1、专题专题 15 15 从全等到相似从全等到相似 阅读与思考阅读与思考 相似三角形的知识应用广泛，可以证明角的相等、线段成比例等问题. 通过寻找（或构造）相似三角 形获得比例线段或等角，用以论证或计算的方法，我们称为相似三角形法，这是几何学中应用最广泛的方 法之一. 全等三角形是相似三角形相似比等于 1 的特殊情况，相等是它的主旋律，从全等到相似的过程，不仅 是认识形式上的变化，而且在思维方法上也是一个飞跃，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形 中的等量形式更为复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式，甚至是线段乘积的和差、线段比的和差. 证 明这类问题，常常要通过命题的转换或中间量的过渡.
2、 熟悉下面这些“A”型、 “X”型，子母型等相似三角形. 例题与求解例题与求解 【例【例 1】如图，ABCD 中，直线 PS 分别交 AB，CD 的延长线于 P，S，交 BC，AC，AD 于 Q，E， R，图中相似三角形的对数（不含全等三角形）共有 对. （武汉市竞赛试题） 解题思路解题思路：从寻找最基本的相似三角形入手，注意相似三角形的传递性. P Q S R E C D B A 【例【例 2】 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB=7，AD=2，BC=3. 如果边 AB 上的点 P 使得以 P，A，D 为顶点的三角形和以 P，B，C 为顶点的三角形相似，那么这样的点 P 有（ ） A.1
3、个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解题思路解题思路：通过代数化，将 P 点的个数的讨论转化为方程解的个数的讨论. 要使两个三角形相似，并没有具体的对应关系，所以结论具有不确定性，应注意分类讨论. P C D B A 【例【例 3】如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是中线，P 是 AD 上一点，过 C 作 CFAB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF 于 F. 求证： 2 BPPE PF. （吉林省中考试题） 解题思路解题思路：由于 BP，PE，PF 在一条直线上，所以必须通过等线段的代换促使问题的转化. 证明比例式或等积式是几何问题中的常见题型， 解决它的常用方法是： 找相似：
4、三点定形法； 作 平行：根据要证明的式子，找到一个分点，过此点作平行线，能写出要证式子中的一个比或与其相关的比； 变原式：包括等量代换、等积代换和等比代换. F P E C D B A 【例【例 4】已知ABC 中，BCAC，CH 是 AB 边上的高，且满足 2 2 ACAH BCBH . 试探讨A 与B 的关系，并加以证明. （武汉市竞赛试题） 解题思路解题思路：由题设易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出A 与B 的关系. 解题的 关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质，推导判定两个三角形相似的条件. C D B A 如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似
5、，由此得出的等积式在计算与 证明中应用极为广泛，其特点是： 一线段是两个三角形的公共边； 另两条线段在同一直线上. 构造逆命题是提出问题的一个常用方法，例 4 是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出结 论基础上提出的一个逆命题. 你能提出新的问题吗？并加以证明. 【例【例 5】如图 1，P 为ABC 内一点，连接 PA，PB，PC. 在PAB，PBC 和PAC 中，如果存 在一个三角形与ABC 相似，那么就称 P 为ABC 的自相似点. （1）如图 2，已知 RtABC 中，ACB=90，ABCA，CD 是 AB 上的中线，过点 B 作 BE CD，垂足为 E，试说明 E 是ABC 的
6、自相似点； （2）在ABC 中，ABC . 如图 3，利用尺规作出ABC 的自相似点 P（写出作法并保留作图痕迹） ； 若ABC 的内心（A，B，C 角平分线的交点）P 是该三角形的自相似点，求该三角形 三 个内角的度数. （南京市中考试题） 解题思路解题思路：本例设问形式多样，从概念的判断说理到作图求解，由浅入深，而认识并深刻理解“自相 似点”的概念，是解题的关键. A BC A B C PE C D B A 图 1 图 2 图 3 【例【例 6】如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm. 点 P 沿 AB 边从点 A 开始向 B 以 2cm/s 的 速度移动，点 Q 沿 D
