1、小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边） 目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙 漏模型） ，共边（含燕尾模型和风筝模型） ， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨知识点拨 一、等积模型一、等积模型 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等， 面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图 12 :SSa b 夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ACDBCD SS ； 反之，如果 ACDBCD SS ，则可知直线AB平行于CD 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形)； 三角
2、形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相 等，面积比等于它们的高之比 二、鸟头定理二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 如图在ABC中，,D E分别是,AB AC上的点如图 (或D在BA的延长线上，E在 AC上)， 则:():() ABCADE SSABACADAE E D C B A E D CB A 图 图 三、三、蝶形蝶形定理定理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： 1243 :SSSS或者 1324 SSSS
3、1243 :AO OCSSSS 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造 ba S2S1 DC BA S4 S3 S2 S1 O D CB A 模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边 形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积 对应的对角线的比例关系 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： 22 13 :SSab 22 1324 :SSSSabab ab； S的对应份数为 2 ab 四、相似模型四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A BC D A BC DEF G ADAEDEAF ABACBCAG ； 22 : ADEABC SSA
4、FAG ： 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变， 不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如 下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似 比； 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工 具 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形 五、五、共边定理（共边定理（燕尾燕尾模型和风筝模型）模型和风筝模型） 在三角形ABC中，A
5、D，BE，CF相交于同一点O，那么 : ABOACO SSBD DC 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因 为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴， 所以这个定理被称 为燕尾定理 该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为 A BC D O b a S3 S2 S1 S4 O F E D CB A 三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题典型例题 【例【例 1】 如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为 6，AE 1. .5，CF 2长方形长方形EFGH的面的面 积为积为 【解析】 连接DE，DF，则长
6、方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积， 661.5622624.54216.5 DEF S ,所以长方形EFGH 面积为 33 【巩固】如【巩固】如图所示，正方形图所示，正方形ABCD的边长为的边长为8厘米，长方形厘米，长方形EBGF的长的长BG为为10厘厘 米，那么长方形的宽为几厘米？米，那么长方形的宽为几厘米？ 【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方 形和正方形可以看作特殊的平行四边形)三角形面积等于与它等底 等高的平行四边形面积的一半 证明： 连接AG (我们通过ABG把这两个长方形和正方形联系
