1、第 1 页（共 16 页） 2020-2021 学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）命题:pxR ， 1 2( )2 2 xx ，则p为( ) AxR ， 1 22 2 x x BxR ， 1 22 2 x x CxR ， 1 22 2 x x DxR ， 1 22 2 x x 2 （5 分）设2 (2)Ma a，(
2、1)(3)Naa，则M，N的大小关系为( ) AMN BMN CMN D无法确定 3 （5 分）已知双曲线C与抛物线 2 8xy有共同的焦点F，且点F到双曲线C的渐近线的 距离等于 1，则双曲线C的方程为( ) A 2 2 1 3 y x B 2 2 1 3 x y C 2 2 1 5 y x D 2 2 1 5 x y 4 （5 分）已知非零实数a，b，c满足abc，则( ) Aabbc B 111 abc C2abc Dabac 5 （5 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，P为侧面 11 ADD A的中心，Q为侧面 11 DCC D的中心，则直线PB与 1 QA所成
3、角的余弦值为( ) A 6 6 B 6 6 C 1 6 D 1 6 6 （5 分）已知x，y满足约束条件 2, 2, 3 0 x yzyx xy ，则( maxnin zz ) A1 B0 C1 D2 7 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 32 35aa， 10 100S，则公差(d ) A1 B0 C1 D2 8 （5 分）已知: 22pxy剟且22xy剟， 22 :2q xy，则p是q的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9 （5 分）如果1a ，1b ，且9ab ，那么 33 loglog(ab ) 第 2 页（共 1
4、6 页） A有最小值 1 2 B有最小值 1 C有最大值 1 2 D有最大值 1 10 （5 分）数列 n a满足 1 2a ， 1( 2) 2 nn n aa a ，则满足 12231 2021 1009 nn a aa aa a 的 最小正整数n为( ) A1 B2 C3 D4 11 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为e，过 2 F的直线与椭圆交于M，N两点， 若 1 FMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形， 则(e ) A23 B32 C62 D63 12 （5 分）在ABC中，若 2 2sincos1AB，则
5、8 cos ABBC BCAAC 的取值范围为( ) A4 3,8) B4 3,7) C(7,8) D(0,4 3) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13（5 分） 已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C的对边， 若 222 sinsinsinABC， 则ABC为 三角形（填锐角、钝角、直角） 14 （5 分）已知单调递增的等比数列 n a， 24 212aa， 3 4a ，则数列 2 log n a的前 9 项和 9 S 15 （5 分）已知四个命题： “若2ab ，则a，b中至少有一个不小于 1”的逆命题； A
6、BC中，AB是sinsinAB的充分必要条件； “若空间两条直线不相交，则这两条直线平行”的逆否命题； 若直线l 平面，直线m 平面，则ml 则上述命题中所有真命题的序号是 16 （5 分）定长为 4 的线段AB的两个端点在抛物线 2 yx上移动，设AB的中点为M，则 点M到y轴的最短距离为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤. 17 已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C的对边， 且sincossin(2cos )ABBA （1）求证：2cb； 第
7、 3 页（共 16 页） （2）若3bca，求A 18 已知p：函数(2)1ymx在R上单调递增；:qxR ， 22 (1)0 xmxmm若 pq为真，pq为假，求m的取值范围 19如图，某工厂欲将一块边长为40m的等边三角形ABC区域用一条公共通道DE分成面 积相等的两个办公区域，点D，E分别在AB，AC上，设ADx （公共通道DE所占面 积忽略不计） （1）令AEy，求y关于x的函数关系式并写出定义域； （2）若公共通道DE每米造价 2000 元，请你做一下预算，求出该通道造价最大值利最小值 及对应的x值 20在三棱柱 111 ABCABC中， 11 BC 平面 11 AAC C，D为 1
