1、【 ;百万教育资源文库 】 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 理科数学答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】 解： 等差数列 na 中， 2 1a? ， 4 5a? ， 2 4 1 5 6a a a a? ? ? ? ?，5 1 555( ) 6 1 522S a a? ? ? ? ? ?【提示】 利用等差数列的性质，可得 2 4 1 5 6a a a a? ? ? ?，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论 【考点】 等差数列 2.【答案】 A 【解析】 解：由不等式 1 021xx? ? 可得 2 1 0( 1)(2 1) 0xxx? ? ? ?，解得
2、1 12 x? ? ? ，故不等式的解集为 1,12? ?， 故选 A 【提示】 由不等式 1 021xx? ? 可得 2 1 0( 1)(2 1) 0xxx? ? ? ?，由此解得不等式的解集 【考点】 不等式 3.【答案】 C 【解析】 解：对任意的实数 k ，直线 1y kx?恒过点 (0,1) ，且斜率存在 (0,1) 在圆 221xy?上 ?对任意的实数 k ，直线 1y kx?与圆 221xy?的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选 C 【提示】 对任意的实数 k ，直线 1y kx?恒过点 (0,1) ，且斜率存在 (0,1) 在圆 221xy?上，故可得结论 【考点】 直线与圆
3、的位置关系 4.【答案】 B 【解析】 解： 812x x?的展开式通项公式为 841 8 811C ( ) C22r rr r r rrT x xx? ? ? ? ?， 令 8202 r? ? ， 4r? . 故展开式中常数项为 4 481 3528C? ?，故选 B 【提示】 在 812x x?的展开式通项公式中，令 x 的幂指数等于零，求出 r 的值，即可求得展开式中常数【 ;百万教育资源文库 】 项 【考点】 二项式定理 5.【答案】 A 【解析】 解： tan? ， tan? 是方程 2 3 2 0xx? ? ? 的两个根， tan tan =3? ， tan tan =2? ，则t
4、 a n t a n 3t a n ( ) 31 t a n t a n 1 2? ? ? ? ? ?， 故选 A 【提示】 由 tan? ， tan? 是方程 2 3 2 0xx? ? ? 的两个根，利用根与系数的关系分别求出 tan tan? 及tan tan?的值，然后将 tan( )? 利用两角和与差的正切函数公式化简后，将 tan( )? 及 tan tan?的值代入即可求出值 【考点】 两角和与差的正切函数 ， 根 与系数的关系 6.【答案】 B 【解析】 解： 向量 ( ,1)ax? ， (1,y)b? ， (2, 4)c?且 ab? ， bc ，则有 2 4 0x? ， 4 2
5、 0y? ? ? ，解得2x? ， 2y? ，故 (3, 1)ab? ? ? ， 故有 9 1 10ab? ? ? ?，故选 B 【提示】 由两个向量垂直的性质可得 2 4 0x? ，由两个向量共线的性质可得 4 2 0y? ? ? ，由此求出 2x? ，2y? ，以及 ab? 的坐标，从而求得 ab? 的值 【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系 ， 向量的模 ， 平面向量共线的坐标表示 7.【答案】 D 【解析】 解：由题意， ()fx是定义在 R 上的偶函数， ()fx为 0,1 上的增函数 ， 所以 ()fx为 1,0? 上是减函数 ， 又 ()fx是定义在 R 上的函数，且以 2
6、 为周期 ， 3,4 与 1,0? 相差两个周期，故两区间上的单调性一致，所以可以得出 ()fx为 3,4 上的减函数，故充分性成立 。 若 ()fx为 3,4 上的减函数，由周期性可得出()fx为 1,0? 上是减函数，再由函数是偶函数可得出 ()fx为 0,1 上的增函数，故必要性成立 。 综上， “ ()fx为 0,1 上的增函数 ” 是 “ ()fx为 3,4 上的减函数 ” 的充要条件 ， 故选 D 【提示】 由题意，可由函数的性质得出 ()fx为 1,0? 上是减函数，再由函数的周期性即可得出 ()fx为 3,4上的减函数，由此证明充分性，再由 ()fx为 3,4 上的减函数结合周
7、期性即可得出 ()fx为 0,1 上是减函数，再由函数是偶函数即可得出 ()fx为 0,1 上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项 。 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 ， 奇偶性与单调性的综合 8.【答案】 D 【解析】 解：由函数的图像可知， ( 2) 0f ?， (2) 0f ? ，并且当 2x? 时， ( ) 0fx? ? ，当 22x? ? ? ， ( ) 0fx? ? ，函数 ()fx有极大值 (2)f? 又当 22x? ? ? 时， ( ) 0fx? ? ，当 2x ? 时， ( ) 0fx? ? ，故函数 ()fx有极小值 (2)f故选 D 【 ;百万教育资源
8、文库 】 【提示】 利用函数的图像，判断导函数值为 0 时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值 【考点】 函数在某点取得极 值的条件 ， 函数的图像 9.【答案】 A 【解析】 解：设四面体的底面是 BCD ， BC a? ， 1BD CD?，顶点为 A ， 2AD? ， 在三角形 BCD 中，因为两边之和大于第三边可得： 0 2,(1)a? 取 BC 中点 E ， E 是中点，直角三角形 ACE 全等于直角 DCE ，所以在三角形 AED 中， 21 2aAE ED ? ? ? ?， 两边之和大于第三边 ， 22 2 12a? ? ?得 0 2,(2)a? （负值 0 值舍） ， 由（ 1）
9、（ 2）得 02a? ， 故选： A 【提示】 先在三角形 BCD 中求出 a 的范围，再在三角形 AED 中求出 a 的范围，二者相结合即可得到答案 【考点】 异面直线 的判定 ， 棱锥的结构特征 10.【答案】 D 【解析】 解： 01( ) 0 01yxy x yx y x? ? ? ? ? ? ?或 010yxy x? ?其表示的平面区域如图， 22( 1) ( 1) 1xy? ? ? ?表示以 (1,1) 为圆心， 1为半径的圆及其内部区域，其面积为 ， AB? 所表示的平面图形为上述两区域的公共部分，如图阴影区域，由于圆和 1y x? 均关于 yx? 对称， 故阴影部分面积为圆的面
