1、专题专题 26 26 其他型解直角三角形其他型解直角三角形 一、单选题一、单选题 1如图，在距某居民楼 AB 楼底 B点左侧水平距离 60m的 C点处有一个山坡，山坡 CD 的坡度（或坡比） 1:0.75i ， 山坡坡底 C 点到坡顶 D点的距离45mCD ， 在坡顶 D点处测得居民楼楼顶 A 点的仰角为 28 ， 居民楼 AB与山坡 CD的剖面在同一平面内，则居民楼 AB的高度约为（ ） （参考数据：sin280.47，cos280.88，tan280.53） A76.9m B82.1m C94.8m D112.6m 【答案】B 【分析】 构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系
2、，分别计算出 DE、EC、BE、DF、AF，进而求 出 AB 【详解】 解：如图，由题意得，ADF28 ，CD45，BC60， 在 RtDEC中， 山坡 CD的坡度 i1：0.75， DE EC 1 0.75 4 3 ， 设 DE4x，则 EC3x， 由勾股定理可得 CD5x， 又 CD45，即 5x45， x9， EC3x27，DE4x36FB， BEBC+EC60+2787DF， 在 RtADF中， AFtan28 DF0.53 8746.11， ABAF+FB46.11+3682.1， 故选：B 【点睛】 本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提
3、 二、解答题二、解答题 2如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌 CD，小李在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D 的仰角为60，沿 坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C的仰角为45，已知山坡 AB的坡度1:3i ，6AB米，广告 牌 CD的高度为 3米 1求点 B距水平面 AE 的高度 BH； 2求楼房 DE的高度.(测角器的高度忽略不计，结果保留根号) 【答案】 （1）3 米； （2） （ 9 9 3 2 ）米 【分析】 （1）在 Rt ABH中，通过解直角三角形求出 BH； （2）过 B 作 BGDE于 G，设 AE=x 米，用 x 表示出 BG、CG、CE，然后表示出 DE 的长，
4、在 ADE根据 三角函数列出方程，解方程后即可求出楼房 DE 的高度 【详解】 解： （1）Rt ABH中，i=tanBAH= 13 33 ， BAH=30 ， BH= 1 2 AB=3米； （2）如图，过 B作 BGDE 于 G，设 AE=x米， BHHE，GEHE，BGDE， 四边形 BHEG是矩形 由（1）得：BH=3，AH= 3 3， BG=AH+AE=（3 3+x）米，EG= BH=3， Rt BGC中，CBG=45 ， CG=BG=3 3+x， CE=CG+EG=3+3 3+x， DE=CE-CD=3+3 3+x-3=3 3+x， Rt ADE中，DAE=60 ， tan603 D
5、E AE ， 3 3 3xx ， 93 3 2 x ， DE =3 3+ 93 3 2 = 99 3 2 . 答：楼房 DE 的高度为（ 99 3 2 ）米 【点睛】 此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问 题是解答此类题的关键 3如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港 C，途经渤海海域 A 处时，葫芦岛军港 C 的中国海军发现点 A在南偏东 30 方向上，旅顺军港 B 的中国海军发现点 A在正西方向上已知军港 C在 军港 B的北偏西 60 方向，且 B、C两地相距 120海里， （计算结果保留根号） （1）求出此时点
6、A到军港 C 的距离； （2）若“昆明舰”从 A处沿 AC方向向军港 C驶去，当到达 A时，测得军港 B 在 A的南偏东 75 的方向 上，求此时“昆明舰”的航行距离 【答案】 （1）40 3海里； （2）6020 3海里 【分析】 （1）延长 BA，过点 C作 CDBA 延长线于点 D，在Rt ACD中利用利用三角函数即可求解； （2）过点 A作 ANBC 于点 N，可证 AB 平分CBA，根据角平分线的性质、三角函数即可求解 【详解】 解： （1）延长 BA，过点 C作 CDBA延长线于点 D 由题意可得：CBD30，BC=120 则 DC=60 故 603 cos30 2 DC ACAC
