1、第 1 页（共 20 页） 2020-2021 学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷 一、 单项选择题 （本大题共一、 单项选择题 （本大题共 8 个小题， 每小题个小题， 每小题 5 分， 共分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项中，分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 1 （5 分） “xR ， 2 10 xx “的否定是( ) A 0 xR， 2 00 10 xx B 0 xR， 2 00 1 0 xx CxR ， 2 10 xx DxR ， 2 1 0 xx 2 （5 分）函数 16 2
2、 yx x ，( 2,)x 的最小值是( ) A4 B6 C8 D16 3 （5 分） “ 2 1x ”是“2x ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线在轴截面内的卫 星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线， 经反射聚集到信号装置 （信号装置安装 在抛物线的焦点处） 已知接收天线的口径（直径）为 5 m，深度为 1 m，则信号装置与 卫星接收天线中心O的距离为( ) A 25 16 m B 25 8 m C 25 4 m D 5 4 m 5 （5 分）已知空间三点(0A，2，
3、3)，( 2B ，1，6)，(1C，1，5)，向量( , 1, )amn， 且向量a分别与AB，AC垂直，则| (a ) A4 B2 2 C2 D3 6 （5 分）某港口在一天 24 h 内潮水的高度 S（单位：m）随时间 t（单位：h；0t24） 的变化近似满足关系式 S（t）3sin（t+） ，则 17 点时潮水起落的速度是（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 7 （5 分） 莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 1 7 是较小的两份之 和，则最大的一份为( ) A 115
4、3 B 118 3 C121 3 D124 3 8 （5 分）已知函数( ) lnx f xa x 有两个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A(0, ) e B(, ) e C 1 (0, ) e D 1 (, ) e 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有分，在每小题给出的选项中，有 多多项是符合题目要求全选对的得项是符合题目要求全选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9 （5 分）已知曲线 22 :1( ,)C mxnym nR，
5、则下列说法正确的是( ) A若0m ，0n ，则曲线C是椭圆 B若0mn，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C若0mn，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线 D曲线C可以是抛物线 10 （5 分）已知正数a，b满足21ab，则下列说法正确的是( ) A24 ab 的最小值是2 2 Bab的最小值是 1 8 C 22 4ab的最小值是 1 2 D 11 ab 的最小值是4 2 11 （5 分）据美国学者詹姆斯马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番， 到 2020 年甚至要达到每 73 天翻一番的空前速度 因此， 基础教育的任务已不是教会一切人 一切知识，而是让一切人学会学习已知 2000 年底
6、，人类知识总量为a，假如从 2000 年底 到 2009 年底是每三年翻一番，从 2009 年底到 2019 年底是每一年翻一番，2020 年（按 365 天计算）是每 73 天翻一番，则下列说法正确的是( ) A2006 年底人类知识总量是2a B2009 年底人类知识总量是8a C2019 年底人类知识总量是 13 2 a D2020 年底人类知识总量是 18 2 a 12 （5 分）下列曲线中，与直线:230lxy相切的是( ) 第 3 页（共 20 页） A曲线 2 1: 24Cyx B曲线 2: 24Cyln x C曲线 2 2 3: 1 4 y Cx D曲线 32 4: 2562C
7、yxxx 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）函数( )(1) x f xxe的最小值是 14（5 分） 以椭圆 22 1 85 xy 的焦点为顶点， 且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是 15（5 分） 已知数列 n a满足 1 1a ， 且 1 1 nn aan ， 则数列 1 n a 的前 100 项和为 16 （5 分） 在正方体 1111 ABCDABC D中，E，F，G，H，K，L分别是AB， 1 BB， 11 BC， 11 C D， 1 D D，DA各棱的中点，则直线 1 AC与平面EFGH
