1、第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年安徽省池州市高二（上）期末数学试卷（理科）学年安徽省池州市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：共一、选择题：共 l2 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。是符合题目要求的。 1 （5 分）命题“xR ， 2 4cos0 xx”的否定为( ) AxR ， 2 4cos0 xx BxR ， 2 4cos0 xx CxR ， 2 4cos0 xx DxR ， 2 4cos0 xx 2 （5 分）若直线 1:2 540lxy与 2
2、 l互相平行，且 2 l过点(2,1)，则直线 2 l的方程为( ) A52120 xy B2510 xy C5280 xy D2590 xy 3 （5 分）双曲线 22 :1 1615 xy C的焦点到渐近线的距离为( ) A1 B15 C4 D31 4 （ 5分 ） 已 知 空 间 任 意 一 点O和 不 共 线 的 三 点A，B，C， 若 (,)O Dm O An O Bp O C m npR，则“A，B，C，D四点共面”是“ 3 2 m ， 1 2 n ， 1p ”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）若圆 22 1: 2440
3、Cxyxy，圆 22 2: 61020Cxyxy，则 1 C， 2 C的 公切线条数为( ) A1 B2 C3 D4 6 （5 分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，现有如下命题： 若m，/ /mn，则n； 若m，/ /mn，/ /n，则； 若m，n，mn，则 则正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 7 （5 分）图中小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积 第 2 页（共 18 页） 为( ) A 61 2 B 63 2 C 45 2 D 47 2 8 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，过点F且斜率为 2 的直线l与
4、C交于 M，N两点，若| 10MN ，则(p ) A2 B3 C4 D5 9 （5 分）圆 22 :2C xy关于直线250 xy对称的圆的方程为( ) A 22 (2)(4)2xy B 22 (2)(4)2xy C 22 (4)(6)2xy D 22 (4)(6)2xy 10 （5 分）如图所示，在四面体ABCD中，ABC为等边三角形，1AB ， 1 2 CD ， 60ACD，ABCD，则(BD ) A 3 2 B 7 2 C 5 2 D 3 2 11（5分） 已知正三棱柱 111 ABCABC的体积为16 3， 底面积为4 3， 则三棱柱 111 ABCABC 的外接球表面积为( ) A
5、112 3 B 56 3 C 224 3 D28 第 3 页（共 18 页） 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F， 12 | 2 (1,2) ii M FM Fa i，且 1 M， 2 F， 2 M三点共线，点D在线段 21 M F上，且 1121 F M DM M D ， 11121 22M FM FM D，则双曲线C的渐近线方程为( ) A 2 2 yx B2yx C 3 2 yx D3yx 二、填空题：共二、填空题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分。分。 13 （5 分）命题“若
6、0 x ，则 22 0 xy”的逆否命题为 14 （5 分）若直线 1:3 0lxy与 2: 40lxy交于点A，且(2,0)B，则|AB 15 （5 分）已知直线:310lxy 与抛物线 2 :3C yx交于M，N两点，O为坐标原点， 则OMN的面积为 16 （5 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的体积为 8，点E，F分别是线段CD，BC的中 点， 平面过点 1 A，E，F且与正方体 1111 ABCDABC D形成一个截面图形， 现有如下说法： 截面图形是一个六边形； 若点I在正方形 11 CDDC内（含边界位置） ，且I 平面，则点I的轨迹长度为 2 13 3 ； 截面图形的