8、 AA的中点，ACD是边长为 1 的等边三角形 （1）证明： 1 ACAB； （2）若3BC ，求二面角 11 BC DB的大小 21已知数列 n a中， 1 1a ， 1 1 nn Sa ，数列 n b中， 1 1b ， 1 (2) 1 nn bb n nn （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）若数列 nnn cab，求数列 n c的前n项和 n T，并求使得 2 1 (5 ) 6 n Tmm恒成立的最大 正整数m的值 第 4 页（共 16 页） 22已知点(2,0)A ，( 2,0)B，动点( , )M x y满足直线AM，BM的斜率之积为 1 2 （1）求动点( , )M x
9、y的轨迹方程C，并说明C是什么曲线； （2）已知点(1,0)F， 2 (1,) 2 P，直线l与过原点和P点的直线m平行且与曲线C相交于两 点M，(N M，N位于直线PF的两侧） ，求证：MPFNPF 第 5 页（共 16 页） 2020-2021 学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5
10、 分）命题:pxR ， 1 2( )2 2 xx ，则p为( ) AxR ， 1 22 2 x x BxR ， 1 22 2 x x CxR ， 1 22 2 x x DxR ， 1 22 2 x x 【解答】解：原命题“xR ， 1 22 2 x x ” 命题“xR ， 1 22 2 x x ”的否定是： xR ， 1 22 2 x x 故选：B 2 （5 分）设2 (2)Ma a，(1)(3)Naa，则M，N的大小关系为( ) AMN BMN CMN D无法确定 【解答】解：2 (2)(1)(3)MNa aaa 2 23aa 2 (1)20a， 则MN 故选：B 3 （5 分）已知双曲线C
11、与抛物线 2 8xy有共同的焦点F，且点F到双曲线C的渐近线的 距离等于 1，则双曲线C的方程为( ) A 2 2 1 3 y x B 2 2 1 3 x y C 2 2 1 5 y x D 2 2 1 5 x y 【解答】解：由题意知，(0,2)F， 可设双曲线C的方程为 22 22 1(0,0) yx ab ab ，则渐近线方程为 a yx b ， 因为点F到双曲线C的渐近线的距离等于 1， 所以 2 |2| 1 ( )1 a b ，即3 a b ， 第 6 页（共 16 页） 又 222 4abc， 所以3a ，1b ， 所以双曲线C的方程为 2 2 1 3 y x 故选：A 4 （5
12、分）已知非零实数a，b，c满足abc，则( ) Aabbc B 111 abc C2abc Dabac 【解答】解：对于A：当3a ，2b ，3c 时，选项A错误； 对于B：当3a ，2b ，0c 时， 1 c 无意义，故B错误； 对于C：由于abc，所以2abccc，故C正确； 对于D：当0a 时，abac，故D错误； 故选：C 5 （5 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，P为侧面 11 ADD A的中心，Q为侧面 11 DCC D的中心，则直线PB与 1 QA所成角的余弦值为( ) A 6 6 B 6 6 C 1 6 D 1 6 【解答】解：以D为坐标原点，DA，D
13、C， 1 DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直 角坐标系， 则有(1P，0，1)，(2B，2，0)， 1(2 A，0，2)，(0Q，1，1)， 所以 1 (1,2, 1),(2, 1,1)PBQA， 所以 1 1 1 2211 cos, 6|66 BP QA BP QA BP QA ， 又线线角的范围是0， 2 ， 所以直线PB与 1 QA所成角的余弦值为 1 6 故选：D 第 7 页（共 16 页） 6 （5 分）已知x，y满足约束条件 2, 2, 3 0 x yzyx xy ，则( maxnin zz ) A1 B0 C1 D2 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立方程组解得，