7、 解得：AC=40 3 答：此时点 A 到军港 C的距离为40 3海里； （2）过点 A作 ANBC 于点 N 可得1=30，BAA=45 则2=15，即 AB平分CBA 设 AA=x，则 AE= 3 2 x 故 CA=2AN= 3 23 2 xx 340 3xx x 6020 3 答：此时“昆明舰”的航行距离为6020 3海里 【点睛】 此题主要考查方向角的应用，灵活运用三角函数是解题关键 4 如图， 在一条笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正东方向 有一艘小船从A处沿北偏西60 方向出发，以每小时 20 海里速度行驶半小时到达P处，从B处测得小船在它的北偏东45的方向上 （1）求A
8、B的距离； （2） 小船沿射线AP的方向继续航行一段时间后， 到达点C处， 此时， 从B测得小船在北偏西15的方向 求 点C与点B之间的距离 （上述两小题的结果都保留根号） 【答案】 （1）55 3AB 海里； （2） 5 26 2 海里 【分析】 （1）过点P作PDAB于点D,利用余弦定义解出 AP、AD的长，再由直角三角形中，30 角所对的直角 边等于斜边的一半解得 PD的长，最后根据等腰直角三角形两直角边相等的性质解题即可； （2）过点B作BFAC于点F，根据直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半，解得 BF的长， 在Rt BCF中，由勾股定理解得 BC的长即可 【详解】 解：
9、 （1）如图，过点P作PDAB于点D， 在Rt PADV中，90ADP，906030PAD， cos AD PAD AP ，20 0.5 10AP 3 cos105 3 2 PAADDAP 1 5 2 PDAP 在Rt PBD中，90BDP，904545PBD ， 5BDPD 55 3AB 海里 （2）如图，过点B作BFAC于点F， 在Rt ABF中，90AFB，30BAF， 11 55 3 22 BFAB 在ABC中，18045CBACABC 在Rt BCF中，90BFC，45C， 5 226 2 CBFB海里 点C与点B之间的距离为 5 26 2 海里 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用
10、之方向角的问题，其中涉及含 30 角的直角三角形的性质、余弦、三角形内角 和、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，正确作出辅助线，构造直角三角形、掌握相关知识是解题 关键 5如图，四边形钢板是某机器的零部件，工程人员在设计时虑到飞行的稳定性和其他保密性原则，使得边 沿 AD的长度是边沿 BC长度的三倍， 且它们所在的直线互相平行， 检测员王刚参与了前期零件的基础设计， 知道ABC45 ， 边沿 CD所在直线与边沿 BC所在直线相交后所成的锐角为 30（即 P在 BC的延长线上， DCP30 ） ，经测量 BC的长度为 7 米，求零件的边沿 CD 的长 （结果保留根号） 【答案】14 314
11、【分析】 过点 B作 BMAD，交 DA 的延长线于点 M，过点 D作 DNBC，交 BC的延长线于点 N，从而构造直角三 角形，利用直角三角形的边角关系，用 DP 表示 CN，MA，再根据矩形的性质，求出 DP的长，进而求出 CD 的长 【详解】 如图，过点 B 作 BMAD，交 DA 的延长线于点 M，过点 D 作 DNBC，交 BC 的延长线于点 N， BCAD， ABCMAB45 ， 又MBA90 ABC45 ， MAMBDN， 又AD3BC，BC7， AD21， 在 Rt CDN 中，DCN30 ， CD2DN，CN3DN， 由 MDBN 得，DN+217+ 3DN， 解得，DN7
12、3+7， CD2DN14 314（米） 【点睛】 考查了解直角三角形的应用，解题关键掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，利用方程求解是解 决问题的基本方法 6有一只拉杆式旅行箱（图 1） ，其侧面示意图如图 2 所示，已知箱体长50cmAB，拉杆BC的伸长距 离最大时可达35cm，点A、B、C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒A，A与水平地面 切于点D， 在拉杆伸长至最大的情况下， 当点B距离水平地面38cm时， 点C到水平面的距离CE为59cm， 设 AFMN （1）求A的半径长； （2） 当人的手自然下垂拉旅行箱时， 人感觉较为舒服， 某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为8
