1、简单的逻辑联结词、全称量词与存简单的逻辑联结词、全称量词与存 在量词在量词 考试要求 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 2.理解全称量词和存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定 1简单的逻辑联结词 (1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词 (2)命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断 p q p 且 q p 或 q 非 p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 提醒：“命题的否定”与“否命题”的区别 (1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论 (2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的
2、，即一真一假，而否命题与原命 题的真假无必然联系 2全称量词和存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词， 用符号“”表示 (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量 词，用符号“”表示 3全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立 xM，p(x) x0M，p(x0 ) 特称命题 存在 M 中的一个 x0， 使 p(x0)成立 x0M，p(x0) xM，p(x) 提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论” 常用结论 含有逻
3、辑联结词的命题真假的判断规律 (1)pq：“有真则真，全假才假”，即 p，q 中只要有一个真命题，则 pq 为真命题，只有 p，q 都是假命题时，pq 才是假命题 (2)pq：“有假则假，全真才真”，即 p，q 中只要有一个假命题，则 pq 为假命题，只有 p，q 都是真命题时，pq 才是真命题 (3)p：p 与 p 的真假相反 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)命题“32”是真命题 ( ) (2)若命题 pq 为假命题，则命题 p，q 都是假命题 ( ) (3)“全等的三角形面积相等”是全称命题 ( ) (4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”( )
4、答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1命题“xR，x2x0”的否定是( ) Ax0R，x 2 0 x00 Bx0R，x 2 0 x00 CxR，x2x0 DxR，x2x0 B 由全称命题的否定是特称命题知选项 B 正确故选 B 2已知 p：2 是偶数，q：2 是质数，则命题p，q，pq，pq 中真命题 的个数为( ) A1 B2 C3 D4 B p 和 q 显然都是真命题，所以p， q 都是假命题，pq，pq 都是真命 题 3下列命题中的假命题是( ) Ax0R，lg x01 Bx0R，sin x00 CxR，x30 DxR,2x0 C 当 x10 时，lg 101，则 A
5、 为真命题；当 x0 时，sin 00，则 B 为真 命题；当 x0 时，x30，则 C 为假命题；由指数函数的性质知，xR,2x0， 则 D 为真命题故选 C 4命题“实数的平方都是正数”的否定是_ 存在一个实数的平方不是正数 全称命题的否定是特称命题，故应填：存在 一个实数的平方不是正数 考点一 全称命题、特称命题 1全称命题与特称命题的否定 (1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量 词，再对量词进行改写 (2)否结论：对原命题的结论进行否定 2全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假
6、假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 全称命题、特称命题的否定 典例 11 (1)命题“x0， x x10”的否定是( ) Ax0， x x10 Bx0,0 x1 Cx0， x x10 Dx0,0 x1 (2)已知命题 p：mR，f(x)2xmx 是增函数，则p 为( ) AmR，f(x)2xmx 是减函数 BmR，f(x)2xmx 是减函数 CmR，f(x)2xmx 不是增函数 DmR，f(x)2xmx 不是增函数 (1)B (2)D (1)因为 x x10， 所以 x0 或 x1， 所以 x x10 的否定是 0 x1， 所以命题的否定是x0,0
7、 x1，故选 B (2)由特称命题的否定可得p 为“mR，f(x)2xmx 不是增函数” 点评：(1) x x10 的否定不是 x x10，而是 x x10 或 x1，可先求出不等 式 x x10 的解集，再写 x x10 的否定 (2)改写量词时自变量的范围不变 全称命题、特称命题的真假判断 典例 12 (1)下列命题中的假命题是( ) AxR，x20 BxR,2x 10 Cx0R，lg x01 Dx0R，sin x0cos x02 (2)下列四个命题： p1：x0(0，)， 1 2 x0 1 3 x0 ； p2：x0(0,1)，log1 2 x0log1 3x 0； p3：x(0，)， 1
8、 2 x log1 2x； p4：x 0，1 3 ， 1 2 x log 1 3 x. 其中的真命题是( ) Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4 (1)D (2)D (1)A 显然正确；由指数函数的性质知 2x 10 恒成立，所以 B 正确；当 0 x10 时，lg x1，所以 C 正确；因为 sin xcos x 2sin x 4 ，所 以 2sin xcos x 2，所以 D 错误 (2)对于 p1，当 x0(0，)时，总有 1 2 x0 1 3 x0 成立，故 p1是假命题；对于 p2，当 x01 2时，有 1log1 2 1 2log1 3 1 3log1 3 1
