1、冀教版】九年级下册数学【冀教版】九年级下册数学 全册配套课件全册配套课件 九年级数学九年级数学 下下 新课标新课标冀教冀教 第二十九章第二十九章 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 学习新知学习新知 检测反馈检测反馈 学学 习习 新新 知知 我国射击运动员在奥运会上屡获金牌,为祖国赢得荣誉.如图所示的是 射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同,半径不等的圆)构成的,你知 道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗? 观察与思考观察与思考 足球运动员踢出的足球在球场上滚动，在足球穿越中圈区（中间圆形区 域）的过程中，可将足球看成一个点，这个点与圆具有怎样的位置关系？ 在同一个平面内,点与圆有三
2、种位置关系:点在圆外、点在 圆上和点在圆内.点P与O的位置关系如图所示. 共同探究共同探究 已知点P和O,O的半径为r,点P与圆心O之间的距离为d. 1.请根据下列图形中点P和O的位置,在表格中填写r与d之间的数量关系. 语言描述 图形表示 r与d之间的 数量关系 点P在O外 点P在O上 点P在O内 dr dr,CD= AB= cm3 cm=r,所以点B在A外. (3)因为DA= AB=2.5 cm3 cm=r,所以点D在A内. 1 2 1.圆将平面分成三部分,圆内、圆上和圆外,因此 点与圆有三种位置关系. 知识拓展 2.由点与圆的位置关系可以确定该点到圆心的距离 和半径的关系.反过来,已知点
3、到圆心的距离和半径 之间的关系,可以确定该点与圆的位置关系. 检测反馈检测反馈 1.O的半径为4 cm,点A到圆心O的距离为3 cm,则点A与O 的位置关系是 ( ) A.点A在圆内 B.点A在圆上 C.点A在圆外 D.不能确定 解析:OA=3 cm4 cm,则点A与O的位 置关系是:点A在圆内.故选A. A 2.在ABC中,C=90,AC=BC=4,点D是AB边的中点,以点C为圆 心,4 cm长为半径作圆,则点A,B,C,D四点中在圆内的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 22 444 2 1 22 2 解析:以点C为圆心,4为半径作圆,AC=BC=4,则A,B两点到 圆心C
4、的距离等于半径,点A,B在圆上.在直角三角形ABC 中,D是AB的中点,AC=BC=4,AB= ,CD= AB=2 ,则2 4,点D在C内.那么在圆内只有C,D两个 点.故选B. B 3.如图所示,在ABC中, ACB=90,AC=2 cm,BC=4 cm,CM是中 线,以点C为圆心, cm为半径作圆,则 A,B,M三点在圆外的有 ,在圆上 的有 ,在圆内的有 . 22 242 5 1 2 55 5 A 解析:ACB=90 ,AC=2 cm,BC=4 cm,AB= (cm).CM是中线,CM= AB= cm,点M在圆上.AC=2 cm cm,点B在圆外. B M 4.已知O的半径为5,O为原点
5、,点P的坐标为(2,4),则点P与O的位 置关系是 . 22 2420解析:由勾股定理,得OP= 5,点P与O的位置关系 是点P在O内.故填点P在O内. 点P在O内 5 九年级数学九年级数学 下下 新课标新课标冀教冀教 第二十九章第二十九章 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 学习新知学习新知 检测反馈检测反馈 学学 习习 新新 知知 清晨,一轮红日从东方冉冉升起,太阳的轮廓就像一 个运动的圆,从地平线下渐渐升到空中.在此过程中,太阳 轮廓与地平线有几种不同的位置关系呢? 共同探究共同探究 思考思考: : 1.一条直线与一个圆的公共点的个数可分为几种情况? 2.什么是直线与圆相交、相离、相切
6、?什么叫做圆的切线? 3.直线与圆有几种位置关系? (1)直线和圆有一个公共点 共同探究共同探究 思考思考: : 1.一条直线与一个圆的公共点的个数可分为几种情况? 2.什么是直线与圆相交、相离、相切?什么叫做圆的切线? 3.直线与圆有几种位置关系? (2)直线和圆有两个公共点. (3)直线和圆没有公共点. (1)直线和圆有唯一个公共点,叫做直线和圆相切 (2)直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交 (3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离 观察与思考观察与思考 1.动手操作:画出直线l和O的三种位置关系,并作出圆心O到 直线l的垂线段. 2.设O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d. 思
