1、专题专题 20 20 母子形相似模型母子形相似模型 一、单选题一、单选题 1 古希腊数学家发现“黄金三角形”很美 顶角为36的等腰三角形， 称为“黄金三角形” 如图所示，ABC 中，ABAC，36A ，其中 51 0.618 2 BC AC ，又称为黄金比率， 是著名的数学常数 作ABC 的平分线，交AC于 1 C，得到黄金三角形 1 BCC；作 11/ C BBC交AB于 1 B， 121 /BCBC交AC于 2 C， 得到黄金三角形 112 BCC； 作 22/ C BBC交AB于 2 B， 231 /B CBC交AC于 3 C， 得到黄金三角形 233 B C C； 依此类推，我们可以得
2、到无穷无尽的黄金三角形若BC的长为 1，那么 56 C C的长为（ ） A52 B94 5 C2 5 4 D13 5 29 2 【答案】B 【分析】 黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为 36 ，每个底角为 72 它的腰与它的底成黄金比当底角被平 分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形这两三角形之一相似于原三角形，从 而利用相似三角形的性质得出规律，即可得到答案 【详解】 解：ABAC， 36A ， 72 ,ABCACB 1 BC平分ABC， 11 36,CBCABCA 11 72 ,BCCBCC 11 1,BCACBC 1 72 ,ACBBCC 1 ABCBCC， 设
3、1 CCx，则1,ABACx 则 1 ABBC BCCC = ， 11 , 1 x x 2 10,xx 15 2 x ， 又0 x， 51 2 x 经检验： 51 2 x 符合题意， 1 51, 2 CC 同理： 11112, ABCBCC 11/ ,BCBC 11 ,ABCABC 1112 BCCBCC， 121111 1 51 2 CCBCACBCBC CCBCACACAC ， 2 12 5 135 22 CC ， 同理： 3 23 5 1 52 2 C C ， 6 2 56 5 1 5294 5 2 C C 故选 B 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质与方程思想，相似三角形的对应边的比
4、相等，同时考查了二次根式的乘方运 算；解题时要注意方程思想的应用 2如图， ABC 中，D、E分别是 BC、AC边上一点，F是 AD、BE 的交点，CE=2AE，BF=EF，ENBC 交 AD于 N，若 BD=2，则 CD 长度为( ) A6 B7 C8 D9 【答案】A 【分析】 根据平行线的性质得到相等的角，再结合 BF=EF先证明 NEFDBF，即可得到 NE=BD=2，再证明 ANEADC，根据相似三角形的对应边成比例求解 【详解】 解：NEBC， NEF=DBF，ENF=BDF， 又BF=EF， NEFDBF， NE=BD=2 NEBC， ANEADC， NEAE CDAC ， CE
5、=2AE， 1 3 NEAE CDAC ， CD=6 故答案选：A 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，主要注意数形结合 思想的应用 二、解答题二、解答题 3如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFG都是正方形，C，F，G 三点在一直线上，连接 AF 并延长交边 CD 于点 M （1）求证： MFCMCA； （2）求证 ACFABE； （3）若 DM=1，CM=2，求正方形 AEFG 的边长 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3） 3 5 5 【分析】 （1） 由正方形的性质得45ACDAFG ， 进而根据对顶角的性质得CFM
6、ACM ， 再结合公共角， 根据相似三角形的判定得结论； （2）根据正方形的性质得 AFAC AEAB ，再证明其夹角相等，便可证明ACFABE； （3）由已知条件求得正方形ABCD的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由MFCMCA，求 得FM，进而求得正方形AEFG的对角线长，便可求得其边长 【详解】 解： （1）四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形， 45ACDAFG ， CFMAFG ， CFMACM ， CMFAMC ， MFCMCA； （2）四边形ABCD是正方形， 90ABC，45BAC， 2ACAB ， 同理可得 2AFAE ， 2 AFAC AEAB ， 45EA
