2020-2021学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 20 页） 2020-2021 学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）若0ab，则下列结论正确的是( ) A 22 ab B 2 abb C ba ab D 22 acbc 2 （5 分）等差数列 n a中，若 811 26aa，则 19 aa等于( ) A54 B12 C10 D6 3 （5 分）已知向量，且与平行

2、， 则 k 的值是（ ） A B C3 D3 4 （5 分）等比数列 n a中，首项为 1 a，公比为q，则 1 0a 且01q是数列 n a单调递 减的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 5 （5 分）某家庭打算为子女储备“教育基金” ，计划从 2021 年开始，每年年初存入一笔专 用存款，使这笔款到 2027 年底连本带息共有 40 万元收益如果每年的存款数额相同，依年 利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算 作本金， 再计算下一期的利息） ， 则每年应该存入约( )万元（参考数据： 7 1.021.14

3、9， 8 1.021.172) A5.3 B4.6 C7.8 D6 6 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 与椭圆 22 1 95 xy 有相同的焦点 1 F、 2 F，点P 为双曲线与椭圆的一个交点，且满足 12 | 2|PFPF，则双曲线的渐近线方程是( ) A2yx B3yx Cyx D 3 3 yx 7 （5 分）已知 13 11 xy xy 剟 剟 ，则42xy的取值范围是( ) A0，12 B0，10 C2，10 D2，12 第 2 页（共 20 页） 8 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F

4、、 2 F，过 1 F作一条 渐近线的垂线，垂足为点A，与另一渐近线交于点B，若 11 3FBAF，则C的离心率为( ) A6 B 6 2 C3 D2 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项分在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9 （5 分）以下四个命题中，真命题的是( ) A “若 6 ，则 1 sin 2 ”的否命题是“若 6 ，则 1 sin 2 ” B若0m ，则方程

5、 2 0 xxm有实数根 C若pq为真命题，p为真命题，则()pq 是真命题 D “|1 |1x”是“ 2 20 xx”的充分而不必要条件 10 （5 分）在空间四边形OABC中，E、F分别是OA、BC的中点，P为线段EF上一点， 且2PFEP，设OAa，OBb，OCc，则下列等式成立的是( ) A 11 22 OFbc B 111 666 EPabc C 111 333 FPabc D 111 366 OPabc 11 （5 分）已知抛物线 2 4yx的焦点为F，经过F的直线交抛物线于 1 (A x， 1) y、 2 (B x， 2) y，过点A、B作抛物线准线的垂线，垂足分别为 1 A、

6、1 B，则以下四个结论正确的是( ) A 12 4y y B 12 2x x C 11 2 AFB D 111 |2AFBF 12（5 分） 设 n S为数列 n a的前n项和， 且 1 1 2 n n Sn， 若数列 n b满足：(1) nn bna， 且 12nn Tbbb，则以下说法正确的是( ) A数列1 n a 是等比数列 B数列 n b是递增数列 C 2 2 2 n n n T D nn ST 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 第 3 页（共 20 页） 13 （5 分）命题“对xR ，都有 2 0 x ”的否定为 1

7、4 （5 分）已知关于x的一元二次方程 2 (1)0mxm xm有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 15 （5 分）如图，已知正三棱柱 111 ABCABC的各条棱长均为 2，P是 1 A B的中点，则异面 直线 1 AC与PC所成角的余弦值等于 16 （5 分）某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为 3 4800m，深为3m如果池底 每平方米的造价为 150 元， 池壁每平方米的造价为 120 元， 则建造这个水池的最低总造价是 元 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1

8、7 （10 分）已知集合 2 |310 0Ax xx， 22 |230Bx xmxm，0m （1）求集合A、B； （2） 若xA是xB的 _条件， 试判断实数m是否存在， 若存在， 求出m的取值范围； 若不存在，说明理由 请在：充要条件，充分不必要条件，必要不充分条件，这三个条件中任选一个，补充 在下面问题（2）中，并解决问题（2） 18 （12 分）经过点( 1,0)且倾斜角为45的直线与抛物线 2 yx相交于A、B两点，其中 O为坐标原点 （1）求证：OAOB； （2）求线段AB的长 19 （12 分）已知数列 n a满足： 1 (1)(2)(1)(2)(*) nn nanannnN ，且

