1、数学参考答案 第 1 页（共 14 页） 2020-2021 学年北京市高三定位考试 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）已知集合1,2,3, | (2)0ABx xx，则AB （A）1,2 （B）1,3 （C）2,3 （D）1,23, （2）已知 3 log 2a ， 0.1 2b ， 1 2 3c ，则 （A）abc （B）bac （C）
2、bca （D）cba （3）在复平面内，复数sinicosz对应的点位于第二象限，则角的终边在 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （4）在 4 (2)x的展开式中， 2 x的系数为 （A）6 （B）12 （C）24 （D）48 （5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱为 （A）2 （B）2 2 （C）6 （D）4 （6）已知函数( )|1|1|f xxa x，则“1a ”是“( )f x为奇函数”的 数学参考答案 第 2 页（共 14 页） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）已知直线:30
3、l axby经过点( ,2)a b，则原点到点( , )P a b的距离可以是 （A）4 （B）2 （C） 2 2 （D） 1 2 （8）等差数列 n a的前n项和为 n S已知 1 5a ， 3 1a 记 n n n S b a (1,2,)n ，则数列 n b的 （A）最小项为 3 b （B）最大项为 3 b （C）最小项为 4 b （D）最大项为 4 b （9）抛物线 2 :8W yx的焦点为F. 对于W上一点P，若W的准线上只存在一个点Q，使得 FPQ为等腰三角形，则点P的横坐标为 （A）2 （B）4 （C）5 （D）6 （10）在正方体 1111 ABCDA BC D中，点P在正方形
4、 11 ADD A内，且 不在棱上，则 （A）在正方形 11 DCC D内一定存在一点Q，使得PQAC （B）在正方形 11 DCC D内一定存在一点Q，使得PQAC （C）在正方形 11 DCC D内一定存在一点Q，使得平面 1 PQC平面ABC （D）在正方形 11 DCC D内一定存在一点Q，使得AC 平面 1 PQC D1C1 B1 DC B A1 A 数学参考答案 第 3 页（共 14 页） 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）函数( )12xf x 的定义域为_ （12）已知双曲线 22 2 :1 4 xy W a
5、（其中0a ）的渐近线方程为yx，则a _，W 的右焦点坐标为_ （13）已知平面向量(1,2)a与(3, ) xb的夹角为 4 ，则x _ （14）已知函数( )sin2f xx若非零实数, a b，使得 ()( )f xabf x对xR都成立，则 满足条件的一组值可以是a_，b _(只需写出一组) （15）已知曲线 222 1: Wxym， 422 2: Wxym，其中0m 当1m 时，曲线 1 W与 2 W有4个公共点； 当01m时，曲线 1 W围成的区域面积大于曲线 2 W围成的区域面积； 1m，曲线 1 W围成的区域面积等于 2 W围成的区域面积； 0m， 曲线 1 W围成的区域内整
6、点 （即横、 纵坐标均为整数的点） 个数不少于曲线 2 W 围成的区域内整点个数 其中，所有正确结论的序号是_ 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 14 分） 在ABC中， 1 cos 8 C ，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知， 求： （）sinB的值； （）ABC的面积 条件：4a ，6c ； 条件：4a ，ABC为等腰三角形 数学参考答案 第 4 页（共 14 页） 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 数学参考答案 第 5 页（共 14 页） （17） （本小题共 14 分） 如图，长方体 1111
7、ABCDA B C D中, 1ABAD， 1 2AA ，点E为 1 DD的中点 （）求证： 1 BD平面ACE； （）求证： 1 EB平面ACE； （）求二面角 1 ACEC的余弦值 （18） （本小题 14 分） 某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1 期、2 期、3 期和 4 期记随机变量 1 x、 2 x分别表示顾客购买H型手机和V型手机的分期付款 期数，根据以往销售数据统计， 1 x和 2 x的分布列如下表所示： （） 若某位顾客购买H型和V手机各一部， 求这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率； （） 电商平台销售一部V型手机， 若顾客选择分1期付款，
