1、第 1 页（共 16 页） 2020-2021 学年山东省济南市高一（上）期末数学试卷学年山东省济南市高一（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）下列集合与集合1A，3相等的是( ) A(1,3) B(1,3) C 2 |430 x xx D( , )|1x yx ， 3y 2 （5 分）命题： “ 0 xR， 2 0 10 x ”的否定为( ) AxR ， 2 1 0 x BxR ， 2
2、1 0 x CxR ， 2 10 x DxR ， 2 10 x 3 （5 分） “是锐角”是“是第一象限角”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 4 （5 分）sin20 cos10sin70 sin10( ) A 1 4 B 3 2 C 1 2 D 3 4 5 （5 分）已知( ) |f xlnx，若 1 ( ) 5 af， 1 ( ) 4 bf，cf（3） ，则( ) Aabc Bbca Ccab Dcba 6 （5 分）要得到函数cos(3) 5 yx 的图象，需将函数cos3yx的图象( ) A向左平移 15 个单位长度 B向左平移 5 个单
3、位长度 C向右平移 15 个单位长度 D向右平移 5 个单位长度 7 （5 分）我国著名数学家华罗庚先生曾说： “数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结 合百般好，隔离分家万事休 ”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也 常用函数解析式来分析函数图象的特征如函数 | | 2 sin2 x yx的图象大致是( ) 第 2 页（共 16 页） A B C D 8 （5 分）质数也叫素数，17 世纪法国数学家马林梅森曾对“21 P ” (p是素数）型素 数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“21 P ” (p是素数）形式的素数称为梅森 素数已知第 12 个梅森素数为 127 21M
4、 ，第 14 个梅森素数为 607 21N ，则下列各数 中与 N M 最接近的数为( ) （参考数据：1 20.3010)g A 140 10 B 142 10 C 141 10 D 146 10 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）若函数 2 ( )2()f xxax aZ 在区间0，1上单调递增，在区间3，
5、4上单调 递减，则a的取值为( ) A4 B3 C2 D1 10 （5 分）若0ab，则下列不等式成立的是( ) A 11 ab B 1 1 bb aa C 11 ab ba D 11 ab ab 11 （5 分）下列说法中正确的是( ) A函数sin() 2 yx 是偶函数 B存在实数，使sin cos1 第 3 页（共 16 页） C直线 8 x 是函数 5 sin(2) 4 yx 图象的一条对称轴 D若，都是第一象限角，且，则sinsin 12 （5 分）已知定义域为R的奇函数( )f x，当0 x 时， 2 1,01 ( ) 1 ,1 21 xxx f x x x ，下列说 法中正确的
6、是( ) A当 12 11 22 xx时，恒有 12 ()()f xf x B若当(0 x，m时，( )f x的最小值为 3 4 ，则m的取值范围为 1 7 , 2 6 C不存在实数k，使函数( )( )F xf xxk有 5 个不相等的零点 D若关于x的方程 3 ( ) ( )0 4 f xf xa所有实数根之和为 0，则 3 4 a 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） 2 3 1 8225 2 lglg的值为 14（5 分） 函数( )sin()(0f xAxA，0，0)的部分图象如图所示， 则() 4 f
7、的值为 15 （5 分）已知函数( )f x为定义在R上的奇函数，对任意xR都有(3)( )f xf x ，当 3 2 x ，0时，( )2f xx ，则(100)f的值为 16（5 分） 设函数( )f x的定义域为D， 如果存在正实数k， 使对任意的xD， 都有xDk， 且()( )f xf xk恒成立，则称函数( )f x为D上的“k型增函数” 已知( )f x是定义在R上 的奇函数，且当0 x 时，( ) | 2f xxaa，若( )f x为R上的“2021 型增函数” ，则实数a 的取值范围是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明
8、、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知集合 | 52Axx ， 2 |340Bx xx 第 4 页（共 16 页） （1）求AB，() R AB； （2）若 |11Cx mxm ，BC ，求实数m的取值范围 18 （12 分）在2sin3sin2， 6 cos 23 ，tan2 2这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，并解决问题 已知(0,) 2 ，(0,) 2 ， 1 cos() 4 ，_，求cos 19 （12 分）设函数 2 3 3 ( )coscos()3sin 64 f xxxx （1）求( )f x的最小正周期和单调递增区间； （2
