 页（共 25 页） ABBE CDCE ， 6AB ，4BE ，9BC ， 64 5CD ， 15 2 CD； （2）3AE ，ABEDCE， AEBE DECE ， 34 5DE ， 15 4 DE， 62 93 AB BC ， 52 15 3 2 CE DC ， ABCE BCDC ， / /ABDC， ECDABC ， ABCECD， ABCE ACDE ， 65 15 4 AC ， 9 2 AC 21（10 分） 如图， 已知在
22、Rt ABC中，90C， 3 sin 5 ABC， 点D在边BC上，4BD ， 联结AD， 2 tan 3 DAC （1）求边AC的长； （2）求cotBAD的值 第 16 页（共 25 页） 【解答】解： （1）设3ACx， 90C， 3 sin 5 ABC， 5ABx，4BCx， 2 tan 3 DAC， 2CDx， 4BD，BCCDBD， 424xx， 解得2x ， 36ACx； （2）作DEAB于点E， 由（1）知，510ABx，6AC ，4BD ， 22 AB DEBD AC ， 1046 22 DE ， 解得 12 5 DE ， 6AC ，24CDx，90C， 22 642 13A
23、D， 2222 1234 (2 13)() 55 AEADDE， 34 17 5 cot 12 6 5 AE BAD DE ， 即cotBAD的值是 17 6 22（10 分） 如图， 垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处 （点A、 B、C在同一直线上） 某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行 60 米到D点，再沿斜 第 17 页（共 25 页） 坡DE方向前行 65 米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内） ，在点E处测得5G信 号塔顶端A的仰角为37，悬崖BC的高为 92 米，斜坡DE的坡度1:2.4i （1）求斜坡DE的高EH的长； （2）求信号塔AB的高度 （
24、参考数据：sin370.60 ，cos370.80 ，tan370.75 ) 【解答】解： （1）过点E作EMAC于点M， 斜坡DE的坡度（或坡比）1:2.4i ，65DE 米，60CD 米， 设EHx，则2.4DHx 在Rt DEH中， 222 EHDHDE，即 222 (2.4 )65xx， 解得，25x （米)（负值舍去） ， 25EH米； 答：斜坡DE的高EH的长为 25 米； （2）2.460DHx（米)， 6060120CHDHDC（米) EMAC，ACCD，EHCD， 四边形EHCM是矩形， 120EMCH米，25CMEH米 在Rt AEM中， 37AEM， 第 18 页（共 2
25、5 页） tan371200.7590AMEM （米)， 9025115ACAMCM（米) 1159223ABACBC（米) 答：信号塔AB的高度为 23 米 23 （12 分）如图，已知在ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE 相交于点F， 2 CEDE BC （1）求证：EBCDCE ； （2）求证：BE EFBF AE 【解答】证明： （1）四边形ABCD是平行四边形， / /ADBC， DECBCE ， 2 CEDE BC， DECE CEBC ， DECECB， EBCDCE ； （2）/ /ADBC，/ /ABCD， AEBEBC ，FECD ， AEBF，
26、又ABEEBF， ABEEBF， BEEF BFAE ， BE EFBE AE 24（12 分） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 抛物线 2 2yaxbx经过点(2,0)A和( 1, 1)B ， 第 19 页（共 25 页） 与y轴交于点C （1）求这个抛物线的表达式； （2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D， 2 3 PD DC 求P点坐标； 点Q在x轴上，如果QCAPCB ，求点Q的坐标 【解答】解： （1）抛物线 2 2yaxbx经过点(2,0)A和( 1, 1)B ， 12 0422 ab ab ， 解得： 2 3 1 3 a b ， 抛物线解析式为： 2 21
27、 2 33 yxx； （2）如图 1，过点P作PEx轴于E， 抛物线 2 2yaxbx与y轴交于点C， 点(0, 2)C， 第 20 页（共 25 页） 2OC， / /PEOC， 2 3 PEPDED OCDCDO ， 4 3 PE， 2 421 2 333 xx， 2x 或 5 2 x （不合题意舍去） ， 点 4 ( 2, ) 3 P ； 如图 2，过点B作BHCO于H， 由可知 26 3 55 DO ， ( 1, 1)B ，点(0, 2)C，(2,0)A 2OAOC，1BHCH， 45BCHOCA ， 90BCA， 当点Q在线段AO上时， QCAPCB， DCOQCO， 又COCO，9
28、0DOCQOC， ()DOCQOC ASA ， 6 5 DOQO， 点Q坐标为 6 ( 5 ，0)， 第 21 页（共 25 页） 当点 Q 在射线OA上时， QCAPCB， 90DCQ， 90CDODQC，90DCOCDO， DQCDCO， 又90DOCQOC， DOCCOQ， DOCO COQ O ， 6 4 5 Q O， 10 3 Q O， 点 10 ( 3 Q ，0)， 综上所述：点Q坐标为 6 ( 5 ，0)或 10 ( 3 ，0) 25 （14 分）如图，已知在等腰ABC中，5 5ABAC，tan2ABC，BFAC，垂 足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合） （1）求边BC的
29、长； （2）如图 2，延长DF交BC的延长线于点G，如果4CG ，求线段AD的长； （3）过点D作DEBC，垂足为E，DE交BF于点Q，联结DF，如果DQF和ABC相 似，求线段BD的长 【解答】解（1）如图 1，过点A作DHBC于H， 90AHB， 5 5ABAC， 第 22 页（共 25 页） 2BCBH， 在Rt AHB中，tan2 AH ABC BH ， 2AHBH， 根据勾股定理得， 222 AHBHAB， 222 (2)(5 5)BHBH， 5BH， 210BCBH； （2）ABAC， ABCACB ， tan2ABC， tan2ACB， 由（1）知，10BC ， BFAC， 90
30、BFC， 在Rt BFC中，tan2 BF ACB CF ， 2BFCF， 根据勾股定理得， 222 BFCFBC， 222 (2)10CFCF， 2 5CF， 5 52 53 5AFACCF， 如图 2，过点C作/ /CKAB交FG于K， CFKAFD， CKCF ADAF ， 2 52 33 5 CK AD ， CGKBGD， 第 23 页（共 25 页） CKCG BDBG ， 4CG， 42 1047 CK BD ， 3 7 AD BD ， 3 10 AD AB ， 333 5 5 5 10102 ADAB； （3）如备用图， 在Rt BFC中，根据勾股定理得， 2222 10(2 5
31、)4 5BFBCCF， DEBC， 90BEQBFC， EBQFBC， BEQBFC， EQBQ CFBC ， 2 5CF ，10BC ， 102 5 EQBQ ， 5 5 EQ BQ ， 设5EQm，则5BQm， 根据勾股定理得，2 5BEm， 在Rt BEQ中，tan2 DE ABC BE ， 24 5DEBEm， 根据勾股定理得，10BDm， 3 5DQDEEQm， DEBC， 第 24 页（共 25 页） 90BEQ， 90CBFBQE， BQEDQF， 90CBFDQF， 90BFC， 90CBFC ， DQFC， ABAC， ABCCDQF， DQF和ABC相似， 当DQFACB时， DQQF ACBC ， 3 5 105 5 mQF ， 6QFm， 4 5BF ， 564 5mm， 4 5 11 m， 40 5 10 11 BDm， 当DQFBCA时， DQFQ BCAC ， 3 5 105 5 mFQ ， 15 2 FQm， 15 54 5 2 mm， 8 5 25 m， 16 5 10 5 BDm， 第 25 页（共 25 页） 即BD的长为 40 5 11 或 16 5 5