7、FBAC ， CAFBAE， ACFABE； （3）1DM ，2CM ， 123ADCD ， 2222 3110AMADDM ， MFCMCA， CMFM AMCM ，即 2 210 FM ， 2 10 5 FM， 3 10 5 AFAMFM， 23 5 25 AGAF， 即正方形AEFG的边长为 3 5 5 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是掌握相似模型及证明方法和 正方形性质 4在矩形 ABCD的 CD边上取一点 E，将 BCE沿 BE 翻折，使点 C恰好落在 AD边上点 F处 （1）如图 1，若 BC=2BA，求CBE 的度数； （2）如图 2
8、，当 AB=5，且 AFFD=10 时，求 BC 的长； （3） 如图 3，延长 EF，与ABF的角平分线交于点 M，BM交 AD于点 N， 当 NF= 1 2 AD 时，求 AB BC 的值 【答案】 （1）15 ； （2）3 5； （3） 3 5 【分析】 （1）由折叠的性质得出 BC=BF，FBE=EBC，根据直角三角形的性质得出AFB=30 ，可求出答案； （2）证明 FABEDF，由相似三角形的性质得出 AFAB DEDF ，可求出 DE=2，求出 EF=3，由勾股定理 求出 DF= 5，则可求出 AF，即可求出 BC 的长； （3）过点 N作 NGBF于点 G，证明 NFGBFA，
9、 1 2 NGFGNF ABFABF ，设 AN=x，设 FG=y，则 AF=2y，由勾股定理得出(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解出 y= 4 3 x，则可求出答案 【详解】 解： （1）四边形 ABCD是矩形， C=90 ， 将 BCE 沿 BE翻折，使点 C恰好落在 AD边上点 F处， BC=BF，FBE=EBC，C=BFE=90 ， BC=2AB， BF=2AB， AFB=30 ， 四边形 ABCD是矩形， AD/BC， AFB=CBF=30 ， CBE= 1 2 FBC=15 ； （2）将 BCE沿 BE翻折，使点 C恰好落在 AD边上点 F处， BFE=C=90 ，CE=E
10、F， 又矩形 ABCD中，A=D=90 ， AFB+DFE=90 ，DEF+DFE=90 ， AFB=DEF， FABEDF， AFAB DEDF ， AFDF=ABDE， AFDF=10，AB=5， DE=2， CE=DC-DE=5-2=3， EF=3， DF= 2222 325EFDE ， AF= 10 2 5 5 ， BC=AD=AF+DF=2 5 53 5 （3）过点 N作 NGBF于点 G， NF= 1 2 AD NF= 1 2 BF， NFG=AFB，NGF=BAF=90 ， NFGBFA， 1 2 NGFGNF ABFABF ， 设 AN=x， BN平分ABF，ANAB，NGBF
11、， AN=NG=x，AB=BG=2x， 设 FG=y，则 AF=2y， AB2+AF2=BF2， (2x)2+(2y)2=(2x+y)2， 解得 y= 4 3 x， BF=BG+GF= 410 2 33 xxx 23 10 5 3 ABABx BCBF x 【点睛】 本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质， 勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键 5 已知正方形ABCD的边长为 4， 点E在边BC上， 点F在边CD上， 且CF BE，AE和BF交于点G （1）如图，求证： AEBF AE BF （2）连接CG并延长交AB于
12、点H， 若点E为BC的中点（如图） ，求BH的长 若点E在BC边上滑动（不与点 ,B C重合） ，当CG取得最小值时，求BE的长 【答案】 （1）证明见解析；证明见解析； （2） 4 3 ；2 5 2 【分析】 （1） 由正方形的性质得出 AB=BC=4， ABC=BCD=90 ， 由 SAS 证明 ABEBCF， 即可得出结论； 由得： ABEBCF，得出BAE=CBF，证出AGB=90 ，即可得出结论； （2）由直角三角形的性质得出 CF=BE= 1 2 BC=2，由勾股定理得出 BF=2 5，由（1）得：AEBF，则 BGE=ABE=90 ，证明 BEGAEB，得出 1 2 GEBE B
