1、第 1 页（共 13 页） 2020-2021 学年上海市青浦区高一（上）期末数学试卷学年上海市青浦区高一（上）期末数学试卷 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对题，只要求直接填写结果，每个空格填对 得得 3 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 1 （3 分）已知全集 1U ，0，2，集合 1A ，0，则A 2 （3 分）不等式 11 2x 的解集是 3 （3 分）已知 3 log 2a，则用a表示 8 log 27 4 （3 分）若a，bR，且| 1a ，|5b ，则|ab的最大值是 5 （3 分）已知
2、幂函数 22 (1) a yaax 为奇函数，则实数a的值为 6 （3 分）已知条件:04x和条件:0 xa，若是的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 7 （3 分）函数 21 21 x x y 的值域为 8 （3 分）已知正实数x，y满足 1 23y x ，则 y x 的最大值为 9 （3 分）已知函数 2 2 2,0 2 ,0 xxx y xx x ，则该函数的零点是 10 （3 分）在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了 1 x， 2 x， 3 x， 4 x四项 多元评价指标， 并通过经验公式 31 24 xx S xx 来计算各城区的综合得分，S的值越高则评价效 果越好
3、若某城区在自查过程中各项指标显示为 3421 0 xxxx，则下阶段要把其中一 个指标的值增加 1 个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 （填入 1 x， 2 x， 3 x， 4 x中的一个） 11 （3 分） 已知函数( )yf x， 其中 3 ( )f xxx， 关于x的不等式 2 (2)()0f mxfx在 区间1，5上有解，则实数m的取值范围是 12 （3 分）已知函数( )f x的定义域为R，f（1）3，对任意两个不等的实数a，b都有 ( )( ) 1 f af b ab ，则不等式(21)21 xx f的解集为 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 12 分）本大题
4、共有分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个的四个 结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得 3 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 13 （3 分）若01a，1b ，则函数( ) x f xab的图象不经过( ) 第 2 页（共 13 页） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 14 （3 分）下列函数中，定义域为R的偶函数是( ) A2xy B|yx x C 2 |1|yx D 2 log |yx 15 （3 分）下列不等式中，恒成立的是( ) A 4 4x x B 1 |2xy x
5、y C|xyxzyz D 2 2 11 xx xx 16（3 分） 已知集合0A， 1) 2 ， 1 2B ，1， 1 , ( )2 2(1), xxA f x x xB ， 若 0 xA， 且 0 ( ( ) )f fxA， 则 0 x的取值范围是( ) A 1 (0, 4 B 1 1 ( , ) 4 2 C 1 1 ( , 4 2 D 3 0, 8 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 52 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤题，解答下列各题必须写出必要的步骤 17（8 分） 已知不等式|12 | 7x的解集是A， 函数 2 28yxx的定义域是B
6、， 求AB 18 （10 分）已知函数( )yf x，其中 1 ( )f xx x （1）判断函数( )yf x的奇偶性，并说明理由； （2）若( )( )g xf xxax，且( )yg x在区间(0，2上是严格减函数，求实数a的取值范 围 19 （10 分）设 2 ( )(1)1()f xmxmxmmR （1）若不等式( )0f x 解集为，求实数m的取值范围； （2）若不等式( )0f x 对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围 20 （10 分） 研究表明： 在一节 40 分钟的网课中， 学生的注意力指数y与听课时间x（单位： 分钟）之间的变化曲线如图所示 当0 x，16时，曲线是二次
