1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）已知集合 |0Ax x，| 22BxZx ，那么(AB ) A0，1 B |02xx C 1，0 D0，1，2 2 （4 分）在等差数列 n a中，若 1 1a ， 24 10aa，则 20 (a ) A35 B37 C39 D41 3 （4 分）某几何体的三视图如
2、图所示，则该几何体的表面积等于( ) A82 2 B112 2 C112 5 D142 2 4 （4 分）若函数 2, 0 ( ) 2 ,0 x xx f x x ，则函数( )f x的值域为( ) A0，1) B(，0 C(，0)(0，1) D(,1) 5 （4 分）若关于x，y的方程组 4210( ) 210 xy aR xay 无解，则(a ) A2 B2 C1 D 2 2 6 （4 分）下列函数中，同时满足对于定义域内的任意x，都有()( )fxf x ；存在区 间D，( )f x在区间D上单调递减的函数是( ) Asinyx B 3 yx C 2 1 1 y x Dylnx 7 （4
3、 分）已知 n a是等比数列， n S为其前n项和，那么“ 1 0a ”是“数列 n S为递增数 列”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 第 2 页（共 19 页） C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8 （4 分）某校实行选科走班制度（语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化 学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科） 根据学生选科情况，该校计划利用三天请 专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科语文、数学、 英语只排在第二节；物理、政治排在同一天，化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一 天，则不同的排课方案的种数为( ) A36 B48
4、 C144 D288 9 （4 分）在平面直角坐标系中，A，B是直线xym上的两点，且| 10AB 若对于 任意点(cosP，sin )(02 )，存在A，B使90APB成立，则m的最大值为( ) A2 2 B4 C4 2 D8 10 （4 分）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒出于 对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过 0.25 毫克/立方米时， 顾客方可进入商场已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为 10 0.1 ,010 ( 1 ( ),10 2 t a tt ya t 剟 为常数）
5、，函数图象如图所示如果商场规 定10:00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是( ) A9:40 B9:30 C9:20 D9:10 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）在复平面内，复数()zi ai对应的点在直线0 xy上，则实数a 12 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为 1 2 yx，那么该双曲线 的离心率为 13 （5 分） 已知正六边形ABCDEF的边长为 1， 那么AB AF ； 若A DxA ByA F， 第 3 页（共 19 页） 则xy 14 （5
6、 分）函数( )sin(2) 3 f xx 的最小正周期T ，将函数( )f x的图象向左平移 (0) 个单位长度，得到函数( )g x的图象若函数( )( )yf xg x的最大值为 2，则的 值可以为 15 （5 分）对于平面直角坐标系内的任意两点 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，定义它们之间的一 种 “距离” 为 2121 | |PQxxyy 已知不同三点A，B，C满足| |ACCBAB， 给出下列四个结论： A，B，C三点可能共线； A，B，C三点可能构成锐角三角形； A，B，C三点可能构成直角三角形； A，B，C三点可能构成钝角三角形 其中所有正确结论的序号是