14、(2,1)A，(1,2)B， 化目标函数zyx为yxz， 由图可知，当直线yxz过A时，z有最小值1，过B时，z有最大值 1 则0 maxnin zz 故选：B 7 （5 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 32 35aa， 10 100S，则公差(d ) A1 B0 C1 D2 【解答】解：等差数列 n a的前n项和为 n S，且 32 35aa， 10 100S， 11 1 3(2 )5() 10 9 10100 2 adad ad ， 解得 1 1a ，公差2d 故选：D 8 （5 分）已知: 22pxy剟且22xy剟， 22 :2q xy，则p是q的( ) 第 8 页（共
15、 16 页） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：: 22pxy剟且22xy剟，可得：22x 剟，22y 剟 22 :2q xy，可得：22x剟，22y剟 由qp，由p无法得出q p是q的必要不充分条件 故选：B 9 （5 分）如果1a ，1b ，且9ab ，那么 33 loglog(ab ) A有最小值 1 2 B有最小值 1 C有最大值 1 2 D有最大值 1 【解答】解：1a ，1b ，且9ab ， 233 3333 11 loglogloglog() 222 log alog b abab 22 33 ()91 882 log abl
16、og ，当且仅当3ab时取等号 33 loglogab有最大值 1 2 故选：C 10 （5 分）数列 n a满足 1 2a ， 1( 2) 2 nn n aa a ，则满足 12231 2021 1009 nn a aa aa a 的 最小正整数n为( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：由 1( 2) 2 nn n aa a ，可得 1 111 2 nn aa ， 所以数列 1 n a 是首项为 1 11 2a ，公差为 1 2 的等差数列， 所以 1111 (1) 222 n nn a ， 所以 2 n a n ， 所以 1 2211 4() 11 nn a a nnnn ， 所以
17、12231 11111111 4(1)4(1) 223111 nn a aa aa a nnnnn ， 所以 12021 4(1) 11009n ，解得 2021 2015 n ， 所以最小正整数n为 2 第 9 页（共 16 页） 故选：B 11 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为e，过 2 F的直线与椭圆交于M，N两点， 若 1 FMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形， 则(e ) A23 B32 C62 D63 【解答】解：由题意可设 1 MFm，则MNm， 2 2MFam， 2 22NFma， 1 42NFam
18、，又因为 1 FMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形，所以 1 2NFm， 422amm，解得(42 2)ma， 又因 12 MFF也为直角三角形， 222 12 (2 )MFMFC，代入得， 222 (2)4mamc， 将代入，解得63e ， 故选：D 12 （5 分）在ABC中，若 2 2sincos1AB，则 8 cos ABBC BCAAC 的取值范围为( ) A4 3,8) B4 3,7) C(7,8) D(0,4 3) 【解答】解：因为 2 2sincos1AB，所以 2 cos12sincos2BAA ， 因为A、(0, )B，所以2BA， 则 222 88sin8sinsinc
19、oscossin8sinsincos22sin8sincos224433 4cos coscossincossinsincossinsincos2sincoscoscoscoscos ABBCcaCAABABAAAAcos AAAcos Acos A A BCAACaAbAABAABAAAAAAAA ， 因为02BA，03CA，所以0 3 A ， 故 1 cos(2A，1)， 设cos At，则 1 (2t，1)， 所以 83 4 cos ABBC t BCAACt ，设 3 ( )4f tt t ， 1 (2t，1)， 则 2 3 ( )4f t t ，令( )0f t，可得 3 2 t ，
20、 所以( )f t在 1 ( 2 ， 3) 2 单调递减，在 3 ( 2 ，1)单调递增， 第 10 页（共 16 页） 由于 1 ( )8 2 f， 3 ()4 3 2 f，f（1）7， 可得( )4 3f t ，8)， 所以 8 cos ABBC BCAAC 的取值范围为4 3，8) 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13（5 分） 已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C的对边， 若 222 sinsinsinABC， 则ABC为 钝角 三角形（填锐角、钝角、直角） 【解答】解：因为 222 sinsi