13、0cm， 64CAF，求此时拉杆BC的伸长距离 （精确到1cm，参考数据：sin640.90，cos640.39， tan642.1） 【答案】 （1）圆形滚轮的半径AD的长是8cm； （2）拉杆 BC的伸长距离为30cm 【分析】 （1）作 BHAF于点 K，交 MN 于点 H，则 ABKACG，设圆形滚轮的半径 AD 的长是 xcm，根据相 似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得 x的值； （2）求得 CG的长，然后在直角 ACG中，求得 AC即可解决问题； 【详解】 （1）作BHAF于点K，交MN于点H. 则BKCG，ABKACG. 设圆形滚轮的半径AD的长是cmx. 则 BKAB C
14、GAC ，即 3850 595035 x x ， 解得：8x . 则圆形滚轮的半径AD的长是8cm； （2）在Rt ACG中，80872(cm)CG . 则sin CG CAF AC AC= 72 = sin0.9 CG CAF =80(cm) 805030(cm)BCACAB. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，关键把实际问题转化为 数学问题加以计算 7如图，一艘渔船正以 32 3 3 海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在 A处看小岛 C 在船北偏东 60 ，60分钟 后，渔船行至 B处，此时看见小岛 C在船的北偏东 30 （1）求小岛 C 到航
15、线 AB的距离 （2）已知以小岛 C 为中心周围 20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追 赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？ 【答案】 （1）小岛 C到航线 AB的距离为 16 海里； （2）这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可 能；渔船进去危险区，那么经过45 3分钟可穿过危险区 【分析】 （1）作 CDAB 于 D，由题意得出CABACB30 ，从而得出 ABCB 32 3 3 ，在 Rt BCD中， 求得 CD的长即可 （2）利用勾股定理得出 MD的长进而得出答案 【详解】 （1）作 CDAB 交 AB于点
16、 D，如图 1 所示 由题意可知：CAB90 -60 30 ，CBD90 -30 60 ACBCBD-CAB30 CABACB ABCB 32 360 360 32 3 3 在 Rt CBD 中 32 332 33 sinsin 6016 332 CDCBCBD 小岛 C 到航线 AB的距离为 16海里； （2）CD1620 这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能 设 M为开始进入危险区的位置，N为离开危险区的位置，如图 2所示： 即 CMCN20 CDAB DMDN 在 Rt CMD中 DM 2222 201612CMCD MN2DM24 可穿过危险区的时间为： 243 3 = 43
17、2 3 3 小时 即 3 3 60=45 3 4 分钟 渔船进去危险区，那么经过45 3分钟可穿过危险区 【点睛】 本题考查了方位角、勾股定理、等腰三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌方位角、握勾股定理、 等腰三角形、三角函数的性质，从而完成求解 8我南海巡逻船接到有人落水求救信号，如图，巡逻船A观测到67.5PAB，同时，巡逻船B观测到 36.9PBA， 两巡逻船相距 63海里， 求此时巡逻船A与落水人P的距离？ （参考数据： 3 sin36.9 5 ， 3 tan36.9 4 ， 12 sin67.5 13 ， 12 tan67.5 5 ） 【答案】巡逻船A与落水人P的距离为 39海
18、里 【分析】 过点P作PCAB，垂足为C设PCx海里，在Rt APC中，可得 AC= 5 12 x ，在Rt PCB中，可得 4 3 BCx，再根据63ACBCAB，可解得 x 的值，最后根据sin PC A PA 可得出答案 【详解】 解：如图所示，过点P作PCAB，垂足为C 设PCx海里，在Rt APC中， tan PC A AC ， 5 tan67.512 PCx AC 在Rt PCB中， tan PC B BC ， 4 tan36.93 x BCx 63ACBCAB， 54 63 123 xx，解得36x， sin PC A PA ， 3613 3639 sin67.5sin67.51
19、2 PC PA（海里） 巡逻船A与落水人P的距离为 39 海里 【点睛】 本题考查了解直角三角形的实际应用，找到合适的直角三角形是解题的关键 9课间休息时小明同学望向窗外，看着校园里的一棵古树突发奇想，能不能利用刚学过的数学知识来测量 这棵古树的高度呢？经过思考他和同学们一起实践起来如图所示，他站在教室里点 A处的凳子上，从教 室的窗口望出去，恰好能看见古树的整个树冠 DK，古树长在一个小坡上，经测量，斜坡 HJ长 2.2 米，坡 角JHL30 ，窗口高 EF1.2 米，树干底部 KC0.9m，A点距墙根 G为 1.5m，树干距墙面的水平距离 IC 为 4.5m，请根据上面的信息，计算出树项到
