1、11.1.1 空间几何体与斜二测画法 课标阐释 思维脉络 1.了解常见的空间几何 体,能将物体抽象出的几 何体画出来. 2.了解斜二测画法的概 念. 3.会用斜二测画法画出 一些简单平面图形和立 体图形的直观图. 4.了解空间图形的不同 表示形式及不同形式间 的联系. 激趣诱思 知识点拨 从古至今,各个国家的建筑物都有各自的特色,如埃及金字塔.各城 市大厦的旋转餐厅,它们都是独具匠心的建筑物,是建筑师们集体 智慧的结晶.今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢? 激趣诱思 知识点拨 知识点一:空间几何体 概念 定义 空间几 何体 生活中的物体都占据着空间的一部分,如果只考虑一个物 体占有的空
2、间形状和大小,而不考虑其他因素,则这个空 间部分通常可抽象为一个几何体 激趣诱思 知识点拨 微练习 观察如下各图所示的物体或建筑物,将它们可抽象出的几何体画出 来. 提示: 激趣诱思 知识点拨 知识点二:斜二测画法 1.立体几何中,用来表示空间图形的平面图形,习惯上称为空间图形 的直观图. 2.一般地,用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时,步骤如 下. (1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x轴和y 轴,使得它们正方向的夹角为45(或135). (2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x轴平行(或重合) 的线段,且长度不变;平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画
3、成与y 轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半. (3)连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线. 激趣诱思 知识点拨 3.一般地,用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下. (1)在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的x轴与y轴,作出 水平平面上图形的直观图(保留x轴与y轴). (2)在立体图形中,过x轴与y轴的交点取z轴,并使z轴垂直于x轴与y轴. 过x轴与y轴的交点作z轴对应的z轴,且z轴垂直于x轴. 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z轴平行(或重合)的线段, 且长度不变. 连接有关线段. (3)擦去有关辅助线,并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除). 激趣诱思 知识点拨 微
4、判断 (1)相等的角,在直观图中仍相等.( ) (2)长度相等的线段,在直观图中长度仍相等( ) (3)若两条直线垂直,在直观图中对应的直线也互相垂直.( ) 答案: (1) (2) (3) 激趣诱思 知识点拨 微练习1 (多选题)关于“斜二测画法”,下列说法正确的是( ) A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x轴,长度不变 B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y轴,长度变为原 来的1 2 C.在画与直角坐标系xOy对应的xOy时,xOy必须是45 D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同 答案:ABD 解析:在画与直角坐标系xOy对应的xOy时,xOy可以是
5、45,也 可以是135.C不正确. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 长方形的直观图可能为下图中的哪一个( ) A. B. C. D. 答案:C 解析:斜二测画法中,平行性保持不变,平行于x轴的长度不变,平行 于y轴的长度折半.因此长方形的直观图为. 激趣诱思 知识点拨 微练习3 在用斜二测画法画水平放置的ABC时,A的两边平行于x轴、y 轴,则在直观图中,A= . 答案:45或135 解析:由斜二测画法,A=45或A=135 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 水平放置的平面图形的直观图水平放置的平面图形的直观图 例1按图示的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图. 解:画法:
6、 (1)在图中作AGx轴于G,作DHx轴于H. (2)在图中画相应的x轴与y轴,两轴相交于点O,使xOy=45. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (3)在图中的 x轴上取 OB=OB,OG=OG,OC=OC,OH=OH,y轴 上取OE=1 2OE,分别过G和H作y轴的平行线,并在相应的平行线上 取 GA=1 2GA,HD= 1 2HD. (4)连接AB,AE,ED,DC,并擦去作图过程中的辅助线,便得到水平 放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐 标系是关键,一
7、般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上, 以便于画点. (2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变), 与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端 点,然后连接成线段. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1如图是水平放置的由正方形ABCE和等边三角形CDE 所构成的平面图形,请画出它的直观图. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:画法: (1)以AB边所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,两轴相交于点O(如图 ),画相应的x轴和y轴,两轴相交于点O,使xOy=45(如图). (2)在图中,以 O为中点,在 x轴上截取 AB=A
8、B;分别过 A,B作 y 轴的平行线,截取 AE=1 2AE,BC= 1 2BC;在 y轴上截取 OD= 1 2OD. (3)连接ED,DC,CE,并擦去作图过程中的辅助线,便得到平面图 形ABCDE水平放置的直观图ABCDE(如图). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 空间几何体的直观图空间几何体的直观图 例2用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD-ABCD的直观图. 解:画法:(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使 xOy=45,xOz=90. (2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=2 cm;在y轴上 取线段PQ,使PQ=1 cm.分别过
9、点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作 x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是正方 体的底面ABCD. (3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分 别截取2 cm长的线段AA,BB,CC,DD. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (4)成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的 部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 画空间图形的直观图的原则 (1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz,并且把它们画成对 应的x轴与y轴,两轴交于点O,且使x
