1、第十一章测评第十一章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不相交 答案 B 解析由棱台的定义知,各侧棱的延长线交于一点,所以选 B. 2.一直线 l与其外三点 A,B,C可确定的平面个数是 ( ) A.1 B.3 C.1或 3 D.1 或 3或 4 答案 D 解析当 A,B,C 共线且与 l平行或相交时,确定一个平面;当 A,B,C共线且与 l异面时,可确
2、定 3个平面; 当 A,B,C三点不共线时,可确定 4 个平面. 3.若三个平面两两相交,有三条交线,则下列命题中正确的是( ) A.三条交线为异面直线 B.三条交线两两平行 C.三条交线交于一点 D.三条交线两两平行或交于一点 答案 D 解析三平面两两相交,交线如有 2 条平行,由线面平行性质定理知三条都平行,如三棱柱三侧棱;三条 交线也可以交于一点,如三棱锥三侧棱. 4.(2020 全国,理 3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该 四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高 与底面正方形的边长的比值为( ) A
3、. - B. - C. D. 答案 C 解析如图,设正四棱锥的高为 h,底面边长为 a,侧面三角形底边上的高为 h, 则有 -( ) 因此有 h2-( ) ah, 化简得 4( ) -2( )-1=0, 解得 .(负值舍去) 5.设 ,为两个平面,则 的充要条件是( ) A.内有无数条直线与 平行 B.内有两条相交直线与 平行 C., 平行于同一条直线 D., 垂直于同一平面 答案 B 解析 内有无数直线与 平行是 的必要不充分条件,A不符合; 内有两条相交直线与 平行是 的充要条件,B符合; ,平行同一条直线是 的必要不充分条件,C 不符合; ,垂直同一平面是 的必要不充分条件,D不符合.
4、6.(2020 天津)若棱长为 2 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A.12 B.24 C.36 D.144 答案 C 解析2R= =6, 球的表面积为 4R2=36.故选 C. 7.如图,点 N为正方形 ABCD 的中心,ECD 为正三角形,平面 ECD平面 ABCD,M 是线段 ED的中点, 则 ( ) A.BM=EN,且直线 BM,EN是相交直线 B.BMEN,且直线 BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线 BM,EN是异面直线 D.BMEN,且直线 BM,EN是异面直线 答案 B 解析如图,连接 BD,BE. 在BDE中,N为 BD的中点,M为 DE 的中点
5、, BM,EN 是相交直线, 排除选项 C、D. 作 EOCD于点 O,连接 ON. 作 MFOD 于点 F,连接 BF. 平面 CDE平面 ABCD,平面 CDE平面 ABCD=CD,EOCD,EO平面 CDE, EO平面 ABCD. 同理,MF平面 ABCD. MFB 与EON均为直角三角形. 设正方形 ABCD的边长为 2,易知 EO= ,ON=1,MF= ,BF= , 则 EN= =2,BM= , BMEN.故选 B. 8.设三棱锥 V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱 VA 上的点(不含端点).记直线 PB 与直线 AC 所成的角为 ,直线 PB与平面 ABC 所成的角
6、为 ,二面角 P-AC-B的平面角为 ,则( ) A., B., C., D.,在 RtPEO中,tan = =tan ,所以 .综上 所述,故选 B. 二、多项选择题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求.全部选对的得 5分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0分. 9.设 l为直线, 是两个不同的平面,下列命题中错误的是( ) A.若 l,l,则 B.若 l,l,则 C.若 l,l,则 D.若 ,l,则 l 答案 ACD 解析 A中 ,也可相交,A 不正确;由垂直同一直线的两平面平行. 10.(2020 山东实验中学高三月考)九章算术中将底
7、面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱 称为“堑堵”;底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”;四个面均为直角三角形的四面 体称为“鳖臑”.如图,在堑堵 ABC-A1B1C1中,ACBC,且 AA1=AB=2.下列说法正确的是( ) A.四棱锥 B-A1ACC1为“阳马” B.四面体 A1-C1CB 为“鳖臑” C.四棱锥 B-A1ACC1体积最大为 D.过 A 点分别作 AEA1B于点 E,AFA1C 于点 F,则 EFA1B 答案 ABD 解析由题意知在堑堵 ABC-A1B1C1中,ACBC,侧棱 AA1平面 ABC. 在选项 A 中,BC平面 ABC,所以 AA1BC.又 A