9、 1 4a 第 4 页（共 20 页） （1）求 2 a、 3 a的值，并证明数列 1 n a n 为等差数列； （2）令 1 1234 ( 1)n nn Saaaaa ，求 n S 20 （12 分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A 需要甲材料1.5t，乙材料1t，用 50 个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5t，乙材料0.3t， 用 30 个工时，生产一件产品A的利润为 21 万元，生产一件产品B的利润为 0.9 万元该企 业现有甲材料150t，乙材料90t，且规定不能超过 6000 个工时设生产x件产品A，y件 产品B （1）写出关于x、y的线性约束条

10、件，并在给出的坐标系中作出可行域； （2）如何安排生产，才能使得生产产品A、产品B的利润之和z取得最大？并求z的最大 值 21 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，/ /ABDC， 2ADDCAP，1AB ，点E为棱PC的中点 （1）证明：BE 平面PCD； （2）若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABD的余弦值 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab 经过点 1 ( 3, ) 2 P，且椭圆M的上顶点与右焦 点所在直线的斜率为 3 3 （1）求椭圆M的方程； （2）设B、C是椭圆上异于左顶点A的两个点，若以BC为直径的

11、圆过点A，求证：直线 BC过定点 第 5 页（共 20 页） 2020-2021 学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）若0ab，则下列结论正确的是( ) A 22 ab B 2 abb C ba ab D 22 acbc 【解答】解：当0ab时， 22 ab，故A错误， 当0ab时， 2 ab

12、b，故B错误， 当0ab时01 b a ，1 a b ，则 ba ab 成立，故C正确， 当0c 时， 22 acbc不成立，故D错误， 故选：C 2 （5 分）等差数列 n a中，若 811 26aa，则 19 aa等于( ) A54 B12 C10 D6 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d， 等差数列 n a中， 811 26aa， 11 2(7 )610adad，解得 1 46ad 1911 82612aaaad 故选：B 3 （5 分）已知向量，且与平行， 则 k 的值是（ ） A B C3 D3 【解答】解：因为向量， 所以（k1，k，2） ， 又与平行， 所以存在实数 ，使得

13、， 第 6 页（共 20 页） 即（k1，k，2）（4，6，4） ， 则，解得 k3 故选：D 4 （5 分）等比数列 n a中，首项为 1 a，公比为q，则 1 0a 且01q是数列 n a单调递 减的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 【解答】 解： 在等比数列中， 若 1 0a 且01q， 则 1 ( 0 , 1 ) n n a q a ， 则 1 01 n n a a ， 即 1nn aa ， 即数列 n a单调递减，即充分性成立， 2n n a 满足数列 n a单调递减，但 1 0a 且01q不成立，即必要性不成立， 故 1 0a 且01q

14、是数列 n a单调递减的充分不必要条件， 故选：A 5 （5 分）某家庭打算为子女储备“教育基金” ，计划从 2021 年开始，每年年初存入一笔专 用存款，使这笔款到 2027 年底连本带息共有 40 万元收益如果每年的存款数额相同，依年 利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算 作本金， 再计算下一期的利息） ， 则每年应该存入约( )万元（参考数据： 7 1.021.149， 8 1.021.172) A5.3 B4.6 C7.8 D6 【解答】解：由题意可知：设每年存入x万元， 2021 年初存入的钱到 2027 年底本利和为： 7 (12%)x，

15、 2022 年初存入的钱到 2027 年底本利和为： 6 (12%)x， 2027 年初存入的钱到 2027 年底本利和为：(12%)x， 所以由题意可得： 76 (1 2%)(1 2%)(1 2%)40 xxx， 整理可得： 7 1.02 (1 1.02 ) 40 1 1.02 x ，解得5.3x 万， 第 7 页（共 20 页） 故选：A 6 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 与椭圆 22 1 95 xy 有相同的焦点 1 F、 2 F，点P 为双曲线与椭圆的一个交点，且满足 12 | 2|PFPF，则双曲线的渐近线方程是( ) A2yx B3yx Cyx