20、地面的距离 DL 的长度 【答案】6.8米 【分析】 由题意直接根据相似三角形的性质求出树冠 DK，根据坡角求出 CL，进而即可求出树高 DL 【详解】 解：连接 EF，过点 B 作 BMDL，垂足为 M，交 EF于点 N， 由题意可知，BNAG1.5，MNIC4.5， 由 EF/DK,则 BEFBKD 得： EF KD BN BM ，即 1.2 KD 1.5 1.54.5 ， 解得：KD4.8， 斜坡 HJ 长 2.2 米，坡角JHL30 ， CL 1 2 HJ1.1， DLDK+KC+CL4.8+0.9+1.16.8（米） ， 答：树项到地面的距离 DL的长度为 6.8米 【点睛】 本题考
21、查解直角三角形以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的相似比等于对应高的比是解 决问题的关键 10图 1 是一款折叠式跑步机，由支杆 AE（点 A、E 固定） ，滑动杆 PF 和底座 AD 组成，AC 为滑槽，图 2 是其侧面简化示意图，忽略跑步机的厚度，已知 AE=60cm ，AC=120cm，收纳时，当滑动端点 P 向右滑至 点 C 时，滑动杆 PF 恰好与滑槽 AC 重合 （1）如图 3，当滑动端点 P 滑至 AC 的中点 B 时，求点 F 到底座 AD 的距离； （2）当滑动端点 P 从点 B 向左滑动到点 Q，PF 与 AD 的夹角是 70 时，小明观察点 F 处的仪表盘视角
22、为最 佳， 求此时滑动端点P继续向左滑动的距离BQ的长 （参考数据：31.73，sin700.94，cos700.34， tan702.75，结果保留一位小数 ） 【答案】 （1）约 103.5cm； （2）为19.2cm 【分析】 （1）连接 AF，由题意可知 AB=AE=BE=EF=60，可得 ABF 是直角三角形，利用勾股定理求解即可； （2） 过点E作EMAB， 垂足为 M， 设B Qx ， 则 11 (60) 22 MQAQx=-， 根据cos MQ MQE QE ? 求解即可 【详解】 解： （1）如图 1，连接 AF， 由题意可知 AB=AE=BE=EF=60， ABF是直角三角
23、形，且90FAB 2222 1206060 3103.8FAFBAB=-=-=? （cm） （2）如图 2 所示，过点E作EMAB，垂足为 M， 设BQx，则 11 (60) 22 MQAQx=-， 在RtEMQD中，cos MQ MQE QE ? ， 1 (60) 2 cos70 60 x- ? ，即 60 0.34 120 x- =， 解得19.2x （cm） 此时滑动的距离 BQ约为19.2cm 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容解决此问题的关键 在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题 11如图 1是某小型汽车的侧
24、面示意图，其中矩形 ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱 盖 ADE可以绕点 A逆时针方向旋转，当旋转角为 70 时，箱盖 ADE 落在 ADE的位置（如图 2） 已知 AD 100 厘米，点 D到地面距离为 110厘米求点 D离地面的高度 （参考数据：sin700.94，cos700.34， tan702.75） 【答案】204厘米 【分析】 过点 D作 DHMN，垂足为点 H，交 AD于点 F，易得DAD70 ，然后用解直角三角形直接进行求解 即可 【详解】 过点 D作 DHMN，垂足为点 H，交 AD于点 F，如图所示 由题意，得：ADAD100 四边形 ABCD是矩形，
25、ADBC， AFDMHD90 ，DAD70 在 Rt ADF中，DFADsinDAD 100sin701000.94=94 点 D到地面距离为 110厘米，FH110， DHDF+FH94+110=204厘米 ， 答：点 D离地面的高度为 204厘米 【点睛】 本题主要考查解直接三角形的应用，关键是构造直角三角形利用三角函数值进行求解线段的长 12定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不 全等） ，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线” （1）如图 1，在四边形ABCD中，80ABC，140ADC，对角线BD平分ABC求证：BD是 四边
