2020-2021学年上海市青浦区高一(上)期末数学试卷.docx

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1、第 1 页(共 13 页) 2020-2021 学年上海市青浦区高一(上)期末数学试卷学年上海市青浦区高一(上)期末数学试卷 一、填空题(本大题满分一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得得 3 分,否则一律得零分分,否则一律得零分 1 (3 分)已知全集 1U ,0,2,集合 1A ,0,则A 2 (3 分)不等式 11 2x 的解集是 3 (3 分)已知 3 log 2a,则用a表示 8 log 27 4 (3 分)若a,bR,且| 1a ,|5b ,则|ab的最大值是 5 (3 分)已知

2、幂函数 22 (1) a yaax 为奇函数,则实数a的值为 6 (3 分)已知条件:04x和条件:0 xa,若是的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 7 (3 分)函数 21 21 x x y 的值域为 8 (3 分)已知正实数x,y满足 1 23y x ,则 y x 的最大值为 9 (3 分)已知函数 2 2 2,0 2 ,0 xxx y xx x ,则该函数的零点是 10 (3 分)在创全国文明城区的活动中,督查组对城区的评选设计了 1 x, 2 x, 3 x, 4 x四项 多元评价指标, 并通过经验公式 31 24 xx S xx 来计算各城区的综合得分,S的值越高则评价效 果越好

3、若某城区在自查过程中各项指标显示为 3421 0 xxxx,则下阶段要把其中一 个指标的值增加 1 个单位,而使得S的值增加最多,那么该指标应为 (填入 1 x, 2 x, 3 x, 4 x中的一个) 11 (3 分) 已知函数( )yf x, 其中 3 ( )f xxx, 关于x的不等式 2 (2)()0f mxfx在 区间1,5上有解,则实数m的取值范围是 12 (3 分)已知函数( )f x的定义域为R,f(1)3,对任意两个不等的实数a,b都有 ( )( ) 1 f af b ab ,则不等式(21)21 xx f的解集为 二、选择题(本大题满分二、选择题(本大题满分 12 分)本大题

4、共有分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的,每题答对得结论,其中有且只有一个结论是正确的,每题答对得 3 分,否则一律得零分分,否则一律得零分 13 (3 分)若01a,1b ,则函数( ) x f xab的图象不经过( ) 第 2 页(共 13 页) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 14 (3 分)下列函数中,定义域为R的偶函数是( ) A2xy B|yx x C 2 |1|yx D 2 log |yx 15 (3 分)下列不等式中,恒成立的是( ) A 4 4x x B 1 |2xy x

5、y C|xyxzyz D 2 2 11 xx xx 16(3 分) 已知集合0A, 1) 2 , 1 2B ,1, 1 , ( )2 2(1), xxA f x x xB , 若 0 xA, 且 0 ( ( ) )f fxA, 则 0 x的取值范围是( ) A 1 (0, 4 B 1 1 ( , ) 4 2 C 1 1 ( , 4 2 D 3 0, 8 三、解答题(本大题满分三、解答题(本大题满分 52 分)本大题共有分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤题,解答下列各题必须写出必要的步骤 17(8 分) 已知不等式|12 | 7x的解集是A, 函数 2 28yxx的定义域是B

6、, 求AB 18 (10 分)已知函数( )yf x,其中 1 ( )f xx x (1)判断函数( )yf x的奇偶性,并说明理由; (2)若( )( )g xf xxax,且( )yg x在区间(0,2上是严格减函数,求实数a的取值范 围 19 (10 分)设 2 ( )(1)1()f xmxmxmmR (1)若不等式( )0f x 解集为,求实数m的取值范围; (2)若不等式( )0f x 对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围 20 (10 分) 研究表明: 在一节 40 分钟的网课中, 学生的注意力指数y与听课时间x(单位: 分钟)之间的变化曲线如图所示 当0 x,16时,曲线是二次

7、函数图象的一部分;当16x,40时,曲线是函数 0.8 log()80yxa图象的一部分,当学生的注意力指数不高于 68 时,称学生处于“欠佳 听课状态” (1)求函数( )yf x的解析式; (2) 在一节 40 分钟的网课中, 学生处于 “欠佳听课状态” 的时间有多长? (精确到 1 分钟) 第 3 页(共 13 页) 21(14 分) 定义: 如果函数( )yf x在定义域内给定区间a,b上存在实数 00 ()x axb, 满足 0 ( )( ) () f bf a f x ba ,那么称函数( )yf x是区间a,b上的“平均值函数” , 0 x是它 的一个均值点 (1)判断函数 4