7、考思考: 你能类比点与圆的位置关系与相关数量之间的关系,用圆心到直线的距 离d和圆半径r之间的数量关系,来揭示直线与圆的三种位置关系吗? (1)直线l与O相交dr. 追加提问追加提问: 1.判断直线与圆的位置关系有几种方法? (两种:直线与圆的公共点的个数;圆心到直线的距离d与圆的半径r的 大小关系.) （2）完成下列表格）完成下列表格 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 公共点的个数 公共点的名称 直线的名称 圆心到直线距离d 与圆的半径r的关 系 2 个 交点 1 个 切点 切线 d r 没有 (教材第6页例)如图所示,在RtABC中, C=90,AC=3 cm,BC=4 cm.以点C
8、为圆心,2 cm,2.4 cm,3 cm分别为半径画C,斜边AB分别 与C有怎样的位置关系?为什么? 思考思考: 1.如何判断直线与圆的位置关系? 2.已知三角形的两条直角边的长,如何求斜边上的高? 3.圆心C到直线AB的距离与2 cm,2.4 cm,3 cm之间的大小关系如何? (计算圆心到直线的距离,与半径的大小比较可得.) (先根据勾股定理求出斜边长,再根据三角形的面积公式求斜边上的高.) (三角形斜边上的高与2 cm,2.4 cm,3 cm比较大小.) 解:如图所示,过点C作CDAB,垂足为D. D 2222 34ACBC 在RtABC中, AB = =5(cm). 由三角形的面积公式
9、,并整理,得: AC BC=AB CD. 3 4 5 AC BC AB 2.4(cm). 从而CD= = 2.4(cm). 即圆心C到斜边AB的距离d=2.4 cm. 当r=2 cm时,dr,斜边AB与C相离. 当r=2.4 cm时,d=r,斜边AB与C相切. 当r=3 cm时,dr,斜边AB与C相交. 2.判断直线与圆的位置关系有两个途径:一是通过直线与圆的交点 的个数;二是通过圆心到直线的距离与半径的大小关系. 知识拓展 1.直线与圆有三种位置关系:相交、相离、相切,由直线与圆的位 置关系可以确定圆心到该直线的距离和半径的大小关系.反过来, 已知圆心到直线的距离和半径的大小关系,可以确定该
10、直线与圆 的位置关系. 检测反馈检测反馈 1.已知O的半径是6,点O到直线l的距离为5,则直线l与 O的位置关系是 ( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断 解析解析: :因为圆心到直线的距离d=5,圆的半径 r=6,满足dr,所以直线与圆相交.故选C. C 2.已知O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,当d=r时,直线l 与O的位置关系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都不对 解析解析:根据直线与圆的位置关系可得:直线l与O相交dr.故选B. B 3.已知O的半径为5 cm,圆心O到直线a的距离为3 cm,则 O与直线a的位置关系是 ,直线a与O的公共点 个数是
11、. 解析解析:圆心O到直线a的距离d2知C与直线AB相交.故填相交. 1 2 1 2 相交 5.如图所示,已知RtABC的斜边AB=8 cm,AC=4 cm. (1)以点C为圆心作圆,当AB与C相切时,求C的半径; (2)以点C为圆心,分别以2 cm和4 cm为半径作两个圆,这两个 圆与直线AB有怎样的位置关系? 3 1 2 1 2 2 3 AC BC AB 2 3 解:(1)过点C作CDAB,交AB于点D,在RtABC中,斜边AB=8 cm,AC=4 cm,根据勾股定理,得BC=4 cm.SABC= AB CD= AC BC, CD= (cm),则当以点C为圆心的C与AB相切时,半 径为 c
12、m. (2)2 ”“”或“=”),即圆心O到直线l的距离 圆的半径.则直线 l与圆的位置关系为 .这与直线与O相切矛盾. 如图所示,假设OT与l不垂直.过点O作OPl,垂足为P. 因为OP是垂线段,所以OP0) y=ax2 (a0) 向上 向下 y轴 y轴 原点 (0,0) 原点 (0,0) 当x0时,y随x的增大而增大 当x0时,y随x的增大而减小 有最低点(0,0).当 x=0时,y最小=0 有最高点(0,0). 当x=0时,y最大=0 二次函数y=ax2的图像是一条关于y轴对称的曲线,这样的曲线 叫做抛物线,曲线的对称轴叫做抛物线的对称轴,抛物线与它的对 称轴的交点叫做抛物线的顶点. 大