8、 则电商平台获得的利润为 300 元； 若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为 350 元；若顾客选择分3期付款，则 电商平台获得的利润为 400 元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为 450 元记电商平台销售两部V型手机所获得的利润为X(单位:元)，求X的分布列； （）比较 1 ()D x 与 2 ()D x 的大小 （只需写出结论只需写出结论） 1 x 1 2 3 4 P 0.1 0.4 0.4 0.1 2 x 1 2 3 4 P 0.4 0.1 0.1 0.4 数学参考答案 第 6 页（共 14 页） （19） （本小题 14 分） 已知函数( )(1)lnf xxxa
9、xa （）若曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线倾斜角为 4 ，求a的值； （）若( )f x在(0,)上单调递增，求a的最大值； （）请直接写出( )f x的零点个数. （20） （本小题 14 分） 已知椭圆 2 2 :1 6 x Cy （）求椭圆C的离心率； （）经过原点的直线与椭圆C交于,P Q两点，直线PM与直线PQ垂直，且与椭圆C的另 一个交点为M （i） 当点M为椭圆C的右顶点时，求证：PQM为等腰三角形； （ii）当点P不是椭圆C的顶点时，求直线PQ和直线QM的斜率之比. （21） （本小题 15 分） 对于给定的区间 , m t和非负数列 12 :, k A a aa
10、, 若存在 01 , k xxx使 1 | iii xxa ， 1,2,ik成立，其中 , i xm t，0,1,ik，则称数列A可“嵌入”区间 , m t. （）分别指出下列数列是否可“嵌入”区间0,2； 1:2,3 A； 2:1,0,1 A. （）已知数列A满足(1,2, ) n an nk，若数列A可“嵌入”区间 0 1,m 0 ()m N，求 数列A的项数k的最大值； （）求证：任取数列 122021 :,A a aa满足0,1(1,2,2021) i ai，均可以“嵌入” 区 间2 , 0. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 数学参考答案 第 7 页（共 14 页）
11、2020-2021 学年北京市高三定位考试 数学参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） （1）A （2）D （3）D （4）B （ 5 ）C （6）C （7）B （8）C （9）D （10）A 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） （11）(,0 （12）2 ( 22 , 0 ) （13）1 （14）2 1（答案不唯一） （15） 三、解答题（共 6 小题，共 85 分） （16） （共 14 分） 解：选条件：4a ，6c （）在ABC中，因为 222 2coscababC， 3 分 且 1 cos 8 C ，4a ，6c 所以 2 1 36
12、168 () 8 bb 所以4b ，5b （舍） 5 分 由正弦定理得 sin sin bC B c 8 分 因为 1 cos 8 C ，(0,)C 所以 2 3 7 sin1cos 8 CC 9 分 所以 7 sin 4 B 10 分 （）因为 1 sin 2 ABC SabC 13分 在ABC中，4a ，4b ， 3 7 sin 8 C 所以3 7 ABC S 14 分 数学参考答案 第 8 页（共 14 页） 选条件：4a ，ABC为等腰三角形 （）在ABC中，因为 1 cos 8 C ， 所以C为钝角 因为ABC为等腰三角形， 所以C为顶角 所以4ab 2 分 因为 222 2cosc
13、ababC， 5 分 所以6c 由正弦定理得 sin sin bC B c 8 分 因为 1 cos 8 C ，(0,)C 所以 3 7 sin 8 C 9 分 所以 7 sin 4 B 10 分 （）因为 1 sin 2 ABC SabC 13 分 在ABC中，4a ，4b ， 3 7 sin 8 C 所以3 7 ABC S 14 分 数学试卷 第 9 页（共 14 页） （17） （共 14 分） 解： （）连接BD交AC于点O，连接EO 因为 1111 ABCDABC D为长方体， 所以ABCD为矩形 所以点O为BD中点 又因为E为 1 DD中点， 所以在 1 BD D中， 1 OEBD
14、 2 分 又OE 平面ACE， 1 BD 平面ACE， 4 分 所以 1 BD平面ACE 5 分 （） 以 D 为坐标原点， 分别以 1 ,DA DC DD为, ,x y z轴建立空间直角坐标系 6 分 则 1 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,2)ACEB， 所以 1 ()1,1,1EB ，() 1,0, 1EA ，()C0,1, 1E 所以 1 1 0 0 EBEA EB EC ， 所以 1 1 EBEA EBEC ， 8 分 又EAECE， 9 分 所以 1 EB 平面ACE 10 分 （）因为 1111 ABCDA BC D为长方体， 所以BC 平面 11 DC
15、C D 所以取平面 1 ECC的法向量为( 1,0,0)BC ， 11 分 数学试卷 第 10 页（共 14 页） 再由（） ，取平面ACE的法向量为 1 ()1,1,1EB 12 分 所以 1 1 1 3 cos 3 | EB BC EBBC EBBC ， 由题知二面角 1 A CEC为钝角，所以其余弦值为 3 3 14 分 （18） （共 14 分） 解： （）设事件A为“这位顾客两种手机都选择分4期付款” 1 分 故( )0.1 0.40.04P A 4 分 （）X的所有可能值为600,650,700,750,800,850,900 5 分 (600)0.4 0.40.16P X 1 2