16、D 3 3 yx 【解答】解：椭圆 22 1 95 xy 的焦点 1( 2,0) F ， 2(2,0) F， 即有 22 4ab， 点P为双曲线与椭圆的一个交点，设为第一象限，且满足 12 | 2|PFPF， 设 1 |PFm， 2 |PFn，可得6mn， 2mna，2mn，解得1a ，3b ， 双曲线的方程为 2 2 1 3 y x ， 则渐近线方程为3yx 故选：B 7 （5 分）已知 13 11 xy xy 剟 剟 ，则42xy的取值范围是( ) A0，12 B0，10 C2，10 D2，12 【解答】解：法 1：作出不等式组 13 11 xy xy 剟 剟 表示的平面区域， 得到如图的

17、四边形及其内部，其中(2,1)A，(0,1)B， 设( , )42zF x yxy，将直线:42l zxy进行平移，可得 当l经过点A时，目标函数z达到最大值，2,110zF 最大值 ， 当l经过点B时，目标函数z达到最小值，0,12zF 最小值 因此，42zxy的取值范围是2，10 法 2：令42()()xyxyxy，则 4 2 ，解得3，1， 故423()()xyxyxy， 又13xy剟， 第 8 页（共 20 页） 故3 3() 10 xy剟，又11xy剟， 所以422xy，10 故选：C 8 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1

18、F、 2 F，过 1 F作一条 渐近线的垂线，垂足为点A，与另一渐近线交于点B，若 11 3FBAF，则C的离心率为( ) A6 B 6 2 C3 D2 【解答】解：如图， 1( ,0)Fc，AB所在直线方程为() a yxc b ， 联立 () a yxc b b yx a ，解得 A ab y c ， 第 9 页（共 20 页） 联立 () a yxc b b yx a ，解得 22 B abc y ba 由 11 3FBAF，得 22 3abcab abc ，即 22 230ca 2 3 2 e，即 6 (1) 2 ee 故选：B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小

19、题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项分在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9 （5 分）以下四个命题中，真命题的是( ) A “若 6 ，则 1 sin 2 ”的否命题是“若 6 ，则 1 sin 2 ” B若0m ，则方程 2 0 xxm有实数根 C若pq为真命题，p为真命题，则()pq 是真命题 D “|1 |1x”是“ 2 20 xx”的充分而不必要条件 【解答】解：对于A： “若 6 ，则 1 sin 2 ”的否命题是“

20、若 6 ，则 1 sin 2 ”故A 错误； 对于B：若0m ，方程 2 0 xxm，满足140m ，故方程有实数根，故B正确； 对于C：若pq为真命题，p为真命题，则p为假命题，q为真命题，则()pq 是假 命题，故C错误； 对于D： “|1 |1x”整理得：02x， “ 2 20 xx”整理得：12x ， 则(0，2)( 1 ，2)，故“|1| 1x”是“ 2 20 xx”的充分而不必要条件，故D正确 故选：BD 10 （5 分）在空间四边形OABC中，E、F分别是OA、BC的中点，P为线段EF上一点， 且2PFEP，设OAa，OBb，OCc，则下列等式成立的是( ) A 11 22 OF

21、bc B 111 666 EPabc C 111 333 FPabc D 111 366 OPabc 【解答】解：E、F分别是OA、BC的中点， 第 10 页（共 20 页） 11111 () 22222 OFOBOCOBOCbc，故A正确， 111 222 EFOFOEbca， 2PFEP， 1 3 EPEF， 2 3 FPEF， 即 11 111111 () 33 222666 EPEFbcaabc ，故B正确， 22 111111 () 33 222333 FPEFbcaabc ，故C错误， 1111111 2666366 OPOEEPaabcabc，故D正确 故选：ABD 11 （5