7、在一 起) 在正方形ABCD中， G 1 2 AB SABAB 边上的高， 1 2 ABGABCD SS (三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积 的一半) 同理， 1 2 ABGEFGB SS 正 方 形A B C D与 长 方 形E F G B面 积 相 等 长 方 形 的 宽 881 06 . 4(厘米) _ H _ G _ F _ E _ D _ C _ B _ A _ A _ B _ C _ D _ E _ F _ G _ H _ A _ B _ G _ C _ E _ F _ D _ A _ B _ G _ C _ E _ F _ D 【例【例 2】 长方形长方形ABCD的面积
8、为的面积为 36 2 cm，E、F、G为各边中点，为各边中点，H为为AD边上任边上任 意一意一点，问阴影部分面积是多少点，问阴影部分面积是多少？ H G F E D C B A 【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图： H G F E D C B A 可 得 ： 1 2 EHBAHB SS 、 1 2 FHBCHB SS 、 1 2 DHGDHC SS ， 而 36 ABCDAHBCHBCHD SSSS 即 11 ()3618 22 EHBBHFDHGAHBCHBCHD SSSSSS ； 而 EHBBHFDHGEBF SSSSS 阴影 ， 11111 ()()364.5 2
9、2228 EBF SBEBFABBC 所以阴影部分的面积是：18184.513.5 EBF SS 阴影 解法二：特殊点法找H的特殊点，把H点与D点重合， 那么图形就可变成右图： G A B C D E F (H) 这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有： 1111111 3636363613.5 2222222 ABCDAEDBEFCFD SSSSS 阴影 【巩固】【巩固】在边长为在边长为 6 6 厘米的正方形厘米的正方形ABCD内任取一点内任取一点P，将正方形的一组对边，将正方形的一组对边 二等二等分，另一组对边三等分，分别与分，另一组对边三等分，分别与P点连接点连接, ,求
10、求阴影阴影部分面积部分面积 P D C B A A B C D(P) P D C B A 【解析】 （法 1）特殊点法由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法， 假设P点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴 影三角形的面积分别占正方形面积的 1 4 和 1 6 ，所以阴影部分的面积为 2 11 6()15 46 平方厘米 （法 2）连接PA、PC 由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、 下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的 1 4 ，同理可知 左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的 1 6 ，所以阴 影部分的面积为 2
11、 11 6()15 46 平方厘米 【例【例 3】 如图所示，长方形如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为内的阴影部分的面积之和为 70，8AB ， 15AD ，四边形，四边形EFGO的面积为的面积为 O G F E D CB A 【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的 面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积 由于长方形ABCD的面积为15 8120，所以三角形BOC的面积为 1 12030 4 ，所以三角形AOE和DOG的面积之和为 3 1207020 4 ； 又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积
12、之和为 11 12030 24 ，所以 四边形EFGO的面积为302010 另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形 BFD面积白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长 方形面积的一半，即 60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部 分的面积，即1207050，所以四边形的面积为605010 【巩固】如图，长方形【巩固】如图，长方形ABCD的面积是的面积是 36，E是是AD的三等分点，的三等分点，2AEED，则，则 阴影部分的面积为阴影部分的面积为 O A BC D E N M O A BC D E 【解析】 如图，连接OE 根 据 蝶 形 定 理 ， 1
13、 :1:1 2 COECDECAECDE ON NDSSSS ， 所 以 1 2 OENOED SS ； 1 :1:4 2 BOEBAEBDEBAE OM MASSSS ，所以 1 5 OEMOEA SS 又 11 3 34 OEDABCD SS 矩形 ， 26 OEAOED SS ，所以阴影部分面积为： 11 362.7 25 【例【例 4】 已知已知ABC为等边三角形，面积为为等边三角形，面积为 400，D、E、F分别为三边的中点，分别为三边的中点， 已知甲、乙、丙面积和为已知甲、乙、丙面积和为 143，求阴影五边形的面积，求阴影五边形的面积( (丙是三角形丙是三角形 HBC) ) 丙 乙
