1、一元二次方程的根与系数的关系 一、一、 【教材分析教材分析】 教教 学学 目目 标标 知识知识 目标目标 1.理解根系关系的推导过程. 2.掌握一元二次方程的根和系数的关系. 能力能力 目标目标 1.能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积 . 2.能灵活运用一元二次方程的根和系数的关系解决一些简单的问题. 情感情感 目标目标 体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路 教学教学 重点重点 根与系数的关系的推导、运用 教学教学 难点难点 正确归纳、理解、运用根与系数的关系 二、二、 【教学流程教学流程】 教学 环节 教学问题设计 师生活动 二次 备课 情 景 创 设 前 2 天悄悄地听到咱班
2、的郑帅和董沐青的 一段对话，内容如下： 郑：我说董沐青，我有一个秘密，你想听吗？ 董：什么秘密？ 郑：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大 吗？ 董：哦？ 郑：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉 你，我这么说吧：她的年龄啊是方程 x 2 12x +35 =0 的两根的积，回去你把两根求出来就知 道了. 董：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道 答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄啊还 是方程 x 2 -35x -200=0 的两根的和呢. 师：同学们，你们想知道董沐青不解方程，是 怎么求出张老师年龄的吗？ 老师创设一段情景对 话，调动学生学习兴趣. 引导学生完成下面探 究. 【探究探究 1
3、1】 解下列方程，并填写表格： 通过学生计算一些 自 主 探 究 观察上面的表格，你能得到什么结论？ 若x1、 x2为 方 程 关 于x的 方 程 22 0(40)xpxqpqq、 为常数，p 的两个根，结合上表，说明 x1+x2与 x1x2与 p， q 有何关系？请你写出关系式 探究探究 2 2】 关于x的方程 2 0(0)axbxca的 两根 x1+x2与 x1x2与系数a，b，c之间又有何 关系呢？你能证明你的猜想吗？ 引导学生利用求根公式给出证明。 证明：当0 时，由求根根式得： a acbb x 2 4 2 1 ， a acbb x 2 4 2 2 方 程 1 x 2 x 1 x+
4、2 x 12 xx 2 x-3 x+2=0 2 x-2x-3=0 2 x-5 x+4=0 方 程 1 x 2 x 1 x+ 2 x 12 xx 特殊的一元二次方程的 两根之和与两根之积，启 发学生从中发现存在的 一般规律，渗透特殊到一 般的思考方法。 学生通过计算、猜 想、交流、总结出根与系 数的关系： 12 xxp ， 12 x xq. 可以先将方程转化 为二次项系数为1的一元 二次方程，再利用上面的 结 论 来 研 究 ， 即 ： 2 0(0)axbxca 0a 2 0 bc xx aa 12 b xx a ， 12 c x x a . 从理论上加以验证，让 学生经历从特殊到一般 的科学探
5、究过程。 0169 2 x x 0143 2 x x 0273 2 x x a b a acbbacbb xx 2 44 22 21 a c a ac a acbb xx 22 22 21 4 4 4 )4()( 尝 试 应 用 用法一：直接运用根与系数关系用法一：直接运用根与系数关系 例 1：不解方程，求下列方程的两根和与两根 积. （1） x2 6x 15=0 （2） 3x2 +7x 9=0 （3） 5x 1 =4x2 用法用法二二：求关于两根的对称式或代数式的值求关于两根的对称式或代数式的值 例 2：若一元二次方程 2 2 x+ 4x 3=0 的两根是 1 x、 2 x，求下列各式的值：
6、 （1） 2 1 x+ 2 2 x （2） 1 1x + 1 2x 直接应用新知是学 生的模仿阶段，也是本课 教学最基本的知识目标. 学生先独立求解，再 让小组交流，然后学生代 表展示.比较不同解法， 引导学生谈谈有什么启 示？ 补 偿 提 高 用法用法三三：构造新方程构造新方程 例 3.求一个一元二次方程，使它的两个根是 2 和 3，且二次项系数为 1. 变式：且二次项系数为 5. 用法用法四四：求方程中的待定系数求方程中的待定系数 进一步巩固根与系 数的关系，体会“整体代 入”思想在解题中的运 用，可起到简便运算的作 用. 对 内 容 的 升 华 理 解 认识 例 4.方程 2 x+ px
7、 q=0 的两根同为正数， 求p、 q的取值范围. 变式:方程m 2 x-2mx +m1=0 有一个正根， 一个负根，求m的取值范围. 小 结 1、这节课我们学习了什么知识？有何作 用？ 2、 运用本节课所学知识解决问题时要注意 些什么？ 3、 这节课我们学到了解决数学哪些方法？ 运用了哪些数学思想？ 学生独立思考，师生梳 理本课的知识点及方法 1如果一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a0）的两 个 根 是 x1， x2， 那 么 x1+x2=_，x1x2=_ 2如果方程 x 2+px+q=0 （p、q 为已知常数，p 2 40）的两个根是 x1， x2， 那么 x1+x2=_， x1x2
8、=_； 以两个数 x1，x2为根的一 元二次方程（二次项系数 为 1） . 注意：根与系数的关系 使 用 的 前 提 条 件 _. 作 业 必做： 1.教科书课后练习. 2.教科书习题 21.2 第 7 题. 选作： 1.已知两个数的和等于 8，积等于 9，求这 两个数？ 2.若一元二次方程 2 x+ax+2=0 的两根满足： 2 1 x+ 2 2 x=12，求 a 的值. 教师布置作业，并提 出要求. 学生课下独立完成，延续 课堂. 考察学生灵活运用 知识解决问题能力，让学 生感受到根与系数的关 系在解题中的运用，同时 也考察学生思维的严密 性. 三、 【三、 【板书设计板书设计】 一元二次
9、方程的根与系数的关系 1、对于 2 0(0)axbxca的方程，若 2 40bac，两根为 1 x， 2 x. 那么 12 b xx a ， 12 c xx a . 2、根与系数关系使用的前提是： （1）是一元二次方程，即0a . （2）方程为一般形式。即形如： 2 0axbxc. （3）判别式大于等于零，即 2 40bac. 四、 【四、 【教后反思教后反思】 本节课通过情景对话， 调动学生学习兴趣， 激发起学生的好奇心和求知欲， 在此推动下， 引领学生展开探究活动，并将探究根与系数的关系时分两个层次（即将二次项系数为 1 和非 1 的一元二次方程分两次出现）. 收获： 1. 一元二次方程根
10、与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的 和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟 记，为进一步使用打下基础. 2以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律， 提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力. 3.使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求 让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验. 不足： 学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够熟练， 思路不 清， 两根和、两根积有小部分同学有些混淆.
