1、安徽省六校教育研究会 2021 届高三联考数学（理）参考答案安徽省六校教育研究会 2021 届高三联考数学（理）参考答案 一、选择题选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号123456789101112 答案BACDADCBBCDB 二、填空题填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 914.915.xy 3 32 16. 27 5 三、解答题 （解答题 （总分 70 分） 17.（本小题满分 12 分） 解.(1) 由 1 () 2 ADABAC可得： 2 2 1 () 4 ADABAC 求得 = -1 AB AC ， 1 cosBAC 2 AB AC ABAC 所以BAC=120
2、 ， ABC 3 S= 2 （2）由 ABCABEACE S=S+S 可得 1112 sin+sin=sin 232323 AB AEAC AEAB AC 从而 2 AE= 3 ，由 + ABAC AE ABAC （） 可得 2 = 3 18.（本小题满分 12 分） (1)解： 方法 1：取AB中点为E,则ABCE ,进而CEAB 1 , 又易得四边形EBAA 11 为正方形，则EAAB 11 所以 1 AB面ECA1 又M是AD的中点，易得,/, 1111 CBAMCBAM 所以 11AB MC 为平行四边形, 所以 11/ AB MC 得 1 MC 面 ECA1 所以CAMC 115 分
3、 方法 2：:由图知 111 AAADABAADACDCA 又M是AD的中点，易得,/, 1111 CBAMCBAM 所以 1111 /,ABMCABMC , 所以ABAAABMC 2 1 111 ，可得： 0 120cos21 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 ) 2 1 ()( 2 22 1 1111 o ABADABAA ABAAAAADABMCCA 所以CAMC 11 5 分 (2)取 BC 中点 Q，连接 AQ， 因为 ABCD 是菱形，且60ABC， 所以ABC是正三角形， 所以AQBC，即AQAD， 由于 1 AA 平面 ABCD， 分别以 AQ，AD， 1 AA为 x 轴
4、，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图： (0,0,0)A， 1(0,0,1) A， 1(0,1,1) D，( 3,0,0)Q 假设点 E 存在，设点 E 的坐标为( 3, ,0)，11， ( 3, ,0)AE ， 1 (0,1,1)AD ， 设平面 1 AD E的法向量( , , )nx y z 则 1 0 0 n AE n AD ，即 30 0 xy yz ， 可取( ,3, 3)n ， 平面 1 ADD的法向量为( 3,0,0)AQ ， 所以， 2 3 |1 |cos,| 3 36 AQ n ， 解得： 3 2 ， 又由于二面角 1 EADD大小为锐角， 由图可知，点 E 在线段 Q
5、C 上， 所以 3 2 ，即 3 1. 2 CE 12 分 19.（本小题满分 12 分） 型 20.（本小题满分 12 分） 解：（I）由题意得： 1 2 2252 2 2 a b c ，解得3, 1, 2cba 得椭圆的标准方程为： 1 4 2 2 y x5 分 （II）设 ),( 00 yxP ，切线)( 00 xxkyy，则5 2 0 2 0 yx 由 )( 1 4 00 2 2 xxkyy y x 化简得04)(4)(8)41 ( 2 0000 22 kxyxkxykxk 由 0 得012)4( 2 000 2 2 0 ykyxkx 设切线PBPA,的斜率分别为 21,k k 则1
6、)5(4 1 4 1 2 0 2 0 2 0 2 0 21 y y x y kk 又直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为 2 1 当切线PBPA,的斜率都存在时，设),(),( 2211 yxByxA, 切线PBPA,方程为1,2i),( iii xxkyy并由得 2 , 1i , 012)4( 2 2 2 i iiii ykyxkx)( 又BA,点在椭圆上，得2 , 1i , 1 4 2 2 i i y x 代入)( 得 2 i ii ) 2 2( x ky，即2 , 1i , 4 i i i y x k 切线PBPA,的方程为2, 1i , 1 4 i i yy xx 又过P点，则2,
7、1i , 1 4 0i 0i yy xx 所以直线AB方程为, 1 4 0 0 yy xx 由ABPQ 得直线PQ方程为)( 4 0 0 0 0 xx x y yy 联立直线AB方程为, 1 4 0 0 yy xx 解得 0 2 0 2 0 2 00 0 2 0 2 0 2 00 5 1 16 )31 ( , 5 4 16 )31 (4 y yx yy yx yx yx x QQ 由5 2 0 2 0 yx得Q点轨迹方程为15 16 5 22 yx，且焦点恰为 21,F F ， 故 5 8 5 4 2 21 QFQF , 当切线PBPA,的斜率有一个不存在时，易得 5 8 21 QFQF 综上
8、得 5 8 21 QFQF.12 分 21.（本小题满分 12 分） 解： （1）由题意得 xx e mxx e mxmx xf )1)(1(1)2( )( 2 当m11，即0m时， 在)1 ,(m和), 1 ( 上0)( xf，)(xf单调减； 在) 1 ,1 (m上0)( xf，)(xf单调增. 当m11，即0m时， 在),(上0)( xf，)(xf单调减 当m11，即0m时， 在) 1 ,(和),1 (m上0)( xf，)(xf单调减； 在)1 , 1 (m上0)( xf，)(xf单调增 5 分 （2）对任意的5)(4 ,1 , 1, 2121 xxfmxx可转化为 4 5 4 1 )(
9、 21 xxf， 设 4 5 4 1 )(xxg，则问题等价于mxx1 , 1, 21 ， minmax )()(xgxf 由（1）知，当)0 , 1(m时，)(xf在m1 , 1上单调递增，? ? ? ? ? ?， )(xg在m1 , 1上单调递减，? ? ? ? ? ? ， 即证1 4 12 1 m e m m ，化简得)1 (5)2(4 1 mem m 令)2 , 1 (,1ttm 设)2 , 1 (),1(4)5()(ttteth t ， 则0424)4()( tt eteth，故)(th在)2 , 1 (上单调递增 084) 1 ()(ehth，即)1 (5)2(4 1 mem m
10、故1 4 12 1 m e m m ，得证 12 分 选做题选做题(本题满分 10 分) 22.22.（本小题满分 10 分） 解：()曲线 1 C的极坐标方程为1)sin(cos，即 2 2 ) 4 sin( . 曲线 2 C的普通方程为4)2( 22 yx，即04 22 xyx， 所以曲线 2 C的极坐标方程为cos4; 5 分 ()由()知,cos4, sincos 1 BA OBOA 4coscossin2 1cos2sin222 2sin 2 4 OB OA ， ), 4 2sin(222)2sin2cos1 (2)sin(coscos4 OA OB 因为4 OA OB 所以4) 4 2sin(222 ， 2 2 ) 4 2sin( ， 由 2 0 ，知 4 5 4 2 4 所以 4 3 4 2 ， 所以 4 .10 分 23.23.（本小题满分 10 分） 解：(1)当2a时,112)(xxxf 即 1,3 1 2 1 , 2 2 1 ,3 )( xx xx xx xf 故不等式2)(xf的解集为 0 , 3 2 . 5 分 ()当)2 , 1 (x时xxf)(成立等价于当)2 , 1 (x时11 ax成立. 则111ax,即02ax,解得01a .10 分