13、家谈谈大家谈谈 思考:对比函数y=x2与y=-x2,y=2x2与y=-2x2的图像,类比探究一次函数、反 比例函数的性质的方法,你能得到二次函数的哪些性质? 对比函数y=x2与y=-x2,y=2x2与y=-2x2的图像,就二次函数y=ax2回答以下 问题: (1)你能描述图像的形状吗? (2)图像与x轴有公共点吗?如果有公共点,公共点的坐标是什么? (3)图像是不是轴对称图形?如果是,那么它的对称轴是哪条直线? (4)图像的开口方向和它的最高(或最低)点与a的符号具有怎样的关系? (5)根据图像,说明y的值随x的值增大而变化的情况. 5.抛物线y=ax2中的系数a决定抛物线的开口方向和大小,当
14、|a|越大时,抛物 线的开口越小;当|a|越小时,抛物线的开口越大. 知识拓展知识拓展 1.画函数图像时,一般情况是选点越多,图像越精确,但也 要具体问题具体分析. 2.抛物线是向两方无限延伸的. 3.由于二次函数y=ax2的图像是一条抛物线,故也称抛物线y=ax2. 4.抛物线y=ax2中隐含着一个重要的条件,即a0,如抛物线y=(m-1)x2中m1. 检测反馈检测反馈 1.抛物线y=2x2,y=-2x2,y= x2共有的性质是 ( ) A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.都有最高点 D.y随x的增大而增大 1 2 1 2 解析解析:y=2x2,y= x2的图像开口向上,对称轴是y轴,有最低
15、点,当 x0时,y随x的增大而增大;y=-2x2的图像开口向下,对称轴是y轴 ,有最高点,当x0时,y随x的增大而增大.所以三条抛物线共有 的性质是对称轴是y轴.故选B. B 2.函数y=-6x2图像的顶点坐标是 ,对称轴是 , 开口向 ,当x= 时,有最 值,是 . 解析:根据抛物线y=ax2的性质可得顶点坐标是(0,0),对称轴是y 轴,开口向下,当x=0时,有最大值,是0. (0,0) y轴 下 0 大 0 1 2 3.二次函数y=(m-3)x2的图像开口向下,则m的取值范围是 . 解析解析:根据抛物线y=ax2中,当a0时二次函数的图像开口向下, 得m-30,即m3.故填m3. m0)
16、 y=a(x-h)2 (a0) 向上 向下 x=h x=h (h,0) (h,0) 当xh时,y随x的增大而增大 当xh时,y随x的增大而减小 有最低点(h,0). 当x=h时,y最小=0 有最高点(h,0). 当x=h时,y最大=0 2.二次函数y=a(x-h)2的图像可以由y=ax2的图像作如下平移得到:当h0 时,向右平移h个单位长度;当h0) y=a(x-h)2 +k(a0) 向上 向下 x=h x=h (h,k) (h,k) 当xh时,y随x的增大而增大 当xh时,y随x的增大而减小 有最低点(h,k).当 x=h时,y最小=k 有最低点(h,k).当 x=h时,y最大=k 2.二次
17、函数y=a(x-h)2+k的图像可以由y=ax2的图像作如下平移得到: 当h0时,向右平移h个单位长度;当h0时,向上平移k个单位长度;当k0) y=a(x-h)2+k(a0) (教材第34页例1)(1)求函数y=- (x+5)2-2的最大(或最小)值. (2)先将函数y=- x2的图像向左平移2个单位长度,再向下平移 3个单位长度,请写出平移后得到的图像的函数表达式. 1 2 1 2 1 2 解:(1)由- 0 向上 x=h (h,0) 当xh时,y随x的增大而增大;当 xh时,y随x的增大而减小 当x=h时,y 最小值=0 ah时,y随x的增大而减小;当 x0 向上 x=h (h,k) 当
18、xh时,y随x的增大而增大;当 xh时,y随x的增大而减小 当x=h时,y 最小值=k ah时,y随x的增大而减小;当 x0,k0 B.h0 C.h0,k0,k0,k0.故选A. A 4.抛物线y=-3(x-2)2的开口向 ,对称轴是 . 解析解析:a=-30 ,则抛物线开口向上,顶点坐标是（ ， ）. 当x- 时,y随x的增大 而增大;当x=- 时,y取得最小值,且y最小= ; 2 b a2 b a 2 b a 2 4 4 acb a 若a0 ,则抛物线开口向下,顶点坐标是( , ). a b 2 a bac 4 4 2 当x- 时,y随x的增大而减小;当 x=- 时,y取得最大值,且y最大
19、= . 2 b a2 b a 2 b a a bac 4 4 2 【思考2】 填写下列表格: 表达式 开口 方向 对称 轴 顶点 坐标 y随x的 变化情况 最大(或 最小)值 y=ax2+bx+c(a0) y=ax2+bx+c(a0) y=ax2+bx+c(a- 时,y随x的增大而增大; 当x- 时,y随x的增大而减小; 当x- 时,y随x的增大而增大 最值 当x=- 时, y最小值= 当x=- 时,y最大值= 2 b a 2 b a 2 b a 2 b a 2 b a 2 b a 2 4 24 bacb aa ， 2 4 24 bacb aa ， 2 4 4 acb a 2 4 4 acb