8、KL所成角的大小为 ；若P，Q 是六边形EFGHKL边上两个不同的动点， 设直线 1 D B与直线PQ所成的最小角为， 则s i n 的值为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在 8 72S ， 52 6Sa， 645 SSa这三个条件中任选一个，补充在下面 问题中，并完成解答 问题：已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 3 6a ，_，若数列 n b满足2 n a n b ，求 数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分）已知m，n，
9、aR，函数 32 ( )3f xxx的单调递减区间Am，n，区间 21Ba，3a （1）求m和n的值； 第 4 页（共 20 页） （2） “xA”是“xB”的充分条件，求a的取值范围 19 （12 分）已知直线l与抛物线 2 :4C yx交于A，B两点 （1）若直线l的斜率为1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长； （2）若点O为坐标原点，且OAOB，求证：直线l过定点 20 （12 分）在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2ABAA，点P，Q分别为 11 A B，BC的中 点 （1）求直线 1 CC与平面 1 AQC所成角的正弦值； （2）求平面 1 PBC与平面 1 AQC所形成
10、的锐二面角的余弦值 21（12分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab 的一个焦点为( 1,0)F ， 且椭圆M过点 3 (1, ) 2 T （1）求椭圆M的方程； （2）过点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为P，Q，求FPQ 面积的最大值 22 （12 分）已知函数 2 ( )f xxbxc，( )g xlnx （1）令( )( )( )h xf xg x，求函数( )h x的单调递增区间； （2）当1b ，0c 时，求证：与函数( )f x，( )g x图象都相切的直线l有两条 第 5 页（共 20 页） 2020-2021 学年江苏省连云港市高二（
11、上）期末数学试卷学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 单项选择题 （本大题共一、 单项选择题 （本大题共 8 个小题， 每小题个小题， 每小题 5 分， 共分， 共 40 分， 在每小题给出的四个选项中，分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 1 （5 分） “xR ， 2 10 xx “的否定是( ) A 0 xR， 2 00 10 xx B 0 xR， 2 00 1 0 xx CxR ， 2 10 xx DxR ， 2 1 0 xx 【解答】解：全称命题的否定是特称命题， “xR ， 2 10
12、xx “的否定是： 0 xR， 2 00 1 0 xx ， 故选：B 2 （5 分）函数 16 2 yx x ，( 2,)x 的最小值是( ) A4 B6 C8 D16 【解答】 解： 函数 161616 22 2 (2)26 222 yxxx xxx ， 当且仅当24x ， 即2x 时，取等号； 故选：B 3 （5 分） “ 2 1x ”是“2x ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由 2 1x ，得1x 或1x ， 由2x ，得 2 41x “ 2 1x ”是“2x ”的必要不充分条件 故选：B 4 （5 分）一种卫星接收天线如图
13、所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线在轴截面内的卫 星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线， 经反射聚集到信号装置 （信号装置安装 在抛物线的焦点处） 已知接收天线的口径（直径）为 5 m，深度为 1 m，则信号装置与 卫星接收天线中心O的距离为( ) 第 6 页（共 20 页） A 25 16 m B 25 8 m C 25 4 m D 5 4 m 【解答】解：如图建立直角坐标系： 所以 5 (1, ) 2 A 设抛物线的方程为 2 2(0)ypx p， 由点A在抛物线上，得 25 2 4 p， 解得 25 8 p ， 即 25 216 p ， 所以信号装置与卫星接收天线中心O的距离为
14、25 16 m， 故选：A 5 （5 分）已知空间三点(0A，2，3)，( 2B ，1，6)，(1C，1，5)，向量( , 1, )amn， 且向量a分别与AB，AC垂直，则| (a ) A4 B2 2 C2 D3 【解答】解：因为空间三点(0A，2，3)，( 2B ，1，6)，(1C，1，5)， 所以( 2, 1,3),(1, 3,2)ABAC ， 第 7 页（共 20 页） 因为向量( , 1, )amn，且向量a分别与AB，AC垂直， 所以 2130 320 a ABmn a ACmn ，解得1m ，1n ， 所以( 1, 1, 1)a ， 故|3a 故选：D 6 （5 分）某港口在一天