9、）当, 12 2 x 时，求函数( )f x的最大值和最小值 20 （12 分）2020 年 11 月 5 日至 10 日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年 发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际 采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品 在消费品展区， 某企业带来了一款新型节能环保产品参展， 并决定大量投放市场已知该产品 年固定研发成本 150 万元，每生产一台需另投入 380 元设该企业一年内生产该产品x万台 且全部售完，每万台的销售收入为( )R x万元，且 2 5002 ,020 ( ) 214062
10、50 370,20 xx R x x xx （1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式； （利润销售收入成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润 21 （12 分）已知函数 3 ( )1(26) 31 x x a f xbxb 是奇函数 （1）求a，b的值； （2）证明：( )f x是区间(26, )bb上的减函数； （3）若(2)(21)0f mfm，求实数m的取值范围 22 （12 分）已知函数 2 ( )2f xmxmx （1）若( )f x的定义域为R，求实数m的取值范围； （2）设函数( )( )2g xf xx，若() 0g lnx
11、对任意的xe， 2 e恒成立，求实数m的取值 范围 第 5 页（共 16 页） 2020-2021 学年山东省济南市高一（上）期末数学试卷学年山东省济南市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）下列集合与集合1A，3相等的是( ) A(1,3) B(1,3) C 2 |430 x xx D( , )|1x yx ， 3y 【解答】解： 2 |4301
12、x xx，3， 与集合1A，3相等的是 2 |430 x xx 故选：C 2 （5 分）命题： “ 0 xR， 2 0 10 x ”的否定为( ) AxR ， 2 1 0 x BxR ， 2 1 0 x CxR ， 2 10 x DxR ， 2 10 x 【解答】解：命题： “ 0 xR， 2 0 10 x ”的否定为“xR ， 2 1 0 x ” ， 故选：B 3 （5 分） “是锐角”是“是第一象限角”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解：因为是锐角，故090 ，则一定是第一象限角， 若是第一象限角，不妨取330，则不是锐角， 所以“
13、是锐角”是“是第一象限角”的充分不必要条件 故选：A 4 （5 分）sin20 cos10sin70 sin10( ) A 1 4 B 3 2 C 1 2 D 3 4 【解答】解：sin20 cos10sin10 sin70cos70 cos10sin70 sin10 cos(7010 ) 第 6 页（共 16 页） 1 cos60 2 故选：C 5 （5 分）已知( ) |f xlnx，若 1 ( ) 5 af， 1 ( ) 4 bf，cf（3） ，则( ) Aabc Bbca Ccab Dcba 【解答】解： 11 ( ) |5 55 aflnln， 11 ( ) |4 44 bflnln
14、，cf（3）|3|3lnln， 函数ylnx在(0,)上单调递增，且345， 345lnlnln， 即cba， 故选：D 6 （5 分）要得到函数cos(3) 5 yx 的图象，需将函数cos3yx的图象( ) A向左平移 15 个单位长度 B向左平移 5 个单位长度 C向右平移 15 个单位长度 D向右平移 5 个单位长度 【解答】解：将函数cos3yx的图象，向左平移 15 个单位长度， 可得函数cos(3) 5 yx 的图象， 故选：A 7 （5 分）我国著名数学家华罗庚先生曾说： “数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结 合百般好，隔离分家万事休 ”在数学的学习和研究中，常用函数图象来
15、研究函数性质，也 常用函数解析式来分析函数图象的特征如函数 | | 2 sin2 x yx的图象大致是( ) A B 第 7 页（共 16 页） C D 【解答】 解： | | ()2sin( 2 )2 sin2( ) xx fxxxf x ， 函数为奇函数， 图象关于原点对称， 排除A，B， 当 2 x 时，( )0f x ，排除C， 故选：D 8 （5 分）质数也叫素数，17 世纪法国数学家马林梅森曾对“21 P ” (p是素数）型素 数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“21 P ” (p是素数）形式的素数称为梅森 素数已知第 12 个梅森素数为 127 21M ，第 14 个梅森素
