1、第九章测评第九章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.在ABC 中,角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,若 abc=432,则 - =( ) A. B. C. D. 答案 D 解析由题意 - - - ,因为 abc=432,设 a=4k,b=3k,c=2k,由余弦定理可 得 cos C= - ,则 - - .故选 D. 2.如图,从地面上 C,D两点望山顶 A,测得它们的仰角分别为 45和 30,已知 CD=100 米,点 C位于 BD 上,则山高 AB 等于(
2、 ) A.100米 B.50 米 C.50( +1)米 D.50 米 答案 C 解析设 AB=h,在ABC中,ACB=45,所以 BC=h.在ADB中,tanADB= , 解得 h=50( +1)米.故选 C. 3.(2020 黑龙江齐齐哈尔实验中学高一期中)在ABC中,a2+b2+c2=2bccos A+2accos B,则ABC一定 是 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 答案 C 解析a2+b2+c2=2bccos A+2accos B, a2+b2+c2=2bc - +2ac - , a2+b2+c2=b2+c2-a2+a2+c2-b2=2c2, 即
3、 a2+b2=c2,ABC一定是直角三角形. 故选 C. 4.在直角梯形 ABCD 中,ABCD,ABC=90,AB=2BC=2CD,则 cosDAC=( ) A. B. C. D. 答案 C 解析如下图所示,不妨设 BC=CD=1,则 AB=2,过点 D作 DEAB,垂足为点 E. 易知四边形 BCDE 是正方形,则 BE=CD=1, 所以 AE=AB-BE=1. 在 RtADE 中,AD= ,在 RtABC中,AC= , 在ACD中,由余弦定理得 cosDAC= - - .故选 C. 5.在ABC 中,角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,若 bsin 2A+ asin B=0,b= c
4、,则 的值为( ) A.1 B. C. D. 答案 C 解析因为 bsin 2A+ asin B=0, 所以由正弦定理可得 sin Bsin 2A+ sin Asin B=0, 即 2sin Bsin Acos A+ sin Asin B=0. 由于 sin BsinA0,所以 cos A=- ,因为 0A,所以 A= ,又 b= c, 由余弦定理可得 a2=b2+c2-2cbcos A=2c2+c2+2c2=5c2, 所以 .故选 C. 6.(2020 湖北黄冈麻城实验高级中学高三模拟)易经包含着很多哲理,在信息学、天文学中都有广 泛的应用,易经的博大精深,对今天的几何学和其他学科仍有深刻的
5、影响.下图是易经中记载 的几何图形八卦田,图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,八块面积相等的曲边梯形 代表八卦田.已知正八边形的边长为 10 m,阴阳太极图的半径为 4 m,则每块八卦田的面积约为( ) A.114 m2 B.57 m2 C.54 m2 D.48 m2 答案 C 解析如图所示, 设 OA=OB=a.由题意可知AOB= , 由余弦定理得 100=a2+a2-2aa , 解得 a2=50(2+ ). 所以 S AOB = a 2sin =25( +1)(m 2), 所以每块八卦田的面积 S=25( +1)- 4 2=25( +1)-254(m2).故选 C. 7.平面四边
6、形 ABCD 为凸四边形,且A=60,ADDC,AB= ,BD=2,则 BC 的取值范围为( ) A. ,2 B. ,2 C. 2, D. 答案 D 解析设 AD=x.在ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB ADcos A,所以 4=3+x2-2 xcos 60,解得 x= ,延 长 DC,AB 相交于点 E,则由 ADCD且A=60,得 AE= ,BE= ,若 BCCD,则 BC= ,显 然点 C在线段 ED(不含端点)上,所以 BC 的取值范围是 .故选 D. 8.如图,某建筑物的高度 BC=300 m,一架无人机 Q上的仪器观测到建筑物顶部 C的仰角为 15,地面 某处 A的俯角为
7、45,且BAC=60,则此无人机距离地面的高度 PQ 为( ) A.100 m B.200 m C.300 m D.100 m 答案 B 解析根据题意,得在 RtABC中,BAC=60,BC=300 m,所以 AC= =200 m. 在ACQ中,AQC=45+15=60,QAC=180-45-60=75,所以QCA=180- AQC-QAC=45. 由正弦定理,得 , 解得 AQ= =200 m. 在 RtAPQ 中,PQ=AQsin 45=200 =200 m.故选 B. 二、多项选择题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求.全部选对的得 5