14、甲 H N M JIF E D CB A 【解析】 因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的 中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三 角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为 200 根据图形的容斥关系，有 ABCABNAMCAMHN SSSSS 丙 ， 即400 200200 AMHN SS 丙 ，所以 AMHN SS 丙 又 ADFAMHN SSSSS 乙甲阴影 ，所以 1 14340043 4 ADF SSSSS 乙甲丙阴影 【例【例 5】 如图，已知如图，已知5CD ，7DE ，15EF ，6FG ，线段，线段AB将图形分成两部
15、将图形分成两部 分，左边部分面积是分，左边部分面积是 38，右边部分面积是，右边部分面积是 65，那么三角形，那么三角形ADG的面的面 积是积是 G FEDC B A A B CDEF G 【解析】 连接AF，BD 根据题意可知，571527CF ；715628DG ； 所以， 15 27 BECBFF SS ， 12 27 BECBFC SS ， 21 28 AEGADG SS ， 7 28 AEDADG SS ， 于是： 2115 65 2827 ADGCBF SS ； 712 38 2827 ADGCBF SS ； 可得40 ADG S故三角形ADG的面积是 40 【例【例 6】 如图在
16、如图在ABC中，中，,D E分别是分别是,AB AC上的点， 且上的点， 且:2:5AD AB ，:4:7AE AC ， 16 ADE S 平方厘米，求平方厘米，求ABC的面积的面积 E D C B A E D CB A 【解析】 连接BE，:2:5(24):(54) ADEABE SSAD AB ， :4:7(45):(75) ABEABC SSAE AC ，所以:( 24 ) : ( 75 ) A D EA B C SS ，设 8 ADE S 份，则35 ABC S 份，16 ADE S 平方厘米，所以1份是2平方厘米， 35份就是70平方厘米，ABC的面积是70平方厘米由此我们得到一 个
17、重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角 或互补角)两夹边的乘积之比 【巩固】如图，三角形【巩固】如图，三角形ABC中，中，AB是是AD的的 5 倍，倍，AC是是AE的的 3 倍，如果三角倍，如果三角 形形ADE的面积等于的面积等于 1，那么三角形，那么三角形ABC的面积是多少？的面积是多少？ E D CB A A BC D E 【解析】 连接BE 3ECAE 3 ABCABE SS 又5ABAD 515 ADEABEABC SSS，1515 ABCADE SS 【巩固】如图，三角形【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲被分成了甲( (阴影部分阴影部分) )、乙两部分，、乙两部
18、分，4BDDC， 3BE ，6AE ，乙部分面积是甲部分面积的几倍？，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 乙 甲 E D CB A A BC D E 甲 乙 【解析】 连接AD 3BE ，6AE 3ABBE，3 ABDBDE SS 又4BDDC， 2 ABCABD SS，6 ABCBDE SS，5SS 乙甲 【例【例 7】 如图在如图在ABC中，中，D在在BA的延长线上，的延长线上，E在在AC上，且上，且:5:2AB AD ， :3:2AE EC ，12 ADE S 平方厘米，求平方厘米，求ABC的面积的面积 E D CB A E D CB A 【解析】 连接BE，:2:5(23):(5 3) A
19、DEABE SSAD AB :3:(32)(3 5): (32) 5 ABEABC SSAE AC ， 所以:(32) : 5(32)6 : 25 ADEABC SS ，设6 ADE S 份，则25 ABC S 份， 12 ADE S 平方厘米， 所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC 的面积是50平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共 角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例【例 8】 如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平，平 行四边形行四边形ABCD的面积是的面积是2， 求平行四边形求平
20、行四边形ABCD与四边形与四边形EFGH的面的面 积比积比 H G A B C D E F H G A B C D E F 【解析】 连接AC、BD根据共角定理 在ABC和BFE中，ABC与FBE互补， 1 11 1 33 ABC FBE SAB BC SBE BF 又1 ABC S ，所以3 FBE S 同理可得8 GCF S ，15 DHG S ，8 AEH S 所以8815+3+236 EFGHAEHCFGDHGBEFABCD SSSSSS 所以 21 3618 ABCD EFGH S S 【例【例 9】 如图所示的四边形如图所示的四边形的面积等于多少？的面积等于多少？ O D C B
21、A 13 13 12 12 13 13 12 12 【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接 求面积. 我们可以利用旋转的方法对图形实施变换： 把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三 角形OAB将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新 图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形 的面积. 因此，原来四边形的面积为12 12144.(也可以用勾股定理) 【例【例 10】 如图所示，如图所示，ABC中，中，90ABC，3AB ，5BC ，以，以AC为一边向为一边向ABC 外作正方形外作正方形ACDE，中心为
