1、11.1.5 旋转体 课标阐释 思维脉络 1.了解圆柱、圆锥、圆台、 球的定义. 2.了解柱体、锥体、台体之 间的关系. 3.知道这四种几何体的结构 特征,能识别和区分这些几 何体. 4.了解圆柱、圆锥、圆台的 表面积与侧面积公式,球的 表面积公式. 激趣诱思 知识点拨 举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点.它的构造从外形上 看是由八个圆柱组合成的一个几何体,我们周围的很多建筑物和它 一样,也都是由一些简单图形通过旋转形成的旋转体构成.常见的 旋转体有圆柱、圆锥、圆台和球等,这些几何体分别是由什么图形 旋转而成的呢? 激趣诱思 知识点拨 知识点一:圆柱、圆锥、圆台 1.圆柱、圆锥、圆台 圆
2、柱可看成以矩形的一边所在直线为旋转轴,将矩形旋转一周而形 成的曲面所围成的几何体; 圆锥可看成以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴,将直角三角 形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体; 圆台可看成以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,将直角 梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体. 激趣诱思 知识点拨 用类似上述圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转 体,其中,旋转轴称为旋转体的轴,在轴上的边(或它的长度)称为旋转 体的高,垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面,不垂直 于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面.而且,无论旋转到什 么位置,不垂直于轴的边都称为母线. 在旋转体中,通
3、过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面.由圆 柱、圆锥、圆台的形成方式可以看出,三者的轴截面分别是矩形、 等腰三角形、等腰梯形. 显然,圆台可以看成平行于圆锥底面的平面截圆锥所得到的几何体. 旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积,侧面积与底面积之和称为 旋转体的表面积(或全面积). 激趣诱思 知识点拨 微思考1 圆柱、圆锥和圆台这三类几何体能通过平面图形形成吗? 提示:能,这三类几何体都是旋转体,可以分别通过矩形、直角三角 形、直角梯形绕一特定轴旋转形成. 激趣诱思 知识点拨 微思考2 将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开,在平面上展开 得到它们的侧面展开图分别是什么图形?请画出来. 提
4、示:将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开,然后在 平面上展开,侧面展开图分别是矩形、扇形和扇环,如图所示. 激趣诱思 知识点拨 2.圆柱、圆锥、圆台的相关特征 圆柱 圆锥 圆台 图形 表示 圆柱O1O 圆锥SO 圆台O1O 底面 两底面平行且半 径相等的圆面 圆面 两底面是平行且半 径不相等的圆面 激趣诱思 知识点拨 圆柱 圆锥 圆台 母线 平行且相等 相交于顶点 延长线交于一点 平行于 底面的 截面 与两底面平行 且半径相等的 圆面 平行于底面且 半径不相等的 圆面 与两底面平行且半 径不相等的圆面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 激趣诱思 知识点拨 3.几种几何体的表面积公式 图形 表
5、面积公式 圆柱 底面积:S底=r2 侧面积:S侧=2rl 表面积:S=2rl+2r2 圆锥 底面积:S底=r2 侧面积:S侧=rl 表面积:S=rl+r2 圆台 上底面面积:S上底=r2 下底面面积:S下底=r2 侧面积:S侧=l(r+r) 表面积:S=(r2+r2+rl+rl) 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.( ) (2)用平面去截圆锥,一定得到一个圆锥和一个圆台.( ) 答案:(1) (2) 激趣诱思 知识点拨 微练习1 圆台的上、下底面半径分别为3和4,母线长为6,则其表面积等于 ( ) A.72 B.42 C.67 D.72 答案:C 解析:S表=(
6、32+42+36+46)=67. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 下列图形中是圆柱的序号为 . 答案: 解析:由圆柱的几何特征知为圆柱. 激趣诱思 知识点拨 微练习3 如图所示,已知圆锥SO的母线长为5,底面直径为8,则圆锥SO的高 h= . 答案:3 解析:在 RtOSA 中,OA=4,所以 h= SA2-OA2= 52-42=3. 激趣诱思 知识点拨 微练习4 若圆柱OO的底面半径r=2 cm,母线长l=3 cm,则圆柱OO的表面积 等于 cm2. 答案:20 解析:S表=2r(r+l)=22(2+3)=20(cm2). 激趣诱思 知识点拨 知识点二:球 1.球的相关概念 球面可以看成一个半
