1、【 ;百万教育资源文库 】 2012年普通高等学校招生全国统一考试（ 陕西 卷） 理科数学答案解析 第一部分 一 、 选择题 1.【答案】 C 【解析】 | 1M x x?， | 2 2N x x? ? ? ?， | 1 2M N x x? ? ? ? 故选 C 【提示】根据 集合的表示法（描述法）即可求出集合的交集 【考点】 集合的基本运算（交集） 2.【答案】 D 【解析】 A是增函数不是奇函数错误， B和 C都不是定义域内的增函数排除，只有 D正确，因此选 D 【提示】 根据函数单调性和奇偶性定义采用排除法得到结果 【考点】 函数单调性 ， 奇偶性的判断 3.【答案】 B 【解析】 当
2、0ab? ， 0a? 或 0b? ， iba? 不一定是纯虚数 ， 反之 iba? 为纯虚数时， 0a? ， 0b? ， 0ab? ，因此 B正确 【提示】 先判断充分性、再判断必要性得到结果 【考点】 充分条件 ， 必要条件 4.【答案】 A 【解析】 因为 2 2 2 2: 4 0 ( 2 ) 4C x y x x y? ? ? ? ? ? ?，所以圆 C 是以 (2,0) 为圆心， 2为半径的圆，又 (3,0)P在圆内，所以 l 与圆 C 相交 故选 A 【提示】 根据 (3,0)P 与圆的位置关系判断 l 与圆的位置关系 ， 即可得出 结果 【考点】 直线与圆的位置关系 5.【答案】
3、A 【解析】 设 CB=1， 则 1 2CC CA?， (2,0,0)A ， (0,0,1)B ， 1(0,2,0)C ， 1(0,2,1)B ， 1 ( 2,2,1)AB? ? ? ， 1 (0,2, 1)BC ?， 11 2 2 2 22 0 2 2 1 ( 1 ) 5c o s , 5( 2 ) 2 1 2 ( 1 )A B B C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 【 ;百万教育资源文库 】 故选 A 【提示】 根据空间直角坐标系用空间向量即可求出异面直线夹角的余弦值 【考点】 空间直角坐标系 6.【答案】 B 【解析】 从茎叶图来看乙中数据集中，甲比较分散，所以 xx
4、?甲 乙， 又 1 8 + 2 2 2 7 + 3 1= = 2 0 = = 2 922mm?乙甲，所以选 B 【提示】根据 茎叶图特点判断平均数，再求出中位数得到结果 【考点】 茎叶图 7.【答案】 D 【解析】 ( ) (1 )exf x x? ? ，当 1x ? 时， ( ) 0fx? ? ， ()fx在 ( , 1)? 上递减；当 1x? 时， ( ) 0fx? ? ， ()fx在 ( 1, )? 递增， ?极值点为 1x? 所以选 D 【提示】先 求出所给函数的导函数，根据导函数求出函数的极值 【考点】 导数求函数的极值 8.【答案】 C 【解析】 某一个人获胜可以分成 3中情况，得
5、分 3： 0， 3： 1， 3： 2；方法数为 2 2 13 4 21 ) 20C C C? ? ?（ 所以选 D 【提示】 先找出获胜情况，再利用排列组合求出总方法数 【考点】 排列 ， 组合 9.【答案】 C 【解析】 由余弦定理结合基本不等式可得 2 2 2 2 2 2 22 2 2 1c o s 12 2 2a b c a b c cC a b a b c? ? ? ? ? ? ? ? 所以选 C 【提示】根据 余弦定理结合基本不等式判断 cosC 的最小值 【考点】 余弦定理 ， 基本不等式 10.【答案】 D 【解析】 由循环体可知结果 41000MP? 所以选 D 【提示】 根据
6、程序框图的逻辑结构判断空白框内填入 的 结果 【考点】 循环结构的程序框图 【 ;百万教育资源文库 】 第 二 部分 二 、 填空题 11.【答案】2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 11 + +2 3 4 5 6 6? ? ? ?【解析】 观察这几个不等式可以发现左边分母从 1、 2、 3、 4、 5 的平方依次增加 1 后的平方，分子全是 1，右边分母是左边最后一项的分母的底数，分子式左边后两分母底数的和， 于是有：2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 11 + +2 3 4 5 6 6? ? ? ? 【提示】 从给出的几个不等式的特征猜测出一般的规律得到第五个不等式 【考点】