21、nsinABC， 由正弦定理可得 222 abc，即 222 0bca， 所以由余弦定理可得 222 cos0 2 bca A bc ， 由(0, )A，可得A为钝角 故答案为：钝角 14 （5 分）已知单调递增的等比数列 n a， 24 212aa， 3 4a ，则数列 2 log n a的前 9 项和 9 S 36 【解答】解：设等比数列 n a的首项为 1 a，公比为q， 24 212aa， 3 4a ， 8 412q q ，解得2q ，或1q ， 又 n a单调递增， 2q ， 24 53 2aa q， 9 9212229212925 loglogloglog ()log36Saaaa
22、aaa 故答案为：36 15 （5 分）已知四个命题： “若2ab ，则a，b中至少有一个不小于 1”的逆命题； ABC中，AB是sinsinAB的充分必要条件； “若空间两条直线不相交，则这两条直线平行”的逆否命题； 若直线l 平面，直线m 平面，则ml 第 11 页（共 16 页） 则上述命题中所有真命题的序号是 【解答】解：对于，逆命不成立，反例为：2a ，3b ，则12ab ，即2ab 不 成立，所以假； 对于，由三角形正弦定理知sinsinABabAB，所以真； 对于，逆否命题与原命题是等价的，空间两条直线不相交，这两条直线不一定平行， 还可能异面，原命题为假，所以假； 对于，直线l
23、 平面，直线m 平面，则ml，这是立体几何定理，所以真； 故答案为： 16 （5 分）定长为 4 的线段AB的两个端点在抛物线 2 yx上移动，设AB的中点为M，则 点M到y轴的最短距离为 7 4 【解答】解：抛物线 2 yx的焦点 1 (4F，0)，准线为 1 4 x ， 可得| 10AFBFAB， 设A，B的横坐标分别为 1 x， 2 x， 可得 1 1 | 4 AFx， 2 1 | 4 BFx， 由P为线段AB的中点， 可得 12 11111 ()(|)| 2 42222 P xxxAFBFAB， 则 7 4 P x ，当A，F，P三点共线时，取得等号 可得P点到y轴的最短距离为 7 4
24、 故答案为： 7 4 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤. 17 已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C的对边， 且sincossin(2cos )ABBA （1）求证：2cb； （2）若3bca，求A 【解答】解： （1）证明：由sincossin(2cos )ABBA， 得sincos2sincossinABBAB， 第 12 页（共 16 页） 即sin()2sinABB 因为ABC， 所以sin2sinCB， 由正弦定理得2cb （2）由（1
25、）知2cb，代入3bca，得3ab 由余弦定理得 222222 431 cos 2222 bcabbb A bcbb ， 因为0A， 所以 3 A 18 已知p：函数(2)1ymx在R上单调递增；:qxR ， 22 (1)0 xmxmm若 pq为真，pq为假，求m的取值范围 【解答】解：若p真，则20m ，2m 若q真，则 222 (1)4()321 0mmmmm ， 解得 1 3 m或1m pq为真，pq为假，p，q一真一假 当p真q假时， 2, 1 1 3 m m 解得m， 当p假q真时， 2 1 1 3 m mm 或 剠 解得1m或 1 2 3 m剟， m的取值范围是 1 |12 3 m
26、 mm 或剟? 19如图，某工厂欲将一块边长为40m的等边三角形ABC区域用一条公共通道DE分成面 积相等的两个办公区域，点D，E分别在AB，AC上，设ADx （公共通道DE所占面 积忽略不计） （1）令AEy，求y关于x的函数关系式并写出定义域； （2）若公共通道DE每米造价 2000 元，请你做一下预算，求出该通道造价最大值利最小值 及对应的x值 第 13 页（共 16 页） 【解答】解： （1） 1 2 ADEABC SS ， 2 111 sin6040sin60 222 x AE ， 800 AE x ，即 800 y x 其中2040 x剟 （2）在ADE中，由余弦定理得 222 2
27、cos60DExAEx AE， 整理得 22 2 640000 800DEx x 设函数 2 2 640000 ( )800f xx x ，2040 x剟 可知函数( )f x在20,20 2上单调递减，在(20 2,40上单调递增 又(20 2)800f，(20)(40)1200ff 所以当20 2x 时，通道长20 2DE ，造价最小为20 2200040000 2元； 当20 x 或40 x 时，通道长20 3DE ，造价最大为20 3200040000 3元 20在三棱柱 111 ABCABC中， 11 BC 平面 11 AAC C，D为 1 AA的中点，ACD是边长为 1 的等边三角
