1、【 ;百万教育资源文库 】 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（ 湖南 卷） 数学 （文科） 答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】 命题 2 10p x x? ? ? ?R： ， ，是一个特称命题 . 200 10p x x? ? ? ? ?R： ， . 【提示】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项 . 【考点】命题的否定 2.【答案】 C 【解析】 2 1 3 | | A x x B x x? ? ? ? ?， ， 21 | 3 2 3 | | A B x x x x x x? ? ? ? ? ? ?. 【提示】直接利用交集运算求得
2、答案 . 【考点】交集及其运算 3.【答案】 D 【解析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即 1 2 3P P P? ? . 【提示】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论 . 【考点】简单随机抽样 ， 分层抽样方法 ， 系统抽样方法 4.【答案】 A 【解析】只有函数21()fxx?， 2( ) 1f x x?是偶函数，而函数 3()f x x? 是奇函数， ( ) 2 xfx ? 不具有奇偶性 .而函数21()fxx?， 2( ) 1f x x?中，只有函数21()fxx?在区间 ( 0)?， 上单调递增的 .综
3、上可知：只有 A正确 . 【提示】利用函数的奇偶性和单调性即可判断出 . 【考点】函数奇偶性的判断 ， 函数单调性的判断与证明 5.【答案】 B 【解析】在区间 2,3? 上随机选取一个数 X ，则 23X? ? ? ，则 1X? 的概率 1 ( 2) 33 ( 2) 5P ? . 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】利用几何 概 型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论 . 【考点】 几何概型 6.【答案】 C 【解析】由 221 1C x y?： ，得圆心 1 0(0)C ， ，半径为 1 ，由圆 222 6 8 0C x y x y m? ? ? ?： ，得22( 3 ) ( 4
4、) 2 5x y m? ? ? ? ?， 圆心 2 4(3)C ， ，半径为 25m? . 圆 1C 与圆 2C 外切， 223 4 2 5 1m? ? ? ?，解得： 9m? . 【提示】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得 m值 . 【考点】圆的切线方程 7.【答案】 D 【解析】若 02t? ，则不满足条件输出 3 3, 1St ? ? ? -，若 20t? ? ? ，则满足条件，此时 22 1 (1,9tt? ? ? ，此时不满足条件，输出 3 ( 2,6St? ? ? ? ，综上： 3 ( 3,6St? ? ? ? . 【提示】根据程序框图
5、，结合条件，利用函数的性质即可得到结论 . 【考点】程序框图 8.【答案】 B 【解析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r ， 则 228 6 8 6rr? ? ? ? ?， 2r? . 【提示】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r . 【考点】球内接多面体 ， 由三视图求面积、体积 ， 球的体积和表面积 9.【答案】 C 【解析】令 ( ) e lnxf x x? ， () 1exfx x? ? ? ，当 01x?时， ( ) 0fx? ? ， ()fx在 (0,1) 上为增函数， 1201xx? ， 1212
6、e ln e lnxxxx? ? ?，即 21 12e e ln lnxx xx? .由此可知选项 A， B不正确 . 令 e()xgxx? ，2ee()xxxgx x? ? ，当 01x?时， ( ) 0gx? ? . ()gx在 (01)， 上为减函数， 1201xx? ， 1212eexxxx? ，即 1221eexxxx? . 选项 C正确而 D不正确 . 【提示】分别设出两个辅助函数 ( ) e lnxf x x? ， e()xgxx? ，由导数判断其在 (0,1) 上的单调性，结合已知条件 1201xx? 得 出 答案 . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】对数的运算性质 10.
7、【答案】 D 【解析】 动点 D 满足 | | 1 (3,0)CD C? ， ， 可设 ( 3 c o s , s in ( 0 , 2 )D ?）? ? ?. 又 ( 1,0), (0, 3)AB? ， ( 2 c o s , 3 + s i n )O A O B O D ? ? ? ?. 22| | ( 2 c o s ) ( 3 + s i n )O A O B O D ? ? ? ? ?8 4 c o s 2 3 s i n 8 2 7 s i n ( )? ? ? ? ? ? ? ?， （其中 23s in c o s77?，） 1 sin( ) 1? ? ? ?， 22( 7 1
8、) 8 2 7 8 2 7 s i n ( ) 8 2 7 ( 7 1 )? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， |OA OB OD?的取值范围是 7 1, 7 1?. 【提示】由于动点 D 满足 | | 1, (3,0)CD C? ，可设 ( 3 c o s , s in ( 0 , 2 )D ?）? ? ?.再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出 . 【考 点】向量的加法及其几何意义 第 卷 二、填空题 11.【 答案 】 3? 【解析】 23 i 3 i 3ii1? ? ? ?. 复数23ii?（ i 为虚数单位）的实部等于 3? . 【提示】直接由虚
9、数单位 i 的运算性质化简，则复数的实部可求 . 【考点】复数代数形式的乘除运算 . 12.【 答案 】 10xy? ? ? 【解析】 曲线222:212xtCyt? ? ?（ t 为参数）， 两式相减可得 10xy? ? ? . 【提示】利用两式相减，消去 t ，从而得到曲线 C 的普通方程 . 【考点】直线的参数方程 13.【 答案 】 7 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： 由 2z x y?，得 2y x z? ? ，平移直线 2y x z? ? ，由图象可知当直线 2y x z? ? 经过点 C ，直线2y x z? ? 的截距最大，此时 z 最大，