7、合情推理 12.【答案】 1 【解析】 515r r rrT C a x? ? ， 2r?， 2 5 25 10Ca?， 1a? 【提示】 根据二项式定理及其性质求出 a 的值 【考点】 二项式定理 13.【答案】 26 【解析】 先以拱顶为原点，建立直角坐标系，设水面和拱桥交点 (2,2)A 则抛物线方程为 2 2x py? ，代入得22 =2 ( 2)p? ， 2=2p? ， 2 2xy? ， 当水面下降 1米时，水面和拱桥的交点记作 ( , 3)Ba? 则代入抛物线方程得： 6a? ，因此水面宽 26米 【提示】 先求出抛物线标准方程，然后把坐标代入即可求出水面宽 【考点】 抛物线的标准
8、方程 14.【答案】 2 【解析】 1()fxx? ? ， (1) 1kf? ? ? ， ?切线 :1l y x? 因而切线 l、 曲线 ()fx、 x 轴围成三角形区域，其中最优解是 (0, 1)? 代入得 max 2z ? 【提示】 根据导函数求出切线方程，再根据限制条件画出可行域，找出满足目标的最优解，进而求出 maxz 【考点】 导数的几何意义 ， 二元线性规划求目标函数的最值 15.A（不等式选做题） 【答案】 24a? ? ? 【解析】 由题意知左边的最小值小于或等于 3即可，根据不等式的性质得 | ( ) ( 1) | 3x a x? ? ? ?， | 1| 3a? ? ? ，2
9、4a? ? ? 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 根据绝对值不等式的性质化简，进而即可求出实数 a 的取值范围 【考点】 绝对值不等式 15.B（几何证明选做题） 【答案】 5 【解析】 R t D E F R t D E B ， F DEDE BD?， 即 2=DE DF BD ， 又由相交弦定理得 2 = 1 5 5D E A E E B ? ? ?， 5DF BD? 【提示】 根据相似三角形转化 DFDB ，然后根据相交弦定理求出结果 【考点】 直线和圆的位置关系相交弦定理 15.C（坐标系与参数方程） 【答案】 3 【解析】 化极坐标为直角坐标得直线 12x? ， 圆 22( 1)
10、 1xy? ? ? ， 由勾股定理可得相交弦长为 32 = 32? 【提示】 先化为普通方程，然后利用勾股定理求解 【考点】 坐标系与参数方程 三 、 解答题 16.【答案】（） ( ) 2 s in 2 16f x x? ? ?（） 3? 【解析】 （ ） 13A? ， 2A?， 又 函数图象相邻对称轴的距离为半个周期， 22T?， T? ， 2 2T? ? ? ， ( ) 2 s in 2 16f x x? ? ? ?； （ ） 2 s in 1 226f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 【 ;百万教育资源文库 】 1sin 62? ? ?， 0 2? ， 6 6
11、 3? ? ? ?， 66? ? ? ， 3? 【提示】 根据三角函数的图象与性质求出解析式，然后根据三角函数求值求出 ? 的值 【考点】 三角函数的图象与性质 ， 由图象求解析式 17.【答案】 （ ） 5a ， 3a ， 4a 成等差数列， 3 5 42 = +a a a? ， 2 4 31 1 12a q a q a q? ? ?， 1 0a? ， 0q? ， 2 20qq? ? ? ? ， 2q? ， 1q? （舍去） ， 2q? ； （ ）证法 一： （等差中项法） k ?N ， 2 1 2 1 1 2 1 1 12 ( ) ( ) 2 ( 2 ) 0k k k k k k k k
12、k k k kS S S S S S S a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； 证法二 ： （公式法） 12 (1 )2 1 kk aqS q? ?， 2 1 2 11 1 121 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )1 1 1k k k kkk a q a q a q qSS q q q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，21 21 1 121 2 ( 1 ) ( 2 )2 ( ) ( 2 ) 0 ( 2 )1 1 1k k k kk k k a q a q q a qS S S q q qq q q?