20、a 3.二次函数y=ax2+bx+c的性质: 4.待定系数法求函数的表达式. 2 b a2 b a 检测反馈检测反馈 1.将二次函数y=x2-2x+3化为y=a(x-h)2+k的形式,结果为 ( ) A.y=(x+1)2+4 B.y=(x+1)2+2 C.y=(x-1)2+4 D.y=(x-1)2+2 解析:y=x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2.故选D. D 解析:因为y=-x2+4x-4=-(x2-4x+4)=-(x-2)2,所以顶点坐标为(2,0),又 a=-10,所以当x=2时,y有最大值0.故选B. 2.抛物线y=-x2+4x-4 的最值是 ( ) A.当x=-2时
21、,y有最大值0 B.当x=2时,y有最大值0 C.当x=-2时,y有最小值0 D.当x=2时,y有最小值0 B 3.函数y=-x2-4x-3的图像的顶点坐标是 . 解析:因为y=-x2-4x-3=-(x2+4x+4-4)-3=-(x+2)2+1,所以 顶点坐标为(-2,1).故填(-2,1). (-2,1) 4.二次函数y=x2+bx+3的图像的对称轴是x=2,则 b= . 解析解析:由二次函数的图像的对称轴是 =2,解得b=-4.故填-4. 22 bb x a -4 5.已知二次函数y=- x2+x+4. (1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴; (2)当x取何值时,y随x的增大而增大
22、?当x取何值时,y随x的增大而减小? 1 2 1 2 1 2 9 2 9 1 2 ， 解解:(1)y=- x2+x+4=- (x-1)2+ , 抛物线的开口向下,顶点坐标为 ,对称轴是x=1. (2)当x1时,y随x的增大而减小. 九年级数学九年级数学 下下 新课标新课标冀教冀教 第三十章第三十章 二次函数二次函数 学习新知学习新知 检测反馈检测反馈 学学 习习 新新 知知 有一个抛物线形的拱形立交桥,这个桥拱的最大 高度为16 m,跨度为40 m,现把它放在如图所示的 直角坐标系里,若要在离跨度中心点M 5 m处垂直 竖一根立柱支撑这个拱顶,立柱应取多长? 共同探究共同探究 已知不共线的三点
23、A(1,3),B(2,-2),C(-1,1),怎样确定过这三 点的二次函数的表达式呢? 共同探究共同探究. 1.一次函数y=kx+b中有 个待定系数, 需要 个点的坐标代入可以求解. 2.二次函数y=ax2+bx+c中有 个待定系 数,需要 个点的坐标代入可以求解. 3.已知二次函数的图像经过三点,有三个独立 条件,所以可设二次函数表达式为 ; 4.将三点坐标代入得方程组 ; 5.解这个方程组得 . 所以所求的函数表达式为 . 解:设所求的二次函数表达式 为y=ax2+bx+c. 将A,B,C三点的坐标分别代入 二次函数中,得 . 1 224 3 cba cba cba ， ， 解得 . 4
24、1 2 c b a ， ， 所求二次函数的表达式为y=-2x2+x+4. (教材第39页例)已知三点A(0, 1),B(1, 0),C(2, 3),求由这三点所确定 的二次函数表达式. 解:设所求二次函数为y=ax2+bx+c.将A,B,C三点的坐标分别代入二 次函数表达式中,得 . 324 0 1 cba cba c ， ， 解得 . 1 3 2 c b a ， ， 所求二次函数的表达式为y=2x2-3x+1. (补充)已知抛物线的顶点坐标为(2,-4),且与y轴交于点(0,3),求 这个二次函数表达式. 引导:二次函数的顶点式为 ,顶点坐标为 , 抛物线顶点为(2,-4)的二次函数表达式可
25、设为 , 点(0,3)在抛物线上,所以点的坐标满足函数表达式,所以将点(0,3)代入得 , 解得 ,所以所求函数表达式为 . 解:设所求二次函数为y=a(x-2)2-4. 由已知得函数图像经过点(0,3),所以4a-4=3. 4 7 解得a= . 所求二次函数表达式为y= (x-2)2-4,即y= x2-7x+3. 4 7 4 7 3 331 00 2 222 ABC ， ， ， ， ，1.在直角坐标系中,已知点 ,求由A,B,C三点所确定 的二次函数表达式. 做一做做一做 3.你能解决课前导入中的实际问题吗? 2.已知当x=1时,二次函数有最大值5,且图像过点(0,-3),求此函数表达式.