15、 24 h 内潮水的高度 S（单位：m）随时间 t（单位：h；0t24） 的变化近似满足关系式 S（t）3sin（t+） ，则 17 点时潮水起落的速度是（ ） A B C D 【解答】解：根据题意，S（t）3sin（t+） ，则其导数 S（t）3cos（ t+）cos（t+） ， 则有 S（17）cos（+）， 故 17 点时潮水起落的速度是m/h， 故选：B 7 （5 分） 莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 1 7 是较小的两份之 和，则最大的一份为( ) A 115 3 B 118
16、3 C121 3 D124 3 【解答】解：设最大的一份为x，从大到小排列的等差数列的公差为d， 则由题意可得()(2 )(3 )(4 )100 xxdxdxdxd， 且 1 ()(2 )(3 )(4 ) 7 xxdxdxdxd， 所以 115 3 x ， 故选：A 8 （5 分）已知函数( ) lnx f xa x 有两个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A(0, ) e B(, ) e C 1 (0, ) e D 1 (, ) e 第 8 页（共 20 页） 【解答】解：若函数( ) lnx f xa x 有两个不同的零点， 则ya和( ) lnx g x x 的图象有 2 个不同交
17、点， 由 2 1 ( )0 lnx g x x ，解得：0 xe，令( )0g x，解得：xe， 故( )g x在(0, ) e递增，在( ,)e 递减， 故( )maxg xg（e） 1 e ， 0 x 时，( )g x ，x时，( )0g x ， 故a的取值范围是 1 (0, ) e ， 故选：C 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有分，在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求全选对的得多项是符合题目要求全选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得
18、0 分）分） 9 （5 分）已知曲线 22 :1( ,)C mxnym nR，则下列说法正确的是( ) A若0m ，0n ，则曲线C是椭圆 B若0mn，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C若0mn，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线 D曲线C可以是抛物线 【解答】解：曲线 22 :1( ,)C mxnym nR， 当0mn时，曲线C是圆，故A错误； 若0mn，则曲线 22 1mxny化为 22 1 11 xy mn ，1 1 0 nm ，是焦点在y轴上的椭圆，故 B正确； 若0mn，则曲线 22 1mxny化为 22 1 11 xy mn ，是焦点在x轴上的双曲线，故C正确； 曲线方程中不会含有一次项
19、，不可能是抛物线，故D错误 故选：BC 10 （5 分）已知正数a，b满足21ab，则下列说法正确的是( ) A24 ab 的最小值是2 2 Bab的最小值是 1 8 第 9 页（共 20 页） C 22 4ab的最小值是 1 2 D 11 ab 的最小值是4 2 【解答】解：选项 222 :24222 222 22 2 abababab A ， 当且仅当 2 22 ab ，即 11 , 24 ab时取等号，此时24 ab 的最小值为2 2；故A正确， 选项B：因为21 222 2ababab，解得 1 8 ab，当且仅当2ab，即 11 , 24 ab时 取等号， 此时ab的最大值为 1 8
20、 ，故B错误， 选项C：因为21ab，所以 22 441abab， 所以 22 1(4)1 48 ab ab ，解得 22 1 4 2 ab，当且仅当2ab，即 11 , 24 ab时取等号， 故C正确， 选项 111122 :()(2 )33232 2 abab Dab ababbaba ， 当且仅当2ab时取等号，此时 11 ab 的最小值为32 2，故D错误， 故选：AC 11 （5 分）据美国学者詹姆斯马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番， 到 2020 年甚至要达到每 73 天翻一番的空前速度 因此， 基础教育的任务已不是教会一切人 一切知识，而是让一切人学会学习已知
21、2000 年底，人类知识总量为a，假如从 2000 年底 到 2009 年底是每三年翻一番，从 2009 年底到 2019 年底是每一年翻一番，2020 年（按 365 天计算）是每 73 天翻一番，则下列说法正确的是( ) A2006 年底人类知识总量是2a B2009 年底人类知识总量是8a C2019 年底人类知识总量是 13 2 a D2020 年底人类知识总量是 18 2 a 【解答】解：选项:2006A年底人类知识总量为224aa，故A错误， 选项:2009B年底人类知识总量为2228aa ，故B正确， 选项:2019C年底人类知识总量为 1013 822aa，故C正确， 选项:2