22、分）已知抛物线 2 4yx的焦点为F，经过F的直线交抛物线于 1 (A x， 1) y、 2 (B x， 2) y，过点A、B作抛物线准线的垂线，垂足分别为 1 A、 1 B，则以下四个结论正确的是( ) A 12 4y y B 12 2x x C 11 2 AFB D 111 |2AFBF 【解答】解：当直线AB的斜率不存在时，(1,2)A，(1, 2)B， 此时 12 4y y ， 12 1x x ，A成立，B不成立； 1( 1,2) A ， 1( 1, 2) B ，(1,0)F， 11 ( 2,2) ( 2, 2)440FA FB ， 11 2 AFB ，C成立； 11 111111 1

23、 |22AFBFAABB ，D不成立 当AB的斜率存在时，可设:1AB xmy， 联立 2 1 4 xmy yx ，得 2 440ymy 第 11 页（共 20 页） 得 12 4yym， 12 4y y ，故A成立； 而 222 121212 1111 ()161 441616 x xyyy y，故B不成立； 11 ( 1,)Ay， 12 ( 1,)By， 111212 ( 2,) ( 2,)40FA FByyy y ， 故 11 2 AFB ，C成立； 而 12 111212 2111111 |11(1)(1) xx AFBFAABBxxxx 2 1212 2 2 1212 1212 2(

24、)3431 1 1442 ()()3 16 xxm yym x xxxm y ym yy ，故D不成立 故选：AC 12（5 分） 设 n S为数列 n a的前n项和， 且 1 1 2 n n Sn， 若数列 n b满足：(1) nn bna， 且 12nn Tbbb，则以下说法正确的是( ) A数列1 n a 是等比数列 B数列 n b是递增数列 C 2 2 2 n n n T D nn ST 【解答】解：因为 1 1 2 n n Sn， 当2n时， 1 1 1 11 2 n n Sn ， 两式相减可得 1 1 2 n n a ， 当1n 时， 11 1 2 aS也适合上式， 故 1 1 2

25、 n n a ， 则 1 1 2 n n a ，因为 1 1 1 11 2 1 12 2 n n n n a a ， 故数列1 n a 是等比数列，故选项A正确； 因为(1) nn bna，所以 2 n n n b ， 故 1 11 11 222 nn nnn nnn bb ， 当1n时， 1 0 nn bb ，所以 1nn bb ， 第 12 页（共 20 页） 则数列 n b不是递增数列，故选项B错误； 因为 2 111 12 222n Tnn ， 所以 21 1111 1(1) 2222 n nn Tnn ， 两式相减可得 2111 11 (1) 11112 22 1 1 2222222

26、 1 2 n n nnnn nnn T ， 所以 2 2 2 n n n T ，故选项C正确； 123 1(2)3 222 nn nnn nn STnn ， 当1n 时， 11 4 130 2 ST ，则 11 ST， 当2n 时， 22 5 230 4 ST，则 22 ST， 当3n时， 3 30 2 nn n n STn ，则 nn ST， 综上可得， nn ST，故选项D正确 故选：ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）命题“对xR ，都有 2 0 x ”的否定为 xR ，都有 2 0 x 【解答】解：命

27、题是全称命题，则否定是xR ，都有 2 0 x ， 故答案为：xR ，都有 2 0 x 14 （5 分）已知关于x的一元二次方程 2 (1)0mxm xm有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ( 1，0)(0， 1) 3 【解答】 解： 关于x的一元二次方程 2 (1)0mxm xm有两个不相等的实数根，0m， 且 22 (1)40mm ，求得 1 1 3 m 综上可得，m的取值范围为：( 1，0)(0， 1) 3 ， 故答案为：( 1，0)(0， 1) 3 15 （5 分）如图，已知正三棱柱 111 ABCABC的各条棱长均为 2，P是 1 A B的中点，则异面 第 13 页（共 20

28、页） 直线 1 AC与PC所成角的余弦值等于 2 8 【解答】解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 正三棱柱 111 ABCABC的各条棱长均为 2，且P是 1 A B的中点， 所以 1 (0,0,0), (1,0,1), (1, 3,0),(1, 3,2)APCC， 所以 1 (1, 3,2),(0, 3, 1)ACPC， 则 1 1 1 322 cos, 8|2 22 ACPC AC PC ACPC ， 故异面直线 1 AC与PC所成角的余弦值等于 2 8 故答案为： 2 8 16 （5 分）某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为 3 4800m，深为3m如果池底 每平方米的