7、周长为2 132 则说法正确命题的序号为 三、解答题：共三、解答题：共 6 小题，满分小题，满分 70 分。解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。 17 （10 分）已知圆台上、下底面的底面积分别为16，81，且母线长为 13 （1）求圆台的高； （2）求圆台的侧面积 18 （12 分）如图所示，直棱柱 1111 ABCDABC D中，四边形ABCD为菱形，点E是线段 1 CC 的中点 （1）求证： 1/ / AC平面BDE； （2）求证： 1 BDAE 第 4 页（共 18 页） 19 （12 分）已知圆C过点(2, 3)，(0, 3)，(0,
8、1)，点A在直线:40lxyk上 （1）求圆C的方程； （2）过点A能够作直线 1 l， 2 l与圆C相切，切点分别为M，N，若90MAN，求k的 取值范围 20 （12 分）已知命题 p：x2，+） ，2x212mx+90；命题 q：方程表 示焦点在 x 轴上的椭圆 （1）若 q 为真，求实数 m 的取值范围； （2）若 pq 是假命题，pq 是真命题，求实数 m 的取值范围 21 （12 分）如图所示，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA平面ABCD， 45SDA，M，N，P分别是SA，AB，SC的中点，2ABAD （1）求直线CM，BP所成角的余弦值； （2）求直线CN与平面DM
9、N所成角的正弦值 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，且过点 115 (,) 24 （1）求椭圆C的方程； （2）已知点M到原点的距离为5，过点M的直线 1 l， 2 l与椭圆C均仅有一个公共点，分 别记为A，B，求OAB面积的最大值 第 5 页（共 18 页） 第 6 页（共 18 页） 2020-2021 学年安徽省池州市高二（上）期末数学试卷（理科）学年安徽省池州市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：共一、选择题：共 l2 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分。在每
10、小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。是符合题目要求的。 1 （5 分）命题“xR ， 2 4cos0 xx”的否定为( ) AxR ， 2 4cos0 xx BxR ， 2 4cos0 xx CxR ， 2 4cos0 xx DxR ， 2 4cos0 xx 【解答】 解： 全称命题的否定为特称命题， 故 “xR ， 2 4cos0 xx” 的否定为 “xR ， 2 4cos0 xx” ， 故选：D 2 （5 分）若直线 1:2 540lxy与 2 l互相平行，且 2 l过点(2,1)，则直线 2 l的方程为( ) A52120 xy B25
11、10 xy C5280 xy D2590 xy 【解答】解：因为直线 1:2 540lxy与 2 l互相平行， 设直线 2:2 50(4)lxy， 将(2,1)代入可得，1， 故直线 2:2 510lxy 故选：B 3 （5 分）双曲线 22 :1 1615 xy C的焦点到渐近线的距离为( ) A1 B15 C4 D31 【解答】解：双曲线 22 :1 1615 xy C的焦点坐标为(31,0)， 渐近线方程为1540 xy， 故焦点到渐近线1540 xy的距离 3115 15 31 d ， 故选：B 第 7 页（共 18 页） 4 （ 5分 ） 已 知 空 间 任 意 一 点O和 不 共
12、线 的 三 点A，B，C， 若 (,)O Dm O An O Bp O C m npR，则“A，B，C，D四点共面”是“ 3 2 m ， 1 2 n ， 1p ”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若A，B，C，D四点共面，则需1mnp， “A，B，C，D四点共面”不能推出“ 3 2 m ， 1 2 n ，1p ” ，不满足充分性， “ 3 2 m ， 1 2 n ，1p ”可以推出“A，B，C，D四点共面” ，满足必要性， 故“A，B，C，D四点共面”是“ 3 2 m ， 1 2 n ，1p ”的必要不充分条件 故选：A 5 （5 分
13、）若圆 22 1: 2440Cxyxy，圆 22 2: 61020Cxyxy，则 1 C， 2 C的 公切线条数为( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：依题意，圆 22 1:( 1)(2)9Cxy，圆心为(1,2)，半径为 3， 圆 22 2:( 3)(5)36Cxy，圆心为(3,5)，半径为 6， 因为 12 |4913(3,9)CC ， 故圆 1 C， 2 C相交， 则有 2 条公切线 故选：B 6 （5 分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，现有如下命题： 若m，/ /mn，则n； 若m，/ /mn，/ /n，则； 若m，n，mn，则 则正确命题的个数为( ) A0 B1