7、A 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动. 如果 P，Q 同时出发，用 t（秒）表示移 动时间（06t ） ，那么： （1）当 t 为何值时，QAP 为等腰三角形？ （2）求四边形 QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论； （3）当 t 为何值时，以点 Q，A，P 为顶点的三角形与ABC 相似？ （河北省中考试题） 解题思路解题思路：对于（3） ，借助三角形相似的判定方法，由于未指明对应关系，探求质点运动的时间应注 意分类讨论. P Q CD BA 能力训练能力训练 A 级级 1. 如图，已知12 ，BD ，5ABDE，4BC ，那么 AD= . 2 1 F BC A
8、E D M BC A E C D B A （第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） 2. 如图，在ABC 中，9AB ，6AC ，点 M 在 AB 上且3AM ，点 N 在 AC 上. 如果连接 MN， 使得AMN 与原三角形相似，则 AN= . 3. 如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC， 1 3 ADBC， 4 3 CDBC，E，F 为两腰上的中 点. 下面的四个结论：2CEBE；ADEEDC； ADECEF SS ； AEDF ABDC . 其中结论正确 的有 .（填序号即可） （宜昌市中考试题） 4. 在 四 边 形 ABCD 中 ， E ， F ， G ， H 分
9、 别 是 AB ， BC ， CD ， DA 上 的 一 点 ， 且 AEBFDG BEFCGC (0) AH k k HD . 阅读下段材料，然后回答后面问题. 如图，连接 BD， AE BE AH HD ， BFDG FCGC ，EHBD，FGBD，FGEH. （1）连接 AC，则 EF 与 GH 是否一定平行，答： . （2）当 k 值为 时，四边形 EFGH 为平行四边形. （3）在（2）的情形下，对角线 AC 与 BD 只须满足 条件时，EFGH 为矩形； （4）在（2）的情形下，对角线 AC 与 BD 只须满足 条件时，EFGH 为矩形. （黄冈市中考试题） 5. 如图，在ABC
10、中，ADBC 于点 D，下列条件：90BDAC；BDAC ； CDAC ADAB ； 2 ABBD BC，其中一定能判定ABC 是直角三角形的共有（ ） A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 （山西省中考试题） A B C B A BC E F A B C D F DC P EB A （第 5 题） （第 6 题） （第 7 题） （第 8 题） 6. 如图，ABCD 中， E 是 BC 上一点，:2:3BE EC ， AE 交 BD 于点 F， 则:B F F D等于 （ ） A.2:5 B.3:5 C.2:3 D.5:7 （重庆市中考试题） 7. 将三角形纸片（ ABC）按如图所
11、示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，即为点 B，折痕为 EF. 已 知3ABAC，4BC ，若以点 B，F，C 为顶点的三角形与ABC 相似，那么 BF 的长度为（ ） H G F C E D B A A.2 B. 12 7 C.2 或12 7 D.不确定 （山东省中考试题） 8. 如图，在ABC 中，8AB ，7BC ，6CA，延长 BC 至 P，使得PABPCA，则 PC 等于 （ ） A.7 B.8 C.9 D.10 （重庆市竞赛试题） 9. 已知：正方形的边长为 1. （1）如图 1，可以算出一个正方形的对角线长2，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长， 进而猜想出 n 个正方形
12、并排拼成的矩形的对角线长； 图 1 （2）根据图 2，求证：BCEBED； （3）由图 3，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明： 45BECBDE；45BECBED；45BECDFE. E ABCDABCD E F 图 2 图 3 （三明市中考试题） 10. 如图，在ABC 中，2ACBABC . 求证： 22 ABACAC BC. A BC （黄冈市竞赛试题） 11.（1）如图 1，等边ABC 中，D 为 AB 边上的动点，以 CD 为一边向上作等边EDC，连接 AE， 求证：AEBC； （2）如图 2，将（1）中的等边ABC 的形状改为以 BC 为底边的等腰三角