22、，中心为O，求，求OBC的面积的面积 5 3 O A BC D E F 5 3 O A BC D E 【解析】 如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置 由于90ABC，90AOC，所以180OABOCB而OCFOAB ， 所以180OCFOCB，那么B、C、F三点在一条直线上 由于OBOF，90BOFAOC ，所以BOF是等腰直角三角形，且斜边 BF为538，所以它的面积为 2 1 816 4 根据面积比例模型，OBC的面积为 5 1610 8 【例【例 11】 如图，以正方形的边如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形为斜边在正方形内作直角三角形ABE， 90AEB
23、，AC、BD交于交于O已知已知AE、BE的长分别为的长分别为3cm、5cm，求，求 三角形三角形OBE的面积的面积 A BC D O E F A BC D O E 【解析】 如图，连接DE，以A点为中心，将ADE顺时针旋转90到ABF的位置 那么90EAFEABBAFEABDAE ，而AEB也是90，所以四边 形AFBE是直角梯形，且3AFAE， 所以梯形AFBE的面积为： 1 35312 2 ( 2 cm) 又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理， 22222 3534ABAEBE， 所以 2 1 17 2 ABD SAB ( 2 cm) 那么17 125 BDEABDABEADEABDAF
24、BE SSSSSS ( 2 cm)， 所以 1 2.5 2 OBEBDE SS ( 2 cm) 【例【例 12】 如如下图，下图，六边形六边形ABCDEF中，中，ABED，AFCD，BCEF，且有，且有AB平行平行 于于ED，AF平行于平行于CD，BC平行于平行于EF， 对角线， 对角线FD垂直于垂直于BD， 已知， 已知24FD 厘米，厘米，18BD 厘米，请问六边形厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？ F E A B D C G F E A B D C 【解析】 如图， 我们将BCD平移使得CD与AF重合， 将DEF平移使得ED与AB重 合，这样EF、B
25、C都重合到图中的AG了这样就组成了一个长方形 BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为 24 18432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米 【例【例 13】 如图，三角形如图，三角形ABC的面积是的面积是1，E是是AC的中点，点的中点，点D在在BC上，且上，且 :1:2BD DC ，AD与与BE交于点交于点F则四边形则四边形DFEC的面积等于的面积等于 F E D C B A 3 3 3 21 F E D C B A A BC D E FF E D CB A 【解析】 方法一：连接CF，根据燕尾定理， 1 2 ABF ACF SBD SDC ， 1
26、 ABF CBF SAE SEC , 设 1 BDF S 份，则 2 DCF S 份， 3 ABF S 份， 3 AEFEFC SS 份， 如图所标 所以 55 1212 DCEFABC SS 方法二：连接DE，由题目条件可得到 11 33 ABDABC SS ， 1121 2233 ADEADCABC SSS ，所以 1 1 ABD ADE SBF FES ， 1111111 22323212 DEFDEBBECABC SSSS ， 而 211 323 CDEABC SS 所以则四边形DFEC的面积等于 5 12 【巩固】【巩固】 如图， 长方形如图， 长方形ABCD的面积是的面积是2平方厘
27、米，平方厘米，2ECDE，F是是DG的中点 阴的中点 阴 影部分的面积是多少平方厘米影部分的面积是多少平方厘米? ? x y y x A BC D EF G G FE D CB A 33 G F E D CB A 2 1 3 【解析】 设 1 DEF S 份， 则根据燕尾定理其他面积如图所示 55 1212 BCD SS 阴影 平方厘米. 【例【例 14】 四边形四边形ABCD的对角线的对角线AC与与BD交于点交于点O( (如图所示如图所示) )如果三角形如果三角形ABD 的面积等于三角形的面积等于三角形BCD的面积的的面积的 1 3 ，且，且2AO ，3DO ，那么，那么CO的长度的长度 是
28、是DO的长度的的长度的_倍倍 A BC D O H G A BC D O 【解析】 在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无 外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解 决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件 :1:3 ABDBCD SS， 这可以向模型一蝶形定理靠拢， 于是得出一种解法 又 观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得 到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边 形” ，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高 之比再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出
