1、第七章随机变量及其分布 7.2 离散型随机变量及其分布列 第 1 课时 课后篇巩固提升 基础达标练 1.给出下列四个命题: 在某次数学期中考试中,一个考场 30名考生做对选择题第 12 题的人数是随机变量;黄河每年的 最大流量是随机变量;某体育馆共有 6个出口,散场后从某一出口退场的人数是随机变量;方程 x2-2x-3=0的根的个数是随机变量. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 2.一个袋子中有除颜色外其他都相同的红、黄、绿、白四种小球各若干个,一次倒出 3个小球,下列 变量是离散型随机变量的是( ) A.小球滚出的最大距离 B.倒出小球所需的时间 C.倒出的
2、 3个小球的质量之和 D.倒出的 3个小球的颜色的种数 解析对于 A,小球滚出的最大距离不是离散型随机变量,因为滚出的最大距离不能一一列出;对于 B, 倒出小球所需的时间不是离散型随机变量,因为所需的时间不能一一列出;对于 C,3个小球的质量之 和是一个定值,不是随机变量;对于 D,倒出的 3 个小球的颜色的种数可以一一列出,是离散型随机变量. 答案 D 3.袋中有大小相同的 5个球,分别标有 1,2,3,4,5 五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个 球,设两个球的号码之和为随机变量 X,则 X所有可能取值的个数是( ) A.5 B.9 C.10 D.25 解析 X的可能取值是 2,
3、3,4,5,6,7,8,9,10,共 9 个. 答案 B 4.一串 5把外形相似的钥匙,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止, 则试验次数 X 的最大可能取值为( ) A.5 B.2 C.3 D.4 解析由题意可知前 4 次都打不开锁,最后一把钥匙一定能打开锁,故试验次数 X的最大可能取值为 4. 答案 D 5.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于 5,于是他随 机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为 ,则随机变量 的所有可能取值的 种数为( ) A.24 B.20 C.4 D.18 解析由于后四位数字
4、两两不同,且都大于 5,因此只能是 6,7,8,9四位数字的不同排列,故有 =24 种. 答案 A 6.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为 ,则 =k 表示的试验结果为 ( ) A.第 k-1次检测到正品,而第 k次检测到次品 B.第 k 次检测到正品,而第 k+1 次检测到次品 C.前 k-1次检测到正品,而第 k次检测到次品 D.前 k次检测到正品,而第 k+1 次检测到次品 解析由题意,得 =k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为 k,因此前 k次检测到的都是正品, 第 k+1次检测到的是次品,故选 D. 答案 D 7.已知 Y=2X 为离散型随机变量,Y
5、的可能取值为 1,2,3,10,则 X 的可能取值 为 . 解析分别将 Y 的取值 1,2,3,10 代入 Y=2X中,得 X= ,1, ,2, ,3, ,4, ,5. 答案 ,1, ,2, ,3, ,4, ,5 8.下面给出三个变量: (1)2013年地球上发生地震的次数 . (2)在一段时间间隔内某种放射性物质发生的 粒子数 . (3)在一段时间间隔内某路口通过的宝马车的辆数 X. 其中是随机变量的是 . 解析(1)2013年地球上发生地震的次数 是确定的,故不是随机变量;(2)发出的 粒子数 是变化的, 是随机变量;(3)通过的宝马车的辆数 X是变化的,是随机变量. 答案(2)(3) 9
6、.某篮球运动员在罚球训练时,规定罚中 1 球得 2 分,罚不中得 0 分,该队员在 5次罚球中命中的次数 X 是一个随机变量. (1)写出 X的所有可能取值及每一个取值所表示的试验结果; (2)若记该队员在 5 次罚球后的得分为 Y,写出所有 Y的取值及每一个取值所表示的试验结果. 解(1)X的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5.它们表示在 5 次罚球中分别罚中 0次,1 次,2 次,3次,4次,5 次. (2)Y 的所有可能取值为 0,2,4,6,8,10.它们表示 5 次罚球后分别得 0 分,2分,4分,6分,8分,10 分. 10.一个袋中装有除颜色外其他都相同的 5 个白球和 5
