1、【 ;百万教育资源文库 】 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏 卷 ） 答案解析 数学 一、填空题 1.【 答案 】 5 【解析】 1, 2,3, 4,5?AB ， AB? 中的元素个数为 5. 【提示】 求出 AB，再明确元素个数 【 考点 】 集合并集及其运算 . 2.【 答案 】 6 【 解析 】 1 ( 4 6 5 8 7 6 ) 66x ? ? ? ? ? ? ?， ?这组数的平均数为 6. 【提示】 直接求解数据的平均数即可 . 【 考点 】 平均数的计算 . 3.【 答案 】 5 【 解析 】 2 223 4 5z ? ? ?， 5z? . 【提示】 直接利用复数的
2、模的求解法则，化简求解即可 . 【 考点 】 复数的基本运算 . 4.【 答案 】 7 【 解析 】 （ 1） 1S? ， 18I? ， 23SS? ? ? ， 34II? ? ? ； （ 2） 48I? ， 25SS? ? ? ， 37II? ? ? ； （ 3） 78I? ， 27SS? ? ? ， 3 10II? ? ? ； （ 4） 8I? ， print S ， S=7 ； ?输出的结果 S 为 7. 【提示】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 ,IS的值，当 10I? 时不满足条件 8I? ，退出循环，输出 S 的值为 7. 【考点】流程图 . 5.【 答案 】 56【解析
3、】 从中随机一次摸出 2 只球的所有可能出现的结果为：（白，红），（白，黄 1），（白，黄 2），（红，黄 1），（红，黄 2），（黄 1，黄 2）总共有 6 种可能，显然 2 只球颜色不同有 5 种可能 . 56P?. 【提示】 根据题意，把 4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可 【 ;百万教育资源文库 】 【 考点 】 随机事件与概率 . 6.【 答案 】 3? 【 解析 】 ( 2 2 ) ( 9 8 )m a n b m n m n? ? ? ? ? ?， ， 2928mnmn? ? ?，得5mn?， 3mn? ? ? . 【提示】 直接利用向量的坐标运算，求
4、解即可 . 【考点】平面向量的坐标运算 . 7.【 答案 】 (12)?， 【 解析 】 224xx? ? ，即 2 222xx? ? ， 2 2xx? ? ? ，得 12x? ? ， ?解集为 (12)?， . 【提示】 利用指数函数的单调性转化为 2 2xx? ? ，求解即可 . 【 考点 】 解不等式 . 8.【 答案 】 3 【 解析 】 tan tan ( )? ? ? ? ? ?ta n ( ) ta n1 ta n ( ) ta n? ? ? ? ? ?1 27 311 ( 2)7?， tan 3?. 【提示】 直接利用两角和的正切函数，求解即可 . 【 考点 】 两角和与差的正
5、切公式 . 9.【 答案 】 7 【 解析 】 221 1 9 6 = 5 4 + 2 8 =33V总，设新的底面半径为 r ，则有： +=VVV锥 柱 总 ， 221 1 9 6 8 433rr? ? ?，解得 7r? . 【提示】 由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径 r ，求出体积，由前后体积相等列式求得 r . 【 考点 】 圆柱、圆锥的体积计算 . 10.【 答案 】 22( 1) 2xy? ? ? 【 解析 】 圆心到切线 2 1 0mx y m? ? ? ?的距离为 r 222 2 221 ( 1 ) 1 2 2121 1 11m m m m mr m m
6、 mm ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ?最大的半径为 2 ， ?半径最大圆的标准方程为 22( 1) 2xy? ? ? . 【提示】 求出圆心到直线的 d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程 . 【 考点 】 直线与圆的位置关系，圆的标准方程 . 【 ;百万教育资源文库 】 11.【 答案 】 2011【 解析 】 1 1nna a n? ? ? ?，即 1nna a n?，又 1 1a? ，1 ( 1 )1 2 3 2nn nna a n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，1 1 12 1na n n? ? ?前 10 项的和为 1011 1 1 1 1 1