26、解:由题意,知抛物线的顶点坐标为(20,16), 可设抛物线的关系式为y=a(x-20)2+16. 1 25 1 25 1 25 1 25 点B(40,0)在抛物线上, 0=a(40-20)2+16, a=- . y=- (x-20)2+16. 竖立柱的点为(15,0)或(25,0), 当x=15时,y=- (15-20)2+16=15; 当x=25时,y=- (25-20)2+16=15. 立柱应取15 m. 检测反馈检测反馈 1.(2016 甘肃中考)二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k 的形式,下列正确的是 ( ) A.y=(x+1)2+2 B.y=(x-1)2+3 C.
27、y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2+4 2 22 b a 2 4164 44 acb a 解析解析:在二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k中,h=- =1,k= =3.故选B. B 2.(2016 河南中考)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点, 该抛物线的顶点坐标是 . 解析解析:A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,代入得 解得b=2,c=3,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,顶点坐标为(1,4).故填(1,4). (1,4) 3 423 c bc ， ， 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过A(0,-5),B(
28、5,0)两点,它的对 称轴为直线x=2,那么这个二次函数的表达式是 . 5 0255. c abc ， a b 2 解析:设二次函数表达式为y=ax2+bx+c,因为过A,B两点,将(0,- 5),(5,0)代入,得 又 =2,解得a=1,b=-4,c=-5,所 以所求的表达式为y=x2-4x-5.故填y=x2-4x-5. y=x2-4x-5 解: 设此二次函数的表达式为y=a(x-1)2+4, 其图像经过点(-2,-5), a(-2-1)2+4=-5, a=-1, 所求的二次函数的表达式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. 4.已知二次函数的图像的顶点坐标为(1,4),且其图像经 过
29、点(-2,-5),求此二次函数的表达式. 九年级数学九年级数学 下下 新课标新课标冀教冀教 第三十章第三十章 二次函数二次函数 学习新知学习新知 检测反馈检测反馈 学学 习习 新新 知知 如图所示,某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门 的地面宽度为8 m,两侧距地面4 m的高处各有一个挂校名 横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6 m,求该校门的高度是 多少.(精确到0.1 m,水泥建筑物厚度忽略不计) 在平面直角坐标系下的抛物线型问题,我们通过求函数表达式,解决 了实际问题,在这个抛物线型实际问题中,没有直角坐标系,我们如何解 决呢? (教材第41页例1)如图所示,一名运动员在距离篮圈中心4
30、 m(水 平距离)远处跳起投篮,篮球准确落入篮圈.已知篮球运行的路线 为抛物线,当篮球运行的水平距离为2.5 m时,篮球达到最大高度, 且最大高度为3.5 m.如果篮圈中心距离地面3.05 m,那么篮球在该 运动员出手时的高度是多少米? 思考思考: : 1.如何建立平面直角坐标系? 2.在所建立的平面直角坐标系下如何求二次函数表达式? 3.运动员出手的点在所建的平面直角坐标系下的横坐标是多少? 4.你能求出运动员出手的点的纵坐标吗? 解:如图所示,建立直角坐标系,篮圈中 心为点A (1.5,3.05),篮球在最大高度时 的位置为点B(0,3.5).以点C表示运动员 投篮球的出手处. 设以y轴(
31、直线x=0)为对称轴的抛物线为y=a(x-0)2+k,即y=ax2+k, 而点A,B在这条抛物线上,所以有 . 5 . 3 05. 325. 2 k ka， 解得 . 5 . 3 2 . 0 k a， 所以抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5. 当x=-2.5时,y=-0.2(-2.5)2+3.5=2.25. 答:篮球在该运动员出手时的高度为2.25 m. 做一做做一做 如图所示,某喷灌器AB的喷头高出地面1.35 m, 喷出的水流呈抛物线形从高1 m的小树CD上面 的点E处飞过,点C距点A 4.4 m,点E在直线CD上 ,且距点D 0.35 m,水流最后落在距点A 5.4 m远 的点F处