8、CBC,且 AA1AC=A,所以 BC平面 AA1C1C.所 以四棱锥 B-A1ACC1为“阳马”,故 A正确. 在选项 B 中,由 ACBC,即 A1C1BC,又 A1C1C1C且 C1CBC=C,所以 A1C1平面 BB1C1C.所 以 A1C1BC1,则A1BC1为直角三角形.又由 BC平面 AA1C1C,得A1BC 为直角三角形.由“堑堵”的 定义可得A1C1C 为直角三角形,CC1B 为直角三角形.所以四面体 A1-C1CB为“鳖臑”,故 B 正确. 在选项 C 中,有 4=AC2+BC22AC BC,即 AC BC2,当且仅当 AC=BC时取等号. - BC= AA1ACBC= A
9、C BC ,故 C不正确. 在选项 D 中,已知 BC平面 AA1C1C,则 BCAF,AFA1C且 A1CBC=C,则 AF平面 A1BC,所 以 AFA1B.又 AEA1B且 AFAE=A,则 A1B平面 AEF,则 A1BEF,故 D正确. 11.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,以下结论正确的是( ) A.异面直线 A1D 与 AB1所成的角为 60 B.直线 A1D与 BC1垂直 C.直线 A1D与 BD1平行 D.三棱锥 A-A1CD的体积为 a 3 答案 ABD 解析 A1D 与 AB1所成角即 A1D 与 DC1成的角,再连接 A1C构成等边A1DC1,即
10、A正确;A1D与 BC1成 的角即 A1D与 AD1成的角,由 A1DAD1即 B正确;由 BD1平面 A1DC1,BD1A1D,即 C不正 确; 三棱锥 - 三棱锥 - a a 2= ,即 D正确. 12.已知空间中两条直线 a,b 所成的角为 50,P为空间中给定的一个定点,直线 l过点 P且与直线 a 和直线 b所成的角都是 (090),则下列选项正确的是( ) A.当 =15时,满足题意的直线 l不存在 B.当 =25时,满足题意的直线 l有且仅有 1条 C.当 =40时,满足题意的直线 l有且仅有 2条 D.当 =60时,满足题意的直线 l有且仅有 3条 答案 ABC 解析如图,过点
11、 P作 a1a,b1b,则相交直线 a1,b1确定一平面 .a1与 b1的夹角为 50, 设直线 PA与 a1,b1的夹角均为 , 如图 l绕 P 转动始终与 a1,b1夹角相等, 当 l在 内为 a,b 夹角平分线时, 最小为 25, 所以 AB正确,当 为 40和 60时直线 l都有 2条,所以 C正确,D错. 三、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分. 13.已知 l,m 是平面 外的两条不同直线.给出下列三个论断:lm;m;l.以其中的两个论 断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命 题: . 答案如果 l,m,则 lm 解析将所给论断,分别作为条件、结论,得到
12、如下三个命题: (1)如果 l,m,则 lm,正确; (2)如果 l,lm,则 m,不正确,有可能 m在平面 内; (3)如果 lm,m,则 l,不正确,有可能 l与 斜交,l. 14.在正方体 ABCD-ABCD中,过对角线 BD的一个平面交 AA于点 E,交 CC于点 F,则:四边形 BFDE一定是平行四边形;四边形 BFDE有可能是正方形;四边形 BFDE在底面 ABCD内的投 影一定是正方形;平面 BFDE 有可能垂直于平面 BBD. 以上结论正确的为 .(填序号) 答案 解析如图所示, BE和 DF,BF和 DE 分别是正方体两平行平面被平面 BFDE所截, 所以 BEDF,DEBF
13、, 四边形 BFDE为平行四边形.正确. 不正确,当 E,F分别为 AA,CC中点时,四边形 BFDE为菱形, 设正方体棱长为 a,则 BF2=DF2= a 2,BD2=3a2, 即 BF2+DF2BD2,四边形 BFDE不可能为正方形. 正确(其射影是正方形 ABCD). 正确.当 E,F 分别是 AA,CC中点时, 平面 BFDE平面 BBD. 15.(2020 山东)已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的棱长均为 2,BAD=60.以 D1为球心, 为半径的 球面与侧面 BCC1B1的交线长为 . 答案 解析如图所示, B1C1D1=B1A1D1=BAD=60且 B1C1=C1D1,