29、 结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从 而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题 解法一： :1:3 ABDBDC AO OCSS ， 23 6OC ， :6 : 3 2 : 1O CO D 解法二：作AHBD于H，CGBD于G 1 3 ABDBCD SS ， 1 3 AHCG， 1 3 AODDOC SS ， 1 3 AOCO，236OC ，:6:32:1OC OD 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三个三角形，其中三个三角形的面角形的面 积已知，积已知， 求：三角形求：三角形BGC的面积；的面积；:AG GC
30、 ？ A B C D G 32 1 【解析】 根据蝶形定理，123 BGC S ，那么6 BGC S ； 根据蝶形定理， :12 : 361:3AG GC 【例【例 15】 如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的对角线交于的对角线交于O点，点，CEF、OEF、ODF、 BOE的面积依次是的面积依次是 2、4、4 和和 6求：求求：求OCF的面积；求的面积；求GCE 的面积的面积 O G F E D CB A 【解析】 根据题意可知，BCD的面积为244616，那么BCO和CDO的 面积都是1628，所以OCF的面积为844； 由于BCO的面积为 8，BOE的面积为 6，所以OCE的面积为
31、862， 根 据 蝶 形 定 理 ，:2:41:2 COECOF EG FGSS ， 所 以 :1:2 GCEGCF SSEGFG ， 那么 112 2 1233 GCECEF SS 【例【例 16】 如图，长方形如图，长方形ABCD中，中，:2:3BE EC ，:1:2DF FC ，三角形，三角形DFG的面积的面积 为为2平方厘米，求长方形平方厘米，求长方形ABCD的面积的面积 A BC D E F G A BC D E F G 【解析】 连接AE，FE 因为:2:3BEEC，:1:2DF FC ，所以 3111 () 53210 DEFABCDABCD SSS 长方形长方形 因为 1 2
32、AEDABCD SS 长方形 ， 11 :5:1 2 10 AG GF ，所以510 AGDGDF SS平方 厘米，所以 12 AFD S 平方厘米因为 1 6 AFDABCD SS 长方形 ，所以长方形 ABCD的面积是72平方厘米 【例【例 17】 如图，正方形如图，正方形ABCD面积为面积为3平方厘米，平方厘米，M是是AD边上的中点求图中边上的中点求图中 阴影部分的面积阴影部分的面积 G M D C B A 【解析】 因为M是AD边上的中点，所以:1:2AM BC ，根据梯形蝶形定理可以知 道 22 :1 : 1 2 : 1 2 :21:2:2:4 AMGABGMCGBCG SSSS （
33、） （）， 设1 AGM S 份 ， 则 123 M C D S 份 ， 所 以 正 方 形 的 面 积 为1224312份 ， 224S 阴影 份，所以:1:3SS 阴影正方形 ，所以 1S 阴影 平方厘米 【巩固】在下图的正方形【巩固】在下图的正方形ABCD中，中，E是是BC边的中点，边的中点，AE与与BD相交于相交于F点，点， 三角形三角形BEF的面积为的面积为 1 平方厘米，那么正方形平方厘米，那么正方形ABCD面积是面积是 平方厘米平方厘米 A BC D E F 【解析】 连 接DE， 根 据 题 意 可 知:1:2BE AD ， 根 据 蝶 形 定 理 得 2 129S 梯形 （）
34、 ( 平 方 厘 米 ) ， 3 ECD S ( 平 方 厘 米 ) ， 那 么 12 ABCD S(平方厘米) 【例【例 18】 已知已知ABCD是平行四边形，是平行四边形，:3:2BC CE ，三角形，三角形ODE的面积为的面积为 6 平方厘平方厘 米则阴影部分的面积是米则阴影部分的面积是 平方厘米平方厘米 O E A BC D O E A BC D 【解析】 连接AC 由于ABCD是平行四边形，:3:2BC CE ，所以:2:3CE AD ， 根据梯形蝶形定理， 22 :2 :2 3:2 3:34:6:6:9 COEAOCDOEAOD SSSS，所 以6 AOC S( 平 方 厘 米 )
35、 ，9 AOD S( 平 方 厘 米 ) ， 又 691 5 ABCACD SS(平方厘米)，阴影部分面积为61521(平方厘 米) 【巩固】右图中【巩固】右图中ABCD是梯形，是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所是平行四边形，已知三角形面积如图所 示示( (单位：平方厘米单位：平方厘米) )，阴影部分的面积是，阴影部分的面积是 平方厘米平方厘米 21 A BC D E 9 4 21 A BC D E O 9 4 【分析】 连接AE由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么 OCDOAE SS 根据蝶形定理，4936 OCDOAEOCEOAD SSSS ，故 2 36 O