7、圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成 的曲面;球面围成的几何体,称为球.球也是一个旋转体. 形成球面的半圆的圆心称为球的球心,连接球面上一点和球心的线 段称为球的半径,连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径. 一个球可以用表示它的球心的字母来表示,如球O. 由球面的形成过程可看出,球面可以看成空间中到一个定点的距离 等于定长的点的集合. 球的截面是一个圆面(圆及其内部). 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆,被不经过球心的平 面截得的圆称为球的小圆. 激趣诱思 知识点拨 2.球的表面积 设球的半径为R,则球的表面积S=4R2,即球的表面积等于它的大圆 面积的4倍. 激趣诱思 知识点
8、拨 微练习1 球的任意两条直径不具有的性质是( ) A.相交 B.互相平分 C.互相垂直 D.都经过球心 答案:C 解析:球的任意两条直径相交、互相平分、都经过球心,不一定互 相垂直.故选C. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 有下列说法: 球的半径是连接球面上任意一点与球心的线段; 球的直径是连接球面上任意两点的线段; 用一个平面截一个球,得到的是一个圆. 其中说法正确的序号是 . 答案: 解析:利用球的结构特征判断:正确;不正确,因为直径必过球心; 不正确,因为得到的是一个圆面. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 旋转体的结构特征旋转体的结构特征 例1判断下列各命题是
9、否正确. 一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何 体是圆台; 圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形, 圆台的轴截面是等腰梯形; 空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解:错误.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是 由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示. 正确. 错误.应为球面. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 1(1)给出下列说法:圆柱的底面是圆面;经过圆柱任 意两条母线的截面是一个矩形面;圆台的任意两条母线的延长线 可能相交,也可能
10、不相交;夹在圆柱的两个截面间的几何体还是 一个旋转体.其中正确的是 .(填序号) (2)(2020河北博野中学高一开学考试)将直角梯形绕其一边所在的 直线旋转一周,所得的几何体可能是( ) A.棱锥 B.棱台 C.球 D.圆台 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案:(1) (2)D 解析:(1)正确;正确; 不正确,圆台的母线延长相交于一点; 不正确,夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体, 其他的两截面间的几何体不是旋转体. (2)由旋转体的定义,将直角梯形绕其垂直底边的边所在的直线旋转 一周,形成的几何体是圆台.故选D. 探究一 探究二 探究三 探究四
11、 探究五 素养形成 当堂检测 旋转体中的基本计算旋转体中的基本计算 例2如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆 台上、下底面的面积之比为116,截去的圆锥的母线长是3. (1)求圆台OO的母线长; (2)若圆台上底面的半径为1,求该圆的表面积. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解:(1)设圆台的母线长为l,由截得圆台上、下底面面积之比为 116,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r、4r.过轴SO作截 面,如图所示. 则SOASOA,SA=3. = . 3 3+ = 4 = 1 4.解得 l=9, 即圆台的母线长为9. (2)若圆台上底面的半径
12、为1, 则下底面的半径为4, 故它的表面积为S=(12+42+19+49)=62. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 2一个圆台的母线长为12 cm,两底面的面积分别为4 cm2和25 cm2.求: (1)圆台的高; (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 解:(1)如图,将圆台恢复成圆锥后作其轴截面, 设圆台的高为h cm,由条件可得圆台上底半径r=2 cm, 下底半径r=5 cm. 由勾股定理得 h= 122-(5-2)2=315. (2)设圆锥的母线长为 x cm,由三角形相似得 -12 = 2 5,解得 x=20. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五
13、素养形成 当堂检测 旋转体的侧面积或表面积旋转体的侧面积或表面积 例 3(1)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为3,则这个圆锥 的侧面积是( ) A.2 B.3 2 C.6 D.9 (2)圆柱的底面面积是 S,侧面展开图是正方形,那么该圆柱的侧面积 为( ) A.4S B.2S C.S D.23 3 S (3)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图扇 环的圆心角是180,那么圆台的表面积是多少?(结果中保留) 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案:(1)A (2)A 解析:(1)由题意,母线长l=2,底面半径为1,所以侧面积为 1 2