13、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2kS? ， kS ， 1kS? 成等差数列 【提示】 由等差数列的已知项之间的关系推出数列的公比 ， 再利用等差中项法或公式法证明结论 【考点】 等差数列 ， 等比数列 ， 前 n 项和 18.【答案】 （ ）证法一 ： （向量法）如图过直线 b 上任一点作平面 的垂线 n ， 设直线 a ， b ， c ， n 的【 ;百万教育资源文库 】 方向向量分别为 a ， b ， c ， n ，则 b ， c ， n 共面 ， ?存在实数 ? ， ? 使 c b n?， 0a c a b n a b a n? ? ? ? ? ? ? ?
14、 ?（ ） （ ） （ ）， a? ， n? ， 0an?， 0ac?， ac?； 证法二 ： （利用垂直关系证明）如图 ， c b A? ， P 为直线 b 上异于 A 的点，作 PO? ， Oc? ， PO a?， ab? ， b? 平面 PAO ， PO b P? ， a?平面 PAO ， c? 平面 PAO ， ac?； （） 逆命题为 “ a 是平面 内的一条直线， b 是 外的和它不垂直的直线， c 是直线 b 在 上的投影，若ac? ，则 ab? ” 逆命题为真命题 【提示】 根据共面向量存在定理证明结论；通过对四种命题的理解写出其逆命题 【考点】 平面向量在平面几何中的应用 ，
15、 两条直线的位置关系 ， 四种命题及其之间的关系 19.【答案】（） 22116 4xy?（） yx? 或 yx? 【解析】 （ ）依题意设椭圆方程为 222 1( 2)4xy aa ? ? ?， 【 ;百万教育资源文库 】 32e? ， 2431 2a ? ?， 2 16a?， ?椭圆方程为 22116 4xy?； （ ）设 11,)Ax y（ ， 22,)Bx y（ ， 2OB OA? ， O? ， A ， B 三点共线且不在 y 轴上， ?设直线 AB 方程为 y kx? ，并分别代入 2 2 14x y?和 22116 4xy?， 得：1 2414x k? ?，2 2164x k? ?
16、， 2OB OA? ， 21224xx?， 2216 164 1 4kk?， 1k? ， 所求直线为： yx? 或 yx? 【提示】 根据椭圆间关系求出椭圆方程；联立直线与椭圆的解析式求出直线 AB 的方程 【考点】 椭圆的标准方程 ， 直线与椭圆的位置关系 20.【答案】（） 设顾客办理业务所需时间 为 Y ，用频率估计概率的分布列如下 ： Y 1 2 3 4 5 P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 （） 事件 “ 第三个顾客恰好等待 4分钟开始办理业务 ” 记作 A ，则 ( ) ( 1 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )P A P Y P Y P Y
17、P Y P Y P Y? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 . 1 0 . 3 0 . 3 0 . 1 0 . 4 0 . 4 0 . 2 2? ? ? ? ? ? ? （ 3） X 所有可能取值为 0， 1， 2， 所以 ( 0 ) ( 2 ) 0 .5P X P Y? ? ? ?， ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) 0 . 1 0 . 9 0 . 4 0 . 4 9P X P Y P Y P Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) 0 . 1 0 . 1 0 . 0 1P X P Y P Y? ? ? ? ? ? ?， 因此 X 的分布列为： 【 ;百万教育资源文库 】 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 所以 X 的期望 0 0 .5 + 1 0 .4 9 + 2 0 .0 1 = 0 .5 1EX ? ? ? ? 【提示】 根据离散型随机变量的特点