7、三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 （13 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 ABB A和 11 BCC B都是正方形，平面 11 ABB A 平面 11 BCC B，D，E分别为 1 BB，AC的中点 （）求证：/ /BE平面 1 ACD； （）求直线 1 B E与平面 1 ACD所成角的正弦值 17 （13 分）在ABC中，已知5b ， 9 cos 16 B ，再从条件、条件这两个条件中选择 一个作为已知 （）求sin A； （）求ABC的面积 条件： 1
8、 cos 8 C ；条件：4a 18 （14 分）全社会厉行勤俭节约，反对餐饮浪费某市为了解居民外出就餐有剩余时是否 第 4 页（共 19 页） 打包，进行了一项“舌尖上的浪费”的调查，对该市的居民进行简单随机抽样，将获得的数 据按不同年龄段整理如表： 男性 女性 打包 不打包 打包 不打包 第 1 段 250 650 450 650 第 2 段 300 600 550 550 第 3 段 600 400 750 250 第 4 段 850 350 650 150 假设所有居民外出就餐有剩余时是否打包相互独立 （） 分别估计该市男性居民外出就餐有剩余时打包的概率， 该市女性居民外出就餐有剩余
9、时打包的概率； （）从该市男性居民中随机抽取 1 人，女性居民中随机抽取 1 人，记这 2 人中恰有X人 外出就餐有剩余时打包，求X的分布列； （） 假设每年龄段居民外出就餐有剩余时打包的概率与表格中该段居民外出就餐有剩余时 打包的频率相等，用“1 k ”表示第k段居民外出就餐有剩余时打包， “0 k ”表示第k 段居民外出就餐有剩余时不打包(1k，2，3，4)，写出方差 1 D， 2 D， 3 D， 4 D的大 小关系 （只需写出结论） 19 （15 分）已知函数( )()() x f xxa e aR （）当1a 时，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）如果函数(
10、)f x在区间(0,1)上有极值，且( )0f xa 对于0 x，1恒成立，求a的取 值范围 20 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Wab ab 过(0,2)A，( 3, 1)B 两点 （）求椭圆W的方程； （）直线AB与x轴交于点( ,0)M m，过点M作不垂直于坐标轴且与AB不重合的直线l， l与椭圆W交于C，D两点，直线AC，BD分别交直线xm于P，Q两点，求证：| | | PM MQ 为定值 21 （15 分）已知 n a是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为 n A，最小值 第 5 页（共 19 页） 记为 n B，令 n n n A b B （）若2
11、 (1 n an n，2，3，)，写出 1 b， 2 b， 3 b的值； （）证明： 1 (1 nn bb n ，2，3，)； （）若 n b是等比数列，证明：存在正整数 0 n，当 0 n n时， n a， 1n a ， 2n a ，是等比 数列 第 6 页（共 19 页） 2020-2021 学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的
12、一项。 1 （4 分）已知集合 |0Ax x，| 22BxZx ，那么(AB ) A0，1 B |02xx C 1，0 D0，1，2 【解答】解： |0Ax x， 1B ，0，1， 0AB，1 故选：A 2 （4 分）在等差数列 n a中，若 1 1a ， 24 10aa，则 20 (a ) A35 B37 C39 D41 【解答】解：在等差数列 n a中，若 1 1a ， 24 10aa， 11310dd ， 解得2d ， 20 1 19239a 故选：C 3 （4 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( ) A82 2 B112 2 C112 5 D142 2 【解答】解：
13、根据三视图转换为直观图为：该几何体为四棱柱体 如图所示： 第 7 页（共 19 页） 所以 1 2121222 12 122112 2 2 S 表 故选：B 4 （4 分）若函数 2, 0 ( ) 2 ,0 x xx f x x ，则函数( )f x的值域为( ) A0，1) B(，0 C(，0)(0，1) D(,1) 【解答】解：0 x时， 2 0 x；0 x 时，021 x ， ( )f x的值域为：(,1) 故选：D 5 （4 分）若关于x，y的方程组 4210( ) 210 xy aR xay 无解，则(a ) A2 B2 C1 D 2 2 【解答】解：关于x，y的方程组 4210(