13、GAB ，设 GE=x，则 BG=2x，在 Rt BEG 中， 由勾股定理得出方程，解方程得出 BG=22 5 5 4 5 5 ，由平行线得出 BHBG CFFG ，即可得出 BH 的长； 由（1）得：AGB=90 ，得出点 G在以 AB为直径的圆上，设 AB 的中点为 M，当 C、G、M 在同一直 线上时，CG 为最小值，求出 GM= 1 2 AB=BM=2，由平行线得出 CFBM CGGM =1，证出 CF=CG=BE，设 CF=CG=BE=a，则 CM=a+2，在 Rt BCM中，由勾股定理得出方程，解方程即可 【详解】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=4，ABC=
14、BCD=90 ， 在 ABE和 BCF中， ABBC ABCBCD BECF ， ABEBCF（SAS） ， AE=BF； 由得： ABEBCF， BAE=CBF， CBF+ABF=90 ， BAE+ABF=90 ， AGB=90 ， AEBF； （2）解：如图 2 所示： E 为 BC 的中点， CF=BE= 1 2 BC=2， BF= 22 254 =2， 由（1）得：AEBF， BGE=ABE=90 ， BEG=AEB， BEGAEB， 1 2 GEBE BGAB ， 设 GE=x，则 BG=2x， 在 Rt BEG 中，由勾股定理得：x2+（2x）2=22， 解得：x= 2 5 5 ，
15、 BG=22 5 5 = 4 5 5 ， ABCD， BHBG CFFG ，即 4 5 5 26 5 5 BH ， 解得：BH= 4 3 ； 由（1）得：AGB=90 ， 点 G在以 AB为直径的圆上， 设 AB的中点为 M， 由图形可知：当 C、G、M 在同一直线上时，CG为最小值，如图 3 所示： AEBF， AGB=90 ， GM= 1 2 AB=BM=2， ABCD， CFBM CGGM =1， CF=CG， CF=BE， CF=CG=BE， 设 CF=CG=BE=a，则 CM=a+2， 在 Rt BCM中，由勾股定理得：22+42=（a+2）2， 解得：a=2 5-2，即当 CG取得
16、最小值时，BE 的长为 25-2 【点睛】 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定 与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题 关键 6如图，已知双曲线0 k yx x 经过Rt OAB斜边的中点D，与直角边AB相交于点C，若OBC的面 积为 3，求k的值 【答案】2k 【分析】 过点D做DEx轴,可得 1 2 OEDOCA SSk ，再根据OABOED可得2 OAB Sk ，最后根据 2 2 1 3 OBCOABOCA SSkSk 即可求得 k 的值 【详解】 解：过点D做DEx轴，垂足为
17、E， Rt OAB中，90OAB， DEAB D为Rt OAB斜边OB的中点， DE为Rt OAB的中位线 OABOED且 1 2 OD OB 双曲线的解析式是 k y x 1 2 OEDOCA SSk ，2 OAB Sk 2 2 1 3 OBCOABOCA SSkSk 解得2k 【点睛】 主要考查了反比例函数 k y x 中 k 的几何意义，相似三角形的性质和判定.过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线，所得三角形面积为 1 | 2 k是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要 正确理解 k 的几何意义 7已知，如图， ABC中，AB2，BC4，D为 BC边上一点，B
18、D1，AD+AC=8 （1）找出图中的一对相似三角形并证明； （2）求 AC长 【答案】 （1） BADBCA，理由见详解； （2）16 3 【分析】 （1）由题意易得 1 = 2 BDAB ABBC ，然后由B 是公共角，问题可证； （2）由（1）可得 1 = 2 AD AC ，再由 AD+AC=8 可求解 【详解】 解： （1） BADBCA，理由如下： AB2，BC4，BD1， 121 ,= 242 BDAB ABBC ， 1 = 2 BDAB ABBC ， 又B=B， BADBCA； （2）由（1）得： 1 = 2 AD AC ，即2ACAD， AD+AC=8， 28ADAD，解得：
19、8 3 AD ， 16 3 AC 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键 8如图，在 ABC中，ACB =90 ，AB=10， AC=8，CD 是边 AB 的中线动点 P 从点 C 出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿折线 CD-DB向终点 B 运动过点 P 作 PQAC 于点 Q，以 PQ为边作矩形 PQMN，使 点 C、N 始终在 PQ的异侧，且 2 3 PNPQ设矩形 PQMN 与 ACD重叠部分图形的面积是 S，点 P 的运 动时间为( )t s（t0） （1）当点 P在边 CD上时，用含t的代数式表示 PQ的长 （2）当点 N落在边