29、造价为 150 元， 池壁每平方米的造价为 120 元， 则建造这个水池的最低总造价是 297600 元 【解答】解：设长方体的长宽分别为x，y， 第 14 页（共 20 页） 则34800 xy ，所以 1600 y x ， 水池总造价为 1600 ( )1502(32 ) 120()7201600 150f xxyxyx x 1600 272024000057600240000297600 x x 元， 当且仅当 1600 x x ，即40 x ，40y 时取等号， 故建造这个水池的最低总造价是 297600 元， 故答案为：297600 元 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题

30、，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知集合 2 |310 0Ax xx， 22 |230Bx xmxm，0m （1）求集合A、B； （2） 若xA是xB的 _条件， 试判断实数m是否存在， 若存在， 求出m的取值范围； 若不存在，说明理由 请在：充要条件，充分不必要条件，必要不充分条件，这三个条件中任选一个，补充 在下面问题（2）中，并解决问题（2） 【解答】 解：（1） 因为 2 310 0 xx， 即(2 ) (5 )0 xx， 解得25x 剟， 所以 | 25Axx 剟， 因 为 22 230 xmxm

31、， 即() (3)0 xmxm， 又 因 为0m ， 所 以3m xm 剟， 故 |3Bxmxm 剟； （2）若选： 因为xA是xB的充要条件， 所以AB， 则有2m 且35m ， 无解， 故不存在实数m； 若选： 因为xA是xB的充分不必要条件，所以AB，则有 2 35 m m ，解得2m，故存在实 数2m； 若选： 因为xA是xB的必要不充分条件，所以BA，则有 2 35 m m ，解得 5 3 m，故存在实 数 5 3 m 18 （12 分）经过点( 1,0)且倾斜角为45的直线与抛物线 2 yx相交于A、B两点，其中 第 15 页（共 20 页） O为坐标原点 （1）求证：OAOB；

32、（2）求线段AB的长 【解答】解： （1）证明：经过点( 1,0)且倾斜角为45的直线方程为1yx， 联立 2 1yx yx ，得 2 310 xx ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 3xx ， 12 1x x ， 12121212 (1)(1)()131 11y yxxx xxx ， 1212 1 10OA OBx xy y ，OAOB （2）线段AB的长为 22 1212 |()()ABxxyy 2 121 2 2()429410 xxx x 19 （12 分）已知数列 n a满足： 1 (1)(2)(1)(2)(*) nn nanannnN ，且 1

33、 4a （1）求 2 a、 3 a的值，并证明数列 1 n a n 为等差数列； （2）令 1 1234 ( 1)n nn Saaaaa ，求 n S 【解答】 （1）证明：依题意，由递推公式， 可得当1n 时， 21 2323aa， 即 2 2126a ，解得 2 9a ， 当2n 时， 32 3434aa， 第 16 页（共 20 页） 即 3 33612a ，解得 3 16a ， 由 1 (1)(2)(1)(2) nn nanann ，两边同时乘以 1 (1)(2)nn ， 可得 1 1 21 nn aa nn ， 1 4 2 22 a ， 数列 1 n a n 是以 2 为首项，1 为

34、公差的等差数列， （2）解：由（1） ，可得21 (1)1 1 n a nn n ， 2 (1) n an，*nN， 当n为偶数时， 1 1234 ( 1)n nn Saaaaa 12341nn aaaaaa 222222 2345(1) nn (23) (23)(45) (45)(1) (1)nnnn 2345(1)nn (21) 2 nn 2 13 22 nn ， 当n为奇数时， 1 1234 ( 1)n nn Saaaaa 123421nnn aaaaaaa 2222222 2345(1)(1)nnn 2 (23) (23)(45) (45)(1) (1)(1)nnnnn 2 2345(