14、) 210 xy aR xay 无解， 直线4210 xy 与直线210 xay 平行， 21 421 a ， 解得1a 故选：C 6 （4 分）下列函数中，同时满足对于定义域内的任意x，都有()( )fxf x ；存在区 间D，( )f x在区间D上单调递减的函数是( ) Asinyx B 3 yx C 2 1 1 y x Dylnx 【解答】解：对于A，sinyx为奇函数，满足，且在区间( 2 ，)上单调递减，满足， 故A符合题意； 第 8 页（共 19 页） 对于B， 3 yx为奇函数，满足，但在R上单调递增，不满足，故B不符合题意； 对于C， 2 1 1 y x 为偶函数，不满足，故C
15、不符合题意； 对于D，ylnx为非奇非偶函数，不满足，故D不符合题意 故选：A 7 （4 分）已知 n a是等比数列， n S为其前n项和，那么“ 1 0a ”是“数列 n S为递增数 列”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：当 1 0a 时，若0q ，因为若0 n a 则 1 0 n a ，即 1nn SS ， 显然 n S不是递增函数； 若数列 n S为递增数列，则 1 0 nn SS ， 1 0 nn SS ，即0 n a ， 1 0 n a ， 所以 1 0 n n a q a ，而 1 1 0 n n a a q ，
16、所以“ 1 0a ”是“数列 n S为递增数列”的必要不充分条件 故选：B 8 （4 分）某校实行选科走班制度（语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化 学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科） 根据学生选科情况，该校计划利用三天请 专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科语文、数学、 英语只排在第二节；物理、政治排在同一天，化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一 天，则不同的排课方案的种数为( ) A36 B48 C144 D288 【解答】解：根据题意，对于 6 门小科，将物理、政治看成一组，将化学、地理看成一组， 将生物、历史看成一组， 分 3 步进
17、行分析： 在语文、数学、英语中任选 1 节，安排在第一天的第二节，在三组小科中任选 1 组，安排 在第一天的其他两节，有33218 种选， 在剩下的两门主科中任选 1 节，安排在第二天的第二节，在剩下的 2 组小科中任选 1 组， 安排在第二天的其他两节，有2228种选， 将最后的一门主科安排在第三天的第二节， 最后的一组小科安排在第三天的其他两节， 有 2 种情况， 第 9 页（共 19 页） 则有1882288 种排课方法， 故选：D 9 （4 分）在平面直角坐标系中，A，B是直线xym上的两点，且| 10AB 若对于 任意点(cosP，sin )(02 )，存在A，B使90APB成立，则
18、m的最大值为( ) A2 2 B4 C4 2 D8 【解答】解：由已知可得点(cosP，sin )(02 )在单位圆 22 :1O xy上， 因为90APB，所以点P在以AB为直径的圆上， 因为| 10AB 所以半径为 5， 所以点P到AB中点C的距离为 5， 所以圆O上任意点P，总能找到一点C，使| 5CP ，且点C在直线xym上， 当0 x 时，ym，所以m为直线xym在y轴上的截距，m最大，即直线xym的 截距最大，直线越往上， 因为对于任意点(cosP，sin )(02 )，存在A，B使90APB成立， 所以圆O上的点到直线xym的最大距离不能超过 5， 而圆O上的点到直线xym的最大
19、距离为圆心O到直线xym的距离d加圆O的半 径 1， 即1 5d ，4d，所以 | 4 2 m ， 所以4 2m，所以m的最大值为4 2 故选：C 10 （4 分）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒出于 对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过 0.25 毫克/立方米时， 顾客方可进入商场已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为 10 0.1 ,010 ( 1 ( ),10 2 t a tt ya t 剟 为常数） ，函数图象如图所示如果商场规 定10:00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间