26、形ABCD的“相似对角线”； （2）如图 2，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，30EFHHFG 连接EG，若EFG的 面积为2 3，求FH的长 【答案】 （1）见解析； （2）2 2 【分析】 （1）根据所给的相似对角线的证明方法证明即可； （2） 由题可证的FEHFHG， 得到 FEFH FHFG ， 过点 E 作EQFG， 可得出 EQ， 根据 2 FHFE FG 即可求解； 【详解】 （1）证明： 80ABC，BD平分ABC， 40ABDDBC ， 140AADB 140ADC， 140BDCADBABDC ， ABDDBC BD是四边形 ABCD 的“相似对角线” （2）FH
27、是四边形 EFGH 的“相似对角线”， 三角形 EFH 与三角形 HFG 相似 又EFHHFG， FEHFHG， FEFH FHFG ， 2 FHFE FG 过点 E作EQFG，垂足为Q 则 3 sin60 2 EQFEFE 1 2 3 2 FGEQ， 13 2 3 22 FGFE， 8FG FE， 2 8FHFE FG， 2 2FH 【点睛】 本题主要考查了四边形综合知识点，涉及了相似三角形，解直角三角形等知识，准确分析并能灵活运用相 关知识是解题的关键 13如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合） ，连结AE，BD交于点F （1）若点E为CD中点，4AB ，求EF的长
28、（2）若tan3AFB，求 BF DF 的值 （3） 若点G在线段BF上， 且2BGGF， 连结AG、CG，BFx DF ， 四边形AGCE的面积为 1 S，ABG 的面积为 2 S，求 1 2 S S 的最大值 【答案】 （1） 2 5 3 ； （2）2； （3） 11 8 【分析】 （1）由勾股定理可求 AE的长，通过证明 ABFEDF，可得 1 2 DEEF ABAF ，可求 AF的长； （2）由正方形的性质可得 2BDAB ，AOBD，AOBOCODO 2 2 AB，由锐角三角函数可求 12 36 OFAOAB，即可求解； （3）分别求出 S1，S2，再根据二次函数的性质即可求解 【详
29、解】 解： （1）四边形ABCD是正方形，点E为CD中点， 4ABADCD，90ADC； 2DE， 22 1642 5AEADDE ， /ABCD， ABFEDF， 1 2 DEEF ABAF ， 2AFEF，且2 5AFEF， 2 5 3 EF （2）如图 1，连接AC， 四边形ABCD是正方形， ABBCCDAD， 2BDAB ，AOBD，AOBOCODO， 2 2 AODOBOAB， tan3 AO AFB OF ， 12 36 OFAOAB， 2 3 DFODOFAB， 2 2 3 BFOBOFAB， 2 BF DF （3）如图 2，设ABCDADa，则 2BDa ， DE x DC
30、， DExa， 2 11 22 ADE SADDExa ， ABFEDF， DEDF x ABBF ， DFxBF， 2 11 1 2 ABF Sa x ， 2BGGF， 2 2 2 331 ABGABF a SSS x ， ABCB，ABGCBG，BGBG， ()ABGCBG SAS ABGCBG SS ， 1 S四边形AGCE的面积 2 22 1 2 231 a axa x ， 2 22 1 2 2 1 2 231 31 a axa xS aS x 2 33 1 22 xx ， 当 3 1 2 32 2 2 x 时， 1 2 S S 的最大值为11 8 【点睛】 本题是相似形综合题，考查了
31、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角 三角函数等知识，利用二次函数的性质解决问题是本题的关键 14有一种升降熨烫台如图 1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度图 2 是这种升降熨烫台的平面示意图，AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点， ,OAOC h cm表示熨烫台的高度 （1）如图 2-1，若80,120AOCOcmAOC ，求AC的长(结果保留根号) ； （2） 爱动脑筋的小明发现， 当家里这种升降熨烫台的高度h为128cm时， 两根支撑杆的夹角AOC是74， 求该熨烫台支撑杆AB的长度 (参考数据：370.6,37
32、0.8,530.8,530.6sincossincos ) 【答案】 （1）80 3cm； （2）160cm 【分析】 （1）过点 O作 BEAC于 E，根据等腰三角形的性质得到AOE=60，根据三角函数的定义即可得到结 论； （2）过点 B作 BFAC于 F，根据等腰三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论 【详解】 （1）过点O作OEAC，垂足为E， AOCO， 1 60 2 AOEAOC，2ACAE， 在Rt AEO中， 3 sin8040 3 2 AEAOAOE， 80 3ACcm ， 答：AC的长为80 3cm； （2）过点B作BFAC，垂足为F，则128BFcm， 74AOCOAO