8、( )f xx是否是区间 1,1上的“平均值函数” ,并说明理由; (2)若函数( )42 xx g xm 是区间0,1上的“平均值函数” ,求实数m的取值范围; (3)设函数 2 ( )4(0,)h xxxNkkk是区间 2,(0,)t ttN上的“平均值函数” , 1 是函数( )h x的一个均值点,求所有满足条件的数对( , ) tk 第 4 页(共 13 页) 2020-2021 学年上海市青浦区高一(上)期末数学试卷学年上海市青浦区高一(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题(本大题满分一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有分)本大题共有 12 题,

9、只要求直接填写结果,每个空格填对题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得得 3 分,否则一律得零分分,否则一律得零分 1 (3 分)已知全集 1U ,0,2,集合 1A ,0,则A 2 【解答】解:全集 1U ,0,2,集合 1A ,0, 由补集的定义 |Ax xU且xA,可得2A 故答案为:2 2 (3 分)不等式 11 2x 的解集是 (,0)(2,) 【解答】解:当0 x 时,去分母得:2x , 所以原不等式的解集为:(2,); 当0 x 时,去分母得:2x , 所以原不等式的解集为:(,0), 综上,原不等式的解集为:(,0)(2,) 故答案为:(,0)(2,) 3 (3 分)已知 3

10、 log 2a,则用a表示 8 log 27 1 a 【解答】解:因为 3 log 2a, 所以 3 3 82 2 3 11 log 2733 2 loglog loga 故答案为: 1 a 4 (3 分)若a,bR,且| 1a ,|5b ,则|ab的最大值是 6 【解答】解:| 1a ,|5b , 根据绝对值不等式的性质,得|ababab剟, |ab的最大值是 6,当1a ,5b 或1a ,5b 时,|ab取得最大值 6 故答案为:6 5 (3 分)已知幂函数 22 (1) a yaax 为奇函数,则实数a的值为 1 【解答】解:由题意得: 2 1 1aa ,解得:0a 或1a , 故0a

11、时, 2 yx,是偶函数,不合题意, 第 5 页(共 13 页) 1a 时, 3 yx,是奇函数,符合题意, 故答案为:1 6 (3 分)已知条件:04x和条件:0 xa,若是的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 (4,) 【解答】解:是的充分不必要条件, , 4a, 故答案为:(4,) 7 (3 分)函数 21 21 x x y 的值域为 ( 1,1) 【解答】解:函数 212 1 2121 x xx y , 因为xR,所以21 1 x , 所以 2 ( 2,0) 21 x ,则 2 1( 1,1) 21 x , 故函数的值域为( 1,1) 8 (3 分)已知正实数x,y满足 1 23y

12、 x ,则 y x 的最大值为 9 8 【解答】解:正实数x,y满足 1 23y x , 3 0 2 y, 则 2 39 (32 )2() 48 y yyy x , 当 3 4 y 时, y x 的最大值为 9 8 , 故答案为: 9 8 9 (3 分)已知函数 2 2 2,0 2 ,0 xxx y xx x ,则该函数的零点是 2x 【解答】解:因为函数 2 2 2,0 2 ,0 xxx y xx x , 当0 x 时,令 2 20 xx,解得2x 或0 x (舍); 当0 x 时,令 2 20 xx,解得2x 或0 x (舍); 第 6 页(共 13 页) 综上可得,该函数的零点是2x 故

13、答案为:2x 10 (3 分)在创全国文明城区的活动中,督查组对城区的评选设计了 1 x, 2 x, 3 x, 4 x四项 多元评价指标, 并通过经验公式 31 24 xx S xx 来计算各城区的综合得分,S的值越高则评价效 果越好若某城区在自查过程中各项指标显示为 3421 0 xxxx,则下阶段要把其中一 个指标的值增加 1 个单位, 而使得S的值增加最多, 那么该指标应为 3 x (填入 1 x, 2 x, 3 x, 4 x中的一个) 【解答】解: 31 24 xx S xx , 要使S增加,则应该增加分子 1 x或 3 x,减小分母 2 x或 4 x, 又 3421 0 xxxx,且

14、在分子都增加 1 的前提下,分母越小时,S的值增加越多, 要使S的值增加最多,则应该增加 3 x 故答案为: 3 x 11 (3 分) 已知函数( )yf x, 其中 3 ( )f xxx, 关于x的不等式 2 (2)()0f mxfx在 区间1,5上有解,则实数m的取值范围是 1 (, ) 8 【解答】解: 3 ()( )fxxxf x ,( )f x是奇函数, 又 2 ( )310fxx , ( )f x在R上是增函数, 2 (2)()0f mxfx在1,5上有解, 2 (2)()( )f mxfxf x 在1,5上有解 2 2mxx在1,5上有解, 即 2 2x m x 在1,5上有解