7、函数图象的一部分；当16x，40时，曲线是函数 0.8 log()80yxa图象的一部分，当学生的注意力指数不高于 68 时，称学生处于“欠佳 听课状态” （1）求函数( )yf x的解析式； （2） 在一节 40 分钟的网课中， 学生处于 “欠佳听课状态” 的时间有多长？ （精确到 1 分钟） 第 3 页（共 13 页） 21（14 分） 定义： 如果函数( )yf x在定义域内给定区间a，b上存在实数 00 ()x axb， 满足 0 ( )( ) () f bf a f x ba ，那么称函数( )yf x是区间a，b上的“平均值函数” ， 0 x是它 的一个均值点 （1）判断函数 4
8、( )f xx是否是区间 1，1上的“平均值函数” ，并说明理由； （2）若函数( )42 xx g xm 是区间0，1上的“平均值函数” ，求实数m的取值范围； （3）设函数 2 ( )4(0,)h xxxNkkk是区间 2，(0,)t ttN上的“平均值函数” ， 1 是函数( )h x的一个均值点，求所有满足条件的数对( , ) tk 第 4 页（共 13 页） 2020-2021 学年上海市青浦区高一（上）期末数学试卷学年上海市青浦区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，
9、只要求直接填写结果，每个空格填对题，只要求直接填写结果，每个空格填对 得得 3 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 1 （3 分）已知全集 1U ，0，2，集合 1A ，0，则A 2 【解答】解：全集 1U ，0，2，集合 1A ，0， 由补集的定义 |Ax xU且xA，可得2A 故答案为：2 2 （3 分）不等式 11 2x 的解集是 (，0)(2，) 【解答】解：当0 x 时，去分母得：2x ， 所以原不等式的解集为：(2,)； 当0 x 时，去分母得：2x ， 所以原不等式的解集为：(,0)， 综上，原不等式的解集为：(，0)(2，) 故答案为：(，0)(2，) 3 （3 分）已知 3
10、 log 2a，则用a表示 8 log 27 1 a 【解答】解：因为 3 log 2a， 所以 3 3 82 2 3 11 log 2733 2 loglog loga 故答案为： 1 a 4 （3 分）若a，bR，且| 1a ，|5b ，则|ab的最大值是 6 【解答】解：| 1a ，|5b ， 根据绝对值不等式的性质，得|ababab剟， |ab的最大值是 6，当1a ，5b 或1a ，5b 时，|ab取得最大值 6 故答案为：6 5 （3 分）已知幂函数 22 (1) a yaax 为奇函数，则实数a的值为 1 【解答】解：由题意得： 2 1 1aa ，解得：0a 或1a ， 故0a
11、时， 2 yx，是偶函数，不合题意， 第 5 页（共 13 页） 1a 时， 3 yx，是奇函数，符合题意， 故答案为：1 6 （3 分）已知条件:04x和条件:0 xa，若是的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 (4,) 【解答】解：是的充分不必要条件， ， 4a， 故答案为：(4,) 7 （3 分）函数 21 21 x x y 的值域为 ( 1,1) 【解答】解：函数 212 1 2121 x xx y ， 因为xR，所以21 1 x ， 所以 2 ( 2,0) 21 x ，则 2 1( 1,1) 21 x ， 故函数的值域为( 1,1) 8 （3 分）已知正实数x，y满足 1 23y
12、 x ，则 y x 的最大值为 9 8 【解答】解：正实数x，y满足 1 23y x ， 3 0 2 y， 则 2 39 (32 )2() 48 y yyy x ， 当 3 4 y 时， y x 的最大值为 9 8 ， 故答案为： 9 8 9 （3 分）已知函数 2 2 2,0 2 ,0 xxx y xx x ，则该函数的零点是 2x 【解答】解：因为函数 2 2 2,0 2 ,0 xxx y xx x ， 当0 x 时，令 2 20 xx，解得2x 或0 x （舍)； 当0 x 时，令 2 20 xx，解得2x 或0 x （舍)； 第 6 页（共 13 页） 综上可得，该函数的零点是2x 故
13、答案为：2x 10 （3 分）在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了 1 x， 2 x， 3 x， 4 x四项 多元评价指标， 并通过经验公式 31 24 xx S xx 来计算各城区的综合得分，S的值越高则评价效 果越好若某城区在自查过程中各项指标显示为 3421 0 xxxx，则下阶段要把其中一 个指标的值增加 1 个单位， 而使得S的值增加最多， 那么该指标应为 3 x （填入 1 x， 2 x， 3 x， 4 x中的一个） 【解答】解： 31 24 xx S xx ， 要使S增加，则应该增加分子 1 x或 3 x，减小分母 2 x或 4 x， 又 3421 0 xxxx，且
14、在分子都增加 1 的前提下，分母越小时，S的值增加越多， 要使S的值增加最多，则应该增加 3 x 故答案为： 3 x 11 （3 分） 已知函数( )yf x， 其中 3 ( )f xxx， 关于x的不等式 2 (2)()0f mxfx在 区间1，5上有解，则实数m的取值范围是 1 (, ) 8 【解答】解： 3 ()( )fxxxf x ，( )f x是奇函数， 又 2 ( )310fxx ， ( )f x在R上是增函数， 2 (2)()0f mxfx在1，5上有解， 2 (2)()( )f mxfxf x 在1，5上有解 2 2mxx在1，5上有解， 即 2 2x m x 在1，5上有解