22、020D年底人类知识总量为 13518 222aa，故D正确， 故选：BCD 12 （5 分）下列曲线中，与直线:230lxy相切的是( ) 第 10 页（共 20 页） A曲线 2 1: 24Cyx B曲线 2: 24Cyln x C曲线 2 2 3: 1 4 y Cx D曲线 32 4: 2562Cyxxx 【解答】解：对于A， 2 230 24 xy yx ，消去y得： 2 41290 xx， 则 2 ( 12)4 4 90 ， 则直线与曲线相切，故选项A正确； 对于B，24yln x，则 1 y x ，令 1 2 x ，解得 1 2 x ， 代入直线方程可得切点为 1 ( 2 ，4)，
23、 满足在24yln x上，故直线与曲线相切，故选项B正确； 对于C，曲线 2 2 3: 1 4 y Cx 的一条渐近线为：2yx与直线:230lxy平行， 所以直线l与曲线相交于一点，故不相切，故选项C不正确； 对于D，曲线 32 4: 2562Cyxxx，则 2 6106yxx， 令 2 61062xx，解得 2 3 x 或 1， 当 2 3 x 时，代入直线可得切点为 2 ( 3 ，13) 3 ，不满足在曲线上， 当1x 时， 代入直线可得切点为(1,5)， 满足在曲线上， 故直线与曲线相切， 故选项D正确 故选：ABD 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，
24、每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）函数( )(1) x f xxe的最小值是 【解答】解：由( )(1) x f xxe，得( )(2) x f xxe； 当2x 时，( )0fx， 当2x 时，( )0fx， 所以函数( )(1) x f xxe在(, 2) 上单调递减，在( 2,)上单调递增； 所以当2x 时，函数( )(1) x f xxe有最小值 2 1 e ； 故答案为： 2 1 e 第 11 页（共 20 页） 14 （5 分）以椭圆 22 1 85 xy 的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是 22 1 35 xy 【解答】解：椭圆方程为： 2
25、2 1 85 xy ， 其焦点坐标为：(3，0)、( 3，0)， 顶点坐标为：( 2 2，0)、(2 2，0)， 双曲线的焦点坐标为：( 2 2，0)、(2 2，0)， 顶点坐标为：(3，0)、( 3，0)， 双曲线方程： 22 22 1 xy ab 中3a 、2 2c ， 222 835bca， 双曲线方程： 22 1 35 xy ， 故答案为： 22 1 35 xy 15（5分） 已知数列 n a满足 1 1a ， 且 1 1 nn aan ， 则数列 1 n a 的前100项和为 200 101 【解答】解：由题意，可得 1 1a ， 21 2aa， 32 3aa， 1nn aan ，
26、各项相加，可得 (1) 123 2 n n n an ， 1211 2() (1)1 n an nnn ， 12100 111 aaa 11111 2(1)2()2() 223100101 11111 2(1) 223100101 1 2(1) 101 200 101 故答案为： 200 101 第 12 页（共 20 页） 16 （5 分） 在正方体 1111 ABCDABC D中，E，F，G，H，K，L分别是AB， 1 BB， 11 BC， 11 C D， 1 D D，DA各棱的中点， 则直线 1 AC与平面EFGHKL所成角的大小为 2 ； 若P， Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动
27、点，设直线 1 D B与直线PQ所成的最小角为，则 sin的值为 【解答】解：如图，以DA，DC，1DD分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图 所示， 设正方体的棱长为 2，则 1(2 A，0，2)，(2E，1，0)，(0C，2，0)，(1G，2，2)， 所以 1 ( 2,2, 2),(0,1,1),( 1,1,2)ACEFEG ， 所以 1 0220AC EF， 1 2240AC EG， 则 11 ,ACEF ACEG， 故 1 ACEF， 1 ACEG，又EFEGE，EF，EG 平面EFGHKL， 所以 1 AC 平面EFGHKL， 故直线 1 AC与平面EFGHKL所成角的大小为
28、2 ； 1(0 D，0，2)，(2B，2，0)， 所以 1 (2,2, 2)D B ，(0,1,1),( 1,1,2)EFEG ， 设平面EFGHKL的法向量为( , , )nx y z， 则 0 0 n EF n EG ，即 0 20 yz xyz ，令1y ，则1x ，1z ， 所以( 1,1, 1)n ， 第 13 页（共 20 页） 设直线 1 D B与平面EFGHKL所成的角为， 则 1 1 1 | 222|1 sin|cos,| 3|123 D B n D B n D B n ， 因为直线PQ 平面EFGHKL， 所以直线 1 D B与直线PQ所成的角最小时即为直线 1 D B与平
29、面EFGHKL所成的角， 所以 1 sin 3 故答案为： 2 ； 1 3 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在 8 72S ， 52 6Sa， 645 SSa这三个条件中任选一个，补充在下面 问题中，并完成解答 问题：已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 3 6a ，_，若数列 n b满足2 n a n b ，求 数列 n b的前n项和 n T 【解答】解：方案一：选条件 由题意，设等差数列 n a的公比为q， 则 1 1 26 82872
