1、曲线与方程曲线与方程 考试要求 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法. 3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程 1曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f (x，y)0 的实数解建立如下的对应关系： 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线 提醒：“曲线 C 是方程 f (x，y)0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方 程 f (x，y)0 的解”的充分不必要条件 2求动点的轨迹方程的基本步骤 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)f (x
2、0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f (x，y)0 上的充要条件 ( ) (2)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线 ( ) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的 ( ) (4)方程 y x与 xy2表示同一曲线 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1 到点F(0,4)的距离比到直线y5的距离小1的动点M的轨迹方程为( ) Ay16x2 By16x2 Cx216y Dx216y C 由题意可知，动点 M 到点 F(0,4)的距离等于到直线 y4 的距离，故点 M 的轨迹为以点 F(0,4)为焦点， 以 y4 为准线的抛物线， 其轨迹方程为 x21
3、6y. 2P 是椭圆x 2 9 y2 51 上的动点，过 P 作椭圆长轴的垂线，垂足为 M，则 PM 中点的轨迹方程为( ) A4 9x 2y 2 51 Bx 2 9 4 5y 21 Cx 2 9 y2 201 D x2 36 y2 51 B 设中点坐标为(x，y)，则点 P 的坐标为(x,2y)， 代入椭圆方程得x 2 9 4 5y 21.故选 B 3若过点 P(1,1)且互相垂直的两条直线 l1，l2分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两 点，则 AB 中点 M 的轨迹方程为 xy10 设 M 的坐标为(x，y)，则 A，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)， 连接 PM.l1l
4、2， |PM|OM|， 而|PM|x12y12， |OM|x2y2. x12y12 x2y2， 化简，得 xy10， 即为所求的轨迹方程 4已知线段 AB 的长为 6，直线 AM，BM 相交于 M，且它们的斜率之积是4 9， 则点 M 的轨迹方程是 x2 9 y2 41(x 3) 以 AB 所在直线为 x 轴， 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立 平面直角坐标系(图略)，则 A(3,0)，B(3,0)设点 M 的坐标为(x，y)，则直线 AM 的斜率 kAM y x3(x3)，直线 BM 的斜率 kBM y x3(x3)由已知有 y x3 y x3 4 9(x 3)，化简整理得点 M 的轨
5、迹方程为 x2 9 y2 41(x 3) 考点一 直接法求轨迹方程 利用直接法求轨迹方程 (1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程， 然后进行化简 (2)运用直接法应注意的问题 在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性， 此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的； 若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略 典例 1 已知动点 P(x，y)与两定点 M(1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常 数 (0) (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)试根据 的取值情况讨论轨迹 C 的形状 解 (1)由题意可知， 直线 PM 与 PN 的
6、斜率均存在且均不为零，所以 kPM kPN y x1 y x1，整理得 x 2y 2 1(0，x 1) 即动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2y 2 1(0，x 1) (2)当 0 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点)； 当10 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴的两 个端点)； 当 1 时，轨迹 C 为以原点为圆心，1 为半径的圆除去点(1,0)，(1,0) 当 1 时， 轨迹 C 为中心在原点， 焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端 点) 点评：(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接 法，其一般步骤是：设点
7、列式化简检验求动点的轨迹方程时要注意检验， 即除去多余的点，补上遗漏的点 (2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是 求轨迹，则要说明轨迹的形状、位置、大小等 跟进训练 1(2020 全国卷)在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若AC BC 1， 则 C 的轨迹为( ) A圆 B椭圆 C抛物线 D直线 A 以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标 系(图略)， 设 A(a,0)， B(a,0)， C(x， y)， 则AC (xa， y)， BC (xa， y)， AC BC 1，(xa)(xa)y y1，x2y2a21，
8、点 C 的轨迹为圆，故选 A 2已知两点 M(1,0)，N(1,0)且点 P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于 0 的等差数列，则点 P 的轨迹是什么曲线？ 解 设 P(x，y)，由 M(1,0)，N(1,0)得 PM MP (1x，y)， PN NP (1x，y)， MN NM (2,0)， 所以MP MN 2(1x)，PM PN x2y21， NM NP 2(1x) 于 是 MP MN ， PM PN ， NM NP 是 公 差 小 于 0 的 等 差 数 列 等 价 于 x2y211 221x21x， 21x21x0. 即 x2y23， x0. 所以点 P 的轨迹是以