35、1)(1)nnn 2 (1)(2) (1) 2 nn n 2 13 2 22 nn， 第 17 页（共 20 页） 2 2 13 2, 22 13 , 22 n nnn S nn n 为奇数 为偶数 20 （12 分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A 需要甲材料1.5t，乙材料1t，用 50 个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5t，乙材料0.3t， 用 30 个工时，生产一件产品A的利润为 21 万元，生产一件产品B的利润为 0.9 万元该企 业现有甲材料150t，乙材料90t，且规定不能超过 6000 个工时设生产x件产品A，y件 产品B （1）写出关于x

36、、y的线性约束条件，并在给出的坐标系中作出可行域； （2）如何安排生产，才能使得生产产品A、产品B的利润之和z取得最大？并求z的最大 值 【解答】解： （1）设生产x件产品A，y件产品B 则 1.50.5150 0.390 50306000 xy xy xy ，即 3300 103900 53600 xy xy xy 对应的可行域如图：阴影部分 （2）目标函数210.9zxy， 由210.9zxy， 得 217010 0.90.939 z yxxz ， 平移直线 7010 39 yxz ， 由图象知当直线 7010 39 yxz 经过(100,0)D时，直线的截距最大， 此时z取得最大值， 最

37、大为21 1002100z 即生产产品100A件、产品0B件时，总利润最大 第 18 页（共 20 页） 21 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，/ /ABDC， 2ADDCAP，1AB ，点E为棱PC的中点 （1）证明：BE 平面PCD； （2）若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABD的余弦值 【解答】 （1）证明：以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立 空间直角坐标系如图所示， 则(1B，0，0)，(2C，2，0)，(0D，2，0)，(0P，0，2)， 因为E是棱PC的中点，所以(1E，1，1)， 所以(0,1,1),(

38、0,2, 2)BEPD，(2,2, 2)PC ， 因为0220BE PD，所以BEPD， 又0220BE PC，所以BEPC， 故BEPD，BEPC，又PDPCP，PD，PC 平面PCD， 所以BE 平面PCD； 第 19 页（共 20 页） （2）(1,2,0),( 2, 2,2),(2,2,0),(1,0,0)BCCPACAB ， 由点F在棱PC上，设(01)CFCP剟， 故(12 ,22 ,2 )BFBCCFBCCP， 由BFAC，可得0BF AC， 所以2(12 )2(22 )0，解得 3 4 ， 故 1 1 3 (, ) 2 2 2 BF ， 设平面FAB的一个法向量为( , , )

39、nx y z， 则 0 0 n AB n BF ，即 0 113 0 222 x xyz ， 令1z ，则(0, 3,1)n ， 取平面ABD的一个法向量为(0,0,1)m ， 所以 110 cos, |1010 1 n m n m n m ， 故二面角FABD的余弦值为 10 10 22 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab 经过点 1 ( 3, ) 2 P，且椭圆M的上顶点与右焦 点所在直线的斜率为 3 3 （1）求椭圆M的方程； （2）设B、C是椭圆上异于左顶点A的两个点，若以BC为直径的圆过点A，求证：直线 BC过定点 【解答】解： （1）由已知设椭圆的上顶

40、点的坐标为(0, )b，右焦点的坐标为( ,0)c， 第 20 页（共 20 页） 则由已知可得 22 222 3 3 31 1 4 b c ab abc ，解得2a ，1b ， 椭圆的方程为 2 2 1 4 x y， （2）A为左定点，则( 2,0)A ， 设直线BC的方程为xmyn，代入椭圆方程消去x可得 222 (4)240m ymnyn， 设 1 (B x， 1) y， 2 (C x， 2) y，则 2 1212 22 24 , 44 mnn yyy y mm ， 1212 2 8 ()2 4 n xxm yyn m ， 22 22 12121212 2 4() ()()() 4 nm x xmyn mynm y ymn yyn m ， 以BC为直径的圆过点A，ABAC， 即0AB AC， 1 (2x， 12 ) (2yx， 2 2121212 2 51612 )2()40 4 nn yx xxxy y m ， 解得2n 或 6 5 n ，又因( 2,0)A ， 6 5 n ， 直线BC的方程为 6 5 xmy， 故直线BC过定点 6 ( 5 ，0)