15、令 2 2 ( ) x g x x ，1x，5，则只需( ) max mgx即可 3 4 ( ) x g x x ， 当14x 时，( )0g x，当45x 时，( )0g x， ( ) max gxg（4） 1 8 ， 第 7 页（共 13 页） 1 8 m， 故答案为 1 (, ) 8 12 （3 分）已知函数( )f x的定义域为R，f（1）3，对任意两个不等的实数a，b都有 ( )( ) 1 f af b ab ，则不等式(21)21 xx f的解集为 (,1) 【解答】解：不妨令ab，则 ( )( ) 1 f af b ab 等价于f（a）af （b）b， 构造函数( )( )h x
16、f xx，则( )h x是R上的增函数， 因为f（1）3， 所以(21)21 xx f等价于(21)(21) xx ff（1）1， 即21 1 x ，解得1x 故答案为：(,1) 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 12 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个的四个 结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得 3 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 13 （3 分）若01a，1b ，则函数( ) x f xab的图象不经过( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象
17、限 【解答】解：函数( )(01) x f xaa的是减函数，图象过定点(0,1)，在x轴上方，过一、 二象限， 函数( ) x f xab的图象由函数( ) x f xa的图象向下平移|b个单位得到， 1b ，| 1b，函数( ) x f xab的图象与y轴交于负半轴， 如图，函数( ) x f xab的图象过二、三、四象限 故选：A 第 8 页（共 13 页） 14 （3 分）下列函数中，定义域为R的偶函数是( ) A2xy B|yx x C 2 |1|yx D 2 log |yx 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，2xy ，是指数函数，不是偶函数，不符合题意， 对于B， 2
18、2 ,0 | ,0 xx yx x xx ，不是偶函数，不符合题意， 对于C， 2 |1|yx，定义域为R，有 2 () |1|( )fxxf x ，是定义域为R的偶函数，符合 题意， 对于D， 2 log |yx，定义域不是R，不符合题意， 故选：C 15 （3 分）下列不等式中，恒成立的是( ) A 4 4x x B 1 |2xy xy C|xyxzyz D 2 2 11 xx xx 【解答】解：当1x 时， 4 54x x ，故选项A错误； 又当1x ，2y 时， 1 |02xy xy ，故选项B错误； 由绝对值不等式的性质可得：|()()| |xzyzxzyzxy，故选项C错误； 对于
19、选项D：当0 x 时，显然有 2 2 11 xx xx ； 当0 x 时，令 1 ( )f tt t ，0t ，则( )f t在(0，1上单调递减，在1，)上单调递增， 又当1x 时， 2 1xx，则有： 2 ()( )f xf x，即 2 2 11 xx xx ， 第 9 页（共 13 页） 当1x 时， 2 xx，则有 2 ()( )f xf x，即 2 2 11 xx xx ， 当01x时， 2 01xx，则有 2 ()( )f xf x，即 2 2 11 xx xx ， 综上， 2 2 11 xx xx ，故选项D正确， 故选：D 16（3 分） 已知集合0A， 1) 2 ， 1 2B
20、 ，1， 1 , ( )2 2(1), xxA f x x xB ， 若 0 xA， 且 0 ( ( ) )f fxA， 则 0 x的取值范围是( ) A 1 (0, 4 B 1 1 ( , ) 4 2 C 1 1 ( , 4 2 D 3 0, 8 【解答】解：根据题意， 1 , ( )2 2(1), xxA f x x xB ， 若 0 xA， 即 0 1 0 2 x ， 00 1 () 2 f xx， 有 0 1 ( ) 1 2 f x， 则 000 ( ( ) )2 1( ) 1 2f f xf xx ， 若 0 ( ()f f xA，则 0 1 0 12 2 x， 解可得： 0 11
21、42 x，即 0 x的取值范围是 1 ( 4 ， 1) 2 ， 故选：B 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 52 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤题，解答下列各题必须写出必要的步骤 17（8 分） 已知不等式|12 | 7x的解集是A， 函数 2 28yxx的定义域是B， 求AB 【解答】 解： |12 | 7 | 34Axxxx ， 2 |28 0 |4Bx xxx x厔或2x， 2AB，4) 18 （10 分）已知函数( )yf x，其中 1 ( )f xx x （1）判断函数( )yf x的奇偶性，并说明理由； （2）若( )( )g xf