8、分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0分. 9.在ABC 中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,下列结论正确的是( ) A.a2=b2+c2-2bccos A B.asin B=bsin A C.a=bcos C+ccos B D.acos B+b cos A=sin C 答案 ABC 解析在 A 中,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A,故 A正确; 在 B 中,由正弦定理得 , asin B=bsin A,故 B 正确; 在 C 中,a=bcos C+ccos B, 由余弦定理得 a=b - +c - , 整理,得 2a2=2a2,故 C正确; 在 D 中,由余弦定理
9、得 acos B+bcos A=a - +b - =csin C, 故 D 错误.故选 ABC. 10.在ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是 ( ) A.b=10,A=45,C=70 B.b=45,c=48,B=60 C.a=14,b=16,A=45 D.a=7,b=5,A=80 答案 BC 解析选项 B满足 csin 60bc,选项 C 满足 bsin 45ab,所以 B,C 有两解;对于选项 A,可求 B=180-A-C=65,三角形有一解;对于选项 D,由 sin B= ,且 b0,所以 cos C=0,所以 C= ,故选项 A正确;对于选项 B,可知当三 角形为等边三角形
10、时,等式同样成立,故选项 B 错误;对于选项 C,cos2 ,化简得 ccos B=a,所以 ccos B=ccos B+bcos C,整理得 bcos C=0,因为 b0,所以 C= ,故选项 C正确;对于选项 D,acos B-bcos A=c,因为在任意三角形中都有 acos B+bcos A=c,所以两式相加可得 acos B=c,所以 acos B=acos B+bcos A,整理得 bcos A=0,因为 b0,所以 A= ,故选项 D正确.故选 ACD. 三、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分. 13.在ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=1
11、,sin A= ,sin C= ,则 c= . 答案 3 解析由正弦定理 ,得 c= =3 . 14.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=3,b=4,c=6,则 bccos A+accos B+abcos C 的值 是 . 答案 解析因为 cos A= - , 所以 bccos A= (b 2+c2-a2). 同理,accos B= (a 2+c2-b2), abcos C= (a 2+b2-c2). 所以 bccos A+accos B+abcos C= (a 2+b2+c2)= . 15.在ABC 中,设角 A,B,C对应的边分别为 a,b,c,记ABC的面积为
12、 S,且 4a2=b2+2c2,则 的最大值 为 . 答案 解析由题知 4a2=b2+2c2,即 b2=4a2-2c2=a2+c2-2accos B, 整理得 2accos B=-3a2+3c2, 所以 cos B= - . 则 2= 2= 2= - =- 9 -22 +9 . 由 4a2=b2+2c2,得 =4-2 ,则 4-2 0,故 0 2. 令 t= ,则 2=- (9t 2-22t+9)=- 3t- 2+ , 又 0t2,则当 t= 时,有 2 ,即 , 所以 的最大值为 . 16.(2020 湖北宜昌一中高三月考)我国古代数学家刘徽在其海岛算经中给出了著名的望海岛问 题及二次测望方
13、法:今有望海岛,立两表,齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表三相直.从前表却行一 百二十三步,人目着地取望岛峰,与表末三合.从后表却行一百二十七步,人目着地取望岛峰,亦与表末 三合.问岛高及去表各几何?这一方法领先印度 500多年,领先欧洲 1 300多年.其大意为:测量望海岛 PQ 的高度及离岸距离,在海岸边立两根等高的标杆 AB,CD(PQ,AB,CD共面,均垂直于地面),使目测点 E与 P,B共线,目测点 F与 P,D 共线,测出 AE,CF,AC即可求出岛高和距离(如图).若 AB=CD=r,AE=a,CF=b,EF=d,则 PQ= ;EQ= . 答案 - - 解析设AEB=,CFD=
14、, 则 tan = ,tan = . 在PEF中, - , 得 PE= - - , 所以 PQ=PE sin = - = - = - - - . EQ=PE cos = - - = - - - . 四、解答题:本题共 6小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(2020全国)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 B=150. (1)若 a= c,b=2 ,求ABC 的面积; (2)若 sin A+ sin C= ,求 C. 解(1)由题设及余弦定理得 28=3c2+c2-2 c2cos 150,解得 c=-2(舍去),c=2.从而 a
15、=2 . ABC 的面积为 2 2sin 150= . (2)在ABC中,A=180-B-C=30-C, 所以 sin A+ sin C=sin(30-C)+ sin C=sin(30+C). 故 sin(30+C)= . 而 0C30,所以 30+C=45,故 C=15. 18.(12分)(2020山东)在ac= ,csin A=3,c= b这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中, 若问题中的三角形存在,求 c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由. 问题:是否存在ABC,它的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且 sin A= sin B,C= , ? 解由 C= 和余弦定理,得