28、形 （1）证明： 1 ACAB； （2）若3BC ，求二面角 11 BC DB的大小 【解答】 （1）证明：连接 1 CA，ACD是边长为 1 的等边三角形，且D为 1 AA的中点， 第 14 页（共 16 页） 1 1 2 CDAA， 1 ACCA， 11 BC 面 11 AAC C，BC面 11 AAC C， 又AC 面 11 AAC C，ACBC， 1 CABCC，AC 面 1 BCA， 又 1 AB 面 1 BCA， 1 ACAB （2）解：以C为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则(0C， 0，0)，(0,0, 3)B， 1( 1, 3,0) C ， 13 ( ,0) 22 D， 1
29、 ( 1, 3,3)BC ， 1 33 ( ,0) 22 C D 分设平面 1 BDC的法向量为( , , )mx y z， 则 1 1 0, 0 C D m BCm 即 33 0 22 330 xy xyz ， 可取( 3,3,2)m ， 同理可求得平面 11 BC D的一个法向量为(1, 3,0)n 33 33 cos, | |422 m n m n mn ，且二面角 11 BC DB为锐角， 二面角 11 BC DB的大小为30 21已知数列 n a中， 1 1a ， 1 1 nn Sa ，数列 n b中， 1 1b ， 1 (2) 1 nn bb n nn （1）求 n a和 n b的
30、通项公式； （2）若数列 nnn cab，求数列 n c的前n项和 n T，并求使得 2 1 (5 ) 6 n Tmm恒成立的最大 正整数m的值 【解答】解： （1）依题意，当2n时，由 1 1 nn Sa ，可得 第 15 页（共 16 页） 1 1 nn Sa ， 两式相减，可得 1nnn aaa ， 1 2 nn aa ，(2)n 当1n 时， 211 122aaa ， 数列 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 1 2n n a ，*nN， 又在数列 n b中， 1 1b ， 1 (2) 1 nn bb n nn ， n b n 是常数列且1 n b n ， n bn，*nN，
31、 （2）由（1） ，可得 1 2n nnn cabn ， 01221 1 2223 2(1)22 nn n Tnn ， 1231 21 2223 2(1)22 nn n Tnn ， 两式相减，可得 0121 22222 nn n Tn 12 2 12 n n n (1)21 n n ， (1)21 n n Tn， 则 1 1 21 n n Tn ， 1 1 21(1) 21(1) 20 nnn nn TTnnn ， 数列 n T为单调递增数列， 当*nN时， 1 1 n TT ， 故要使得 2 1 (5 ) 6 n Tmm恒成立，必须 2 1 1(5 ) 6 mm恒成立， 化简整理，得 2 5
32、6 0mm ， 解得16m 剟， 第 16 页（共 16 页） 最大正整数6m 22已知点(2,0)A ，( 2,0)B，动点( , )M x y满足直线AM，BM的斜率之积为 1 2 （1）求动点( , )M x y的轨迹方程C，并说明C是什么曲线； （2）已知点(1,0)F， 2 (1,) 2 P，直线l与过原点和P点的直线m平行且与曲线C相交于两 点M，(N M，N位于直线PF的两侧） ，求证：MPFNPF 【解答】解： （1）由题意 1 (2) 222 yy x xx ， 化简得 2 2 1(2) 2 x yx ， 所以曲线C是焦点在x轴上，中心为坐标原点， 长轴长为2 2，短轴长为
33、2 的椭圆且去掉点(2,0)A ，( 2,0)B （2）证明：由题意可设 2 :(0) 2 l yxn n， 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y 联立方程 2 2 1, 2 2 2 x y yxn 得 22 210 xnxn ， 由0解得20n， 12 2xxn ， 2 12 1x xn， 要证MPFNPF ，即证0 PMPN kk， 即证 12 12 22 22 0 11 yy xx ， 11 2 2 yxn， 22 2 2 yxn， 即证 1212 2(2)()220 x xnxxn 将（1）代入上式左边得： 2 1212 2(2)()222(1)(2)(2 )220 x xnxxnnnnn，成立， 所以MPFNPF