30、 ad ad ， 解得 1 2 2 a d ， 22(1)2 n ann，*nN， 2 224 n ann n b ，*nN， 第 14 页（共 20 页） 数列 n b是以 4 为首项，4 为公比的等比数列， 1 444 (41) 143 n n n T 方案二：选条件 由题意，设等差数列 n a的公比为q， 则 1 11 26 5106() ad adad ， 即 1 1 26 5 ad ad ， 解得 1 4 1 a d ， 41 (1)3 n ann ，*nN， 31 2216 2 n ann n b ，*nN， 数列 n b是以 16 为首项，2 为公比的等比数列， 16 (12 )
31、 16 (21) 12 n n n T 方案三：选条件 由题意，设等差数列 n a的公比为q， 645 SSa， 645 SSa，即 655 aaa， 6 0a， 联立 1 1 26 50 ad ad ， 解得 1 10 2 a d ， 102(1)122 n ann，*nN， 12 212 1 222 4 n an n n b ，*nN， 第 15 页（共 20 页） 12nn Tbbb 121212 12 111 222 444n 12 12 111 2() 444n 1 12 11 44 2 1 1 4 n 12 21 1 ( ) 34 n 18 （12 分）已知m，n，aR，函数 32
32、 ( )3f xxx的单调递减区间Am，n，区间 21Ba，3a （1）求m和n的值； （2） “xA”是“xB”的充分条件，求a的取值范围 【解答】解： （1） 2 ( )36fxxx， 由( ) 0fx，有 2 360 xx，得02x剟， 又 32 ( )3f xxx的单调递减区间为Am，n， 所以0m ，2n ； （2）21Ba，3a ，则213aa ，解得4a 又xA是xB的充分条件，可知AB， 有 4 3 2 21 0 a a a ，得 1 1 2 a 剟， 故实数a的取值范围为 1 1, 2 19 （12 分）已知直线l与抛物线 2 :4C yx交于A，B两点 （1）若直线l的斜率
33、为1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长； （2）若点O为坐标原点，且OAOB，求证：直线l过定点 【解答】 （1）解：抛物线为 2 4yx，所以焦点坐标为(1,0)，直线AB斜率为1，则直线AB 方程为：1yx ，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，由 2 1 4 yx yx 得： 2 610 xx ， （2 分） 第 16 页（共 20 页） 可得 12 6xx（4 分） 由抛物线定义可得 12 |2ABxx，所以| 8AB （6 分） （2）证明：设直线AB方程为：xmyn，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，因为OAOB， 所以0OA OB
34、所以 1212 0 x xy y，由 2 4 xmyn yx 得： 2 440ymyn（8 分） 所以， 12 4y yn ； 2 1 2 x xn；所以 2 40nn，解得0n ，或4n （10 分） 当0n 时，直线AB过原点，不满足题意；当4n 时，直线AB过点(4,0) 故当OAOB时，直线AB过定点(4,0)（12 分） 20 （12 分）在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2ABAA，点P，Q分别为 11 A B，BC的中 点 （1）求直线 1 CC与平面 1 AQC所成角的正弦值； （2）求平面 1 PBC与平面 1 AQC所形成的锐二面角的余弦值 【解答】解：如图，在正三
35、棱柱 111 ABCABC中，设AC， 11 AC的中点分别为O， 1 O， 则OBOC， 1 OOOC， 1 OOOB， 故以 1 ,OB OC OO为基底，建立空间直角坐标系Oxyz， 1 2ABAA，(0A，1，0)，( 3,0,0)B，(0C，1，0)， 1(0 A，1，2)， 1( 3,0,2) B， 1(0 C，1，2) 第 17 页（共 20 页） （1）Q为BC的中点， 3 1 (,0) 22 Q， 3 3 (,0) 22 AQ ， 1 (0,2,2)AC ， 1 (0,0,2)CC ， （2 分） 设平面 1 AQC的一个法向量为( , , )nx y z， 由 1 33 0
36、 22 220 AQ nxy ACnyz ，可取( 3, 1,1)n ， （4 分） 设直线 1 CC与平面 1 AQC所成角为， 1 1 1 |25 sin|cos,| 5| |52 CCn CC n CCn ， 直线 1 CC与平面 1 AQC所成角的正弦值为 5 5 （6 分） （2）( 3,1,0)B， 3 1 (,2) 22 P， 1(0 C，2，2)， 设平面 1 PBC的法向量为 1111 ( ,)nx y z 则可得 31 (,2) 22 BP ， 1 3 3 (,0) 22 PC ， 由 1 0nBP， 11 0nPC， 得： 111 11 31 20 22 33 0 22