20、AD 上时，求 t的值 （3）当点 P 在 CD上时，求 S与 t之间的函数关系式 （4）连结 DQ，当直线 DQ将矩形 PQMN分成面积比为 1：2 的两部分时，直接写出t的值 【答案】 （1）3PQt； （2） 4 5 t ； （3） 2 2 4 60 5 634 60241 25 tt s ttt ； （4） 1 4 或 2 3 或 4 3 或 7 4 【分析】 （1）证明 ABCCPQ，利用相似三角形的性质解决问题即可 （2）如图 2，当点 N落在边 AD 上时，根据 AM+MQ+CQ=8，构建方程即可解决问题 （3）分三种情形：如图 1中，当 0t 4 5 时，重叠部分是矩形 PQM
21、N如图 3-1，当 4 5 t1 时，重叠 部分是五边形 PQMKJ，根据 S=S矩形PQMN-S NKJ，求解即可如图 3-2 中，当 1t2 时，重叠部分是五边 形 KQMJD，根据 S=S ADC-S CQK-S AMJ，求解即可 （4）分四种情形：如图 4-1 中，设 DQ交 MN于 J，当 MJ=2JN 时，直线 DQ将矩形 PQMN 分成面积比 为 1：2的两部分 如图 4-2 中，设 DQ交 PN于 J，当 PJ=2JN时，直线 DQ 将矩形 PQMN 分成面积比为 1：2 的两部分 如图 4-3 中，设 DQ交 PN于 J，当 PJ=2JN时，直线 DQ 将矩形 PQMN 分成
22、面积比为 1：2 的两部分 如图 4-4 中，设 DQ交 MN于 J，当 MJ=2JN时，直线 DQ 将矩形 PQMN分成面积比为 1：2的两部分 【详解】 解： （1）如图 1 中， 在 ABC中，ACB=90 ，AB=10，AC=8， 由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2 BC=6 CD是边 AB的中线， CD=AD=5 ACD=CAD CQP=ACB， ABCCPQ PQCP BCAB ， 5 610 PQt PQ=3t （2）如图 2，当点 N落在边 AD 上时， AM+MQ+CQ=8 4t+2t+4t=8 解得 t= 4 5 （3）如图 1中，当 0t 4 5 时，重叠部分是矩形
23、PQMN，S=6t2 如图 3-1，当 4 5 t1 时，重叠部分是五边形 PQMKJ，S=S矩形PQMN-S NKJ=6t2- 1 2 3 4 （10t-8） （10t-8）=- 63 2 t2+60t-24 如图 3-2中， 当1t2时， 重叠部分是五边形 KQMJD， S=S ADC-S CQK-S AMJ=12- 1 2 （6-3t）（8-4t） - 1 2 2t 2t 3 4 =-15 2 t2+24t-12， 综上所述， 2 2 4 60 5 634 60241 25 tt s ttt （4）如图 4-1 中，设 DQ交 MN于 J，当 MJ=2JN时，直线 DQ将矩形 PQMN分
24、成面积比为 1：2的两部 分 作 DKAC 于 K PQ=MN=3t，MJ=2JM， MJ=MQ=2t， DQK=45 ， DKBC，AD=DB， AK=KC， DK=KQ= 1 2 BC=3， CQ=1， 4t=1， t= 1 4 如图 4-2 中，设 DQ交 PN于 J，当 PJ=2JN时，直线 DQ 将矩形 PQMN 分成面积比为 1：2 的两部分 PJCQ， PJDP CQDC ， 4 55 3 45 t t t ， t= 2 3 如图 4-3 中，设 DQ交 PN于 J，当 PJ=2JN时，直线 DQ 将矩形 PQMN 分成面积比为 1：2 的两部分 PJAQ， PJDP AQAD
25、， 55 54 4 3 t t t ， t= 4 3 如图 4-4 中，设 DQ交 MN于 J，当 MJ=2JN时，直线 DQ 将矩形 PQMN分成面积比为 1：2的两部分 同法可证 MQ=MJ=2t， AQD=45 ，由可知 CQ=1， 8-4t=1， t= 7 4 ， 综上所述，满足条件的 t的值为 1 4 ， 2 3 ， 4 3 ， 7 4 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，多边形的面积等 知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 9如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根标杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼
26、睛通过标杆 的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面 1.5m，标杆顶端离地面 2.4m，小明到标杆的距离 DF=2m，标杆到 塔底的距离 DB=30m，求这座古塔的高度 【答案】14.3m 【分析】 先根据小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EHAB可知，BH=DG=EF=1.5m，再小明眼睛离地面 1.5m，竹杆 顶端离地面 2.4m求出 CG的长，由于 CDAB可得出 EGCEHA，再根据相似三角形的对应边成比例 可求出 AH的长，进而得出 AB的长 【详解】 解：小明、竹杆、古塔均与地面垂直，EHAB， BH=DG=EF=1.5m，EG=DF，GH=DB， 小明眼睛离地面 15m，竹杆顶端离地面
27、 24m， CG=CD-EF=23-15=08m， CDAB，EGC EHA DF=2m DB=30m， EG EH CG AH ，即 2 302 = 0.8 AH ，解得：AH=128m， AB=AH+BH=128+15=143m， 答：古塔的高度是 143m 【点睛】 本题考查了相似三角形的应用，先根据题意得出相似三角形，再根据相似三角形的对应边成比例得出结论 是解题的关键 10如图，PA，PB为O的两条切线，A，B为切点，BO的延长线交 O于点D，交PA的延长线于 点C，连接OP，AD （1）求证：/AD OP； （2）若2APAC，求tanOPB的值 【答案】 （1）见解析； （2）
28、5 tan 5 OPB 【分析】 （1）如图，作辅助线，证明APO=BPO得OPAB，再由BD为O的直径可得 ABAD，从而可得 结论； （2）设ACa，则2APa，由勾股定理得 2 9OAa ，再证明CCAOBP可求出5a ， 从而通过解直角三角形可得结论 【详解】 （1）证明：连接AB交OP于点E， PA，PB为O的两条切线， APBP，BPOAPO， OPAB BD为O的直径， 90DABOEA， /OP AD （2）2APAC， 设ACa，则2APa /OP AD， 1 2 CDAC DOAP 不妨设1CD，则22ODCD在RtAOC中， 222 9OAOCCAa AP，BP为O的切线
29、， 90OACOBP CCAOBP， OABP ACBC 2 92 5 aa a ，解得5a 225 tan 252 5 OB OPB BPa 【点睛】 此题考查了切线的性质、解直角三角形以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理与判定定理 是解答此题的关键 11 如图，AB是O的直径，ADBD、是 O的弦，BC是O的切线， 切点为B，/OCAD，BACD、 的延长线相交于点E (1)求证：CD是O的切线； (2)若O的半径为 4， 3EDAE，求AE的长 【答案】 （1）见解析； （2）=1AE 【分析】 （1）连接 OD，由题意易证 CDOCBO，然后根据三角形全等的性质可求证； （
30、2）由题意易得 EDAEBD，然后根据相似三角形的性质及3EDAE可求解 【详解】 （1）证明：连接 OD，如图所示： ADOC， DAO=COB，ADO=COD， 又OA=OD， DAO=ADO， COD=COB， OD=OB，OC=OC， CDOCBO， CDO=CBO， BC 是O的切线， CBO=CDO=90 ， 点 D 在O上， CD 是O的切线； （2）由（1）图可得： ADO+EDA=90 ，ODB=DBO， AB是O的直径， ADB=90 ，即ADO+ODB=90 ， EDA=ODB=DBO， 又E=E， EDAEBD， 2 EDAE EB ， O的半径为 4，3EDAE， A
31、B=8，EB=AE+8， 2 98AEAEAE， 解得：=1AE 【点睛】 本题主要考查圆的切线定理与判定定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线定理及判定定理是 解题的关键 12如图，ABC中， ,ABAC ABAC点D E、分别是BCAC、的中点，AFBE与点F （1）求证： 2 AEFE BE ； （2）求AFC的大小； （3）若1DF ，求ABF的面积 【答案】 （1）证明见解析； （2）135； （3）2 【分析】 （1）先根据相似三角形的判定可得AEFBEA，再根据相似三角形的性质即可得证； （2） 先根据等腰直角三角形的判定与性质可得45ACB， 再根据相似三角形的判定可得