7、个黑球,从中任取 3个,其中所含白球的个数为 X. (1)列表说明可能出现的结果与对应的 X 的值; (2)若规定抽取 3个球中,每抽到一个白球加 5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果如何都加上 6 分, 求最终得分 Y 的可能取值. 解(1) 结 果 取得 3 个黑 球 取得 1 个 白球,2 个 黑球 取得 2 个 白球,1 个 黑球 取得 3 个白 球 X 0 1 2 3 (2)由题意可得 Y=5X+6,而 X 的可能取值为 0,1,2,3,所以 Y 对应的取值为 50+6,51+6,52+6,53+6,即 Y 的可能取值为 6,11,16,21. 能力提升练 1.袋中装有大小和颜色均相
8、同的 5个乒乓球,分别标有数字 1,2,3,4,5,现从中任意抽取 2个,设两个球 上的数字之积为 X,则 X 所有可能取值的个数是( ) A.6 B.7 C.10 D.25 解析 X的所有可能取值有 12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,共 10 个. 答案 C 2.一个袋中装有 5个白球和 5个红球,从中任取 3 个,其中所含白球的个数记为 ,则随机变量 的值域 为 . 答案0,1,2,3 3.一个木箱中装有 8 个同样大小的篮球,编号分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,现从中随机取出 3 个篮球,以 X 表 示取出的篮球的最大号码,则 X=8 表示的试验结果有
9、种. 解析 X=8表示“3个篮球中一个编号是 8,另外两个从剩余 7 个中任选”,有 =21(种)选法,即 X=8 表 示的试验结果有 21 种. 答案 21 4.某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若干只,公司要求至少要买 50只,但不得超过 80 只.商厦有优 惠规定:一次购买少于或等于 50 只的无优惠;多于 50只的,超出的部分按原价的 7 折优惠.已知水杯原 来的价格是每只 6元.这个人一次购买水杯的只数 是一个随机变量,则他所付款 是否也为一个随 机变量呢?, 有什么关系呢? 解所付款 也是一个随机变量,且 =506+(-50)60.7=4.2+90,50,80,且 N. 5.某次演唱
10、比赛,需要加试文化科学素质,每位参赛选手需回答 3 个问题,组委会为每位选手都备有 10 道不同的题目可供选择,其中有 5 道文史类题目、3 道科技类题目、2 道体育类题目.测试时,每位选 手从给定的 10 道题目中不放回地随机抽取 3次,每次抽取一道题目,回答完该题后,再抽取下一道题 目作答.记某选手抽到科技类题目的道数为 X. (1)试求出随机变量 X 的可能取值. (2)X=1表示的试验结果是什么?可能出现多少种不同的结果? 解(1)由题意得 X 的可能取值为 0,1,2,3. (2)X=1表示的试验结果是“恰好抽到一道科技类题目”.可能出现 =378(种)不同的结果. 素养培优练 写出
11、下列随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果. (1)一个袋中装有大小相同的 2个白球和 5个黑球,从中任取 3个,其中所含白球的个数 X; (2)抛掷两枚骰子各一次,第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值 Y. 解(1)X的所有可能取值为 0,1,2. X=0表示所取的 3 个球是 3 个黑球; X=1表示所取的 3 个球是 1 个白球、2个黑球; X=2表示所取的 3 个球是 2 个白球、1个黑球. (2)Y 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5. 用(a,b)表示一个样本点,其中 a为第一枚骰子掷出的点数,b 为第二枚骰子掷出的点数. Y=0 表示掷出的
12、两枚骰子的点数相同,其包含的样本点有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6). Y=1 表示掷出的两枚骰子的点数相差 1,其包含的样本点有 (1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5). Y=2 表示掷出的两枚骰子的点数相差 2,其包含的样本点有 (1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4). Y=3 表示掷出的两枚骰子的点数相差 3,其包含的样本点有(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3). Y=4 表示掷出的两枚骰子的点数相差 4,其包含的样本点有(1,5),(5,1),(2,6),(6,2). Y=5 表示掷出的两枚骰子的点数相差 5,其包含的样本点有(1,6),(6,1).