14、 C2 D3 【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，知： 对于，若m，/ /mn，则由线面垂直的判定定理得n，故正确； 第 8 页（共 18 页） 对于，若m，/ /mn，/ /n，则由m，/ /mn，得n， 再由/ /n，利用面面垂直的判定定理得，故正确； 对于，若m，n，mn，则利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可 以判断，故正确 故选：D 7 （5 分）图中小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积 为( ) A 61 2 B 63 2 C 45 2 D 47 2 【解答】解：由三视图可知，该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱拼接而成， 故
15、所求几何体的体积 11145 (3 3)3(3 3)4 3222 V ， 故选：C 8 （5 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，过点F且斜率为 2 的直线l与C交于 M，N两点，若| 10MN ，则(p ) A2 B3 C4 D5 第 9 页（共 18 页） 【解答】解：设直线:2() 2 p l yx， 联立 2 2() 2 2 p yx ypx ，得 22 460 xpxp， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 则 12 3 2 p xx， 故 12 5 |10 2 p MNxxp，解得4p ， 故选：C 9 （5 分）圆 22 :2C xy关
16、于直线250 xy对称的圆的方程为( ) A 22 (2)(4)2xy B 22 (2)(4)2xy C 22 (4)(6)2xy D 22 (4)(6)2xy 【解答】解：圆关于直线对称的圆，则半径不变，圆心关于直线对称， 设对称圆的方程为 22 ()()2xayb， 故点( , )a b与(0,0)关于直线250 xy对称， 所以 00 250 22 0 2 0 ab b a ，解得2a ，4b ， 故所求圆的方程为 22 (2)(4)2xy 故选：A 10 （5 分）如图所示，在四面体ABCD中，ABC为等边三角形，1AB ， 1 2 CD ， 60ACD，ABCD，则(BD ) A 3
17、 2 B 7 2 C 5 2 D 3 2 【解答】解：依题意， 2 2 ()BDBDBAACCD 第 10 页（共 18 页） 222 222BAACCDBA ACAC CDBA CD 000 11 1 12 1 1 cos1202 1cos1202 1 1 cos90 42 3 2 ， 故选：D 11（5分） 已知正三棱柱 111 ABCABC的体积为16 3， 底面积为4 3， 则三棱柱 111 ABCABC 的外接球表面积为( ) A112 3 B 56 3 C 224 3 D28 【解答】解：依题意， 1 16 3 4 4 3 AA ，而 2 3 4 3 4 AB ，解得4AB ， 记
18、ABC的中心为O，则 24 3 2 3 33 AO ， 故 2221 1628 ()4 233 AA RAO， 故三棱柱 111 ABCABC的外接球表面积 2 28112 44 33 SR， 故选：A 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F， 12 | 2 (1,2) ii M FM Fa i，且 1 M， 2 F， 2 M三点共线，点D在线段 21 M F上，且 1121 F M DM M D ， 11121 22M FM FM D，则双曲线C的渐近线方程为( ) A 2 2 yx B2yx C 3 2 yx D3y
19、x 【解答】解：取 11 M F的中点E，连接DE， 2 DF，如图所示： 由 11121 22M FM FM D，可知 1121 M EM FM D， 第 11 页（共 18 页） 所以四边形 12 M F DE为平行四边形； 又 1 M D为 112 FM F的角平分线， 所以四边形 12 M F DE为菱形； 又 12 / /DEM M，所以D为线段 21 M F的中点； 因为 211 / /DFM F，所以 2 F为线段 12 M M的中点， 所以 11221 | | | |M EEFEFF M； 而 12 M Mx轴，所以 222 121112 |FFM FM F， 所以 222 4
20、(4 )(2 )caa， 所以解得3 c a ，所以3ca； 又 222 cab，所以 22 2ab，解得2 b a ； 所以双曲线C的渐近线方程为2yx 故选：B 二、填空题：共二、填空题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分。分。 13 （5 分）命题“若0 x ，则 22 0 xy”的逆否命题为 若 22 0 xy，则0 x 【解答】解：根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p” ， 写出原命题的逆否命题为“若 22 0 xy，则0 x” 故答案为：若 22 0 xy，则0 x 14 （5 分） 若直线 1:3 0lxy与 2: 40lxy交于点A， 且