7、 1 2 02 1 2 12 2 3 3 1 0 1 1 1 1 1 1ii a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 【提示】 数列 na 满足 1 1a? ，且 1 1( )nna a n n ? ? ? ，利用 “ 累加求和 ” 可得 ( 1)2n nna ?.再利用 “ 裂项求和 ” 即可得出 . 【 考点 】 数列的通项和性质 . 12.【 答案 】 22【 解析 】 设 p 点坐标为 00()xy， ，则点 P 到直线 10xy? ? ? 的距离 0000221 2 121 + ( )xyd x y? ? ? ?-1， 又 p 在双曲线上
8、，即 220 0 0 0 0 0( ) ( ) 1x y x y x y? ? ? ? ?，从而00 001xy xy?. ? d =002 1 2122xy ? ， d 的最小值为 22 c? 的最大值为 22 . 【提示】 双曲线 221xy? ? 的渐近线方程为 0xy?， c 的最大值为直线 10xy? ? ? 与直线 0xy?的距离 . 【 考点 】 双曲线的几何性质 . 13.【 答案 】 4 【 解析 】 根据题意 ln , 0 1,()ln , 1 .xxfx xx? ? ? ? ?， 220 , 0 1( ) 2 ,1 26 , 2xg x x xxx? ? ? ?， 所以
9、22l n 0 1( ) ( ) l n 2 1 2l n 6 2xxf x g x x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 分情况讨论： 当 01x?时， ( ) ( ) 1f x g x?有 1 个解 1ex? ， ?此时有一个根 . 当 12x?时， ( ) ( )f x g x? 单调递增，且 (1) (1) 1fg?， ( 2 ) ( 2 ) 2 ln 2 1fg? ? ? ?， ?此时有一个根 . 当 2x? 时， ( ) ( )f x g x? 先减后增，且 ( 2 ) ( 2 ) 2 ln 2 1fg? ? ? ?， (2.3) (2.3) 1fg
10、?， ?此时 ( ) ( )f x g x?【 ;百万教育资源文库 】 与 1y? 有两个交点，即 ( ) ( ) 1f x g x?有两个根 . 综上，方程 ( ) ( ) 1f x g x?的实根共有 4 个 . 【提示】对 ( ) ( )f x g x? 分类讨论 即可得出结论 . 【 考点 】 方程的根 14.【 答案 】 93 【 解析 】 c o s s in c o s6 6 6k k k?， ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) c o s s i n c o s6 6 6k k k? ? ?， ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) c o s c o s
11、s i n s i n c o s s i n s i n c o s c o s c o s6 6 6 6 6 6 6 6 6 6k k k k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) c o s c o s s i n s i n c o s c o s c o s s i n s i n c o s6 6 6 6 6 6 6 6 6 6k k k k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 ) c o s c o s c o s s i n6 6 6
12、 3 6k k k? ? ? ? ?. 1 1 1 1 1 1 1 110 0 0 0 ( 1 ) ( ) c o s c o s c o s s i n6 6 6 3 6kkk k k kk k kaa ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 110 ( 1 ) c o s c o s 3 3 s i n6 6 3 6kk k k? ? 以 1 1 1 1112 2 2 2? ? ?， ， ， ， ， 为周期循环 ， 110sin 036kk? 110cos 6 36k? ?， 1110 ( ) 3 3 6 3 0 9 3kkk aa ? ? ? ? ?. 【提示】 利用向量数量积
13、运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出 . 【 考点 】 向量的乘积运算，列的求和 . 二、解答题 15.【答案】 （） 由余弦定理知， 2 2 2 12 c o s 4 9 2 2 3 72B C A B A C A B A C A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 7BC? . （） 由正弦定理知， sin sinAB BCCA? ，所以 2 s i n 6 0 2 1s i n s i n77ABCABC? ? ?. 因为 AB BC? ，所以 C 为锐角，则 2 3 2 7c o s 1 s i n 177CC? ? ? ? ?. 故 2 1