32、.喷出的水流最高处距地面多少米? 分析：水流最高处到地面的距离即为抛物线顶点到地面的距离.为求抛 物线的表达式,小亮和小惠分别建立了如图(1)(2)所示的直角坐标系,并 写出了相关点的坐标. (1) (2) (1)请分别按小亮和小惠建立的直角坐标系求这条抛物线的表达式; (2)根据以上两种表达式,求出水流最高处到地面的距离. 解:如图所示,设抛物线的表达式为 y=ax2+k,将点(2.2,1.35),(3.2,0)代入可得: . 024.10 35. 184. 4 k ka， 解得 . 25 64 4 1 k a， 所以抛物线的表达式为 2 164 . 425 yx 当x=0时, 64 25
33、y . 答:水流最高处到地面的距离为 m. 25 64 追问追问: 解决与抛物线有关的实际问题的一般方法是什么? (1)当问题中抛物线在平面直角坐标系中时,合理地设出函数表 达式,用待定系数法求出函数表达式,根据二次函数图像和性质 解决实际问题; (2)当问题中抛物线不在平面直角坐标系中时,常建立适当的平 面直角坐标系,根据题意求出抛物线上点的坐标,用待定系数法 求出二次函数表达式,再根据二次函数图像和性质解决问题. 练习练习 如图所示,某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8 m, 两侧距地面4 m的高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为 6 m,求该校门的高度是多
34、少.(精确到0.1 m,水泥建筑物厚度忽略不计) 解:以地面为x轴,大门左边与地面的交点 为原点建立平面直角坐标系,则抛物线过 (0,0),(8,0),(1,4),(7,4)四点,设该抛物线的 表达式为y=ax2+bx+c, 由题意得到方程组 0 6480 4. c abc abc ， ，解得 4 7 32 7 0. a b c ， ， 4 7 32 7 64 4 7 ， 64 7 该抛物线的表达式为y=- x2+ x,顶点坐标为 , 9.1. 答:校门的高约为9.1 m. 检测反馈检测反馈 1 100 1.汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系是s= v2,一辆 车速为100
35、 km/h的汽车,刹车距离是 ( ) A.1 m B.10 m C. 100 m D.200 m 解析解析:汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系是s= v2,当v=100时,s=100.故选C. C 1 12 2.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,如图所示,发现铅球行进高度 y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y= (x-4)2+3,由此可知铅球推出的 距离是 m. 解析解析:由题意得铅球着地的距离即是二次函 数的图像与x轴正半轴的交点的横坐标,所以 使 (x-4)2+3=0,解得x=10.故填10. 1 12 10 1 100 3.如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在
36、正常水 位时AB宽20 m,水位上升3 m就达到警戒线CD,这时 水面宽度为10 m. (1)在如图所示的坐标系中求抛物线的表达式; (2)若洪水到来时,水位以每小时0.2 m的速度上升, 从警戒线开始,再持续多少小时才能到拱桥顶? 解:(1)设所求抛物线的表达式为 y=ax2(a0), 由CD=10 m,可设D(5,m), 由AB=20 m,水位上升3 m就达到警戒线 CD,则B(10,m-3), 把D,B的坐标分别代入y=ax2得: 25 1003. am am ， 解得 1 25 1. a m ， 2 1 . 25 yx 1 0.2 (2)由(1)知m=-1, 拱桥顶O到CD的距离为1
37、m, =5(小时). 再持续5小时到达拱桥顶. 九年级数学九年级数学 下下 新课标新课标冀教冀教 第三十章第三十章 二次函数二次函数 学习新知学习新知 检测反馈检测反馈 学学 习习 新新 知知 从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单 位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式 为h=30t-5t2(0t6).小球运动的时间是多少时,小 球最高?小球运动中的最大高度是多少? (教材第44页例2)用总长度为24 m的不锈钢材 料制成如图所示的外观为矩形的框架,其横 档和竖档分别与AD,AB平行.设AB=x m,当x为 多少时,矩形框架ABCD的面积S最大?最大面 积是多少平方米? 思考
38、: 1.当矩形的宽AB=x m时,如何用包含 x的代数式表示矩形的长BC? 2.矩形的面积S与矩形的宽x之间的 等量关系是什么? 3.你能写出矩形的面积S与矩形的宽 x之间的函数表达式吗? 4.请用配方法将所得到的二次函数 一般式转化成顶点式. 5.该二次函数有没有最大值?最大值 是多少?此时x的值是多少? 12)3( 3 4 8 3 4 3 424 22 xxxx x S 解: 4 3 且a= 0,则当x=- 时,y最小值= ; 若a0,则当x=- 时,y最大值= . 2 b a 2 b a 2 4 4 acb a 2 4 4 acb a (2)公式法:直接利用上述关 系式经过配方得出结论.
