1、【 ;百万教育资源文库 】 2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数学 （理科）答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 C 【解析】 234i i, i , i , i , 1, i,1A ? ? ? ?， 1,B?， i 1 i 1 1 1 1 1AB ? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， 【提示】利用虚数单位 i 的运算性质化简 A，然后利用交集运算得答案 【考点】虚数单位 i 及其性质 ， 交集及其运算 2.【答案】 D 【解析】 A函数的定义域为 0, )? ，定义域关于原点不对称，故 A为非奇非偶函数 B ( ) | ( ) | | ( )f x s i n x
2、s i n x f x? ? ? ? ?，则 ()fx为偶函数 C cosyx? 为偶函数 D ( ) e e ( e e ( )x x x xf x f x? ? ? ? ? ? ? ?，则 ()fx为奇函数 【提示】根据函数奇偶性的定义进行判断即可 【考点】函数奇偶性的判断 ， 余弦函数的奇偶性 3.【答案】 B 【解析】由题意，双曲线 22:19 16xyE ?中 3a? 3a? ， P 在双曲线的左支上， 由双曲线的定义可得 21| 6|PF PF?， 2| | 9PF? 【提示】确定 P 在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论 【考点】双曲线的简单性质 4.【答案】 B 【解析】由
3、题意可得 ( 8 . 2 8 . 6 1 0 . 0 1 1 . 3 1 1 . 9 ) 15 01x ? ? ? ? ? ， (6 . 2 7 . 5 8 . 0 8 . 5 915 . 8 ) 8y ? ? ? ? ? ， 代入回归方程可得 8 0.76 10 0.4a ? ? ? ?$ ， 回归方程为 0.76 0.4yx?$ ， 把 15x? 代入方程可得 0 .7 6 1 5 0 .4 1 1 .8y ? ? ? ? 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】由题意可得 x 和 y ，可得回归方程，把 15x? 代入方程求得 y值即可 【考点】线性回归方程 5.【答案】 D 【解析】由约束
4、条件 2002 2 0xyxyxy? ? ?作出可行域如图， 由图可知，最优解为 A， 联立 202 2 0xyxy? ? ? ?，解得 11,2A? 2z x y?的最小值为 152 ( 1) 22? ? ? ? 【提示】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案 【考点】简单线性规划 6.【答案】 C 【解析】模拟执行程序框图，可得 AGB? ， 0S? cos2S? ， i2? 不满足条件 i5? ， cos cos2S ?， i3? 不满足条件 i5? ， 3c o s c o s c o s22S ? ? ?， i4? 不满足条件 i5? ， 3 c o
5、s c o s c o s c o s 2 22S ? ? ? ?， i5? 不满足条件 i5? ， 3 5 c o s c o s c o s c o s 2 c o s 0 1 0 1 0 02 2 2S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+， i6? 满足条件 i5? ，退出循环，输出 S的值为 0 【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i， S的值，当 i=6时满足条件 i5，退出循环，输出【 ;百万教育资源文库 】 S的值为 0 【考点】循环结构 7.【答案】 B 【解析】 lm， 是两条不同的直线， m垂直于平面 ? ，则 “ lm? ” 可能 “ l ? ”
6、也可能 l ? ，反之， “ l ? ”一定有 “ lm? ” 所以 lm， 是两条不同的直线， m垂直于平面 ? ，则 “ lm? ” 是 “ l ? ” 的必要而不充分条件 【提示】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 8.【答案】 D 【解析】由题意可得： a b p ab q? ? ?， ， 00pq?， ， 可得 00ab?， ， 又 2ab?， ， 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 可得 224baab? ? 或 224abab? ? 解 得： 41ab?；解 得： 14ab? 5 1 4
7、 4p a b q? ? ? ? ? ?， ，则 9pq? 【考点】等比数列的性质 ， 等差数列的性质 【提示】由一元二次方程根与系数的关系得到 a b p ab q? ? ?， ，再由 2ab?， ， 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于 ab， 的方程组，求得 ab， 后得答案 9.【答案】 A 【考点】平面向量数量积的运算 【提示】建系，由向量式的几何意义易得 P 的坐标，可化 114 4 ( 1 ) 4P B P C t ttt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?u ur u uurgg，由基本不等式可得 【解析】由题意建立如图所示的
8、坐标系， 可得 1( 0 , 0 ) , 0 ( 0 , )tA B C t?， 4| | | |AB ACAP AB AC?uuur uuuruuur uuur uuur， (1,4)P ， 【 ;百万教育资源文库 】 1 1, 4PBt? ? ?uur， ( 1, 4)C tP ? ?uuur ， 114 ( 1 ) 1 7 44 tttPB tPC ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?u ur u uurg， 由基本不等式可得 114 2 4 4tttt? ? ?g， 11 7 4 1 7 4 1 3tt? ? ? ? ?当且仅当 14t t? 即 12t? 时取等
9、号， PBPCuuruuurg 的最大值为 13， 10.【答案】 C 【解析】解； lim0 ( ) (0 )(0 ) 0x f x ff x? ? ? ?( ) 1f x k? ?， ( ) (0) 1f x f kx? ?，即 ( ) 1 1fx kx ? ?， 当 11x k? ? 时， 1 1 111 1 1fkk k k? ? ? ? ? ? ?，即 1 1 111 1 1f k k k? ? ? ? ?故 11fkk?，所以 11fkk?，一定出错， 另解：设 ( ) ( ) 1g x f x kx? ? ?， 0(0)g ? ，且 ( ) ( ) 0g x f x k? ? ?