16、 - . 由 sin A= sin B及正弦定理,得 a= b. 于是 - ,由此可得 b=c. 方案一:选条件. 由ac= ,解得 a= ,b=c=1. 因此,选条件时,问题中的三角形存在,此时 c=1. 方案二:选条件. 因为 b=c,所以 B=C= . 由 A+B+C=,得 A=- . 由csin A=3,即 csin =3, 所以 c=b=2 ,a=6. 因此,选条件时,问题中的三角形存在,此时 c=2 . 方案三:选条件. 由c= b,与 b=c 矛盾. 因此,选条件时,问题中的三角形不存在. 19.(12分)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 4(3+ )海里的两个观测点,现位
17、于 A 点北偏东 45,B点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距 16 海 里的 C点的救援船立即前往营救,其航行速度为 24海里/小时. (1)求 BD的长; (2)该救援船到达 D点所需的时间. 解(1)由题意可知在ADB中,DAB=45,DBA=30,则ADB=105. 由正弦定理 ,得 . 由 sin 105=sin(45+60) =sin 45cos 60+cos 45sin 60= , 代入上式得 BD=8 (海里). (2)在BCD中,BC=16 ,BD=8 ,CBD=60, 由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC BD c
18、os 60 =(16 )2+(8 )2-216 8 =24 2, 所以 CD=24,所以 t= =1 小时. 即该救援船到达 D 点所需的时间为 1 小时. 20.(12分)(2020江苏)在ABC 中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 a=3,c= ,B=45. (1)求 sin C 的值; (2)在边 BC 上取一点 D,使得 cosADC=- ,求 tanDAC的值. 解(1)在ABC 中,因为 a=3,c= ,B=45, 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 b2=9+2-23 cos 45=5,所以 b= . 在ABC中,由正弦定理 ,得 , 所以 sin
19、C= . (2)在ADC中,因为 cos ADC=- , 所以ADC 为钝角, 而ADC+C+CAD=180, 所以C为锐角. 故 cos C= - , 则 tan C= . 因为 cosADC=- , 所以 sinADC= - , tanADC= =- . 从而 tanDAC=tan(180-ADC-C) =-tan(ADC+C) =- - =- - -(- ) . 21.(12分)(2020江苏南通高一检测)在一个特定时段内,以点 E为中心的 7 海里以内海域被设为警戒 水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A北偏东 45且与点 A
20、相距 40 海里的位置 B,经过 40分钟又测得该船已行驶到点 A北偏东 45+ 其中 sin = ,090 且与点 A 相距 10 海里的位置 C. (1)求该船的行驶速度; (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 解(1)由题可知 AB=40 ,AC=10 ,BAC=,sin = . 由于 090, 所以 cos = - . 由余弦定理得 BC= - =10 , 所以该船的行驶速度为 =15 (海里/时). (2)如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系,设点 B,C的坐标分别是 B(x1,y1),C(x2,y2),直线 BC 与 x轴的交点为 D.
21、由题设有 x1=y1= AB=40,故 B(40,40). x2=ACcosCAD=10 cos(45-)=30, y2=ACsinCAD=10 sin(45-)=20,故 C(30,20). 所以直线 BC 的斜率为 k= =2,直线 BC的方程为 y=2x-40. 又点 E(0,-55)到直线 BC的距离 d= - =3 7. 所以船会进入警戒水域. 22.(12分)如图,在ABC中,C= ,角 B的平分线 BD交 AC于点 D,设CBD=,其中 tan = . (1)求 sin A; (2)若 =28,求 AB的长. 解(1)由CBD=,且 tan = , 因为 ( ), 所以 sin = cos ,sin 2+cos2= cos 2+cos2 = cos 2=1, 所以 cos = ,sin = . 则 sinABC=sin 2=2sin cos =2 ,所以 cosABC=2cos 2-1=2 -1= , sin A=sin* -( )+=sin( ) = sin 2+ cos 2= ( ) . (2)由正弦定理,得 , 即 , 所以 BC= AC. 又 | |=28, 所以| | |=28 , 由解得 AC=4 , 又由 ,得 , 解得 AB=5.