32、CEFBEC， 然后根据相似三角形的性质可得45CFEBCE，最后根据角的和差即可得； （3）设2ABACa，从而可得 2 2ABa ，再根据相似三角形的性质、勾股定理可得 2 54 5 , 55 FAa BFa，从而可得 BFBC BDBE ，然后根据相似三角形的判定与性质可得 BDDF BEEC ， 从而可求出 a的值，最后根据直角三角形的面积公式即可得 【详解】 （1）,AFBE ABAC， 90AFEBAE， 在AEF和BEA中， AFEBAE AEFBEA ， AEFBEA， AEFE BEAE ， 2 AEFE BE ； （2）,ABAC ABAC， ABC是等腰直角三角形， 45
33、ABCACB ， 由（1）可知， AEFE BEAE ， AEBE FEAE ， 点 E 是 AC的中点， AECE， CEBE FECE ， 在CEF和BEC中， CEBE FECE CEFBEC ， CEFBEC， 45CFEBCE， 又AFBE， 90AFE， 9045135AFECFEAFC； （3）设2 (0)ABACa a， ABC是等腰直角三角形， 22 2BCABa ， 点DE、分别是BCAC、的中点， ,2AECEa BDCDa， 在RtABE中， 22 5BEABAEa ， 2 22 10 55 BCa BEa ， 由（1）知，AEFBEA， AEFA BEAB ，即 25
34、 aFA aa ， 解得 2 5 5 FAa， 在Rt ABF中， 22 4 5 5 BFABFAa， 4 5 2 10 5 52 a BFBC BDBEa ， 在BDF和BEC中， BFBC BDBE DBFEBC ， BDFBEC， BDDF BEEC ，即 2 5 aDF aa ， 解得 10 5 DFa， 又1DF ， 10 1 5 a， 解得 10 2 a ， 2 5104 510 2,2 2 5252 FABF， 则ABF的面积为 11 22 22 22 FA BF 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似 三角形的判定
35、与性质是解题关键 13如图，在ABC中，CDAB于D，BEAC 于E，试说明： （1）ABEACD （2）AD BCDE AC 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【分析】 （1）直接根据相似三角形的判定证明即可； （2）首先根据相似三角形的性质得出 AEAB ADAC ，进而证明 ADEACB，最后根据相似三角形的性质 即可证明 【详解】 解： （1）CDAB于 D，BEAC 于 E， AEB=ADC=90 ， 在 ABE和 ACD中 90ADCAEB AA ABEACD； （2） ABEACD， AEAB ADAC 在 ADE和 ACB中， AEAB ADAC AA ADEACB AD
36、DE ACBC AD BC=DE AC 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键 14 如图， 在边长为 4 的正方形 ABCD中， 点 E为对角线 AC 上一动点 （点 E与点 A， C 不重合） ， 连接 DE， 作 EFDE 交射线 BA于点 F，过点 E 作 MNBC分别交 CD，AB于点 M、N，作射线 DF 交射线 CA于点 G （1）求证：EFDE； （2）当 AF2时，求 GE的长 【答案】 （1）见解析； （2） 5 2 3 【分析】 （1）根据正方形的性质以及 EFDE，证明 DMEENF即可； （2）根据勾股定理计算出 DF，根
37、据平行线的性质得到 DCDG AFFG ，计算出 DG，FG 的值，利用特殊角的 锐角三角函数计算出 DE的值，最后证明 DGEAGF，利用相似比列出方程即可求出 GE 的值 【详解】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，且 MNBC， 四边形 ANMD是矩形，BAC=45 ， ANM=DMN=90 ，EN=AN=DM， DEM+EDM=90 ， EFDE， DEM+FEN=90 ， EDM=FEN， 在 DME与 ENF中 DME=ENF=90 ，DM=EN，EDM=FEN， DMEENF（ASA） ， EFDE； （2）四边形 ABCD是正方形， ABDC，DAB=90 ， DF= 2