33、C， 18074 53 2 OACOCA ， 在Rt ABF中， 128 160 sin530.8 BF AB (cm)， 答：支撑杆AB长160cm 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键 15如图所示的是-款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水 平地面垂直 在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内， 其示意图如图 1 所示， 经测量， 上臂12ABcm， 中臂8BCcm，底座4.CDcm （1）若上臂AB与水平面平行，60ABC 计算点A到地面的距离 （2）在一次操作中，中臂与底座成135夹角，上臂与中臂夹
34、角为105，如图 2，计算这时点A到地面的距 离与图 1 状态相比，这时点 A向前伸长了多少? 【答案】 （1）44 3 cm； （2）点 A到地面的距离为4 22cm，与图 1 状态相比，点A向前伸长了 6 34 28 cm 【分析】 （1）如图 1，过点C作CMAB，垂足为 M，则所求点A到地面的距离即为 DM 的长，解 Rt MCB 可 得 CM 和 BM的长，进一步即可求出结果； （2）如图 2，过点B作BG垂直于地面，垂足为G，分别过点,A C作BG的垂线，垂足分别为,E F，先 由已知求出, BCFCBFABF的度数，然后分别解 Rt BCF 和 Rt ABE 可依次求出 BF、C
35、F、AE 和 BE 的长，然后计算BFFGBE即为点A到地面的距离；由图 1 可知，点A距底座的距离为AM，然后 计算AECFAM即为点A向前伸长的距离 【详解】 解： 1如图 1，过点C作CMAB，垂足为 M， 则在 Rt MCB 中，sin,cos CMBM BB BCBC ， 60 ,8 ABCBCcm ， 31 , 8282 CMBM ， 4 3,4CMcm BMcm， 44 3DMCMCDcm， 点A到地面的距离为 44 3 cm； 2如图 2，过点B作BG垂直于地面，垂足为G，分别过点,A C作BG的垂线，垂足分别为 ,E F， 135 ,105BCDABC ， 45 ,45 ,
36、60BCFCBFABF ， 2 cos84 2 2 BFCFBCBCFcm ， 3 sin126 3 2 AEABABFcm， 1 6 2 BEABcm， 点A到地面的距离为 4 2464 22BFFGBEcm； 由图 1 可知，点A距底座的距离为12 48 AMABBMcm ， 点A向前伸长的距离为 86 34 28AECFcm 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解直角三角形的知识是解题的 关键 16为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造已知四边形ABCD为矩形， 10mDE ， 其坡度为 1 1: 3i ， 将步梯DE改造为斜坡A
37、F， 其坡度为 2 1:4i ， 求斜坡AF的长度（结 果精确到0.01m，参考数据：31.732，174.122） 【答案】斜坡 AF的长度为 20.61米 【分析】 先由 DE 的坡度计算 DC的长度，根据矩形性质得 AB长度，再由 AF的坡度得出 BF的长度，根据勾股定理 计算出 AF的长度 【详解】 10mDE ，其坡度为 1 1: 3i ， 在Rt DCE中， 22 2DEDCCEDC 解得5DC 四边形 ABCD为矩形 5ABCD 斜坡AF的坡度为 2 1:4i 1 4 AB BF 420BFAB 在Rt ABF中， 22 5 17AFABBF 20.61（m） 斜坡AF的长度为
38、20.61米 【点睛】 本题考查了坡度的概念，及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知识点是解题的关键 17如图，为了测量某条河的对岸边 C，D 两点间的距离，在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点 A， B，测得45BAC，37ABC， 60DBF，量得AB长为 70米求 C，D 两点间的距离（参考 数据： 3 sin37 5 ， 4 cos37 5 ， 3 tan37 4 ） 【答案】40+10 3 【分析】 过点 C作 CHAB，垂足为点 H，过点 D作 DGAB，垂足为点 G，,先求出 CH的长，然后在 Rt BCH中 求得 BH的长，则 CD=GH=BH+BG 即可求出 【详解】