20、最迟是( ) 第 10 页（共 19 页） A9:40 B9:30 C9:20 D9:10 【解答】解：由图象可知，当10t 时，1y ， 10 10 1 ( )1 2 a ，解得1a ， 1 10 0.1 ,010 1 ( ),10 2 t tt y t 剟 ， 令 1 10 1 ( )0.25 2 t ，得：1 2 10 t ， 解得30t， 所以开始喷洒药物的时间最迟是 9 点 30 分， 故选：B 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）在复平面内，复数()zi ai对应的点在直线0 xy上，则实数a 1 【解答】解：在
21、复平面内，复数()1zi aiai 对应的点( 1, )a在直线0 xy上， 10a ，解得1a 故答案为：1 12 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为 1 2 yx，那么该双曲线 的离心率为 5 2 【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为 b yx a ， 故可得 1 2 b a ，即 22 4ab，又 222 abc， 故 2 22 4 a ac， 2 2 5 4 c a ，解得 5 2 c e a 故答案为： 5 2 第 11 页（共 19 页） 13（5 分） 已知正六边形ABCDEF的边长为 1， 那么AB AF 1 2 ； 若A
22、 D x A B y A F， 则xy 【解答】解：如图，120BAF，1ABAF， 1 |cos120 2 AB AFABAF ， 又2()22ADABAFABAFxAByAF， 根据平面向量基本定理，2x ，2y ， 4xy 故答案为： 1 ,4 2 14 （5 分）函数( )sin(2) 3 f xx 的最小正周期T ，将函数( )f x的图象向左平移 (0) 个单位长度，得到函数( )g x的图象若函数( )( )yf xg x的最大值为 2，则的 值可以为 【解答】解：函数( )sin(2) 3 f xx 的最小正周期 2 2 T ， 将函数( )f x的图象向左平移(0) 个单位长
23、度， 得到函数( )sin(22) 3 g xx 的图象 若函数( )( )sin(2)sin(22) 33 yf xg xxx 的最大值为 2， 则当sin(2)1 3 x 时，sin(22)1 3 x ， 则2(21)k，Zk 令1k，可得 2 ， 故答案为：； 2 15 （5 分）对于平面直角坐标系内的任意两点 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，定义它们之间的一 第 12 页（共 19 页） 种 “距离” 为 2121 | |PQxxyy 已知不同三点A，B，C满足| |ACCBAB， 给出下列四个结论： A，B，C三点可能共线； A，B，C三点可能构成锐角三角形；
24、A，B，C三点可能构成直角三角形； A，B，C三点可能构成钝角三角形 其中所有正确结论的序号是 【解答】解：不妨设(0,0)C，(1,0)A，B 1 (x， 1) y，则| 1AC ， 11 | |CBxy， 11 | |1|ABxy， 当 1 0y ， 1 1x 时，此时A，B，C三点共线， 1 |1 |ACCBxAB 成立，故正 确； 由| |ACCBAB，可知 11 1 | |1|xx， 当 1 0 x ， 1 0y 时 11 1 | |1|xx成立，此时ABC为直径三角形，故正确； 当 1 0 x 时，无解，故错； 当 1 0 x 时，此时BCA为钝角，且 11 1 | |1|xx成立
25、，故正确 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 （13 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 ABB A和 11 BCC B都是正方形，平面 11 ABB A 平面 11 BCC B，D，E分别为 1 BB，AC的中点 （）求证：/ /BE平面 1 ACD； （）求直线 1 B E与平面 1 ACD所成角的正弦值 【解答】 （）证明：取 1 AC中点F，连接DF，EF， 在 1 AAC中，E，F分别是AC， 1 AC的中点， 所以 1 / /EFAA，
26、1 1 2 EFAA 第 13 页（共 19 页） 在三棱柱 111 ABCABC中， 四边形 11 AAB B为正方形，D为 1 BB中点， 所以 1 / /BDAA， 1 1 2 BDAA 所以/ /BDEF，BDEF 所以四边形BEFD为平行四边形 所以/ /BEDF 因为DF 平面 1 ACD，BE 平面 1 ACD， 所以/ /BE平面 1 ACD （）解：因为平面 11 ABB A 平面 11 BCC B，平面 11 ABB A平面 111 BCC BBB，AB 平面 11 ABB A， 正方形 11 ABB A中 1 ABBB， 所以AB 平面 11 BCC B 所以ABBC 正