21、(2 ,0 )B， 则|AB 10 【解答】解：联立 30 40 xy xy ，解得 1 3 x y ，故(1,3)A， 则 22 |(12)(03)10AB 故答案为：10 15 （5 分）已知直线:310lxy 与抛物线 2 :3C yx交于M，N两点，O为坐标原点， 第 12 页（共 18 页） 则OMN的面积为 5 6 【解答】解：联立 2 310 3 xy yx ，消去x可得： 2 10yy ， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，直线:310lxy 与x轴交于点A， 则 12 1yy， 12 1y y ， 故OMN的面积 12 1115 | |14 2236
22、SOAyy 故答案为： 5 6 16 （5 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的体积为 8，点E，F分别是线段CD，BC的中 点， 平面过点 1 A，E，F且与正方体 1111 ABCDABC D形成一个截面图形， 现有如下说法： 截面图形是一个六边形； 若点I在正方形 11 CDDC内（含边界位置） ，且I 平面，则点I的轨迹长度为 2 13 3 ； 截面图形的周长为2 132 则说法正确命题的序号为 【解答】解：延长EF，AD，交于点P，连接 1 A P交 1 DD于点G， 延长EF，AB，交于点Q，连接 1 AQ，交 1 BB于点H， 则五边形 1 EFHAG即为所求截面，:1
23、:3DP AP ， 所以G，H分别是线段 1 DD和 1 BB的三等分点， 则 13 3 EGFH，即为点I的轨迹长度， 而 11 2 13 3 AGAH，则2EF ， 则五边形的周长为 132 13 2222 132 33 ，故对 故答案为： 第 13 页（共 18 页） 三、解答题：共三、解答题：共 6 小题，满分小题，满分 70 分。解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。 17 （10 分）已知圆台上、下底面的底面积分别为16，81，且母线长为 13 （1）求圆台的高； （2）求圆台的侧面积 【解答】解： （1）依题意，圆台上、下底面的底面积
24、分别为16，81， 所以圆台的上底面半径 1 4r ，下底面半径 2 9r ， 又圆台的母线长为 13， 故圆台的高 22 13(94)12h ； （2）圆台的侧面积 12 ()4 139 13169Srlr l 18 （12 分）如图所示，直棱柱 1111 ABCDABC D中，四边形ABCD为菱形，点E是线段 1 CC 的中点 （1）求证： 1/ / AC平面BDE； （2）求证： 1 BDAE 【解答】证明： （1）如图，连接AC交BD于点O，连接OE， 因为O，E分别为线段AC， 1 CC的中点， 故 1 / /OEAC， 第 14 页（共 18 页） 而OE 平面BDE， 1 AC
25、平面BDE， 故 1/ / AC平面BDE； （2）因为直棱柱 1111 ABCDABC D， 故 1 CC 平面ABCD， 又BD平面ABCD，所以 1 CCBD 因为ABCD是菱形，所以ACBD 又 1 ACCCC，AC 平面 11 ACC A， 1 CC 平面 11 ACC A， 所以BD 平面 11 ACC A 因为 1 A E 平面 11 ACC A，故 1 BDAE 19 （12 分）已知圆C过点(2, 3)，(0, 3)，(0, 1)，点A在直线:40lxyk上 （1）求圆C的方程； （2）过点A能够作直线 1 l， 2 l与圆C相切，切点分别为M，N，若90MAN，求k的 取值
26、范围 【解答】解： （1）设圆C的方程为 2222 0(40)xyDxEyFDEF， 则代入已知圆上的三个点的坐标可得： 49230 930 10 DEF EF EF ， 解得2D ，4E ，3F ， 所以圆的方程为 22 2430 xyxy， 即为 22 (1)(2)2xy； 第 15 页（共 18 页） （2）依题意，四边形MANC为正方形，所以2CA ， 所以点A在以(1, 2)C为圆心，以 2 为半径的圆上 圆心C到直线:40lxyk的距离 2 |2| 1 d k k ， 故 2 |2| 2 1 k k ，故 2 |2|2 1k刱， 两边同平方可得， 2 340kk?， 解得 4 3
