1、14.2 乘法公式 第十四章 整式的乘法与因式分解 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 14.2.1 平方差公式 八年级数学上（RJ） 教学课件 学习目标 1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差 公式的结构特征.（重点） 2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题. （难点） 导入新课导入新课 复习引入 多项式与多项式是如何相乘的？ （x 3)( x5） =x2 5x 3x 15 =x2 8x 15. (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 讲授新课讲授新课 平方差公式 一 探究发现 面积变了吗？ a米米 5米米 5米米 a米米 (a-5) 相等吗？ （x 1)(
2、x1）；）； （m 2)( m2）；）； （2m 1)(2m1）；）； （5y z)(5yz）. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 算一算：看谁算得又快又准. （m 2)( m2）=m2 22 （2m 1)( 2m1)=4m2 12 （5y z)(5yz)= 25y2 z2 （x 1)( x1）=x2 1， 想一想：这些计算结果有什么特点？ x2 12 m222 (2m)2 12 (5y)2 z2 (a+ +b)(ab)= = a2b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 公式变形: 1.（a b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a )
3、 = a2 - b2 知识要点 平方差公式 平方差公式 注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等 (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2 相同为a 相反为b，-b 适当交换 合理加括号 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (0.3x-1)(1+0.3x) (1+a)(-1+a) 填一填： a b a2-b2 1 x -3 a 12-x2 (-3)2-a2 a 1 a2-12 0.3x 1 ( 0.3x)2-12 (a-b)(a+b) 练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)=_. (2)(a-b)(b+a)= _. (3)(-a-b)(-a+b)= _. (
4、4)(a-b)(-a-b)= _. a2-b2 a2-b2 b2-a2 b2-a2 典例精析 例1 计算：(1) (3x2 )( 3x2 ) ； (2)（-x+2y)(-x-2y). (2) 原式 (-x)2 - (2y)2 x2 - 4y2. 解：（1）原式=(3x)222 =9x24； 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几 个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二 项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右 边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式 利用平方差公式计算： (1)(3x5)(3x5)； (2)(2ab)
5、(b2a)； (3)(7m8n)(8n7m) 针对训练 解：(1)原式=(3x)2529x225； (2)原式=(2a)2b24a2b2； (3)原式=(7m)2(8n)249m264n2； 例2 计算: (1) 10298; (2) (y+2) (y-2) (y-1) (y+5) . 解: (1) 10298 （2）(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = 1002-22 =10000 4 =（1002）(1002) =9996； = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1. 通过合理变形，利 用平方差公式，可 以简化运算. 不符合平方差公
6、式运 算条件的乘法，按乘 法法则进行运算. 针对训练 计算: (1) 5149; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) . 解: (1) 原式=（501）(501) = 502-12 =2500 1 =2499； (2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6) = 9x2-16-6x2-5x+6 = 3x2-5x-10. 例3 先化简，再求值：(2xy)(y2x)(2yx)(2y x)，其中x1，y2. 原式51252215. 解：原式4x2y2(4y2x2) 4x2y24y2x2 5x25y2. 当x1，y2时， 例4 对于任意的正整数n，整式(3n1)(3n1)
7、(3n)(3n)的值一定是10的整数倍吗？ 即(3n1)(3n1)(3n)(3n)的值是10的倍数 解：原式9n21(9n2) 10n210. (10n210)10=n2-1. n为正整数， n2-1为整数 方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数， 也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数 问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结 果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系 例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给 了邻居李大妈今年王大伯对李大妈说：“我把 这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租 给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了你 认为李大妈吃亏了吗？为什么？ a2a
8、216， 解：李大妈吃亏了 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a4)(a4)a216， 李大妈吃亏了 方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出 算式，然后根据公式化简算式，解决问题 1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( ) A(xy)(xy) B(xy)(xy) C(xy)(yx) D(xy)(xy) 当堂练习当堂练习 C 2.计算（2x+1）（2x-1）等于（ ） A4x2-1 B2x2-1 C4x-1 D4x2+1 A 3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那 么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面 积，差是_ 10 （1）(a+3b)(a- - 3b)； =
9、4a29； =4x4y2. 原式=(2a+3)(2a-3) =a29b2 ； =(2a)232 原式=(- -2x2 )2 y2 原式=(a)2(3b)2 （2）(3+2a)(3+2a)； （3）(2x2y)(2x2+y). 4.利用平方差公式计算： 5.计算： 20152 20142016. 解： 20152 20142016 = 20152 (20151)(2015+1) = 20152 （2015212 ) = 20152 20152+12 =1 6.利用平方差公式计算: （1）（）（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a 2+4) =a4-16. (2) (x-
10、y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). 解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8. 7.先化简，再求值：(x1)(x1)x2(1x)x3， 其中x2. 解：原式=x21x2x3x3 =2x21. 将x2代入上式， 原式=222-1=7. 8.已知x1，计算：(1x)(1x)1x2，(1x)(1 xx2)1x3，(1x)(1xx2x3) (1)观察以上各式并猜想：(1x)(1xx2xn) _；(n为正整数) (2)根据你的猜想计算： (12)(1222232425)_； 222232n_(n为正整数)； (x1)(x99x98x97x2x1)_； 拓展提升 1xn+1 -63 2n12 x1001 (3)通过以上规律请你进行下面的探索： (ab)(ab)_； (ab)(a2abb2)_； (ab)(a3a2bab2b3)_ a2b2 a3b3 a4b4 课堂小结课堂小结 平 方 差 公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的 积，等于这两个数的平方差 1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这 一特征，在应用时，只有两 个二项式的积才有可能应用 平方差公式；对于不能直接 应用公式的，可能要经过变 形才可以应用