16、 (650)C0.4 0.10.08P X 1 2 (700)0.1 0.1 C0.4 0.10.09P X 11 22 (750)C0.4 0.4C0.1 0.10.34P X 1 2 (800)0.1 0.1 C0.1 0.40.09P X 1 2 (850)C0.1 0.40.08P X (900)0.4 0.40.16P X 所以X的分布列为 X 600 650 700 750 800 850 900 P 0.16 0.08 0.09 0.34 0.09 0.08 0.16 11 分 （） 1 ()D x 2 ()D x 14 分 （19） （共 14 分） 解： （）因为( )(1)
17、lnf xxxaxa， 所以 1 ( )ln x fxxa x 2 分 (1)2fa 由题设知 (1)tan1 4 f ， 即21a，解得1a 5 分 数学试卷 第 11 页（共 14 页） （）设( )( )g xfx 所以 22 111 ( ) x g x xxx 7 分 令( )0g x,1x 因为当(0,1)x时，( )0g x，( )g x单调递减； 当(1,)x时，( )0g x，( )g x单调递增， 所以( )g x的最小值为(1)2ga， 即( )fx的最小值为(1)2fa 9 分 因为( )f x在(0,)上单调递增， 所以( ) 0fx对(0,)x成立 所以20a 所以a
18、的最大值为2 11 分 （）当2a时，( )f x只有 1 个零点 12 分 当2a 时，( )f x有 3 个零点 14 分 （20） （共 14 分） 解： （）因为椭圆方程 2 2 :1 6 x Cy， 所以 22 6,1ab 1 分 所以 2 5c 2 分 所以离心率 530 66 c e a 4 分 （） （i）设 1111 (,),(,)P x yQxy 1 6x 由题设知，( 6,0)M 5 分 因为PQPM， 所以点 11 (,)P x y在以线段OM为直径的圆上， 所以有 222 11 66 ()() 22 xy 6 分 又 2 21 1 1 6 x y 7 分 解得 11
19、6 6 5 xx，（舍） 数学试卷 第 12 页（共 14 页） 所以 22 11 624 , 2525 xy 9 分 所以 22 11 1202 30 2 55 PQxy 又 22 11 1202 30 (6) 55 PMxy 10 分 所以PQPM，即PQM为等腰三角形 （ii）法 1：设 22 (,)M xy，且 21 xx , 1 6x , 1 0 x . 记直线,PQ PM QM的斜率分别为, PQPMQM kkk. 所以 12121 12121 , PQPMQM yyyyy kkk xxxxx . 11 分 因为PQPM， 所以1 PQPM kk . 12 分 又 22 21212
20、1 22 212121 PMQM yyyyyy kk xxxxxx . 因为 2 21 1 2 22 2 1, 6 1, 6 x y x y 所以 22 21 22 21 1 6 yy xx . 13 分 所以 1 6 PMQM kk . 所以6 PQ QM k k ，即直线PQ和直线QM的斜率之比为6. 14 分 （ii）法 2：因为点P不是椭圆C的顶点， 所以直线,PQ PM QM的斜率都存在且不为 0， 设直线PM的方程为0ykxm km 由 2 2 1 6 ykxm x y 得 222 1612660kxkmxm 由0, 所以 22 610km . 设 1122 (,),(,)P x
21、yM xy,PM的中点 00 (,)T xy. 数学试卷 第 13 页（共 14 页） 因为 12 2 12 16 km xx k ， 12 分 所以 12 0 2 6 216 xxkm x k 00 2 16 m ykxm k ， 13 分 因为,OTQM 所以 0 0 1 6 QMOT y kk xk 又因为 ,PQQM 所以 1 PQ k k . 所以 1 6 1 6 PQ QM k k k k . 14 分 （21） （共 15 分） 解： （）不可以；可以. 4 分 （）因为 10 |1 kkk akxxm ， 所以 0 1km. 6 分 当 0 m为奇数时，取 1, 0,1 2 2
22、 ,0,1 2 i mi imi x mi imi 且为偶数, 且为奇数. 当 0 m为偶数时，取 2 ,0,1 2 1, 0,1 2 i mi imi x mi imi 且为偶数, 且为奇数. 此时k可取 0 1m ，所以 max0 1km 10 分 （）设数列 122021 :,A a aa满足0,1(1,2,2021) i ai， 构造数列 012021 ,x xx如下： 数学试卷 第 14 页（共 14 页） 011 0,xxa， 1 1 1 , , ,1 ,1 iii i iii xax x xax 其中1,2,2020i . 根据 1i x 的定义知道， 当1 i x时，因为 1 0,1 i a，所以 1 0,2 i x. 当1 i x 时，因为 1 0,1 i a，所以 1 0,2 i x. 而 1 1 1 , , |,1 | |,1 iiii ii iiii xaxx xx xaxx 所以 1 1 1 , , ,1 | ,1 ii ii ii ax xx ax 所以任取数列 122021 :,A a aa 满足 0,1(1,2,2021) i ai ，均可以“嵌入” 区间0,2.