16、数为 607 21N ，则下列各数 中与 N M 最接近的数为( ) （参考数据：1 20.3010)g A 140 10 B 142 10 C 141 10 D 146 10 【解答】解： 607 480 127 21 2 21 N M ， 令 480 2 k，两边同时取常用对数得： 480 2lglgk， 4802144.48lglgk， 144.48 10k， 与 N M 最接近的数为 146 10， 故选：D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目
17、要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）若函数 2 ( )2()f xxax aZ 在区间0，1上单调递增，在区间3，4上单调 递减，则a的取值为( ) A4 B3 C2 D1 第 8 页（共 16 页） 【解答】解：函数 2 ( )2f xxax 是开口向下，对称轴为xa的二次函数， 因为函数 2 ( )2()f xxax aZ 在区间0，1上单调递增，在区间3，4上单调递减， 所以13a剟，又a是整数， 所以a的可能取值为 1，2，3， 故选：BCD 10 （5 分）若0ab，则下列不等
18、式成立的是( ) A 11 ab B 1 1 bb aa C 11 ab ba D 11 ab ab 【解答】解：若0ab，则 11 ab ，故A正确； 1 1(1) bbba aaa a ， 由0ab， 可得0ba， 所以0 (1) ba a a ， 即 1 1 bb aa ， 故B正确； 由A可知 11 ab ba ，故C正确； 取 1 2 a ， 1 3 b ，则 15 2 a a ， 110 3 b b ，此时 11 ab ab ，故D错误 故选：ABC 11 （5 分）下列说法中正确的是( ) A函数sin() 2 yx 是偶函数 B存在实数，使sin cos1 C直线 8 x 是函
19、数 5 sin(2) 4 yx 图象的一条对称轴 D若，都是第一象限角，且，则sinsin 【解答】解：对于A：函数sin()cos 2 yxx ，故该函数是偶函数，故A正确； 对于B：由于sincos1，故sin和cos互为倒数，与 22 sincos1矛盾，故不存 在实数，使sincos1，故B错误； 对于C：当 8 x 时， 5 ()sin()1 844 f ，故C正确； 对于D：设 13 6 ， 3 ，由于，都是第一象限角，但是sinsin，故D错误； 故选：AC 12 （5 分）已知定义域为R的奇函数( )f x，当0 x 时， 2 1,01 ( ) 1 ,1 21 xxx f x
20、x x ，下列说 第 9 页（共 16 页） 法中正确的是( ) A当 12 11 22 xx时，恒有 12 ()()f xf x B若当(0 x，m时，( )f x的最小值为 3 4 ，则m的取值范围为 1 7 , 2 6 C不存在实数k，使函数( )( )F xf xxk有 5 个不相等的零点 D若关于x的方程 3 ( ) ( )0 4 f xf xa所有实数根之和为 0，则 3 4 a 【解答】解：根据定义域为R的奇函数( )f x，当0 x 时， 2 1,01 ( ) 1 ,1 21 xxx f x x x ， 如图所示： 对于A：当 12 11 22 xx时，根据函数的图象 12 (
21、)()f xf x不一定成立，故A错误； 对于B：要使( )f x的最小值为 3 4 ，令 13 214x ，解得 7 6 x ，故m的取值范围为 1 7 , 2 6 ， 故B正确； 对于C： 令( )f xx k， 故 2 1xxx k， 整理得 2 (1)10 xx k， 由于 2 (1)40k， 解得1k或3 k，故存在，故C错误； 对于 3 :( ) 4 Df x ，解得 1 2 x 或 7 6 ，根据函数的图象的对称性可得 3 4 a ，故D正确； 故选：BD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） 2 3
22、 1 8225 2 lglg的值为 5 【解答】解：原式 2 3 2 3 225215lglg 故答案为：5 第 10 页（共 16 页） 14（5 分） 函数( )sin()(0f xAxA，0，0)的部分图象如图所示， 则() 4 f 的值为 3 【解答】解：由图象得：2A，() 2362 T ， 故T，故 2 2 ， 由()2sin(2)2 33 f ， 故 2 32 ，解得： 6 ， 故( )2sin(2) 6 f xx ， 3 ( )2sin(2)2sin23 44632 f ， 故答案为：3 15 （5 分）已知函数( )f x为定义在R上的奇函数，对任意xR都有(3)( )f x