36、CD S ， 所以 6 OCD S (平方厘米) 【巩固】右图中【巩固】右图中ABCD是梯形，是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所是平行四边形，已知三角形面积如图所 示示( (单位：平方厘米单位：平方厘米) )，阴影部，阴影部分的面积是分的面积是 平方厘米平方厘米 16 8 2 A BC D E O 16 8 2 A BC D E 【解析】 连接AE由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么 OCDOAE SS 根据蝶形定理， 2 816 OCDOAEOCEOAD SSSS ， 故 2 16 OCD S， 所以4 OCD S(平方厘米) 另解： 在平行四边形ABED中，
37、11 16812 22 ADEABED SS (平方厘米)， 所以1284 AOEADEAOD SSS (平方厘米)， 根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244(平方厘米) 【例【例 19】 如图，长方形如图，长方形ABCD被被CE、DF分成四块，已知其中分成四块，已知其中 3 块的面积分别块的面积分别 为为 2、5、8 平方厘米，那么余下的四边形平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为的面积为_ 平方厘米平方厘米 ? 8 5 2 O AB CD EF ? 8 5 2 O AB CD EF 【解析】 连接DE、CF 四边形EDCF为梯形， 所以 EODFOC SS ， 又根据蝶形定理， EOD
38、FOCEOFCOD SSSS ，所以2 816 EODFOCEOFCOD SSSS ，所以 4 EOD S(平方厘米)，4812 ECD S(平方厘米)那么长方形ABCD的面 积为12 224平方厘米，四边形OFBC的面积为245289(平方厘 米) 【例【例 20】 如图，如图，ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段是正方形，线段AB与与CD相交相交 于于K点已知正方形点已知正方形DEFG的面积的面积 48，:1:3AK KB ，则，则BKD的面积是的面积是 多少？多少？ K G FE D CB A M K G FE D CB A 【解析】 由于DEFG是正方形，所
39、以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形在 梯形ADBC中，BDK和ACK的面积是相等的 而:1:3AK KB ， 所以ACK 的面积是ABC面积的 11 134 ，那么BDK的面积也是ABC面积的 1 4 由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么 M是BC的中点，而且AMDE，可见ABM和ACM的面积都等于正方 形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为 48 那么BDK的面积为 1 4812 4 【例【例 21】 下图中，四边形下图中，四边形ABCD都是边长为都是边长为 1 的正方形，的正方形，E、F、G、H分别是分别是 AB，BC，CD
40、，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分 的面积之比是最简分数的面积之比是最简分数 m n ，那么，那么，()mn的值等于的值等于 A BC D E F G H H G F E D CB A 【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观 察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部 分的面积，再求阴影部分的面积 如下图所示，在左图中连接EG设AG与DE的交点为M 左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面积的 1 4 ，所 以三角形AMD的面积为 2 111 1 248 又左图中四个空白
41、三角形的面积是 相等的，所以左图中阴影部分的面积为 11 14 82 M A BC D E F G H N H G F E D CB A 如上图所示，在右图中连接AC、EF设AF、EC的交点为N 可知EFAC且2ACEF那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的 1 4 ，所以三角形BEF 的面积为 2 111 1 248 ，梯形AEFC的面积为 113 288 在梯形AEFC中，由于:1:2EF AC ，根据梯形蝶形定理，其四部分的面 积 比 为 ： 22 1 :1 2:1 2:21:2:2:4， 所 以 三 角 形EFN的 面 积 为 311 8122424 ，那么四边形BENF的面积为
42、111 8246 而右图中四个空 白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为 11 14 63 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为 1 1 :3:2 2 3 ， 即 3 2 m n ， 那么325mn 【例【例 22】 如图，如图， ABC中，中，DE，FG，BC互相平行，互相平行，ADDFFB， 则则 : ADEDEGFFGCB SSS 四边形四边形 E GF A D C B 【解析】 设1 ADE S 份，根据面积比等于相似比的平方， 所以 22 :1:4 ADEAFG SSADAF ， 22 :1:9 ADEABC SSADAB ， 因此4 AFG S 份，9 AB