22、 xxax，且( )yg x在区间(0，2上是严格减函数，求实数a的取值范 围 【解答】解： （1） 1 ( )f xx x ，定义域为(，0)(0，)， 且 11 ()()( )fxxxf x xx ， 所以函数( )yf x为奇函数 第 10 页（共 13 页） （2） 2 ( )( )1g xf xxaxxax， 因为( )yg x在区间(0，2上是严格减函数， 所以2 2 a ，解得4a， 即实数a的取值范围为(，4 19 （10 分）设 2 ( )(1)1()f xmxmxmmR （1）若不等式( )0f x 解集为，求实数m的取值范围； （2）若不等式( )0f x 对一切实数x恒
23、成立，求实数m的取值范围 【解答】解： （1）由不等式( )0f x 解集为， 可得 2 10 4(1)(1) 0 m mmm ，即为 1 2 32 3 33 m mm 或厔 ， 可得 2 3 3 m， 即m的取值范围是(， 2 3 3 ； （2）由不等式( )0f x 对一切实数x恒成立， 当10m ，即1m 时，( )2f xx，则( )0f x 不恒成立； 当10m 时，( )f x的图象为开口向下的抛物线，( )0f x 不恒成立； 当10m ，且0，( )0f x 恒成立， 由 2 10 4(1)(1)0 m mmm ，即为 1 2 32 3 33 m mm 或 ， 解得 2 3 3
24、 m ， 即m的取值范围是 2 3 ( 3 ，) 20 （10 分） 研究表明： 在一节 40 分钟的网课中， 学生的注意力指数y与听课时间x（单位： 分钟）之间的变化曲线如图所示 当0 x，16时，曲线是二次函数图象的一部分；当16x，40时，曲线是函数 0.8 log()80yxa图象的一部分，当学生的注意力指数不高于 68 时，称学生处于“欠佳 听课状态” （1）求函数( )yf x的解析式； 第 11 页（共 13 页） （2） 在一节 40 分钟的网课中， 学生处于 “欠佳听课状态” 的时间有多长？ （精确到 1 分钟） 【解答】解： （1）当0 x，16时，设 2 ( )(12)8
25、4f xb x，(0)b ， 所以 2 (16)(1612)8480fb，解得 1 4 b ， 所以 2 1 ( )(12)84 4 f xx ， 当16x，40时， 0.8 ( )log()80f xxa， 由 0 . 8 ( 1 6 ) l o g ( 1 6) 8 0 8 0fa， 解得15a ， 所以 0.8 ( )log(15)80f xx， 综上可得， 2 0.8 1 (12)84,0,16 ( )4 log(15)80,(16,40 xx f x xx ； （2）当0 x，16时，令 2 1 ( )(12)8468 4 f xx ，解得0 x，4， 当16x，40时，令 0.8
26、( )log(15)8068f xx，解得30 x，40， 故在一节 40 分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有41014分钟 21（14 分） 定义： 如果函数( )yf x在定义域内给定区间a，b上存在实数 00 ()x axb， 满足 0 ( )( ) () f bf a f x ba ，那么称函数( )yf x是区间a，b上的“平均值函数” ， 0 x是它 的一个均值点 （1）判断函数 4 ( )f xx是否是区间 1，1上的“平均值函数” ，并说明理由； （2）若函数( )42 xx g xm 是区间0，1上的“平均值函数” ，求实数m的取值范围； （3）设函数 2 ( )
27、4(0,)h xxxNkkk是区间 2，(0,)t ttN上的“平均值函数” ， 1 是函数( )h x的一个均值点，求所有满足条件的数对( , ) tk 【解答】解： （1）是； 第 12 页（共 13 页） 理由：根据新定义，可得 4 (1)( 1) 1( 1) ff x 在区间 1，1上有解， 可得0 x ， 所以（1）是“平均值函数” ； （2）函数( )42 xx g xm 是区间0，1上的“平均值函数” ， 可得 3 42 10 xx m m 在区间0，1上有解， 可得4230 xx mm在区间0，1上有解， 令2xt，1t，2， 则 2 30tmtm在区间1，2上有解， 令 2
28、( )3g ttmtm 0 (1) 0 (2) 0 12 2 g g m 或g（1）g （2）0， 即 2 4(3) 0 2 0 10 12 2 mm m m 此时不等式组无解； 或2 (1) 0m ； 解得1m 故实数m的取值范围(，1； （3）函数 2 ( )4(0,)h xxxNkkk是区间 2，(0,)t ttN上的“平均值函数” ，1 是函数( )h x的一个均值点， 即 2 446 3 2 tt t kk k， 可得(3)4tk， 4 3t k Nk，0k，0t ，tN， 第 13 页（共 13 页） 则 4 1 3t 解得31t， 当1t ，k不是整数， 当2t 时，可得4k， 故所有满足条件的数对(4,2)