23、f x ，当 3 2 x ，0时，( )2f xx ，则(100)f的值为 2 【解答】解：根据题意，对任意xR都有(3)( )f xf x ， 则(6)(3)( )f xf xf x ， 则函数( )f x是周期为 6 的周期函数， 则(100)(46 16)fff （4）f （1）( 1)f， 当 3 2 x ，0时，( )2f xx ，则( 1)2f ， 故(100)ff（4）f （1）( 1)2f， 故答案为：2 16（5 分） 设函数( )f x的定义域为D， 如果存在正实数k， 使对任意的xD， 都有xDk， 且()( )f xf xk恒成立，则称函数( )f x为D上的“k型增函
24、数” 已知( )f x是定义在R上 的奇函数，且当0 x 时，( ) | 2f xxaa，若( )f x为R上的“2021 型增函数” ，则实数a 的取值范围是 2021 (,) 6 第 11 页（共 16 页） 【解答】解：( )f x是定义在R上的奇函数，(0)0f 设0 x ，则0 x () | 2| 2fxxaaxaa ， ( )()| 2f xfxxaa | 2 ,0 ( )0,0 | 2 ,0 xaa x f xx xaa x ， 当0 x 时，由(2021)( )f xf x， 可得|2021| 2| 2xaaxaa，化为|(2021)| |xaxa， 由绝对值的几何意义可得20
25、210aa，解得 2021 2 a ； 当0 x 时，由(2021)( )fxf x， 分为以下两类研究：当20210 x 时， 可得|2021| 2| 2xaaxaa ，化为|2021| |xaxa， 由绝对值的几何意义可得20210aa ，解得 2021 2 a 当20210 x ，|2021| 2| 2xaaxaa ， 化为|2021|20212 | 4xaxaaa， 0a时成立；当0a 时， 2021 6 a ，因此可得 2021 6 a 当0 x 时，由(2021)(0)ff可得|2021| 20aa， 当0a时成立，当0a 时， 2021 3 a 综上可知：a的取值范围是 2021
26、 (,) 6 故答案为： 2021 (,) 6 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知集合 | 52Axx ， 2 |340Bx xx （1）求AB，() R AB； （2）若 |11Cx mxm ，BC ，求实数m的取值范围 【解答】解： （1） | 52Axx ， |1Bx x 或4x ， |2ABx x或4x ， | 14 RB xx 剟，() | 12 R ABxx； 第 12 页（共 16 页） （2）BC ， 11m 或14m ，解得0m 或3m
27、， m的取值范围为：(，0)(3，) 18 （12 分）在2sin3sin2， 6 cos 23 ，tan2 2这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，并解决问题 已知(0,) 2 ，(0,) 2 ， 1 cos() 4 ，_，求cos 【解答】解：选择条件，2sin3sin2 得sin3sincos， 因为(0,) 2 ，所以sin0，可得 1 cos 3 ； 所以 22 12 2 sin1cos1( ) 33 ； 由于(0,) 2 ，(0,) 2 ，所以(0, )， 所以 22 115 sin()1cos ()1() 44 ； 所以 1115222301 coscos()cos()cos
28、sin()sin 434312 选择条件： 6 cos 23 ， 22 61 cos2cos12()1 233 ，以下解法同条件 选择条件：因为0(0,) 2 ，所以sin0，cos0； 由tan2 2，可得 22 sin 2 2 cos sincos1 ，解得 2 2 sin 3 ， 1 cos 3 ； 以下解法同条件 19 （12 分）设函数 2 3 3 ( )coscos()3sin 64 f xxxx （1）求( )f x的最小正周期和单调递增区间； （2）当, 12 2 x 时，求函数( )f x的最大值和最小值 【解答】解： （1） 2 3 3 ( )coscos()3sin 64
29、 f xxxx 第 13 页（共 16 页） 2 313 3 cos (cossin )3(1cos) 224 xxxx 2 133 sin coscos 224 xxx 13 sin2cos2 44 xx 1 sin(2) 23 x ， 所以( )f x的最小正周期是 2 2 T ， 由222 232 x k 剟k，Zk，解得 5 1212 x k 剟k，Zk， 所以函数的单调递增区间为 12 k， 5 12 k，Zk （2）当, 12 2 x 时，2 36 x ， 2 3 ， 此时 1 sin(2) 32 x ，1，可得 1 ( ) 4 f x ， 1 2 ， 综上，( )f x最大值为