39、 3.数形结合思想在本节课通过二次函数求实际问题中的 最值问题中得到了广泛的应用. 2.本节知识用到了转化思想及数学建模思想,如将实际问题中的数 量关系转化为数学问题中的函数关系. 检测反馈检测反馈 1.如图所示,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围 成矩形ABCD的最大面积是 ( ) A.60 m2 B.63 m2 C.64 m2 D.66 m2 解析:设BC=x m,矩形ABCD的面积为y m2,根据题意得y=(16-x)x=- x2+16x=-(x-8)2+64,当x=8时,ymax=64,则所围成矩形ABCD的最大面积是 64 m2.故选C. C 2.如图所示,ABC是直角三角
40、形,A=90, AB=8 cm,AC=6 cm,点P 从点A出发,沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点A出发, 沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动,其中一个动点到达终点,则另一 个动点也停止运动,则APQ的最大面积是 ( ) A.8 cm2 B.16 cm2 C.24 cm2 D.32 cm2 解析:根据题意得P沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点A出发, 沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动,设运动时间为t s,AP=2t,AQ=t,SAPQ=t2,0t4,三角形APQ的最大面积是16 cm2.故选B. B 3.出售某种手工艺品,若每个获利x元,
41、一天可售出(8-x)个, 则当x= ,一天出售该种手工艺品的总利润y最大. 8 22 b x a 解析:由题意得y=(8-x)x,即y=-x2+8x,当 =4时, y取得最大值.故填4. 4 4.在距离地面2 m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛出, 在不计空气阻力的情况下,其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足:s=v0t- gt2(其中g是常数,通常取10 m/s2).若v0=10,则该物体在运动过程中最 高点距地面 m. 1 2 解析解析:把g=10,v0=10代入s=v0t- gt2,得s=-5t2+10t=-5(t-1)2+5,它是开 口向下的一条抛物线,所以最大值为
42、5,此时离地面的高度为 5+2=7(m).故填7. 1 2 7 5.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件 ,该店想通过降低售价增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发 现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件.将这种商品的售价 降低多少时,能使销售利润最大? 解:设每件商品降价x元(0 x2),该商品每天的利润为y元. 商品每天的利润y与x的函数关系式是: y=(10-x-8)(100+100 x), 即y=-100 x2+100 x+200, 2 1 2 x 1 2 1 2 配方得y=-100 +225. 因为x= 时,满足0 x2,所以当x= 时
43、,函数取得最大值,最大 值为225. 所以将这种商品的售价降低 元时,能使销售利润最大. 1 2 九年级数学九年级数学 下下 新课标新课标冀教冀教 第三十章第三十章 二次函数二次函数 学习新知学习新知 检测反馈检测反馈 学学 习习 新新 知知 某商品现在的售价为每件60元,每星 期可卖出300件.市场调查反映:如调整价 格,每涨价1元,每星期要少卖出10件.已知 商品的进价是40元,你能写出利润y与售 价x之间的函数表达式吗?一星期能获得 6125元的利润吗? 汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住 ,这段距离叫做刹车距离.刹车距离是分析和处理道路交通事故的一个 重要因
44、素.有一个道路交通事故案例:甲、乙两车在限速为40 km/h的 湿滑弯道上相向而行,待望见对方,同时刹车时已经晚了,两车还是相 撞了.事后经现场勘察,测得甲车的刹车距离为12 m,乙车的刹车距离 超过10 m,但小于12 m.根据有关资料,在这样的湿滑路面上,甲车的刹 车距离s甲(m)与车速x(km/h)之间的关系为s甲=0.1x+0.01x2,乙车的刹车 距离s乙(m)与车速x (km/h)之间的关系为s乙= x. 1 4 (1)甲车刹车前的行驶速度是多少千米/时? 甲车是否违章超速? (2)乙车刹车前的行驶速度在什么范围内? 乙车是否违章超速? 解:(1)将s甲=12代入s甲=0.1x+0
