1、【 ;百万教育资源文库 】 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (安徽卷 ) 数学 (理科 )答案 解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】由题意 2 i 2 i (1 i ) 2 2 i 1i1 i (1 i ) (1 i ) 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ，其对应的点坐标为 (1,1)? ，位于第二象限，故选 B 【提示】 先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论 【 考点 】复数 的 代数表示及复数的几何意义 2.【答案】 A 【解析】由选项可知， B、 C 项均不是偶函数，故排除 B、 C； A、 D 项是偶函数，但 D 项与 x 轴没有交点，即 D 项不存在
2、零点 ，故选 A 【提示】 利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择 【考点】函数的奇偶性和零点的判断 3.【答案】 A 【解析】 由 022xq ?： ，解得 0x? ， 易知， p 能推出 q ，但 q 不能推出 p ，故 p 是 q 成立的充分不必要条件， 故选 A 【提示】 运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断 【考点】 充分必要条件的判断，指数函数的单调性的运用 4.【答案】 C 【解析】由题意， A 选项 可得 交点 在 x 轴 上 ，不 符合 条件， B 选项 的焦点在 x 轴， 不符合 条件，故排除 A、 B， C 选项 的焦点在 y 轴
3、， 渐近线方程为 2 2 14y x?，即 2yx? ， 符合条件 ，D 选项 的焦点在 y 轴 ， 渐近线方程为 12yx? ， 不符合条件 故选 C 【提示】 对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案 【考点】 双曲线的方程和性质 5.【答案】 D 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 对于 A，若 ? ， ? 垂直于同一平面，则 ? ， ? 不一定平行，如果墙角的三个平面；故 A 错误； 对于 B，若 m ， n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 相交或者异面；故 B 错误； 对于 C，若 ? ， ? 不平行，则在 ? 内存在无数条与 ? 平行的直线；故 C 错误； 对
4、于 D，若 m ， n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这 两条在平行；故选 D 【提示】 利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 ， 空间中直线与直线之间的位置关系 ， 平面与平面之间的位置关系 6.【答案】 C 【解析】设样本数据 1x ， 2x ， ?， 10x 的标准差为 DX ，则 8DX? ，即方差 64DX? ，而数据 121x? ，221x? ， ?， 1021x ? 的方差 22( 2 1) 2 2 6 4D X D X? ? ? ?，所 以其标准差为 22 64 1
5、6?，故选 C 【提示】 根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可 【考点】方差和标准差的计算 7.【答案】 B 【解析】 依 题意， 该 几何体是地面为等腰直角的三棱锥，该四面体的直观图如下， 则 1 2 2 12B C D A B DSS? ? ? ? ? ， 132 2 s i n 6 022A B C A C DSS? ? ? ? ? ? ， 所以四面体的表面积 32 1 2 2 32B C D A B D A B C A C DS S S S S? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，故选 B 【提示】 根据几何体的三视图，得出该几何体是底
6、面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它的表面积 【考点】 由三视图求面积 和 体积 8.【答案】 D 【解析】 依题意， ( 2 ) 2B C A C A B a b a b? ? ? ? ? ?uuur uuur uuur r r r r，故 | | 2b?r ，故 A 错误， | 2 | 2| | 2aa?rr，所以 | | 1a?r ，又 22 ( 2 ) 4 | | 2 2 2 c o s 6 0 2A B A C a a b a a b? ? ? ? ? ? ? ?u uur u u ur r r r r r rgg ，所以 1ab?rrg ， 故 B， C
7、 错误； 【 ;百万教育资源文库 】 设 BC 中点为 D ，则 2AB AC AD?uuur uuur uuur，且 AD BC?uuur uuur ，所以 (4 )a b BC?r r uuur ，故选 D 【提示】由 题意，知道 BC AC AB b? ? ?uuur uuur uuur ，根据 2AB AC AD?uuur uuur uuur且 AD BC?uuur uuur 解之 【考点】 平面 向量的数量积公式的运用 9.【答案】 C 【解析】由2() ()ax bfx xc? ?及图可知， xc? ， 0c?； 当 0x? 时，2(0) 0bf c?，所以 0b? ； 当 0y?
8、 ， 0ax b? ，所以 0bx a? ? ，所以 0a? 故 0a? ， 0b? ， 0c? ，故选 C 【提示】 分别根据函数的定义域，函数零点以及 (0)f 的取值进行判断即可 【考点】 函数图象的识别和判断 10.【答案】 A 【解析】由题意， ( ) sin( )f x A x?( 0 0 0)A ? ? ?， ， ， 2 2 |T ? ? ? ， 所以 2? ，则 ( ) sin( )f x A x?， 而当 23x? 时， 2 3 22 32 kk? ? ? ? ? Z，解得 2 6 kk? ? ? ?Z， ， 所以 ( ) s in 2 ( 0 )6f x A x A? ?