30、1 2 ，最小值为 1 4 20 （12 分）2020 年 11 月 5 日至 10 日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年 发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际 采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品 在消费品展区， 某企业带来了一款新型节能环保产品参展， 并决定大量投放市场已知该产品 年固定研发成本 150 万元，每生产一台需另投入 380 元设该企业一年内生产该产品x万台 且全部售完，每万台的销售收入为( )R x万元，且 2 5002 ,020 ( ) 21406250 370,20 xx R x
31、x xx （1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式； （利润销售收入成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润 【解答】解： （1）当020 x 时，SxR( )(380150)xx 22 50023801502120150 xxxxx ， 当20 x 时，SxR( )(380150)xx 62506250 3702140380150101990 xxx xx ， 函数S的解析式为 2 2120150,&020 6250 101990,&20 xxx S xx x 第 14 页（共 16 页） （2）当020 x 时， 22 21201502(3
32、0)1650Sxxx ， 函数S在(0，20上单调递增， 当20 x 时，S取得最大值，为 1450， 当20 x 时， 62506250 101990(10)1990Sxx xx 6250 2 10199050019901490 x x ， 当且仅当 6250 10 x x ，即25x 时，等号成立，此时S取得最大值，为 1490， 14901450， 当年产量为 25 万台时，该企业获得的利润最大，最大利润为 1490 万元 21 （12 分）已知函数 3 ( )1(26) 31 x x a f xbxb 是奇函数 （1）求a，b的值； （2）证明：( )f x是区间(26, )bb上的减
33、函数； （3）若(2)(21)0f mfm，求实数m的取值范围 【解答】 （1）解：函数 3 ( )1(26) 31 x x a f xbxb 是奇函数， 所以()( )fxf x 恒成立，即 33 11 1 3131 xx xx aa ， 整理得(2)(31)0 x a ， 所以2a ， 因为60bb，解得2b ， 所以2a ，2b （2）证明：由（1）得 2 3 ( )1 31 x x f x ，( 2,2)x ， 设任意 1 x， 2 ( 2,2)x ，且 12 xx， 则 1221 1212 12 2 32 32(33 ) ( )()(1)(1) 3131(31)(31) xxxx x
34、xxx f xf x ， 因为 12 xx，所以 12 33 xx ，所以 21 330 xx ， 而 1 310 x ， 2 310 x ， 所以 21 12 2(33 ) 0 (31)(31) xx xx ， 第 15 页（共 16 页） 所以 12 ()()0f xf x，即 12 ()()f xf x， 所以( )f x是区间(26, )bb上的减函数 （3）解：(2)(21)0f mfm，所以(2)(21)f mfm ， 因为函数( )f x是奇函数，所以(2)( 21)f mfm， 因为函数( )f x是区间( 2,2)上的减函数， 所以 221 222 2212 mm m m ，
35、解得 1 0 3 m， 所以实数m的取值范围是 1 (0, ) 3 22 （12 分）已知函数 2 ( )2f xmxmx （1）若( )f x的定义域为R，求实数m的取值范围； （2）设函数( )( )2g xf xx，若() 0g lnx 对任意的xe， 2 e恒成立，求实数m的取值 范围 【解答】解： （1）函数( )f x的定义域为R，即 2 2 0mxmx 在R上恒成立， 当0m 时，2 0恒成立，符合题意， 当0m 时， 0 0 m 即 2 0 80 m mm 得08m， 综上，实数m的取值范围是0，8 （2）因为 2 ( )( )222g xf xxmxmxx， 所以() 0g
36、lnx 对任意的xe， 2 e恒成立等价于 22 0()2 2()m lnxmlnxlnx剟在xe， 2 e 恒成立， 即 2 22 ()2 0 (*) ()2 2() m lnxmlnx m lnxmlnxlnx 在xe， 2 e恒成立， 设tlnx，因为xe， 2 e，所以1t，2， 不等式组(*)化为 2 22 ()2 0 ()2 2 m tt m ttt ，1t，2时， 2 0tt （当且仅当1t 时取等号） ， ( ) i当1t 时，不等式组成立， 第 16 页（共 16 页） ( )ii当(1t，2时， 2 22 ()2 0 ()2 2 m tt m ttt ，所以 2 2 2 2 22 m tt t m tt 恒成立， 因为 2 2 22 1 11 () 24 tt t ，所以1m， 因为 2 2 222(1)2 2 tt tttt 在(1t，2上单调递减，所以 2 23 2 m， 综上，实数m的取值范围时 1，3