14、2 7 4 3s i n 2 2 s i n c o s 27 7 7C C C? ? ? ? ?. 【提示】 （） 直接利用余弦定理求解即可 . 【 ;百万教育资源文库 】 （） 利用正弦定理求出 C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可 . 【考点】余弦定理的应用 ，正弦定理的应用 . 16.【 答案 】 （） 由题意知， E 为 1BC的中点，又 D 为 1AB 的中点，因此 DE AC . 又因为 DE? 平面 11AACC ， AC? 平面 11AACC ，所以 DE 平面 11AACC . （） 因为棱柱 1 1 1ABC ABC? 是直三棱柱，所以 1CC? 平面 ABC ，
15、 因为 AC? 平面 ABC ，所以 1AC CC? ， 又因为 AC BC? ， 1CC? 平面 11BCCB ， BC? 平面 11BCCB ， 1BC CC C? ， 所以 AC? 平面 11BCCB .又因为 1BC? 平面 11BCCB ， 所以 1BC AC? ，因为 1BC CC? ，所以矩形 11BCCB 是正方形， 因此 11BC BC? ， 又 因为 1AC BC?， 平面 1BAC ， 1AC BC C? ， 所以 1BC? 平面 1BAC .又因为 1AB? 平面 1BAC ，所以 11BC AB? . 【提示】 （） 根据中位线定理得 DE AC ，即证 DE 平面
16、11AACC . （ ） 先由直三棱柱得出 1CC? 平面 ABC ，即证 1AC CC? ； 再证明 AC? 平面 11BCCB ，即证 1BC AC? ；最后证明 1BC? 平面 1BAC ，即可证出 11BC AB? . 【考点】 线面平行的判定 ， 线线垂直的判定和性质 . 17.【答案】 （） 由题意知，点 ,MN的坐标分别为 (5,40) ， (20,2.5) . 将其分别代入2ay xb? ?，得40252.5400abab? ? ? ?， 解得 1000,0.ab? ?（ ） 由 （） 知21000 (5 20)yxx? ? ?，则点 P 的坐标为21000,?t t， 设在点
17、 P 处的切 线 l 交 xy， 轴分别于 AB， 点，32000y x?，则 l 的方程为231 0 0 0 2 0 0 0 ()y x ttt? ? ? ?， 由此得 3,02?tA，230000,?B t.故 22 62243 3 0 0 0 3 4 1 0() 22tf t ttt ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 5,20?t . 设 6244 10()g t t t?，则 6516 10( ) 2g t t t? ?.令 () 0gt? ? .解得 10 2t? . 当 (5,10 2)t? 时， () 0gt? ? ， ()gt 是减函数；当 (10 2,20
18、)t? 时， () 0gt? ? ， ()gt 是增函数， 从而，当 10 2t? 时，函数 ()gt 有极小值，也是最小值，所以 min( ) 300gt ? ，此时 min( ) 15 3ft ? . 【提示】 （） 由题意知，点 ,MN的坐标分别为 (5,40) ， (20,2.5) ，将其分别代入2ay xb? ?，建立方程组，即可求 ,ab的值； （ ） 求出切线 l 的方程，可得 ,AB的坐标，即可写出公路长度的函数解析式 ()ft ，并写出定义域； 【 ;百万教育资源文库 】 设 6244 10()g t t t?，利用导数，确定单调性，即可求出当 t 为何值时，公路的长度最短，
19、并求出最短长度 . 【考点】利用导数研究函数的极值和单调性 ， 直线与曲线的位置关系 . 18.【答案】 （） 由题意，得 22ca?且 2 3acc?.解得 2a? ， 1c? ，则 1b? . 所以椭圆的标准方程为 2 2 12x y?. （ ） 当 AB x? 轴时， 2AB? ，又 3CP? ，不合题意 ， 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 ( 1)y k x?， 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， 将 AB 的方程代入椭圆方程，得 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 ( 1 ) 0k x k x k? ? ? ? ?，则 221,2 22 2 (1+ )12kkx k? ?，