10、积的一半，即 2 ， 故选 D 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 先分别画出集合 A 与集合 B 表示的平面区域，再画出它们的公共部分，最后利用圆的面积公式及图形的对称性，计算所求面积即可 【考点】 二元一次不等式（组） ， 平面区域 ， 交集及其运算 第 卷 二、填空题 11.【答案】 4 【解析】 解： (1 i)(2 i) iab? ? ? ?，其中 ,ab?R ， i 为虚数单位， i 1 3iab? ? ? ? ， 1, 3ab? ? ? ，1 3 4ab? ? ? ? ?，故答案为 4 【提示】 由条件可得 i 1 3iab? ? ? ，根据两个复数相等的充要条件求出 a 和
11、b 的值，即可求得 ab? 的值 【考点】 复数代数形式的乘除运算 ， 复数相等的充要条件 12.【答案】 25 【解析】 解： 22 5222111 5 5 2l i m l i m l i m l i m5 5 5 55 nn n n nn n n n n nn n n nn n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【提示】 把要求的式子化为 2225lim 5n n n nn n n? ?，即 511lim5nn? ?，再利用极限 及其运算法则求得所求式子的值 【考点】 极限及其运算 13.【答案】 145 【解析】 解： A 和 B 都为三角形的内角，且 3cos
12、 5A? ， 5cos 13B? ， 2 4sin 1 c o s 5AA? ? ? ?， 2 12sin 1 co s 13BB? ? ?， 4 5 3 1 2 5 6s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i n 5 1 3 5 1 3 6 5C A B A B A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，又 3b? ， 【 ;百万教育资源文库 】 ?由正弦定理 sin sincbCB? 得：563sin 1 46512sin 513bCcB? ? ?， 故答案为： 145 【提示】 由 A 和 B 都为三角形的内角，且根据 cosA 及 cosB 的值，
13、利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinA 和 sinB 的值，将 sinC 中的角 C 利用三角形的内角和定理变形后，将各自的值代入求出 sinC 的值，由sinC ， b 及 sinB 的值，利用正弦定理即可求出 c 的值 【考点】 余弦定理 ， 正弦定理 14.【答案】 56 【解析】 解：由题意可得： 1,02F?，设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y 因为过抛物线 2 2yx? 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点，所以112AF x?，212BF x?. 因为 25=12AB ，所以121312xx?， 设直线 l 的方程为 12y k x?，联
14、立直线与抛物线的方程可得：22 2 2( ) 04kk x k x x? ? ? ?，所以 212 2 2kxx k? 22 2 1312kk?， 2 24k?， 224 26 6 0xx? ? ?， 1 13x?，2 34x?，115= 26AF x? ? ?， 故答案为： 56 【提示】 设出点的坐标与直线的方程，利用抛物线的定义表示出 AF 、 BF 再联立直线与抛物线的方程利用根与系数的关系解决问题，即可得到答案 【考点】 抛物线的简单性质 15.【答案】 35 【解析】 解：语文、数学、外语三门文化课排列，这三门课中间存在两个空，在两个空中，若每个空各插入 1节艺术课，则排法种数为
15、3 2 13 3 2 72A A A ? ，若两个空中只插入 1节艺术课，则排法种数为 2 1 33 3 32 216A A A?，若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，则排法种数为 34144AA? ，而所有的排法共有 66 720A? 种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 720 216 144 3720 5? ?，故答案为 35 【提示】 三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入 1 节艺术课，则排法种数为 32332AA? ，若两个空中只插入 1 节艺术课，则排法种数为 2 1 33 3 32 216A A A?，三门文化课中相邻排列，则排法种数为 34
16、144AA? ，而所有的排法共有 66 720A? 种，由此求得所求事件的概率 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】 等可能事件的概率 三、解答题 16.【答案】（） 1? （） 3 【解析】 解： （） 求导函数可得213() 22afx xx? ? ? ?， 曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线垂直于 y 轴 (1) 0f?， 13022a? ? ? ? ， 1a? （） 由 （） 知， 13( ) l n 1 , ( 0 )22f x x x xx? ? ? ? ? ?， 221 1 3 ( 3 1 ) ( 1 )() 2 2 2xxfx x x x? ? ? ? ?
17、 ?， 令 ( ) 0fx? ? ，可得 1x? 或 13x? （舍去） 01x? 时， ( ) 0fx? ? ，函数递减； 1x? 时， ( ) 0fx? ? ，函数递增 ， 1x?时，函数 ()fx取得极小值为 3 【提示】（） 求导函数，利用曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线垂直于 y 轴，可得 (1) 0f? ? ，从而可求 a的值 （） 由 （） 知， 13( ) ln 1 , ( 0 )22f x x x xx? ? ? ? ? ?，221 1 3 ( 3 1 ) ( 1 )() 2 2 2xxfx x x x? ? ? ? ? ? ?，确定函数的单调性，即可求得函数 ()fx的极值 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 ， 利用导数研究函数的极值 17.【答案】（） 1327 （） 139
