1、基本不等式基本不等式 考试要求 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 1基本不等式 abab 2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 ab. 2几个重要的不等式 1a2b22aba，bR； 2b a a b2a，b同号且不为零； 3ab ab 2 2 a，bR； 4 ab 2 2 a 2b2 2 a，bR. 当且仅当 ab 时等号成立 3算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab 2 ，几何平均数为 ab，基本不等式 可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4利用基本不等式求
2、最值问题 已知 x0，y0，则 (1)xy2 xy， 若 xy 是定值 p， 那么当且仅当 xy 时， xy 有最小值 2 p(简 记：积定和最小) (2)xy xy 2 2 ， 若 xy 是定值 q， 那么当且仅当 xy 时， xy 有最大值q 2 4 (简记： 和定积最大) 提醒：在应用基本不等式求最值时，一定要检验求解的前提条件：“一正、 二定、三相等”，其中等号能否取到易被忽视 常用结论 重要不等式链 若 ab0，则 a a2b2 2 ab 2 ab 2ab abb. 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)两个不等式 a2b22ab 与ab 2 ab成立的条件是相同的
3、( ) (2)若 a0，则 a3 1 a2的最小值为 2 a. ( ) (3)函数 f(x)sin x 4 sin x，x(0，)的最小值为 4. ( ) (4)x0 且 y0 是x y y x2 的充要条件 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为( ) A80 B77 C81 D82 C xy xy 2 2 81，当且仅当 xy9 时，等号成立故选 C 2若 x0，则 x4 x( ) A有最大值，且最大值为 4 B有最小值，且最小值为 4 C有最大值，且最大值为 2 2 D有最小值，且最小值为 2 2 B x0 时
4、，x4 x2 x4 x4，当且仅当 x2 时等号成立故选 B 3若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 _m2. 25 设一边长为 x m，则另一边长可表示为(10 x)m， 由题知 0 x10， 则面积 Sx(10 x) x10 x 2 2 25， 当且仅当 x10 x， 即 x5 时等号成立， 故当矩形的长与宽相等， 且都为 5 m 时面积取到最大值 25 m2. 4已知 x2，则 x 4 x2的最小值为_ 6 x2，x 4 x2(x2) 4 x226. 考点一 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的三种方法 直接法求最值 典例 11 (1)若 a，b
5、都是正数，且 ab1，则(a1) (b1)的最大值为 ( ) A3 2 B2 C 9 4 D4 (2)ab0，则a 22b2 ab 的最小值为( ) A2 2 B 2 C3 D2 (3)(2020 天津高考)已知 a0，b0，且 ab1，则 1 2a 1 2b 8 ab的最小值为 _ (1)C (2)A (3)4 (1)(a1)(b1) a1b1 2 2 3 2 2 9 4，当且仅 当 a1b1，即 ab1 2时等号成立，故选 C (2)ab0，a 22b2 ab a b 2b a 2 a b 2b a 2 2， 当且仅当a b 2b a ，即 a 2b 时等号成立，故选 A (3)由 a0，
6、b0，ab1 得 1 2a 1 2b 8 ab ab 2ab 8 ab ab 2 8 ab 2 ab 2 8 ab4，当且仅当 a0， b0， ab1， ab 2 8 ab， 即 ab1， ab4 时取等号， 因此 1 2a 1 2b 8 ab的最小值为 4. 点评：解答本例 T(2)，T(3)时，先把待求最值的式子变形，这是解题的关键 配凑法求最值 典例 12 (1)(2020 大连模拟)已知 a， b 是正数， 且 4a3b6， 则 a(a3b) 的最大值是( ) A9 8 B 9 4 C3 D9 (2)已知不等式 2xm 2 x10 对一切 x 3 2， 恒成立，则实数 m 的取 值范围