27、方形 11 BCC B中 1 BCBB 如图建立平面直角坐标系Bxyz 不妨设 1 2ABBCBB，则(0B，0，0)，(0A，0，2)，(2C，0，0)， 1(0 B，2，0)， 1(0 A，2，2)，(0D，1，0)，(1E，0，1) 所以 1 (1, 2,1)B E ， 1 (0,1,2)DA ，(2, 1,0)DC 设平面 1 ACD的法向量(mx，y，) z，则 1 0 0 DA m DC m ，即 20 20 yz xy 令1x ，则2y ，1z 于是(1m ，2，1) 设直线 1 B E与平面 1 ACD所成的角为， 第 14 页（共 19 页） 所以 1 1 1 |2 sin|
28、cos,| 3| B E m B E m B Em 所以直线 1 B E与平面 1 ACD所成角的正弦值为 2 3 17 （13 分）在ABC中，已知5b ， 9 cos 16 B ，再从条件、条件这两个条件中选择 一个作为已知 （）求sin A； （）求ABC的面积 条件： 1 cos 8 C ；条件：4a 【解答】解：若选择条件： （）因为 91 cos,cos, ,(0, ) 168 BCB C， 所以 5 73 7 sin,sin 168 BC 所以 5 7193 77 sin()sincoscossin 1681684 BCBCBC 所以 7 sinsin() 4 ABC （）由正弦
29、定理得sin4 sin b aA B 所以 113 715 7 sin4 5 2284 ABC SabC 若选择条件： （）由 9 cos,(0, ) 16 BB，可得 5 7 sin 16 B 由正弦定理得 7 sinsin 4 a AB b （）由余弦定理 222 2cosbacacB，得 2 9 251624 16 cc 即 2 29180cc，解得6c ， 3 ( 2 c 舍） 第 15 页（共 19 页） 所以 115 715 7 sin46 22164 ABC SacB 18 （14 分）全社会厉行勤俭节约，反对餐饮浪费某市为了解居民外出就餐有剩余时是否 打包，进行了一项“舌尖上的
30、浪费”的调查，对该市的居民进行简单随机抽样，将获得的数 据按不同年龄段整理如表： 男性 女性 打包 不打包 打包 不打包 第 1 段 250 650 450 650 第 2 段 300 600 550 550 第 3 段 600 400 750 250 第 4 段 850 350 650 150 假设所有居民外出就餐有剩余时是否打包相互独立 （） 分别估计该市男性居民外出就餐有剩余时打包的概率， 该市女性居民外出就餐有剩余 时打包的概率； （）从该市男性居民中随机抽取 1 人，女性居民中随机抽取 1 人，记这 2 人中恰有X人 外出就餐有剩余时打包，求X的分布列； （） 假设每年龄段居民外出就
31、餐有剩余时打包的概率与表格中该段居民外出就餐有剩余时 打包的频率相等，用“1 k ”表示第k段居民外出就餐有剩余时打包， “0 k ”表示第k 段居民外出就餐有剩余时不打包(1k，2，3，4)，写出方差 1 D， 2 D， 3 D， 4 D的大 小关系 （只需写出结论） 【解答】 （）解：设该市男性居民外出就餐有剩余时打包为事件A；设该市女性居民外出 就餐有剩余时打包为事件B 男性居民外出就餐有剩余时打包的有2503006008502000人，男性居民外出就餐有 剩余时不打包的有6506004003502000人，被调查的男性居民有200020004000 人， 所以 20001 ( ) 40
32、002 P A 女性居民外出就餐有剩余时打包的有4505507506502400人，女性居民外出就餐有 剩余时不打包的有6505502501501600人，被调查的女性居民有240016004000 人， 第 16 页（共 19 页） 所以 24003 ( ) 40005 P B （）解：X的所有可能取值为 0，1，2 由题设知，事件A与B相互独立，且 1 ( ) 2 P A ， 2 ( ) 5 P B 所以 121 (0)()()() 255 PXPABPAPB， 12131 (1)()( ) ( )( ) ( ) 25252 P XP ABABP A P BP A P B， 133 (2)
33、()( ) ( ) 2510 P XP ABP A P B 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 1 5 1 2 3 10 （）解： 4312 DDDD 19 （15 分）已知函数( )()() x f xxa e aR （）当1a 时，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）如果函数( )f x在区间(0,1)上有极值，且( )0f xa 对于0 x，1恒成立，求a的取 值范围 【解答】解： （）当1a 时，因为( )(1) x f xxe， 所以( ) x fxxe 因为f（1）0， f （1）e， 所以曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为(1)ye x