14、212=2.故选 A. (2)设底面圆的半径为r,母线为l,由已知得S=r2, 又l=2r,侧面积S=2rl=42r2=4S.故选A. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (3)解:如图,设圆台的上底面周长为c, 因为扇环的圆心角为180,所以c= SA. 又c=210=20,所以SA=20 cm. 同理SB=40 cm,所以AB=SB-SA=20(cm). S表面积=S侧+S上底+S下底 =(O1A+OB) AB+ O1A2+ OB2 =(10+20)20+102+202 =1 100(cm2). 所以圆台的表面积是1 100 cm2. 探究一 探究二 探究三 探究四
15、 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 3(1)圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于 ( ) A.15 B.15 C.24 D.30 (2)圆柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则圆柱的表面积 为( ) A.6(4+3) B.8(3+1) C.6(4+3)或8(3+1) D.6(4+1)或8(3+2) (3)圆台的上、下底半径和高的比为144,母线长为10,则圆台的 侧面积为( ) A.81 B.100 C.14 D.169 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案:(1)B (2)C (3)B 解析:(1)S侧=rl=35=15.故选B. (2)圆柱的侧
16、面积S侧=64=242.由于圆柱的底面周长和母线长 不明确,因此进行分类讨论:长为6的边为母线时,4为圆柱的底 面周长,则2r=4,即r=2, S底=4,S表=S侧+2S底=242+8=8(3+1);长为4的边为母 线时,6为圆柱的底面周长,则2r=6,即r=3.S底=9, S表=S侧+2S底=242+18=6(4+3).故选C. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (3)圆台的轴截面如图, 设上底半径为r,则下底半径为4r,高为4r. 因为母线长为10,所以在轴截面等腰梯形中,有102=(4r)2+(4r-r)2.解 得r=2.所以S圆台侧=(r+4r) 10=100
17、.故选B. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 旋转体的截面与侧面展开旋转体的截面与侧面展开 例4已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm,2 cm,截得圆台的 圆锥的母线长为12 cm,求圆台的母线长. 解:如图是圆台的轴截面, 由题意知AO=2 cm,AO=1 cm, SA=12 cm. 由 = ,得 SA= SA=1 212=6(cm). 所以AA=SA-SA=12-6=6(cm).所以圆台的母线长为6 cm. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例条件不变,若将此圆台沿一条母线展开,得到一个扇 环(如图). (1)求扇环的圆
18、心角; (2)求扇环的面积. 解:(1)由例题解析知,扇形 SAB的 的长为 21=2,半径 SA=6, 所以圆心角 =2 6 = 3. (2)扇环面积 S扇环=S扇形SAB-S扇形SAB =1 6(12 2-62)=18. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 4圆台的上底面面积为,下底面面积为16,用一个平行 于底面的平面去截圆台,该平面自上而下分圆台的高的比为21, 求这个截面的面积. 解:圆台的轴截面如图所示, O1,O2,O3分别为上底面、下底面、截面圆心, 过D作DFAB于点F,交GH于点E. 由题意知DO1=1,AO2=4,所以AF=3. 因为 D
19、E=2EF,所以 DF=3EF,所以 = = 2 3,所以 GE=2. 所以圆O3的半径为3,所以这个截面的面积为9. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 球中的计算问题球中的计算问题 例5(1)已知A,B,C是球O上的三点,AB=10,AC=6,BC=8,球O的半径等 于13,则球心O到ABC所在小圆的距离为 . (2)平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1.球心 O 到平面 的距离 为2,则此球的表面积为( ) A.6 B.43 C.3 D.12 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案:(1)12 (2)D 解析:(1)因为AB=10,A
20、C=6,BC=8, 所以ABC为直角三角形且AB为点A,B,C所在小圆的直径.所以r=5. 轴截面图如图,所以d2=R2-r2=132-52=122. 所以球心O到ABC所在小圆的距离为12. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (2)如图,设截面圆的圆心为O,M为截面圆上任一点, 则 OO=2,OM=1. OM= (2)2+ 1 = 3. 即球的半径为3. 所以此球的表面积为 S=4(3)2=12. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 解决有关球的问题时常用到的性质 (1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面,球心和截面圆圆心的连 线与