45、.01x2,得 12=0.1x+0.01x2, (1)甲车刹车前的行驶速度是多少千米/时?甲车是否违章超速? 化简,得x2+10 x-1200=0, 解得x1=30,x2=-40(舍去). 即甲车刹车前的行驶速度为30 km/h,小 于40 km/h,不违章超速. (2)10s乙12, 10 x12. 40 x0时,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴 有一个交点;当b2-4ac0 时,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个 交点;当b2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点. 2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标是方程ax2+bx+c
46、=0 的实数根. (教材第51页例)求方程x2-2x-6=0较小根的近似值.(结果精确到0.1) 如图所示,画出二次函数y=x2-2x-6的图像. 思考: 观察画出的抛物线,设它与x轴的交点的横坐标 为x1和x2,不妨设x10;当x=-1时,y0,且-2x-1范围内,y随x的增大而 减小,所以-2x1-1. 2 1 2 (2)取-2和-1的中间数-1.5(中间数为 ),代入表达式中试值. 当x=-1.5时,y=(-1.5)2-2(-1.5)-6=-0.750.在-2x-1.5范 围内,y随x的增大而减小,所以-2x10;当x=-1.5时,y0.在- 1.75x-1.5范围内,y随x的增大而减小
47、,所以-1.75x1-1.5. (4)取-1.75和-1.5的中间数-1.625,代人表达式中试值. 当x=-1.625时,y=(-1.625)2-2(-1.625)-6=-0.1093750.在-1.75x-1.625范围内,y随x的增大而减 小,所以-1.75x10(a0)的解集即 为图像在x轴上方的点所对应的x的值组成的集合;不等式 ax2+bx+c0(a0)的解集即为图像在x轴下方的点所对应的x的值组成 的集合. 2.一元二次方程的图像解法体现了数形结合思想,我们从中可以发现 二次函数与一元二次方程之间的必然联系,一元二次方程是二次函 数的特殊情况(即y=0时的情况),一方面我们可以利
48、用二次函数的图 像求一元二次方程的根,另一方面,也可以借助求一元二次方程的根 来判断二次函数图像的位置,这样可以使所画的抛物线比较准确. 检测反馈检测反馈 解析:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数为方程 ax2+bx+c=0根的个数.故选A. 1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于 x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 A 2.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图像如图所示, 则关于x的方程x2+ax+b=0的解是 ( ) A.无解 B.x=1 C.x=-4 D.
49、x=-1或x=4 解析:因为抛物线与x轴的交点坐标 为(-1,0),(4,0),所以方程x2+ax+b=0的 解是x=-1或x=4.故选D. D 解析:由图像可得,x轴下方图像对应的x 的取值范围为-1x3.故选C. 3.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,则函数值 y0时x的取值范围是 ( ) A.x3 C.-1x3 D.x3 C 4. (2016 荆州中考)若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图像与x轴有且只有 一个交点,则a的值为 . 解析:二次函数y=(a-1)x2-4x+2a的图像与x轴有且只有一个交点 ,=16-4(a-1)2a=0,a=-1或2.故填-1或2. -1或2
50、 5.已知二次函数y=-x2+bx+c的图像如图所示,它 与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐 标为(0,3). (1)求出b,c的值,并写出此二次函数的表达式; (2)根据图像,写出函数值y为正数时,自变量x的 取值范围. 解:(1)将点(-1,0),(0,3)代入y=-x2+bx+c中,得: 10.2. 33. bcb cc 解得 ， 二次函数表达式为y=-x2+2x+3. (2)令y=0,则-x2+2x+3=0, 解得x1=-1,x2=3, 抛物线开口向下,当-1x0. 九年级数学九年级数学 下下 新课标新课标冀教冀教 第三十一章第三十一章 随机事件的概率随机事件的概率 学