9、原点为圆心， 3为半径的右半圆(不含端点) 考点二 定义法求轨迹方程 定义法求轨迹方程及其注意点 (1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线 的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程 (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的圆、椭圆、双曲线、 抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制 典例 2 已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C求 C 的方程 解 由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1,0)，
10、半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R. 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R) r1r24|MN|2. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴 长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 2 4 y2 31(x2) 母题变迁 1把本例中圆 M 的方程换为：(x3)2y21，圆 N 的方程换为：(x3)2 y21，求圆心 P 的轨迹方程 解 由已知条件可知圆 M 和 N 外离，所以|PM|1R，|PN|R1，故|PM| |PN|(1R)(R1)2|MN|6，由双曲线的定义知点 P 的轨迹是双
11、曲线的 右支， 其方程为 x2y 2 81(x1) 2在本例中，若动圆 P 过圆 N 的圆心，并且与直线 x1 相切，求圆心 P 的轨迹方程 解 由于点 P 到定点 N(1,0)和定直线 x1 的距离相等，所以根据抛物线 的定义可知， 点 P 的轨迹是以 N(1,0)为焦点， 以 x 轴为对称轴、 开口向右的抛物线， 故其方程为 y24x. 点评：应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关 系式，由等量关系式结合曲线的定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定 系数法求解 跟进训练 已知圆 N：x2(y 5)236，P 是圆 N 上的点，点 Q 在线段 NP 上，且有点 D(
12、0， 5)和 DP 上的点 M，满足DP 2DM ，MQ DP 0.当 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程 解 连接 QD(图略)，由题意知，MQ 是线段 DP 的中垂线，所以|NP|NQ| |QP|QN|QD|6|DN|2 5. 由椭圆的定义可知，点 Q 的轨迹是以 D，N 为焦点的椭圆，依题意设椭圆方 程为y 2 a2 x2 b21(ab0)，则 c 5，a3，b2， 所以点 Q 的轨迹方程是y 2 9 x2 41. 考点三 相关点(代入)法求轨迹方程 “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 典例 3 (2017 全国卷)设 O 为坐标原点， 动点 M 在椭圆 C： x2 2y 21 上，
13、过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP 2NM . (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设点 Q 在直线 x3 上，且OP PQ 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 解 (1)设 P(x，y)，M(x0，y0)， 则 N(x0,0)，NP (xx0，y)，NM (0，y0) 由NP 2NM 得 x0 x，y0 2 2 y. 因为 M(x0，y0)在 C 上，所以x 2 2 y2 21. 因此点 P 的轨迹方程为 x2y22. (2)证明：由题意知 F(1,0)设 Q(3，t)，P(m，n)，则 OQ (3，t)，PF (1m，n)，OQ PF
14、 33mtn， OP (m，n)，PQ (3m，tn) 由OP PQ 1 得3mm2tnn21， 又由(1)知 m2n22， 故 33mtn0. 所以OQ PF 0，即OQ PF . 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ， 所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的 左焦点 F. 点评：本例第(1)问在求解中巧用“NP 2NM ”实现了动点 P(x，y)与另两个 动点 M(x0，y0)，N(x0，0)之间的转换，并借助动点 M 的轨迹求得动点 P 的轨迹方 程；对于本例第(2)问的求解，采用的是“以算待证”的方法，即求得 l 的方程后， 借助直线系的特点，得出直线过定点 跟进训练 1
15、已知 F1，F2分别为椭圆 C：x 2 4 y2 31 的左、右焦点，点 P 是椭圆 C 上的 动点，则PF1F2的重心 G 的轨迹方程为( ) A x2 36 y2 271(y0) B4x 2 9 y21(y0) C9x 2 4 3y21(y0) Dx24 3y 21(y0) C 依题意知 F1(1,0)，F2(1,0)，设 P(x0，y0)(y00)，G(x，y)，则由三角形 重心坐标公式可得 xx 011 3 ， yy0 3， 即 x03x， y03y， 代入椭圆 C：x 2 4 y2 31， 得重心 G 的轨迹方程为9x 2 4 3y21(y0) 2.如图所示，动圆 C1：x2y2t2
16、,1t3 与椭圆 C2： x2 9y 21 相交于 A，B，C， D 四点点 A1，A2分别为 C2的左、右顶点，求直线 AA1与直线 A2B 交点 M 的轨 迹方程 解 由椭圆 C2：x 2 9y 21，知 A1(3,0)，A2(3,0)， 设点 A 的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得 B(x0，y0)，设点 M 的坐标为 (x，y)， 直线 AA1的方程为 y y0 x03(x3) 直线 A2B 的方程为 y y0 x03(x3) 由相乘得 y2 y20 x209(x 29) 又点 A(x0，y0)在椭圆 C2上，故 y 2 01x 2 0 9. 将代入得x 2 9y 21(x3，y0) 因此点 M 的轨迹方程为x 2 9y 21(x3，y0)