37、xyz xy ， 令 1 1y ，可得 1 3x ， 1 1z ，故 1 ( 3,1,1)n ， （9 分） 第 18 页（共 20 页） 由（1）得平面 1 AQC的一个法向量为 2 ( 3, 1,1)n ， 12 12 12 3 1 13 cos( ,) 5|55 nn n n nn ， 故平面 1 PBC与平面 1 AQC所成的锐二面角的余弦值为 3 5 （12 分） 21（12分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab 的一个焦点为( 1,0)F ， 且椭圆M过点 3 (1, ) 2 T （1）求椭圆M的方程； （2）过点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中
38、点分别为P，Q，求FPQ 面积的最大值 【解答】解： （1）由题意可得 22 22 1 19 1 4 ab ab ， 解得： 2 4a ， 2 3b ，故椭圆M的方程 22 1 43 xy （3 分） （2）由题意可得直线AB，CD斜率均存在， 设AB的斜率为k，CD斜率为 1 k ，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 直线AB的方程为(1)yxk，由 22 (1) 1 43 yx xy k 得： 2222 (34)84120 xxkkk，则 2 12 2 8 34 xx k k ， 可得点P的横坐标为 2 2 4 34 k k ，代入(1)yxk，得点P的纵坐标为 2
39、 3 34 k k ， 故点P坐标为 2 22 43 (,) 3434 kk kk ， （6 分） 则 22 22 222 433 1 |(1)(0) 343434 PF kkk kkk ， 将k换为 1 k ，得 2 2 1 3 1 | 1 34 QF k k ， （8 分） 故FPQ面积 2 2 22 2 2 22 11 3 12 13 19 11 2342 34251212 S k k kk k k kk ， （10 分） 第 19 页（共 20 页） 令 2 2 1 2u k k ，2u，故 2 9 2121 u S u ， 2 2222 99124 2(121)2(121) uu S
40、 uu ， 当2u时，0S，故( )S u在2，)单调递减，故2u ， 9 49 max S， 所以FPQ面积的最大值 9 49 （12 分） 22 （12 分）已知函数 2 ( )f xxbxc，( )g xlnx （1）令( )( )( )h xf xg x，求函数( )h x的单调递增区间； （2）当1b ，0c 时，求证：与函数( )f x，( )g x图象都相切的直线l有两条 【解答】解： （1）由 2 ( )( )( )(0)h xf xg xxbxclnx x ， 得 2 121 ( )2 xbx h xxb xx ， 若0，2 22 2b剟，( ) 0h x恒成立，( )h x
41、为(0,)上的单调增函数， 若0，2 2b 时，( )0h x恒成立，( )h x为(0,)上的单调增函数， 2 2b 时，由( )0h x，得 2 8 (0,) 4 bb x 和 2 8 (,) 4 bb x ， 综上，2 2b时，( )h x的单调增区间为(0,)， 2 2b 时，( )h x的单调增区间为 2 8 (0,) 4 bb 和 2 8 (,) 4 bb （2）证明：记直线l分别切( )f x，( )g x的图象于点 2 111 ( ,)x xxc， 2 (x， 2) lnx， 由( )21fxx，得l的方程为 2 1111 ()(21)()yxxcxxx， 即： 2 11 :(
42、21)l yxxxc， 由 1 ( )g x x ，得l的方程为 22 2 1 ()ylnxxx x ，即 2 2 1 :1l yxlnx x ， 所以 1 2 2 12 1 21 (*) 1 x x xclnx ， 消去 1 x得 2 2 2 2 2 (1) (1)0(*) 4 x lnxc x ， 第 20 页（共 20 页） 令 2 2 (1) ( )(1) 4 x F xlnxc x ，则 2 333 1121(21)(1) ( ) 222 xxxxx F x xxxx ，0 x ， 由( )0F x，解得：1x ， 当01x时，( )0F x，当1x 时，( )0F x， 所以( )
43、F x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 且( )minF xF（1）c ，由0c ，F（1）0， 下面验证( )0F x 存在两个不等的正数解： 取 1c xe ， 11 ()()(1)0 cc F eln ec ， 故方程(*)在(1,)上存在唯一解， 令 1 ( )1(1)xlnxx x k?，由于 22 111 ( )0 x x xxx k?， 故( )xk在(0，1上单调递减， 故当01x时，( ) x kk（1）0，即 1 1lnx x ， 从而 2 2 2 (1)11 ( )(1)() 422 x F xlnxcc xx ， 取 1 (0,1) 21 x c ，则 1 ()0 21 F c ， 故方程(*)在(0,1)上存在唯一解， 综上，0c 时，方程(*)有两个不同的正数解，方程组(*)有两组解， 即与函数( )f x，( )g x的图象都相切的直线有且只有两条