10、Oy=45(或135),它们确 定的平面表示水平面,再作z轴与x轴垂直. (2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x轴的线段 并且长度不变. (3)平行于y轴的线段画成平行于y轴的线段,且线段长度画成原来 的二分之一. (4)平行于z轴的线段画成平行于z轴的线段并且长度不变. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直 观图. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,使xOy=45,xOz=90. (2)画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一 个正四棱台,上
11、部是一个正四棱锥,利用斜二测画法画出底面ABCD, 在z轴上截取OO,使OO等于三视图中相应高度,过O作Ox的平行线 Ox,Oy的平行线Oy,利用Ox与Oy画出上底面ABCD. (3)画正四棱锥顶点.在Oz上截取点P,使PO等于三视图中相应的高 度. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (4)成图.连接PA,PB,PC,PD,AA,BB,CC,DD,整理得到三视图表示 的几何体的直观图,如图. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 直观图的还原与计算直观图的还原与计算 例3如图所示,水平放置的平面图形ABCD为某一平面图形的斜二 测直观图,它是一个底角为45、腰和上底长均为1的等
12、腰梯形,求 原来的平面图形的面积. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:如图所示,因为ADBC,所以ADBC. 因为ABC=45, 所以ABC=90, 所以ABBC. 所以四边形ABCD是直角梯形, 其中 AD=AD=1,BC=BC=1+ 2,AB=2AB=2, 故梯形 ABCD 的面积 S=1+(1+ 2) 2 2=2+ 2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 由原图形求直观图的面积,关键是确定直观图的形状,作 出直观图后,求出其边长和高,进而求出面积;如果由直观图求原图 形的面积,则根据斜二测画法将直观图还原为原图形,再求边长和 高,进而求面积.直观图的面积
13、是原图形面积的 2 4 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 如图所示的直角梯形ABCD为某一平面图形的斜二测 直观图,ABC=45,AB=AD=1,CDBC,求原平面图形的面 积. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:在斜二测直观图中(如图所示),作AHx轴交于H. AB=AD=1,DCBC,ABC=45. BH= 2 2 ,BC=BH+AD=1+ 2 2 . 从而在原平面图形 ABCD 中(如图所示), ABBC,AB=2,AD=1,BC=1+ 2 2 . 从而直角梯形 ABCD 的面积 S=1 22 1 + 1 + 2 2 =2+ 2 2 . 探究一 探究
14、二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3已知等边三角形ABC的边长为1,那么ABC的斜二测 直观图ABC的面积为 . 答案: 6 16 解析:图分别为实际图形和直观图. 可知 AB=AB=1,OC=1 2OC= 3 4 . 在图中作 CPAB于 P点, 则有 CP= 2 2 OC= 6 8 . 所以 SABC=1 2AB CP= 1 21 6 8 = 6 16. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解答平面图形直观图还原问题的易错点解答平面图形直观图还原问题的易错点(一题多解一题多解) 典例一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形 OABC的 面积为 2,则原梯形的面积为(
15、) A.2 B. 2 C.2 2 D.4 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析:(方法一)如图,由斜二测画法原理知, 原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的,不一样的是 两个梯形的高. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 原梯形的高 OC 是直观图中 OC长度的 2 倍,OC的长度是直观图中 梯形的高的 2倍. 由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2 2倍,故其面积 是梯形 OABC面积的 2 2倍,梯形 OABC的面积为 2,所以原梯形 的面积是 4.故选 D. (方法二)设直观图梯形 OABC面积为 S,原平面梯形 OABC 的面积 为 S. 由 S=
16、2 4 S,得 S=2 2S=2 2 2=4,故选 D. 答案:D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛1.原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样,但高的 长度不一样.原梯形的高OC是直观图中OC的长度的2倍,OC长度 是直观图中梯形的高的 倍,此处易出错. 2.解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化,直观图面积 S与原图形面积S满足S= S. 2 2 4 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,正确的是( ) A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形 B.平行四边形的直观图仍是平行四边形 C.两条相交直线的直观图可能
17、是平行直线 D.两条垂直直线的直观图仍互相垂直 答案:B 解析:斜二测画法保持平行性不变,正方形的直观图是平行四边形, 故选项A错误;平行四边形的对边平行,则在直观图中仍然平行,故 选项B正确;斜二测画法保持相交性不变,故两条相交直线的直观图 仍是相交直线,故选项C错误;两条垂直直线的直观图应是夹角为 45或135的两条相交直线,故选项D错误. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2.一水平放置的ABC的斜二测直观图是图中的ABC,已知 AC=6,BC=4,则AB边的实际长度是 . 答案:10 解析:易知ACBC,且AC=6,BC=8,AB应为RtABC的斜边,故 AB= 2+ 2=1
18、0. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.如图,RtOAB是一平面图形的斜二测直观图,直角边OB=1,则 这个平面图形的面积是 . 答案: 2 解析:OB=1,OA= 2,在 RtOAB 中,AOB=90, OB=1,OA=2 2,SAOB=1 212 2 = 2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.如图,ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复 成原图形. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:画法: (1)如图,画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=OA,即CA=CA. (2)在图中,过B作BDy轴,交x轴于D,在图中,在x轴上取 OD=OD,过D作DBy轴,并使DB=2DB. (3)连接AB,BC,则ABC即为ABC原来的图形,如图.