7、是( ) Am6 Bm6 Cm7 Dm7 (3)若4x1，则 f(x)x 22x2 2x2 ( ) A有最小值 1 B有最大值 1 C有最小值1 D有最大值1 (1)C (2)A (3)D (1)a0，b0,4a3b6， a(a3b)1 3 3a(a3b) 1 3 3aa3b 2 2 1 3 6 2 2 3，当且仅当 3aa3b， 即 a1，b2 3时，a(a3b)的最大值是 3. (2)由题意知，m2x 2 x1对一切 x 3 2， 恒成立，又 x 3 2时，x1 0， 则 2x 2 x12(x1) 2 x122 2x1 2 x126， 当且仅当 2(x1) 2 x1，即 x2 时等号成立
8、m6，即 m6，故选 A (3)4x1，01x5， f(x) x22x2 2x2 x22x11 2x1 1 2 1x 1 1x 1 2 21x 1 1x1，当且仅当 1x 1 1x，即 x0 时等号成立 函数 f(x)有最大值1，无最小值，故选 D 点评：形如 f(x)ax 2bxc dxe 的函数，可化为 f(x) 1 m xk 1 xk 的形式，再 利用基本不等式求解，如本例 T(3) 常数代换法求最值 典例 13 (1)(2020 深圳市福田区模拟)已知 a1，b0，ab2，则 1 a1 1 2b的最小值为( ) A3 2 2 B3 4 2 2 C32 2 D1 2 2 3 (2)已知
9、a0，b0，ab1，则1 a 1 b的最小值为_ (1)A (2)4 (1)已知 a1，b0，ab2，可得(a1)b1， 又 a10，则 1 a1 1 2b(a1)b 1 a1 1 2b 11 2 a1 2b b a1 3 22 a1 2b b a1 3 2 2. 当且仅当a1 2b b a1，ab2 时取等号 则 1 a1 1 2b的最小值为 3 2 2.故选 A (2)因为 ab1，所以1 a 1 b 1 a 1 b (ab)2 b a a b 22 b a a b22 4.当且仅当 ab1 2时，等号成立 母题变迁 1若本例(2)条件不变，求 11 a 11 b 的最小值 解 11 a
10、11 b 1ab a 1ab b 2b a 2a b 52 b a a b 549. 当且仅当 ab1 2时，等号成立 2本例(2)中把“ab1”改为“a2b3”，求1 a 1 b的最小值 解 因为 a2b3，所以1 3a 2 3b1. 所以1 a 1 b 1 a 1 b 1 3a 2 3b 1 3 2 3 a 3b 2b 3a12 a 3b 2b 3a1 2 2 3 . 当且仅当 a 2b 时，等号成立 点评：常数代换法主要解决形如“已知 xyt(t 为常数)，求a x b y的最值”的 问题，先将a x b y转化为 a x b y xy t ，再用基本不等式求最值 跟进训练 1设 a0，
11、b0，若 3 3是 3a与 3b的等比中项，则1 a 1 b的最小值为( ) A12 B4 C3 4 D 4 3 D 由题意知 3a 3b(3 3)2，即 3a b33， ab3，1 a 1 b 1 3 1 a 1 b (ab) 1 3 2b a a b 1 3 22 b a a b 4 3， 当且仅当b a a b，即 ab 3 2时等号成立，故选 D 2(2019 天津高考)设 x0，y0，x2y5，则x12y1 xy 的最小值为 _ 4 3 x0，y0，x2y5， x12y1 xy 2xyx2y1 xy 2xy6 xy 2 xy 6 xy2 124 3， 当且仅当 2 xy 6 xy，即
12、 xy3 x2y5 ，即 x3 y1 或 x2 y3 2 时等号成立，因此 x12y1 xy 的最小值为 4 3. 考点二 基本不等式的实际应用 利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 (2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围 (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求 解，如利用 f(x)xa x(a0)的单调性 典例 2(2020 黄山模拟)习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”常州市 一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”调研过程中 发现：某珍稀水果树的单株产量 W(单位：