9、2成立，故 p2 是真命题；对于 p3，结合 指数函数 y 1 2 x 与对数函数 ylog1 2 x 在(0， )上的图象， 可以判断 p3是假命题； 对于 p4，结合指数函数 y 1 2 x 与对数函数 ylog1 3 x 在 0，1 3 上的图象可以判断 p4是真命题 点评： 因为命题 p 与p 的真假性相反， 因此不管是全称命题， 还是特称命题， 当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假 跟进训练 1命题“xR，nN*，使得 nx2”的否定形式是( ) AxR，nN*，使得 nx2 BxR，nN*，使得 nx2 CxR，nN*，使得 nx2 DxR，nN*，使得 nx2 D 改写
10、量词为：xR，nN*，否定结论为：nx2，故选 D 2在下列给出的四个命题中，为真命题的是( ) AaR，bQ，a2b20 BnZ，mZ，nmm CnZ，mZ，nm2 DaR，bQ，a2b21 B 对于 A：当 a2 时，a2b20 不成立，故 A 错误； 对于 B：当 m0 时，nmm 恒成立，故 B 正确； 对于 C：当 n1 时，nm2不成立，故 C 错误； 对于 D：当 a2 时，a2b21 不成立，故 D 错误 考点二 含有逻辑联结词的命题 判断含有逻辑联结词命题真假的三个步骤 典例 2 (1)在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次设命题 p 表示“甲的试跳成绩超过 2 米”
11、，命题 q 表示“乙的试跳成绩超过 2 米”，则命 题 pq 表示( ) A甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过 2 米 B甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过 2 米 C甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过 2 米 D甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过 2 米 (2)已知命题 p：x0R，使得 lg cos x00；命题 q：x0,3x0，则下列命 题为真命题的是( ) Apq Bp(q) C(p)(q) Dpq (1)D (2)D (1)pq表示甲的试跳成绩超过2米或乙的试跳成绩超过2米 即 甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过 2 米，故选 D (2)由1cos x1，得 lg
12、cos x0，所以命题 p 为假命题 当 xR 时，3x0，故命题 q 为真命题 所以 pq 为真命题，pq 为假命题，p(q)为假命题，(p)(q)为假命 题，故选 D 跟进训练 1“a2b20”的含义为( ) Aa 和 b 都不为 0 Ba 和 b 至少有一个为 0 Ca 和 b 至少有一个不为 0 Da 不为 0 且 b 为 0，或 b 不为 0 且 a 为 0 C a2b20a0 且 b0，因此 a2b20a0 或 b0，故选 C 2已知命题 p：“ab”是“2a2b”的充要条件；命题 q：x0R，|x0 1|x0，则( ) A(p)q 为真命题 Bp(q)为假命题 Cpq 为真命题
13、Dpq 为真命题 D 由 ab2a2b知，命题 p 是真命题，对 x0R，都有|x01|x0，因此 命题 q 是假命题，从而 pq 为真命题，故选 D 考点三 根据命题的真假求参数的取值范围 1根据复合命题的真假求参数的步骤 (1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况) (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围 (3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取 值范围 2根据全(特)称命题的真假求参数的思路 与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或 有解问题解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关 于参
14、数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围 典例 3 已知 p：存在 x0R，mx 2 010，q：任意 xR，x2mx10， 若 pq 为假命题，求实数 m 的取值范围 解 由 pq 为假命题知 p、q 均为假命题，则p 为真命题，即xR， mx210 为真命题，则有 m0，当 q 为真命题时，有 m240，即2m 2，因此由 p，q 均为假命题得 m0， m2或m2， 即 m2. 所以实数 m 的取值范围为2，) 母题变迁 1在本例条件下，若 pq 为真，求实数 m 的取值范围 解 依题意知 p，q 均为真命题，当 p 是真命题时，有 m0； 当 q 是真命题时，
15、有2m2， 由 m0， 2m2， 可得2m0. 所以实数 m 的取值范围为(2,0) 2在本例条件下，若 pq 为假，pq 为真，求实数 m 的取值范围 解 若 pq 为假，pq 为真，则 p，q 一真一假 当 p 真 q 假时 m0， m2或m2， 所以 m2； 当 p 假 q 真时 m0， 2m2， 所以 0m2. 所以 m 的取值范围是(，20,2) 点评：(1)当 p 是全称(特称)命题且为假命题时，要转化为p 为真命题去处 理，无非转化为恒成立或能成立问题 (2)对于“pq 为假，pq 为真”，建议先分别求出 p，q 为真的参数范围， 再分 p 真 q 假，p 假 q 真讨论 跟进训
16、练 1(2020 福建三校联考)若命题“x0R，使得 3x 2 02ax010”是假命题， 则实数 a 的取值范围是_ 3， 3 命题“x0R，使得 3x 2 02ax010”是假命题， 即“xR,3x22ax10”是真命题， 故 4a2120，解得 3a 3. 2已知 p：x22x30；q： 1 3x1.若 qp 为真，则 x 的取值范围是 _ (，3)(1,23，) 由qp 为真知 p 真，q 假，当 p 为真命 题时，由 x22x30，解得 x1 或 x3，而 q 为真命题时，由 1 3x1 解得 2x3. 则 p 真 q 假时有 x1或x3 x3或x2 ，解得 x3 或 1x2 或 x3. 所以 x 的取值范围是(，3)(1,23，)