38、2 2 5ADAF ， DCDG AFFG ，即 4 22 5 DG DG ，解得：DG= 4 5 3 ， FG=DF-DG= 2 5 3 ， 又DE=EF，EFDE， DEF是等腰直角三角形， EDF=45 ，DE=EF= 2 sin452 510 2 DF ， GAF=GDE=45 ， 又DGE=AGF， DGEAGF， DEGE AFGF ，即 10 22 5 3 GE ，解得： 5 2 3 GE ， 5 2 3 GE 【点睛】 本题考查了正方形的性质以及相似三角形的性质及判定，第（1）问的解题关键是证明 DMEENF，第 （2）问的解题关键是通过相似三角形的性质列出方程 15如图，在
39、ABC 中，D为 BC边上的一点，且 AC=2 6，CD4，BD2，求证： ACDBCA 【答案】证明见解析 【分析】 根据 AC=2 6，CD4，BD2，可得 ACCD BCAC ，根据C =C，即可证明结论 【详解】 解：AC=2 6，CD4，BD2 2 66 423 AC BC ， 46 32 6 CD AC ACCD BCAC C =C ACDBCA 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键 16如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一点，且AEBD垂足为点 ,2FDAEBAE 1:BE DF _ 2若四边形EFDC的面积为22，求BEF的面积 【答案】 （1
40、）1:3 （2）2 【分析】 （1）由题意根据已知条件得到DAE=60 ，BAE=30 ，由直角三角形的性质可得 BD=2AB，AB=2BF， 以此即可求解； （2）根据题意通过证明 BEFBDC，可得 2 1 ( 12 ) BEF BCD SEF SCD ，进行分析即可求解 【详解】 解： （1）四边形 ABCD为矩形，DAE=2BAE， DAE=60 ，BAE=30 ， 又AEBD，BAD=90 ， BD=2AB，AB=2BF， BD=4BF， DF=3BF， BF：DF=1：3， 故答案为：1：3； （2）BAE=30 AEB=60 ， AEBD， DBC=30 ，BFE=BCD=90
41、1 23 2 CDBDBFBFEF， 3 3 EFBF， FBE=CBD，BFE=DCB， BEFBDC， 2 1 ( 12 ) BEF BCD SEF SCD ， 四边形EFDC的面积为22， 12S BEF=S BCD=S BEF+S四边形EFDC， S BEF=2 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质与矩形的性质以及直角三角形的性质，利用相似三角形的判定定理证明 BEFBDC是解答本题的关键 17如图，抛物线 2 15 :3 24 L yxx与 x轴正半轴交于点 A，与 y轴交于点 B （1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标； （2） 如图 1， 点 P为第四象限且在对称轴右侧抛物
42、线上一动点， 过点 P 作PCx轴， 垂足为 C，PC交AB 于点 D，求PDBD的最大值，并求出此时点 P 的坐标； （3）如图 2，将抛物线 2 15 :3 24 L yxx向右平移得到抛物线 L ，直线AB与抛物线 L 交于 M，N两 点，若点 A是线段MN的中点，求抛物线 L 的解析式 【答案】 （1） 直线AB的解析式为 3 3 4 yx， 抛物线顶点坐标为 5121 , 432 ； （2） 当 13 4 x 时，PDBD 的最大值为 169 32 ； 1357 , 432 P ； （3） 2 1133 242 yxx 【分析】 （1）先根据函数关系式求出 A、B两点的坐标，设直线A
43、B的解析式为y kxb ，利用待定系数法求出 AB 的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标； （2） 过点 D作DEy轴于 E， 则/DE OA 求得 AB=5， 设点 P 的坐标为 2 155 ,34 244 xxxx ， 则点 D的坐标为 3 ,3 4 xx ，ED=x，证明BDEBAO，由相似三角形的性质求出 5 4 BDx，用含 x 的式子表示 PD，配方求得最大值，即可求得点 P 的坐标； （3）设平移后抛物线 L 的解析式 2 1121 () 232 yxm，将 L的解析式和直线 AB联立，得到关于 x的方 程，设 1122 ,M x yN x y，则 12 ,x
44、x是方程 22 325 20 416 xmxm 的两根，得到 12 3 2 4 xxm ，点 A为MN的中点， 12 8xx，可求得 m的值，即可求得 L的函数解析式 【详解】 （1）在 2 15 3 24 yxx中， 令0y ，则 2 15 30 24 xx，解得 12 3 ,4 2 xx ， (4,0)A 令0 x，则3y ，0, 3B 设直线AB的解析式为y kxb ，则 40 3 kb b ，解得： 3 4 3 k b ， 直线AB的解析式为 3 3 4 yx 2 2 1515121 3 242432 yxxx ， 抛物线顶点坐标为 5121 , 432 （2）如图，过点 D作DEy轴