43、C S 份， 进而有3 DEGF S 四边形 份，5 FGCB S 四边形 份，所以:1:3:5 ADEDEGFFGCB SSS 四边形四边形 【巩固】如图，【巩固】如图，DE平行平行BC，且，且2AD ，5AB ，4AE ，求，求AC的长的长 A E D C B 【解析】 由金字塔模型得:2:5AD ABAE ACDE BC，所以42510AC 【巩固】如图，【巩固】如图， ABC中，中，DE，FG，MN，PQ，BC互互 相平行，相平行， ADDFFMMPPB，则，则 : ADEDEGFFGNMMNQPPQCB SSSSS 四边形四边形四边形四边形 【解析】 设 1 ADE S 份， 22
44、:1:4 ADEAFG SSADAF ，因此 4 AFG S 份，进而有3 DEGF S 四边形 份，同理有 5 FGNM S 四边形 份， 7 MNQP S 四边形 份，9 PQCB S 四边形 份 所以有 :1:3:5:7:9 ADEDEGFFGNMMNQPPQCB SSSSS 四边形四边形四边形四边形 【例【例 23】 如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的边长为的边长为4，F是是BC边的中点，边的中点，E是是DC边上边上 的点，且的点，且:1:3DE EC ，AF与与BE相交于点相交于点G，求，求 ABG S G F A E D C B M G F A E D C B G F A
45、E D C B 【解析】 方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏， 所以有:1:1AB CMBF FC，因此4CM ，根据题意有3CE ，再根据另 一个沙漏有:4:7GBGEABEM，所以 4432 (442) 471111 ABGABE SS 方 法 二 ： 连 接,AE EF， 分 别 求4224 ABF S ， 444 1232247 AEF S ，根据蝶形定理 :4:7 ABFAEF SSBGGE ，所以 4432 (442) 471111 ABGABE SS 【例【例 24】 如图所示，已知平行四边如图所示，已知平行四边形形ABCD的面积是的面积是 1，E、F
46、是是AB、AD的中的中 点，点， BF交交EC于于M，求，求BMG的面积的面积 Q E G N M F P A D C B M H G F E D CB A I A BC D E F G H M 【解析】 解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得/ /EFBD，而 :1: 2FD BCFHHC， :1:2EB CDBG GD所以:2:3CH CFGH EF， 并得G、H是BD的三等分点，所以BGGH，所以 :2:3BG EFBM MF， 所以 2 5 BMBF， 1111 2224 BFDABDABCD SSS ； 又因为 1 3 BGBD，所以 121211 3535430 BMGB
47、FD SS 解法二：延长CE交DA于I，如右图， 可得，:1:1AI BCAE EB，从而可以确定M的点的位置， :2:3BM MFBC IF， 2 5 BMBF， 1 3 BGBD(鸟头定理)， 可得 212111 5353430 BMGBDFABCD SSS 【例【例 25】 如图，如图，ABCD为正方形，为正方形，1cmAMNBDEFC且且2cmMN ，请问四边，请问四边 形形PQRS的面积为多少？的面积为多少？ S R B C D A E Q NM F P S R B C D A E Q NM F P 【解析】 (法1)由/ /ABCD，有 MPPC MNDC ，所以2PCPM，又 M
48、QMB QCEC ，所以 1 2 MQQCMC，所以 111 236 PQMCMCMC，所以 SPQR S占 AMCF S的 1 6 ， 所以 12 1 (1 12) 63 SPQR S 2 (cm ) (法2)如图，连结AE，则 1 448 2 ABE S ( 2 cm )， 而 RBER ABEF ，所以2 RBAB EFEF ， 2216 8 333 ABRABE SS ( 2 cm) 而 11 343 22 MBQANS SS ( 2 cm)，因为 MNMP DCPC ， 所以 1 3 MPMC，则 114 24 233 MNP S ( 2 cm)，阴影部分面积等于 1642 33 3
49、33 ABRANSMBQMNP SSSS ( 2 cm) 【例【例 26】 如右图，三角形如右图，三角形ABC中，中，:4:9BD DC ，:4:3CE EA ，求，求:AF FB OF E D CB A 【解析】 根据燕尾定理得:4:912:27 AOBAOC SSBD CD :3:412:16 AOBBOC SSAE CE （都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16: AOCBOC SSAF FB 【点评】本题关键是把AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我 们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达 到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【巩固】如右图，三角形【巩固】如右图，三角形ABC中，中，:3:4BD DC ，:5:6AE CE ，求，求:AF FB. . OF E D CB A 【解析】 根据燕尾定理得:3:415:20 AOBAOC SSBD CD :5:615:18 AOBBOC SSAE CE （都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9: AOCBOC SSAF FB 【巩固】如右图，三角形【巩固】如右图，三角形ABC中，中，:2:3BD DC ，:5:4EA CE ，求，求:AF FB. . OF E D CB A 【解