9、?， 则当 2262xk? ? ? ，即 6xk? 时， ?fx取得最大值 要比较 (2) ( 2) (0)f f f?， ， 的大小，只需判断 2 2 0?， ， 与最近的最高点处对称轴的距离大小， 距离越大，值越小，易知 02， 与 6 比较近， 2? 与 56? 比较近， 所以当 0k? 时， 6x? ，此时 0 0.526? ， 2 1.476? ， 当 1k? 时， 56x? ，此时 52 0.66? ? ? ?，所以 (2) ( 2) (0)f f f? ? ? ， 故选 A 【提示】 依题意可求 2? ，又当 23x? 时，函数 ()fx取得最小值，可解得 ? ，从而可求解析式(
10、 ) sin 2 6f x A x?，利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】 三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质 第 卷 二、填空题 11.【答案】 35 【解析 】 根据所给的二项式写出展开式的通项， ? ?73 2 1 41 7 71 rrr r rrT C x C xx? ? ?， 令 21 4 5r?，得 4r? ，则 5x 的系数是 47 35C? 【提示】 根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第 1r? 项，整理成最简形式，令 x 的指数为 5求得 r ，再代入系数求出结果 【考点】 二项式定理的应用 12.【答案
11、】 6 【解析】由题意 2 sin? ? ? ，转化为直角坐标方程为 228x y y?，即 22( 4) 16xy? ? ? ；直线 ? ?3?R转化为直角坐标方程为 3yx? ，则圆上到直线的距离最大值是通过圆心的直线，设圆心到直线的距离为 d ，圆心的半径为 r ，则圆到直线距离的最大值22|0 4 | 4 2 4 61 ( 3 )D d r ? ? ? ? ? ? ? 【提示】 圆 可 化为 2 sin? ? ? ， 转化为直角坐标方程 ， 直线 ? ?3?R 转化为直角坐标方程为 3yx? 利用点到直线的距离公式可得圆心 (0,4)C 到直线的距离 d ，可得圆 8sin? 上的点到
12、直线 ? ?3?R 距离的最大值 dr? 【考点】简单曲线的极坐标方程 和 点到直线的距离公式 13.【答案】 4 【解析】由题意，程序框图循环如下： 1a? ， 1n? ； 131 1 1 2a? ? ? ， 2n? ； 32 171 15a? ? ?， 3n? ； 75 1 171 1 12a ? ? ?， 4n? ， 此时， 17 1 .4 1 4 0 .0 0 3 0 .0 0 512 ? ? ?，所以输出 4n? 【提示】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 an， 的值，当 1712a? 时不满足条件【 ;百万教育资源文库 】 | 1 .4 1 4 | 0 .0 0 2 6
13、7 0 .0 0 5a ? ? ?，退出循环，输出 n 的值为 4 【考点】 循环结构的程序框图 14.【答案】 21n? 【解析】由题意 得 149aa?， 2 3 1 4 8a a aa?g ，解得 1 1a? ， 4 8a? 或者 1 8a? ， 4 1a? ， 而数列 na 是递增的等比数列，所以 1 1a? ， 4 8a? ，即 3 41 8aq a?， 所以 2q? ，因而 数列 na 的前 n 项和 1 (1 ) 12 211 1 2n n nn aqS q? ? ? ? ? 【提示】 利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列 na 的前 n 项和 【考点】 等比
14、数列的性质，数列 na 的前 n 项和 15.【答案】 【解析】令 3()f x x ax b? ? ?，求导得 2( ) 3f x x a? ?， 当 0a? 时， ( ) 0fx? ? ，所以 ()fx单调递增，且至少存在一个数使 ( ) 0fx? ，至少存在一个数使 ( ) 0fx? ，所以 3()f x x ax b? ? ?必有一个零点，即方程 3 0x ax b? ? ? 仅有一根，故 正确； 当 0a? 时，若 3a? ，则 2( ) 3 3 3 ( 1 ) ( 1 )f x x x x? ? ? ? ? ?， 易知， ()fx在 ( , 1)? ， (1, )? 上单调递增，在
15、 1,1? 上单调递减， 所以 ( ) ( 1 ) 1 3 2f x f b b? ? ? ? ? ? ? ?极 大 ， ( ) (1 ) 1 3 2 0f x f b b? ? ? ? ? ? ?极 小 ， 解得 2b? 或 2b? ，故 正确所以使得三次方程仅有一个实根的是 【提示】 对五个条件分别分析解答；利用数形结合以及导数，判断单调区间以及极值 【考点】 函数的零点与方程的根的关系 三、解答题 16.【答案】 10 【解析】 解： 设 ABC 的内角 ,ABC 所对边的长分别是 ,abc，由余弦定理得 2 2 2 2 2 3 2 c o s ( 3 2 ) 6 2 3 2 6 c o
16、 s 1 8 3 6 ( 3 6 ) 9 04a b c b c B A C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 3 10a? 又由正弦定理得 s i n 3 1 0s i n103 1 0b B A CB a? ? ?，由题设知 0 4B? ， 【 ;百万教育资源文库 】 所以 2 1 3 1 0c o s 1 s i n 11 0 1 0BB? ? ? ? ?， 在 ABD 中，由正弦定理得 s i n 6 s i n 3 10s i n ( 2 ) 2 s i n c o s c o sA B B BAD B B B B? ? ? ?g 【提示】 由已知及余
17、弦定理可解得 a 的值，由正弦定理可求得 sinB ，从而可求 cosB ， 在 ABD 中 ， 由正弦定理 可 求得 AD 的长 【考点】正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用 17.【答案】（） 310 （）见解析 【解析】 （ ）记 “ 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品 ” 为事件 A ， 则 112325 3() 10AAPA A? （ ） X 的可能取值为 200， 300， 400， 2225 1( 2 0 0 ) 10APX A? ? ?； 3 1 1 23 2 3 235 3( 3 0 0 ) 10A C C APX A? ? ?； 1 3 6( 4 0 0 ) 1 ( 2 0 0 ) ( 3 0 0 ) 1 1 0 1 0 1 0P X P X P X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故 X 的分布列为 X 200 300 400 P 110 310 610 1 3 62 0 0 3 0 0 4 0 0 3 5 01 0 1 0 1