13、形，所作EDC 改成相似 于ABC，请问：是否仍有 AEBC？证明你的结论. （苏州市中考试题） AE C D B A BC D E 图 1 图 2 12. 如图，分别以锐角ABC 的边 AB，BC，CA 为斜边向外作等腰 RtDAB，等腰 RtEBC，等腰 RtFAC. 求证： （1）AE=DF； （2）AEDF. （全国初中数学竞赛试题） F A B C D E B 级级 1. 如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，ABCD，一直线交 BA 延长线于 E，交 DC 延长线于 J，交 AD 于 F，BD 于 G，AC 于 H，BC 于 I. 已知EFFGGHHIIJ，则 DC AB . （
14、“祖冲之杯”邀请赛试题） E F G A B C D P A B C D J I H G F A B CD E （第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） 2. 如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，90B，2AD ，4BC ，点 P 在高 AB 上滑动. 若 DAPPBC，3AP 时，PB . （重庆市竞赛试题） 3. 如图，四边形 ABCD 为正方形，A，E，F，G 在同一条直线上，且5AE cm，3EF cm，那么 FG . （香港初中数学竞赛试题） 4. 如图， RtABC 中，90C，ACCDBD， DEAB 于 E. 设AEa，BEb， 则 a b （ ） A.3:2 B.4
15、:3 C.5:4 D.6:5 （重庆市竞赛试题） B D C A A B C D E （第 4 题） （第 5 题） 5. 如图， 在ABC中， D是边AC上一点， 下面四种情况中， ABDACB不一定成立的情况是 （ ） A.AD BCAB BD B. 2 ABAD AC C.ABDACB D.AB BCAC BD （全国初中数学联赛试题） 6. 已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为 1 4 ，那么两底的比为（ ） A. 1 2 B. 1 4 C. 1 8 D. 1 16 （江苏省竞赛试题） 7. 如图，O 是四边形 ABCD 对角线的交点，已知180BADBCA，5A
16、B ，4AC ，3AD ， 7 6 BO OD ，求 BC. （ “祖冲之杯”邀请赛试题） O B A C D F A B C D E （第 7 题） （第 8 题） 8. 如图，ABC 中，角:4:2:1A B C ，AD，BE 分别平分BAC，ABC. 求证： 2 ABAD BE. （沈阳市竞赛试题） 9. 在ABC 中，A，B，C 所对的边分别用 a，b，c 表示. 图 2图 1 C B A ab cc b a A B C （1）如图 1，在ABC 中，2AB ，且60A，求证： 2 ()ab bc； （2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的 2 倍，我们称这样的三角形为“倍角三角
17、形”. 本题第 1 问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角ABC，如图 2，其中2AB ， 关系式 2 ()ab bc是否仍然成立？并证明你的结论. 10. 在ABC 中，90A，点 D 在线段 BC 上， 1 2 EDBC，BEDE 于 E，DE 与 AB 相交于 点 F. （1）当 AB=AC 时（如图 1） ， EBF ；探究线段 BE 与 FD 的数量关系，并加以证明； （2）当ABkAC时（如图 2） ，求 BE FD 的值（用含 k 的式子表示）. （大连市中考试题） A B E F D C F E D C B A 图 2图 1 11. 如图，AB 是等腰直角三角形
18、的斜边，若点 M 在边 AC 上，点 N 在边 BC 上，沿直线 MN 将MCN 翻折，使点 C 落在 AB 上，设其落点为点 P. （1）当点 P 是边 AB 的中点时，求证： PACM PBCN ； （2）当点 P 不是边 AB 的中点时， PACM PBCN 是否仍然成立？请证明你的结论. （北京市宣武区中考试题） P N M C BA 12. 如图，在四边形 ABCD 中，E，F 分别是边 AB，CD 的中点. P 为对角线 AC 延长线上的任意一点， PF 交 AD 于点 M，PE 交 BC 于点 N，EF 交 MN 于点 K. 求证：K 是线段 MN 的中点. （江西省竞赛试题） K P N M E F D C B A