10、由 1 4yxy? ? ，解得 31xy? ，即 (3,1)C ，此时 2 3 1 7z? ? ? ? ，故答案为： 7 . 【提示】 作出 不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，进行平移即可得到结论 . 【考点】简单线性规划 14.【 答案 】 11kk? ?或 【解析】由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为 2 4yx? ，过 ( 1, 0)P ? 且斜率为 k 的直线方程 ( 1)y k x?，代入 2 4yx? ，可得 2 2 2 2( 2 4 ) 0k x k x k? ? ?， 机器人接触不到过点 ( 1,0)P? 且斜率为 k 的直线， 2 2 4(2 4 ) 4 0kk
11、? ? ?， 11kk? ?或 . 故答案为： 11kk? ?或 . 【提示】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点 ( 1,0)P? 且斜率为 k 的直线方程为 ( 1)y k x?，代入 2 4yx? ，利用判别式，即可求出 k 的取值范围 . 【考点】抛物线的简单性质 15.【 答案 】 32? 【解析】若 3( ) ln (e 1)xf x ax? ? ?是偶函数，则 ( ) ( )f x f x? ? ? ，即 33ln ( e 1 ) ln ( e 1 )xxa x a x? ? ? ? ?，即【 ;百万教育资源文库 】 332 ln ( e 1) ln ( e 1)xxax
12、? ? ?- 3 33e1= ln ln e 3e1x xx x? ? ? ? ? ，即 23a? ，解得 32a? ，故答案为： 32? 【提示】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论 . 【考点】函数奇偶性的性质 . 三、 解答 题 16.【 答案 】 （） 当 1n? 时， 111aS?，当 2n? 时， 1n n na S S n? ? ?， ()na n n?*N . （） 由题意得： 2 ( 1 ) 2 ( 1 )na n n nnnb a n? ? ? ? ? ?， 数列 nb 的前 2n 项和 2nT 为 2 2 2 12 ( 2 2 2 ) ( 1 2 3 4 2 )
13、 2 2nnnT n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 【提示】 （） 利用公式法即可求得； （） 利用数列分组求和即可得出结论 . 【考点】数列的求和 ， 数列递推式 . 17.【答案】（） 甲组研发新产品的成绩为 1,1,1, 0 , 0 ,1,1,1, 0 ,1, 0 ,1,1, 0 ,1， 其平均数为 10 2=15 3x甲. 方差为 222 1 2 2 2= 1 1 0 0 51 5 3 3 9S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?甲； 乙组研发新产品的成绩为 1, 0 ,1,1, 0 ,1,1, 0 ,1, 0 , 0 ,1, 0
14、,1,1，其平均数为 93=15 5x乙. 方差为 222 1 3 3 6= 1 9 0 61 5 5 5 2 5S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?乙22x x S S?乙 乙甲 甲， ， 甲组的研发水平优于乙组的研发水平 . （） 记 E? 恰有一组研发成功 ，在所抽得的 15 个结果中，恰有一组研发成功的结果是( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ,a b a b a b a b a b a b a b共有 7 个，根据古典概型的概率计算公式可得 ? ? 715PE? . 【提示】 （） 分别
15、求出甲乙的研发成绩，再根据平均数和方差公式计算平均数，方差，最后比较即可 . （） 找 15个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是 7 个，求出频率，将频率视为概率，问题得以解决 . 【考点】模拟方法估计概率 ， 极差、方差与标准差 . 18.【答案】 （ ） DO? ， AB? ， DO AB? . 四边形 ABCD 为 菱形， 60BAD? ? ? ，连结 BD ， 则 ABD 为正三角形 .又 E 为 AB 的中点， DE AB? . 【 ;百万教育资源文库 】 而 DO DE D? ， AB? 平面 ODE . （） BC AD ， ADO? 是直线 BC ， OD 所成的角 . 由（
16、 1）知， AB? 平面 ODE ， AB OE? ， AB DE? ， DEO? 是二面角 MN?的平面角， 60DEO? ? ? . 设 2AB? ，则 2AD? ， 3DE? ， 3sin 60 2DO DE? ? ?.连结 AO ，则 3cos 4DOADO AD? ? ?， 异面直线 BC ， OD 所成的角的余弦值为 34 . 【提示】（ ）运用直线与平面垂直的判定定理，即可证得，注意平面内的相交二直线； （） 根据异面直线的定义，找出所成的角为 ADO? ，说明 DEO? 是二面角 MN?的平面角，不妨设 2AB? ，从而求出 OD 的长，再在直角三角形 AOD 中，求出 cos
17、 ADO? . 【考点】异面直线及其所成的角 ， 直线与平面垂直的判定 19.【答案】 （ 1）在 CDE 中， 2 2 2+ 2 c o sE C C D D E C D D E E D C? ? ?. 即 227 +1 +CD CD? ， 2 + 6 0CD CD?， 2CD?（ 3CD? 舍去），设 CED ?， sin sinEC CDD ? ，即722 sinsin 3 ?， 21sin 7?. （ 2） 0 3? ， 21sin7?， 27cos 7?， 2 2 2 7c o s c o s c o s c o s + s i n s i n3 3 3 1 4AEB ? ? ? ? ? ? ? ?， 在 ABE 中， cos EAAEB BE?， 2 47c o s714EABE AEB? ? ? ? . 【提示】（ 1）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论 . （ 2）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论 . 【考点】余弦定理的应用 ， 正弦定理 . 20.【答案】 （ ） 设 2C 的焦距为 22c ，则 122 2 2ac?， 121ac?. 23,13P?在 1C 上， 【 ;百万教育资源文库 】 2 21