45、于 E，则/DE OA 4,3OAOB， 2222 435ABOAOB ， 设点 P的坐标为 2 155 ,34 244 xxxx ， 则点 D的坐标为 3 ,3 4 xx ， EDx /DE OA， BDEBAO， BDED BAOA ， 54 BDx ， 5 4 BDx 而 22 3151 332 4242 PDxxxxx ， 2 22 15113113169 2 24242432 PDBDxxxxxx ， 1 0 2 ， 5 4 4 x，由二次函数的性质可知： 当 13 4 x 时，PDBD的最大值为 169 32 2 2 3531351357 33 44444432 xx ， 1357
46、 , 432 P （3）设平移后抛物线 L 的解析式 2 1121 () 232 yxm， 联立 2 3 3 4 1121 () 232 yx yxm ， 2 31121 3() 4232 xxm， 整理，得： 22 325 20 416 xmxm ， 设 1122 ,M x yN x y，则 12 ,x x是方程 22 325 20 416 xmxm 的两根， 12 3 2 4 xxm 而 A 为MN的中点， 12 8xx， 3 28 4 m ，解得： 13 4 m 抛物线 L 的解析式 2 2 1131211133 2432242 yxxx 【点睛】 本题考查二次函数的图象和性质、相似三角
47、形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键 是熟练掌握二次函数的图象和性质 18已知：如图，在ABC中，D是 AC 上一点，联结 BD，且ABD =ACB （1）求证： ABDACB； （2）若 AD=5，AB= 7，求 AC的长. 【答案】(1)见详解； （2） 49 5 【详解】 （1）证明：A=A,ABD =ACB, ABDACB. （2）解: ABDACB， ABAD ACAB ， 75 7AC ， 49 5 AC 19如图，在 Rt ABC 中，C=90 ，AC=4cm，BC=3cm动点 M，N 从点 C 同时出发，均以每秒 1cm 的 速度分别沿 CA、 CB 向终点
48、A， B 移动， 同时动点 P 从点 B 出发， 以每秒 2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动， 连接 PM，PN，设移动时间为 t（单位：秒，0t2.5） （1）当 t 为何值时，以 A，P，M 为顶点的三角形与 ABC 相似？ （2）是否存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值？若存在，求 S 的最小值；若不存在，请说 明理由 【答案】 （1） 3 2 ； （2）当 3 2 t 时，四边形 APNC的面积 S有最小值，其最小值是 21 5 【分析】 根据勾股定理求得 AB=5cm （1）分 AMPABC和 APMABC 两种情况讨论：利用相似三角形的对应边成比例来求
49、t的值 （2）如图，过点 P 作 PHBC于点 H，构造平行线 PHAC，由平行线分线段成比例求得以 t表示的 PH 的值；然后根据“S=S ABCS BPH”列出 S与 t的关系式 2 4321 S=02.5 525 tt ，则由二次函数最 值的求法即可得到 S 的最小值 【详解】 解：如图，在 Rt ABC中，C=90 ，AC=4cm，BC=3cm 根据勾股定理，得 22 ABACBC5cm （1）以 A，P，M 为顶点的三角形与 ABC相似，分两种情况： 当 AMPABC时， APAM ACAB ，即 524 45 tt ，解得 3 2 t ； 当 APMABC时， AMAP ACAB
50、，即 452 45 tt ，解得 t=0（不合题意，舍去） 综上所述，当 3 2 t 时，以 A、P、M为顶点的三角形与 ABC相似 （2）存在某一时刻 t，使四边形 APNC的面积 S有最小值理由如下： 假设存在某一时刻 t，使四边形 APNC的面积 S 有最小值 如图，过点 P 作 PHBC于点 H则 PHAC， PHBP ACBA ， 即 2 45 PHt 8 5 t PH ABCBPN SSS 118 3 43 225 tt 2 4321 =02.5 525 tt 4 0 5 ， S有最小值 当 3 2 t 时，S最小值= 21 5 答：当 3 2 t 时，四边形 APNC的面积 S有
