1、一元二次方程的根与系数的关一元二次方程的根与系数的关系系 【教学目标】【教学目标】 1知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与 系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。 2能力目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。 3情感目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养学生去发现 规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。 【教学重点】【教学重点】 根与系数的关系的推导、运用。 【教学难点】【教学难点】 正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。 【教学方法】【教学方法】
2、 发现法，引导法，讲练结合法。 【教学过程】【教学过程】 （一）问题情境，导入新课： 解下列方程，并填写表格： 方程 1 x 2 x 1 x+ 2 x 12 xx 2 20 xx 2 340 xx 2 560 xx 观察上面的表格，你能得到什么结论？ （1）关于 x 的方程 22 0(40)xpxqpqq、 为常数，p的两根 1 x、 2 x与系数 p、q 之 间有什么关系？ （2） 关于 x 的方程 2 0(0)axbxca的两根 1 x、 2 x与系数 a、 b、 c 之间又有何关系呢？ 你能证明你的猜想吗？ （二）探究新知： 1根与系数关系： （1）关于 x 的方程 22 0(40)xp
3、xqpqq、 为常数，p的两根 1 x、 2 x与系数 p、q 的 关系是： 12 xxp ， 12 x xq 。 引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系数 不为 1，根与系数之间又有怎样的关系呢？ （2）形如 2 0(0)axbxca的方程，如果 2 40bac，两根为 1 x、 2 x，引导学生利 用上面的结论猜想 1 x、 2 x与各项系数 a、b、c 之间有何关系。 然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为 1 的一元二次方程，再利用上面的结论 来研究，即：对于方程 2 0(0)axbxca 0a 2 0 bc xx aa 12 b xx a
4、， 12 c x x a 对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。 证明： 2 0(0)axbxca，当 2 40bac时根为： 2 4 2 bbac x a 设 2 1 4 2 bbac x a ， 2 2 4 2 bbac x a ，则 22 12 442 222 bbacbbacbb xx aaaa 2222 12 22 44(4)4 2244 bbacbbacbbacacc xx aaaaa 2学生思考、归纳并回答下列问题： （1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？ （2）运用根与系数的关系要注意些什么？ （三）应用举例： 1不解方程，口答下
5、列方程的两根和与两根积： （1） 2 310 xx （2） 2 2350 xx （3） 2 1 20 3 xx （4） 2 263xx （5） 2 20 x （6） 2 210 xx 2已知方程 2 290 xkx的一个根是3，求另一根及 k 的值。 先让学生求解，再让学生代表介绍解法。教师展示： 从上面的两种解法中引导学生谈谈有什么启示？ （四）巩固练习： 1已知方程 2 290 xkx的两根互为相反数，求 k 的值。 2已知关于 x 的方程 2 30 xxm的一个根是另一个根的 2 倍，求 m 的值。 3备选题：关于 x 的方程 22 (21)20 xkxk两实数根的平方和等于 11，求 k 的值。 （五）归纳小结： 1这节课我们学习了什么知识？有何作用？ 2运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？ 3这节课我们学到了解决数学哪些方法？运用了哪些数学思想？ 【作业布置】【作业布置】 1若方程 2 41xx的两个根为 1 x、 2 x，则 1 x、 2 x的值是 。 2已知ab，是方程 2 20090 xx的两个实数根，则 2 2aab的值为 。 3若方程 2 231 0 xx 的两根为 1 x、 2 x，则 12 11 xx 的值为 。 4关于x的一元二次方程 2 210 xmxm 的两个实数根分别是 12 xx、 ，且 22 12 7xx， 求 2 12 ()xx的值。
