1、17.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 第十七章第十七章 一元二次方程一元二次方程 一、新课导入一、新课导入 2. 求求根公式是什么？根的个数怎么确定的？根公式是什么？根的个数怎么确定的？ 复习引入复习引入 1. 一元二次方程一元二次方程的解法有的解法有哪些，步骤哪些，步骤呢？呢？ 二、新知讲解二、新知讲解 方程方程 x1 x2 x1+ x2 x1x2 x2- -3x+2=0 x2- -2x- -3=0 x2- -5x +4=0 问题：你发现这些一元二次方程的两根问题：你发现这些一元二次方程的两根x1+x2，与与x1 x2系数有什系数有什 么规律么规律？ 2 1 3
2、 2 - -1 3 2 - -3 1 4 5 4 合作探究合作探究 活动：探究一元二次方程的根与系数的关系活动：探究一元二次方程的根与系数的关系 二、新知讲解二、新知讲解 方方 程程 - -2 x1+ x2， ，x1x2与系数有什么规律 与系数有什么规律? 猜想：当二次项系数为猜想：当二次项系数为1时，方程时，方程 x2+px+q=0的两根为的两根为x1，x2. qxxpxx 2121 21 xx 21 xx 1 x 2 x 0169 2 xx 0143 2 xx 0273 2 xx 3 1 3 1 3 2 3 2 3 1 9 1 3 1 3 7 3 4 3 72 3 72 二、新知讲解二、新
3、知讲解 猜想猜想： 如果如果一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且是常数且a0）的两根）的两根 为为x1、x2， ，则 则： x1+x2和和x1.x2与系数与系数a，b，c 的关系的关系. 04 2 acb a c xx a b xx 2121 二、新知讲解二、新知讲解 22 22 12 22 12 22 0()040 44 22 44 22 44 2 2 2 axbxcabac bbacbbac xx aa bbacbbac xx aa bbacbbac a bb aa 中，当时 ， 证明： 二、新知讲解二、新知讲解 a c a ac a acbb a acbb a
4、 acbb a acbb xx 22 22 2 222 22 21 4 4 4 )4( 4 )4()( 2 4 2 4 二、新知讲解二、新知讲解 任何一个一元二次方程的根与系数的关系：任何一个一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是的两个根是x1 ， x2 ， 那么那么x1 + x2= ， x1 x2= （韦达定理）（韦达定理） 注：能用根与系数的关系的前提条件为注：能用根与系数的关系的前提条件为b2- -4ac0 a b a c 二、新知讲解二、新知讲解 一、直接运用根与系数的关系一、直接运用根与系数的关系 2 2 2 (1)6150 (2)37
5、90 (3)514 xx xx xx 例1 答案：(1)x1+x2=6, x1x2=-15 (2)x1+x2= 7 3, x1x2= 9 3 (3) x1+x2=5 4, x1x2 = 1 4 二、新知讲解二、新知讲解 在使用根与系数的关系在使用根与系数的关系时，应时，应注意：注意： (1)不是不是一般式的要先化成一般式；一般式的要先化成一般式； (2)在在使用使用x1+x2= 时，注意时，注意“ ”不要漏写”不要漏写. a b 二、新知讲解二、新知讲解 二、求关于两根的对称式或代数式的值二、求关于两根的对称式或代数式的值 例例2. 设设 是是方程方程 的两个的两个根，利用根，利用根与系数的根
6、与系数的 关系，求关系，求下列各式的值下列各式的值. 0342 2 xx 21 xx， 22 121212 (1)(1)(1)(2)xxx xx x 解：由题意得：x1+x2=-2，x1x2=-1.5 （1）原式= x1x2 +（ x1+x2 ）+1=-2.5 （2）原式= x1x2 （ x1+x2 ）=3 二、新知讲解二、新知讲解 三、构造新方程三、构造新方程 例例3.求一个求一个一元二次方程，使一元二次方程，使它的两个根是它的两个根是2和和3，且，且二次项系二次项系 数为数为1. 解：由题意得：x1=2，x2=3 x1+x2 =5，x1x2 =6 二次项系数为1的方程为：x2-5x+6=0
7、 变式：且二次项系数为变式：且二次项系数为5. 5x2-25x+30=0 二、新知讲解二、新知讲解 四、求方程中的待定系数四、求方程中的待定系数 例例4.方程方程 的两根同为的两根同为正数，求正数，求p、q的取值范围的取值范围. 0 2 qpxx 解解:由由已知，已知， 2 12 12 40 0 0 pq xxp x xq 2 40pq 二、新知讲解二、新知讲解 变变式：式：方程方程 有有一个正一个正根，一根，一个负个负 根，求根，求m的取值范围的取值范围. 解解:由由已知，已知， 即即 m0 m- -10 0m1 )0(012 2 mmmxmx 0 1 0)1(44 21 2 m m xx mmm 二、新知讲解二、新知讲解 一一正正根，一根，一负根负根 0 x1x20 两个正根两个正根 0 x1x20 x1+x20 两个负根两个负根 0 x1x20 x1+x20 三、总结归纳三、总结归纳 一元二次方程根与系数的关系？一元二次方程根与系数的关系？ 注：能用根与系数的关系的前提条件为注：能用根与系数的关系的前提条件为b2- -4ac0. a c xx a b xx xxacbxax 2121 21 2 )0(0 ； 则有则有，的两根分别是的两根分别是如果如果 谢谢谢谢观看观看