13、千克)与肥料费用 10 x(单位：元)满足如 下关系：W(x) 5x22，0 x2， 48x x1，2x5， 其它成本投入(如培育管理等人工费)为 20 x(单位：元)已知这种水果的市场售价大约为 10 元/千克，且供不应求记该单 株水果树获得的利润为 f(x)(单位：元) (1)求 f(x)的函数关系式； (2)当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是 多少？ 解 (1) 由 已 知f(x) 10W(x) 20 x 10 x 10W(x) 30 x 105x2230 x，0 x2， 10 48x 1x30 x，2x5 则 f(x) 50 x230 x100，0 x2，
14、 480 x 1x30 x，2x5. (2)由(1)f(x) 50 x230 x100，0 x2 480 x 1x30 x，2x5 变形得 f(x) 50 x 3 10 2 191 2 ，0 x2， 51030 16 1x1x ，2x5. 当 0 x2 时，f(x)在 0， 3 10 上单调递减，在 3 10，2 上单调递增， 且 f(0)100f(2)240， f(x)maxf(2)240； 当 2x5 时，f(x)51030 16 1x1x ， x1 16 x12 1x16 1x8， 当且仅当 16 1x1x 时，即 x3 时等号成立 f(x)max510308270， 因为 240270
15、，所以当 x3 时，f(x)max270. 所以，当投入的肥料费用为 30 元时，种植该果树获得的最大利润是 270 元 点评：解答本例第(2)问时，把 f(x) 480 x 1x 30 x 变形为 f(x)510 30 16 1x1x 是解题的关键 跟进训练 1(2017 江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最 小，则 x 的值是_ 30 一年的总运费为 6600 x 3 600 x (万元) 一年的总存储费用为 4x 万元 总运费与总存储费用的和为 3 600 x 4x 万元 因
16、为3 600 x 4x2 3 600 x 4x240，当且仅当3 600 x 4x，即 x30 时取得等 号， 所以当 x30 时，一年的总运费与总存储费用之和最小 2一批救灾物资随 51 辆汽车从某市以 v km/h 的速度匀速直达灾区，已知两 地公路线长 400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 v2 800 km，那么这批 物资全部到达灾区，最少需要_小时 10 设全部物资到达灾区所需时间为 t 小时， 由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了 50 个 v2 800km400 km 所用的时间， 因此，t 50 v2 800400 v v 16 400 v 2 v 16 400
17、 v 10. 当且仅当 v 16 400 v ，即 v80 时取“” 故这些汽车以 80 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少要 10 小时 备考技法 1 利用均值不等式连续放缩求最值 当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；需 注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注 意取等号的条件的一致性. 技法展示(1)已知 ab0，那么 a2 1 bab的最小值为_ (2)若 x，y 是正数，则 x 1 2y 2 y 1 2x 2 的最小值是_ (1)4 (2)4 (1)由题意 ab0，则 ab0， 所以 b(ab) bab 2 2 a 2
18、 4 ， 所以 a2 1 baba 24 a22 a2 4 a24， 当且仅当 bab 且 a2 4 a2，即 a 2，b 2 2 时取等号，所以 a2 1 bab的 最小值为 4. (2)x0，y0， x 1 2y 2 y 1 2x 2 2 x 1 2y y 1 2x . 又 2 x 1 2y y 1 2x 2xy 1 2xy24， x 1 2y 2 y 1 2x 2 4，当且仅当 x 1 2yy 1 2x， 2xy 1 2xy， 即 xy 2 2 时等号成立 评析 第一次使用基本不等式是对原不等式的一次放缩， 并为第二次使用基 本不等式创造了条件，因此要使结果为原不等式的最值，两次使用基本不等式等 号成立的条件应该是一致的 技法应用 若 a，bR，ab0，则a 44b41 ab 的最小值为_ 4 因为 ab0，所以a 44b41 ab 2 4a 4b41 ab 4a 2b21 ab 4ab 1 ab 24ab 1 ab4，当且仅当 a22b2， ab1 2 时取等号，故a 44b41 ab 的最小值是 4.