10、， ()gx在 R 上递增， 1k? ，对选项一一判断，可得 C错 【提示】根据导数的概念得出 ( ) (0) 1f x f kx? ?，用 11x k? ? 代入可判断出 11fkk?，即可判断答【 ;百万教育资源文库 】 案 【考点】函数的单调性与导数的关系 第 卷 二、填空题 11.【答案】 80 【解析】 5( 2)x? 的展开式的通项公式为 515 2r r rrT C x ? ? g g ，令 52r? ，求得 3r? ， 可得展开式中 2x 项的系数为 335 2 80C ?g ， 【提示】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x的幂指数等于 2，求得 r的值，即可求得展开式中的
11、2x 项的系数 【考点】二项式定理 12.【答案】 7 【解析】因为锐角 ABC 的面积为 103 ，且 5AB? ， 8AC? ， 所以 1 5 8 sin 1 0 32 A? ? ? ?， 所以 3sin 2A? ， 所以 60A?， 所以 1cos 2A? ， 所以 22 15 8 2 5 8 72BC ? ? ? ? ? ? ?【提示】利用三角形的面积公式求出 A，再利用余弦定理求出 BC 【考点】余弦定理的应用 13.【答案】 512 【解析】由已知，矩形的面积为 4 (2 1) 4? ? ? ，阴影部分的面积为 2 2 3 21115( 4 ) 4 33x d x x x? ? ?
12、 ? ?由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于 512 ； 【提示】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式解答 【考点】定积分的简单应用 ， 几何概型 14.【答案】 (1,2 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】由于函数 6 , 2( ) ( 0 1 )3 l o g , 2axcf x a axx? ? ? ? ? ? 且的值域是 4, )? ， 故当 2x? 时，满足 ( ) 6 4f x x? ? ? 当 2x? 时，由 ( ) 3 log 4af x x? ? ?， log 1ax? ， log 21a ? ， 12a? 综上可得， 12a?， 【提示】当 2x? 时，
13、满足 ( ) 4fx? 当 2x? 时，由 ( ) 3 log 4af x x? ? ?，即 log 1ax? ，故有 log 2 1a ? ， 由此求得 a 的范围，综合可得结论 【考点】对数函数的单调性与特殊点 15.【答案】 5 【解析】依题意，二元码在通信过程中仅在第 k位发生码元错误后变成了 1101101， 若 1k? ，则 1 2 3 4 5 6 70 1 0 1 1 0 1x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， ， 从而由校验方程组，得 4 5 6 7 1x x x x? ? ? ?，故 1k? ； 若 2k? ，则 1 2 3 4 5 6 71
14、 0 0 1 1 0 1x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， ， 从而由校验方程组，得 2 3 6 7 1x x x x? ? ? ?，故 2k? ； 若 3k? ，则 1 2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 0 1x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， ， 从而由校验方程组，得 2 3 6 7 1x x x x? ? ? ?，故 3k? ； 若 4k? ，则 1 2 3 4 5 6 71 1 0 0 1 0 1x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， ， 从而由校验方程组，得 1 3 5 7
15、 1x x x x? ? ? ?，故 4k? ； 若 5k? ，则 1 2 3 4 5 6 71 1 0 1 0 0 1x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， ， 从而由校验方程组，得 4 5 6 7 2 3 6 7 1 3 5 70 , 0 , 0x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故 5k? 符合题意； 若 6k? ，则 1 2 3 4 5 6 71 1 0 1 1 1 1x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， ， 从而由校验方程组，得 2 3 6 7 1x x x
16、x? ? ? ?，故 6k? ； 若 7k? ，则 1 2 3 4 5 61 1 0 1 1 0x x x x x x? ? ? ? ? ?， ， ， ， ， 7 0x? ， 从而由校验方程组，得 2 3 6 7 1x x x x? ? ? ?，故 7k? ； 综上， k等于 5 【提示】根据二元码 1 2 7xx x 的码元满足的方程组，及 “ ? ” 的运算规则， 将 k的值从 1至 7逐个验证即可 【考点】通讯安全中的基本问题 三、解答题 16.【答案】 52 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】离散型随机变量的期望与方差 ， 相互独立事件的概率乘法公式 【提示】（ 1）根据概率的公式即
17、可求当天小王的该银行卡被锁定的概率； （ 2）随机变量 X的取值为： 1， 2， 3，分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望 【解析】（ 1）设 “ 当天小王的该银行卡被锁定 ” 的事件为 A， 则 5 4 3 1( ) =6 5 4 2PA ? ? ? （ 2）有可能的取值是 1， 2， 3 又则 1( 1) 6PX?， 5 1 1( 2) 6 5 6PX ? ? ? ?， 5 4 2( 3) 6 5 3PX ? ? ? ? 所以 X的分布列为： X 1 2 3 P 16 16 23 1 1 2 51 2 36 6 3 2EX ? ? ? ? ? ? ? 17.【答案】 （ 1） 见解析 （ 2） 23 【解析】解法一：（ 1）如图，取 AE的中点 H，连接 HG， HD， G是 BE的中点， GH AB ，且 12GH AB? ， 又 F是 CD 中点，四边形 ABCD是矩形， DF AB ，且 12DF AB? ，即 GH DF ，且 GH DF? ， 四边形 HGFD是平行四边形， GF DH ， 又 DH ADE?平 面 ， GF ADE?平 面 ， GF ADE 平 面 （ 2）如图，在平面 BEG内，过点 B作 BQ CE ， BE EC?