39、解：过点 C作 CHAB，垂足为点 H，过点 D 作 DGAB，垂足为点 G， 在 ACH中，tanA CH AH ，得 AH=CH， 同理可得 BH= 4 3 CH， AH+BH=AB， 4 3 CH+CH=70解得 CH30， 在 BCH 中，tanABC= CH BH ， 即 330 4BH ，解得 BH=40， 又DG=CH=30， 同理可得 BG=10 3， CD=GH=BH+BG=40+10 3（米） ， 答：C、D两点之间的距离约等于 40+10 3米 【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算 18如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的
40、数学知识对某小区居民楼 AB的高度进行测量先测得 居民楼 AB与 CD之间的距离 AC为 35m，后站在 M点处测得居民楼 CD的顶端 D 的仰角为 45 居民楼 AB 的顶端 B 的仰角为 55 已知居民楼 CD 的高度为 16.6m，小莹的观测点 N距地面 1.6m求居民楼 AB 的高度（精确到 1m） （参考数据：sin55 0.82，cos55 0.57，tan55 1.43） 【答案】约为 30m 【分析】 过点 N作 EFAC交 AB于点 E，交 CD于点 F，可得 AE=MN=CF=1.6，EF=AC=35，再根据锐角三角函数 可得 BE 的长，进而可得 AB 的高度 【详解】
41、解：过点 N作 EFAC交 AB 于点 E，交 CD于点 F 则 AEMNCF1.6，EFAC35，BENDFN90 ， ENAM，NFMC， 则 DFCDCF16.61.615 在 Rt DFN 中，DNF45 ， NFDF15 ENEFNF351520 在 Rt BEN 中，tanBNE BE EN ， BEEN tanBNE20tan55201.4328.6 ABBEAE28.61.630 答：居民楼 AB的高度约为 30m 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义 19 2018 年 9 月 21日“盐城大铜马“顺利回归， 如图， 小丽和小
42、明决定用所学的知识测量大铜马 AB 的高度， 按照以下方式合作并记录所得数据：小明测得基座下部 BE 长为 1.8 米，基座 BC 高为 6.12米，在 E 点处测 得点 F的仰角为 80.72 ，小丽沿直线 BE步行到达点 D 处测得点 A 和点 F 的仰角分别为 60.18 和 50.75 ，若 A、B、C、D、E、F 在同一平面内且 B、E、D和 A、C、B 分别在同一直线上，请分别求出 CF和大铜马 AB 的高度 （结果精确到 0.01 米，参考数据 sin80.72 0.987，cos80.72 0.161，tan80.72 6.12，sin60.18 0.868，cos60.18
43、0.497，tan60.18 1.74，sin50.75 0.774，cos50.75 0.663，tan50.75 1.224） 【答案】10.09 【分析】 过点 F作 FGBD于点 G，求出 GE 6.12 tan 80.72 1，则可求出 CF的长由锐角三角函数求出 DG，BD 的长，则可求出答案 【详解】 解：过点 F作 FGBD于点 G， BCFG6.12m，tanFEG FG CE ， GE 6.12 tan 80.72 1 CFBGBEEG， CF1.810.8（m） ， tanFDE FG DG ， DG 6.126.12 tantan 50.751.224 FG FDE 5
44、（m） BDDG+BG， BD5+0.85.8（m） ， tanADB AB BD ， tan60.18 5.8 AB ， AB5.8 1.7410.09210.09（m） 答：CF 长为 0.8m，大铜马 AB的高度为 10.09m 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题 的关键 20实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后 面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落 在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如