15、令 2 2 ( ) x g x x ,1x,5,则只需( ) max mgx即可 3 4 ( ) x g x x , 当14x 时,( )0g x,当45x 时,( )0g x, ( ) max gxg(4) 1 8 , 第 7 页(共 13 页) 1 8 m, 故答案为 1 (, ) 8 12 (3 分)已知函数( )f x的定义域为R,f(1)3,对任意两个不等的实数a,b都有 ( )( ) 1 f af b ab ,则不等式(21)21 xx f的解集为 (,1) 【解答】解:不妨令ab,则 ( )( ) 1 f af b ab 等价于f(a)af (b)b, 构造函数( )( )h x

16、f xx,则( )h x是R上的增函数, 因为f(1)3, 所以(21)21 xx f等价于(21)(21) xx ff(1)1, 即21 1 x ,解得1x 故答案为:(,1) 二、选择题(本大题满分二、选择题(本大题满分 12 分)本大题共有分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的,每题答对得结论,其中有且只有一个结论是正确的,每题答对得 3 分,否则一律得零分分,否则一律得零分 13 (3 分)若01a,1b ,则函数( ) x f xab的图象不经过( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象

17、限 【解答】解:函数( )(01) x f xaa的是减函数,图象过定点(0,1),在x轴上方,过一、 二象限, 函数( ) x f xab的图象由函数( ) x f xa的图象向下平移|b个单位得到, 1b ,| 1b,函数( ) x f xab的图象与y轴交于负半轴, 如图,函数( ) x f xab的图象过二、三、四象限 故选:A 第 8 页(共 13 页) 14 (3 分)下列函数中,定义域为R的偶函数是( ) A2xy B|yx x C 2 |1|yx D 2 log |yx 【解答】解:根据题意,依次分析选项: 对于A,2xy ,是指数函数,不是偶函数,不符合题意, 对于B, 2

18、2 ,0 | ,0 xx yx x xx ,不是偶函数,不符合题意, 对于C, 2 |1|yx,定义域为R,有 2 () |1|( )fxxf x ,是定义域为R的偶函数,符合 题意, 对于D, 2 log |yx,定义域不是R,不符合题意, 故选:C 15 (3 分)下列不等式中,恒成立的是( ) A 4 4x x B 1 |2xy xy C|xyxzyz D 2 2 11 xx xx 【解答】解:当1x 时, 4 54x x ,故选项A错误; 又当1x ,2y 时, 1 |02xy xy ,故选项B错误; 由绝对值不等式的性质可得:|()()| |xzyzxzyzxy,故选项C错误; 对于

19、选项D:当0 x 时,显然有 2 2 11 xx xx ; 当0 x 时,令 1 ( )f tt t ,0t ,则( )f t在(0,1上单调递减,在1,)上单调递增, 又当1x 时, 2 1xx,则有: 2 ()( )f xf x,即 2 2 11 xx xx , 第 9 页(共 13 页) 当1x 时, 2 xx,则有 2 ()( )f xf x,即 2 2 11 xx xx , 当01x时, 2 01xx,则有 2 ()( )f xf x,即 2 2 11 xx xx , 综上, 2 2 11 xx xx ,故选项D正确, 故选:D 16(3 分) 已知集合0A, 1) 2 , 1 2B

20、 ,1, 1 , ( )2 2(1), xxA f x x xB , 若 0 xA, 且 0 ( ( ) )f fxA, 则 0 x的取值范围是( ) A 1 (0, 4 B 1 1 ( , ) 4 2 C 1 1 ( , 4 2 D 3 0, 8 【解答】解:根据题意, 1 , ( )2 2(1), xxA f x x xB , 若 0 xA, 即 0 1 0 2 x , 00 1 () 2 f xx, 有 0 1 ( ) 1 2 f x, 则 000 ( ( ) )2 1( ) 1 2f f xf xx , 若 0 ( ()f f xA,则 0 1 0 12 2 x, 解可得: 0 11

21、42 x,即 0 x的取值范围是 1 ( 4 , 1) 2 , 故选:B 三、解答题(本大题满分三、解答题(本大题满分 52 分)本大题共有分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤题,解答下列各题必须写出必要的步骤 17(8 分) 已知不等式|12 | 7x的解集是A, 函数 2 28yxx的定义域是B, 求AB 【解答】 解: |12 | 7 | 34Axxxx , 2 |28 0 |4Bx xxx x厔或2x, 2AB,4) 18 (10 分)已知函数( )yf x,其中 1 ( )f xx x (1)判断函数( )yf x的奇偶性,并说明理由; (2)若( )( )g xf