21、这个截面垂直. (2)若分别用R和r表示球的半径和截面圆的半径,用d表示球心到截 面的距离,则R2=r2+d2.球的有关计算问题,常归结为解这个直角三 角形问题. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 5(1)已知长方体有公共顶点的三个侧面面积分别为 3,5,15,则它的外接球表面积为 . (2)(2020全国高一课时练习)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍 记该圆锥的内切球的表面积为 S1,外接球的表面积为 S2,求1 2. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (1)答案:9 解析:设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为 x,y,z,则由
22、已知,得 = 3, = 5, = 15, 解得 = 3, = 1, = 5. 所以球的半径 R=1 2 2+ 2+ 2= 3 2, 所以 S球=4R2=9. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (2)解:作出圆锥及其内切球的轴截面, 如图,设底面圆半径为r,母线长为l,因为圆锥侧面积是底面积的2倍, 所以rl=2r2,解得l=2r,故ADC=30,圆锥的轴截面为正三角 形.又DCB=90, = 1 2, 内 外 = 1 2,故 1 2 = 1 4. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 旋转体中的最短长度问题旋转体中的最短长度问题 典例如图, 圆台
23、的上、下底面半径分别为5 cm和10 cm,母线长AB=20 cm,从圆 台母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到点A.求: (1)绳子的最短长度; (2)在绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离. 思路分析求几何体表面最短路径问题一般是把侧面展开,转化为平 面几何知识求解. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解:(1)如图,将圆台侧面展开,则绳子的最短长度即为侧面展开图中 A1M的长度, 设AOA1=n,则由已知及弧长公式得 180 =25,(+20) 180 =210,解得 n=90,OB=20 cm. 所以 OA=OA1=40 cm,OM=30 cm.
24、在 RtA1OM 中,A1M= 1 2 + 2 =402+ 302=50(cm). 所以绳子的最短长度为 50 cm. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (2)如图,过点O作OQA1M于点Q,交弧BB1于点P, 则PQ为所求最短距离. 因为OA1 OM=A1M OQ, 即4030=50 OQ, 所以OQ=24 cm, 所以PQ=OQ-OP=OQ-OB=24-20=4(cm), 即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 方法点睛求解旋转体表面上距离最短问题,要“化曲为直”,这一点与 多面体的“化折为平”相似
25、,体现了化归与转化的思想,即将空间问题 转化为平面问题来处理. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 1.(2020四川高一月考)以下空间几何体是旋转体的是( ) A.圆锥 B.棱台 C.正方体 D.三棱锥 答案:A 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 2.(多选题)下列几何体不是台体的是( ) 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案:ABC 解析:台体包括棱台和圆台两种,A的错误在于四条侧棱延长后没有 交于一点.B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥.结合棱台 和圆台的定义可知D是台体. 探究一 探究二 探究三 探究
26、四 探究五 素养形成 当堂检测 3.圆柱OO的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧面积 为 ,表面积为 . 答案:24 32 解析:由已知得圆柱OO的底面半径为2,则其侧面积 S侧=2rl=226=24, 表面积S表=2r(r+l)=22(2+6)=32. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 4.如图几何体是由第 个平面图形旋转得到的. 答案: 解析:因为题图为一个圆台和一个圆锥的组合体,因此平面图形应 是由一个直角三角形和一个直角梯形构成的.由此可知不正 确.正确. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 5.如图甲、乙、丙、丁是不是棱锥、圆柱、圆锥、圆台等几何体? 解:图甲中的六个三角形不是有一个公共顶点,故不是棱锥,只是一 个多面体;图乙不是圆柱,因为上、下两底面不平行(或不是由一个 矩形旋转而成);图丙不是由一个直角三角形旋转而成,故不是圆锥; 图丁截圆锥的平面与底面不平行,故截面与底面之间的几何体不是 圆台.