27、k?或0k?， 故k的取值范围为(， 4 4 3 ，) 20 （12 分）已知命题 p：x2，+） ，2x212mx+90；命题 q：方程表 示焦点在 x 轴上的椭圆 （1）若 q 为真，求实数 m 的取值范围； （2）若 pq 是假命题，pq 是真命题，求实数 m 的取值范围 【解答】解： （1）若 q 为真，则， 故，得，解得，故实数 m 的取值范围为； （2）若 p 为真，则 2x212mx+90， 故 2x2+912mx，则， 而， 当且仅当时等号成立； 故，故； 若 p 真 q 假，则，则， 第 16 页（共 18 页） 若 p 假 q 真，则，则， 综上所述，实数 m 的取值范围为
28、 21 （12 分）如图所示，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA平面ABCD， 45SDA，M，N，P分别是SA，AB，SC的中点，2ABAD （1）求直线CM，BP所成角的余弦值； （2）求直线CN与平面DMN所成角的正弦值 【解答】解：以A为原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间 直角坐标系，不妨设2AD ，则2 2AB ，2AS ， 故(2 2,2,0)C，(0M，0，1)，(2 2,0,0)B，( 2,1,1)P，( 2,0,0)N， (0D，2，0)； （1）因为(2 2,2, 1)MC ，(2,1,1)BP ， 故直线CM，BP所成角的余弦值 |
29、3 13 cos 26| | MC BP MCBP ； （2）因为( 2, 2,0)CN ，(0, 2,1)DM ，( 2,0, 1)MN ， 第 17 页（共 18 页） 设平面DMN的法向量(nx，y，) z，则 20 20 n DMyz n MNxz ， 取1x ，故 2 (1, 2) 2 n ， 则直线CN与平面DMN所成角的正弦值 2 42 sin|cos| | 21| CN n CN n CNn 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，且过点 115 (,) 24 （1）求椭圆C的方程； （2）已知点M到原点的距离为5，过点M的
30、直线 1 l， 2 l与椭圆C均仅有一个公共点，分 别记为A，B，求OAB面积的最大值 【解答】解： （1）依题意，得 22 222 3 2 115 1 416 c a ab abc ，解得2a ，1b ， 故椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （2）设点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，点 0 (M x， 0) y在圆 22 5xy上运动， 设直线MA，MB的斜率分别为 1 k， 2 k， 当直线MA的斜率存在时，设直线MA的方程为 111 ()yxxyk， 由 111 22 () 44 yxxy xy k ，消去y得 222 1111 111 1 (1 4)8()
31、4()40 xyx xyxkkkk， 则 2222 111 1111 1 64()4(1 4)4()4yxyxkkkk， 令0，整理得， 222 111 111 (4)210 xx yy kk， 又 2 2 1 1 1 4 x y，所以 2 11 44xy， 2 2 1 1 1 4 x y 代入上式得 2 221 11111 420 4 x yx ykk，即 21 11 (2)0 2 x yk， 所以 1 1 1 11 2 24 x x yy k， 第 18 页（共 18 页） 故直线MA的方程为 1 1 1 ()1 4 x yxx y ，化简可得， 1 1 1 4 x x y y， 经检验，
32、当直线MA的斜率不存在时， 直线MA的方程为2x 或2x 也满足 1 1 1 4 x x y y； 同理，直线MB的方程为 2 2 1 4 x x y y； 因为 0 (M x， 0) y在直线MA、MB上， 故 10 10 1 4 x x y y， 20 20 1 4 x x y y， 故直线AB的方程为 0 0 1 4 x x y y； 当 0 0y ，直线AB的方程为 4 5 x 或 4 5 x ， 代入椭圆方程解得 2 | 5 AB ， 此时三角形面积 1244 2555 OAB S， 当0y ，联立，消去y， 得 222 000 (35)816 160yxx xy， 故 0 12 2
33、 0 8 35 x xx y ， 2 0 12 2 0 1616 35 y x x y ， 故 222222 000000 12 22222 0000 155 644(35)(16 16)2 5(31) |1| 1616(35)35 xyxyyy ABxx yyyy ； 又点O到直线AB的距离 222 000 | 4|4 165 31 d xyy ， 故 2 2 0 0 22 2 00 0 4 312 5(31) 14 23535 5 31 OAB yy S yy y ， 令 2 0 31yt ，1t，4，则 2 44 1 4 4 OAB t S t t t ， 当且仅当2t 时等号成立 则OAB的面积的最大值为 1