22、 xxax,且( )yg x在区间(0,2上是严格减函数,求实数a的取值范 围 【解答】解: (1) 1 ( )f xx x ,定义域为(,0)(0,), 且 11 ()()( )fxxxf x xx , 所以函数( )yf x为奇函数 第 10 页(共 13 页) (2) 2 ( )( )1g xf xxaxxax, 因为( )yg x在区间(0,2上是严格减函数, 所以2 2 a ,解得4a, 即实数a的取值范围为(,4 19 (10 分)设 2 ( )(1)1()f xmxmxmmR (1)若不等式( )0f x 解集为,求实数m的取值范围; (2)若不等式( )0f x 对一切实数x恒

23、成立,求实数m的取值范围 【解答】解: (1)由不等式( )0f x 解集为, 可得 2 10 4(1)(1) 0 m mmm ,即为 1 2 32 3 33 m mm 或厔 , 可得 2 3 3 m, 即m的取值范围是(, 2 3 3 ; (2)由不等式( )0f x 对一切实数x恒成立, 当10m ,即1m 时,( )2f xx,则( )0f x 不恒成立; 当10m 时,( )f x的图象为开口向下的抛物线,( )0f x 不恒成立; 当10m ,且0,( )0f x 恒成立, 由 2 10 4(1)(1)0 m mmm ,即为 1 2 32 3 33 m mm 或 , 解得 2 3 3

24、 m , 即m的取值范围是 2 3 ( 3 ,) 20 (10 分) 研究表明: 在一节 40 分钟的网课中, 学生的注意力指数y与听课时间x(单位: 分钟)之间的变化曲线如图所示 当0 x,16时,曲线是二次函数图象的一部分;当16x,40时,曲线是函数 0.8 log()80yxa图象的一部分,当学生的注意力指数不高于 68 时,称学生处于“欠佳 听课状态” (1)求函数( )yf x的解析式; 第 11 页(共 13 页) (2) 在一节 40 分钟的网课中, 学生处于 “欠佳听课状态” 的时间有多长? (精确到 1 分钟) 【解答】解: (1)当0 x,16时,设 2 ( )(12)8

25、4f xb x,(0)b , 所以 2 (16)(1612)8480fb,解得 1 4 b , 所以 2 1 ( )(12)84 4 f xx , 当16x,40时, 0.8 ( )log()80f xxa, 由 0 . 8 ( 1 6 ) l o g ( 1 6) 8 0 8 0fa, 解得15a , 所以 0.8 ( )log(15)80f xx, 综上可得, 2 0.8 1 (12)84,0,16 ( )4 log(15)80,(16,40 xx f x xx ; (2)当0 x,16时,令 2 1 ( )(12)8468 4 f xx ,解得0 x,4, 当16x,40时,令 0.8

26、( )log(15)8068f xx,解得30 x,40, 故在一节 40 分钟的网课中,学生处于“欠佳听课状态”的时间有41014分钟 21(14 分) 定义: 如果函数( )yf x在定义域内给定区间a,b上存在实数 00 ()x axb, 满足 0 ( )( ) () f bf a f x ba ,那么称函数( )yf x是区间a,b上的“平均值函数” , 0 x是它 的一个均值点 (1)判断函数 4 ( )f xx是否是区间 1,1上的“平均值函数” ,并说明理由; (2)若函数( )42 xx g xm 是区间0,1上的“平均值函数” ,求实数m的取值范围; (3)设函数 2 ( )

27、4(0,)h xxxNkkk是区间 2,(0,)t ttN上的“平均值函数” , 1 是函数( )h x的一个均值点,求所有满足条件的数对( , ) tk 【解答】解: (1)是; 第 12 页(共 13 页) 理由:根据新定义,可得 4 (1)( 1) 1( 1) ff x 在区间 1,1上有解, 可得0 x , 所以(1)是“平均值函数” ; (2)函数( )42 xx g xm 是区间0,1上的“平均值函数” , 可得 3 42 10 xx m m 在区间0,1上有解, 可得4230 xx mm在区间0,1上有解, 令2xt,1t,2, 则 2 30tmtm在区间1,2上有解, 令 2

28、( )3g ttmtm 0 (1) 0 (2) 0 12 2 g g m 或g(1)g (2)0, 即 2 4(3) 0 2 0 10 12 2 mm m m 此时不等式组无解; 或2 (1) 0m ; 解得1m 故实数m的取值范围(,1; (3)函数 2 ( )4(0,)h xxxNkkk是区间 2,(0,)t ttN上的“平均值函数” ,1 是函数( )h x的一个均值点, 即 2 446 3 2 tt t kk k, 可得(3)4tk, 4 3t k Nk,0k,0t ,tN, 第 13 页(共 13 页) 则 4 1 3t 解得31t, 当1t ,k不是整数, 当2t 时,可得4k, 故所有满足条件的数对(4,2)

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