45、图所示已知落在地面上的影子皆与坡脚水平 线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度1:0.75i ，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下， 请解答下列问题： （1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内请直接回答这 个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm？ 【答案】 （1）120cm； （2）正确； （3）280cm 【分析】 （1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题 （2）根据落在地面上的影
46、子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得； （3）过点 F作 FGCE于点 G，设 FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出 CG和 FG，得到 BG，过点 F作 FHAB 于点 H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出 AH的长度，即可得到 AB. 【详解】 解： （1）设王诗嬑的影长为 xcm， 由题意可得： 90150 72x ， 解得：x=120， 经检验：x=120是分式方程的解， 王诗嬑的的影子长为 120cm； （2）正确， 因为高圆柱在地面的影子与 MN 垂直，所以太阳光的光线与 MN垂直， 则在斜坡上的影子也与 MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与
47、 MN垂直， 而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直， 高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内； （3）如图，AB 为高圆柱，AF为太阳光， CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子， 过点 F作 FGCE 于点 G， 由题意可得：BC=100，CF=100， 斜坡坡度1:0.75i ， 14 0.753 DEFG CECG ， 设 FG=4m，CG=3m，在 CFG 中， 22 2 43100mm， 解得：m=20， CG=60，FG=80， BG=BC+CG=160， 过点 F作 FHAB于点 H， 同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为 72cm， FG
48、BE，ABBE，FHAB， 可知四边形 HBGF为矩形， 90 72 AHAH HFBG ， AH= 9090 160 7272 BG=200， AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280， 故高圆柱的高度为 280cm. 【点睛】 本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物 体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型 21如图，在ABC中，ABAC，以 AB为直径的 O分别交 AC、BC于点 D、E，点 F在 AC的延长 线上，且2BACCBF （1）求证：BF是O的切线； （2）若O的直径为 4，6CF ，求tanCBF 【答案】
49、 （1）详见解析； （2） 21 tan 7 CBF 【分析】 （1）连接 AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直 角，从而证明ABF90 ； （2）过点 C作CHBF于点 H，求得 AC、BF的长度，证出CHFABF，根据相似三角形的性质 求得 CH、HF的长度，根据BHBFHF求得 BH的长度，代入tan CH CBF BH 求解即可 【详解】 （1） （1）证明：如图，连接 AE AB 是O的直径， 90AEB ，1290 ABAC， 2 1BAC 2BACCBF ， 1CBF 290CBF ，即90ABF AB 是O的直径， 直线 BF是O
50、的切线 （2）解：过点 C作CHBF于点 H ABAC，O的直径为 4， 4AC 6CF ，90ABF， 2222 1042 21AFABBF CHFABF，FF ， CHFABF CHCF ABAF ，即 6 446 CH 12 5 CH ， 2 222 126 21 6 55 HFCFCH 6 214 21 2 21 55 BHBFHF 12 21 5 tan 74 21 5 CH CBF BH 【点睛】 本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、直角所对的圆周角是 直角、解直角三角形等知识点 22如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树 BH 和教学楼 CG的高