34、， 即0exye （）因为( )(1) x fxxae，函数( )f x在区间(0,1)上有极值， 所以011a 所以12a 当x变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表： x 0 (0,1)a 1a (1,1)a 1 ( )fx 0 第 17 页（共 19 页） ( )f x a (1)f a (1)a e 因为( )0f xa 对于0 x，1恒成立， 所以(0)0fa ，且f（1）0a 所以(1)0a ea ，即 1 e a e 因为12a， 所以2 1 e a e 20 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Wab ab 过(0,2)A，( 3, 1)B 两点 （）
35、求椭圆W的方程； （）直线AB与x轴交于点( ,0)M m，过点M作不垂直于坐标轴且与AB不重合的直线l， l与椭圆W交于C，D两点，直线AC，BD分别交直线xm于P，Q两点，求证：| | | PM MQ 为定值 【解答】解： （）由椭圆 22 22 :1(0) xy Wab ab 过(0,2)A，( 3, 1)B 两点，得2b ， 2 91 1 4a ， 所以 2 12a 所以椭圆W的方程为 22 1 124 xy （）(0,2)A，( 3, 1)B ， 直线AB的方程为：2yx， 令0y 得：2m ， 设直线l的方程为(2)(0yxkk，1)k， 由 22 (2), 1 124 yx xy
36、 k 得 2222 (13)1212120 xxkkk， 且0， 设 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2) y，则 22 1212 22 121212 , 1313 xxx x kk kk ， 记直线AC的方程为 1 1 2 2 y yx x ， 令2x ，得P点的纵坐标 1 1 (22 )(2) P x y x k ， 第 18 页（共 19 页） 记直线BD的方程为 2 2 1 1(3) 3 y yx x ， 令2x ，得Q点的纵坐标 2 2 (1)(2) 3 Q x y x k ， 1 121 2 21 2 22 1 22 12121 2 121 1 2 22 1 22 1
37、(22 )(2) 2(3)(2)| | | | (1)(2) |(2) 3 121212 24122 24()122 1313 | | 12122 2 13 12122(13) | 1. 12122(13) P Q x yxxxPM x MQyxx x x x xxxx x xx x x x k k kk kk k k kk kk 所以 | | PM MQ 为定值 1 21 （15 分）已知 n a是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为 n A，最小值 记为 n B，令 n n n A b B （）若2 (1 n an n，2，3，)，写出 1 b， 2 b， 3 b的值； （）证
38、明： 1 (1 nn bb n ，2，3，)； （）若 n b是等比数列，证明：存在正整数 0 n，当 0 n n时， n a， 1n a ， 2n a ，是等比 数列 【解答】解： （）2 n an，2 n An，2 n B ， n n n A bn B 1 1b ， 2 2b ， 3 3b （）证明：由题意知 1 0 nn AA ， 1 0 nn BB ， 所以 11nnnn ABA B 所以 1 1 nn nn AA BB ，即 1nn bb （）证明：由题意知 11 1 11 1 Aa b Ba ，及 1nn bb ， 当 1nn bb 时，得1 n b ，即1 n n A B 所以 nn AB 所以 1n aa 即 n a为公比等于 1 的等比数列 第 19 页（共 19 页） 当 1nn bb 时，令 1 t amin a， 2 a， n a，则() mt Ba m t 当n t时， 显然 1nn AA 若 1nn aA ，则 1nn AA ，与 1nn AA 矛盾， 所以 1nnn aAa ，即 11nn Aa 取 0 1nt ，当 0 n n时， nn n nt Aa b Ba ，显然 n a， 1n a ， 2n a ，是等比数列 综上，存在正整数 0 n，使得 0 n n时， n a， 1n a ， 2n a ，是等比数列