14、 B1C1D1为等边三角形.B1D1=2. 设 O1是 B1C1的中点,则 O1D1= ,易证 D1O1平面 BCC1B1,设 P 是球面与侧面 BCC1B1交线上 任意一点,连接 O1P,则 O1D1O1P, D1P2=D1 +O1P2,即 5=3+O1P2,O1P= .即 P在以 O1为圆心,以 为半径的圆上. 取 BB1,CC1的中点分别为 E,F,则 B1E=C1F=O1B1=O1C1=1,EF=2, O1E=O1F= ,O1E2+O1F2=EF2=4, EO1F=90, 交线 2 = . 16.已知ACB=90,P 为平面 ABC外一点,PC=2,点 P 到ACB两边 AC,BC的距
15、离均为 ,那么 P 到平面 ABC 的距离为 . 答案 解析作 PD,PE 分别垂直于 AC,BC,PO平面 ABC. 连接 CO,OD,由题意知 CDPD,CDPO,PDPO=P, CD平面 PDO,OD平面 PDO,CDOD. PD=PE= ,PC=2, sinPCE=sinPCD= , PCB=PCA=60. 又易知 POCO,CO 为ACB 平分线, OCD=45, OD=CD=1,OC= . 又 PC=2,PO= - . 四、解答题:本题共 6小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)如图,已知 E,F,G,H分别为正方体 ABCD-A1B1C1D
16、1的棱 AB,BC,CC1,C1D1的中点,求 证:EF,HG,DC 三线共点. 证明点 E,F,G,H分别为所在棱的中点,连接 BC1,GF,如图. GF是BCC1的中位线,GFBC1. BEC1H,且 BE=C1H,四边形 EBC1H是平行四边形. EHBC1, GFEH. E,F,G,H 四点共面. GFEH,故 EF与 HG 必相交. 设 EFHG=I. IGH,GH平面 CC1D1D, I平面 CC1D1D. 同理可证 I平面 ABCD. 点 I在平面 ABCD 和平面 CDD1C1的交线 DC 上.即 EF,HG,DC三线共点. 18.(12分)(2020全国)如图,D 为圆锥的顶
17、点,O是圆锥底面的圆心,ABC 是底面的内接正三角形,P 为 DO上一点,APC=90. (1)证明:平面 PAB平面 PAC; (2)设 DO= ,圆锥的侧面积为 ,求三棱锥 P-ABC的体积. (1)证明由题设可知,PA=PB=PC. 由于ABC 是正三角形, 故可得PACPAB,PACPBC. 又APC=90,故APB=90,BPC=90. 从而 PBPA,PBPC,故 PB平面 PAC, 所以平面 PAB平面 PAC. (2)解设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l. 由题设可得 rl= ,l2-r2=2. 解得 r=1,l= . 从而 AB= .由(1)可得 PA2+PB2=AB2,
18、故 PA=PB=PC= . 所以三棱锥 P-ABC的体积为 PAPBPC= ( ) . 19.(12分)(2020全国)如图,已知三棱柱 ABC -A1B1C1的底面是正三角形,侧面 BB1C1C 是矩形,M,N 分别为 BC,B1C1的中点,P为 AM 上一点.过 B1C1和点 P 的平面交 AB于 E,交 AC 于点 F. (1)证明:AA1MN,且平面 A1AMN平面 EB1C1F; (2)设 O 为A1B1C1的中心.若 AO=AB=6,AO平面 EB1C1F,且MPN= ,求四棱锥 B-EB1C1F的体积. (1)证明因为 M,N分别为 BC,B1C1的中点, 所以 MNCC1. 又
19、由已知得 AA1CC1,故 AA1MN. 因为A1B1C1是正三角形,所以 B1C1A1N. 又 B1C1MN,故 B1C1平面 A1AMN. 所以平面 A1AMN平面 EB1C1F. (2)解 AO平面 EB1C1F,AO平面 A1AMN,平面 A1AMN平面 EB1C1F=PN,故 AOPN. 又 APON,故四边形 APNO是平行四边形, 所以 PN=AO=6,AP=ON= AM= ,PM= AM=2 ,EF= BC=2. 因为 BC平面 EB1C1F,所以四棱锥 B -EB1C1F 的顶点 B 到底面 EB1C1F 的距离等于点 M到底面 EB1C1F的距离. 作 MTPN,垂足为 T
20、,则由(1)知,MT平面 EB1C1F, 故 MT=PMsinMPN=3.底面 EB1C1F 的面积为 (B1C1+EF)PN= (6+2)6=24. 所以四棱锥 B -EB1C1F的体积为 243=24. 20.(12分)(2020全国)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 E,F 分别在棱 DD1,BB1上,且 2DE=ED1,BF=2FB1.证明: (1)当 AB=BC时,EFAC; (2)点 C1在平面 AEF内. 证明(1)如图,连接 BD,B1D1. 因为 AB=BC,所以四边形 ABCD为正方形,故 ACBD. 又因为 BB1平面 ABCD,于是 ACBB1. 所以
21、AC平面 BB1D1D. 由于 EF平面 BB1D1D,所以 EFAC. (2)如图,在棱 AA1上取点 G,使得 AG=2GA1,连接 GD1,FC1,FG. 因为 D1E= DD1,AG= AA1,DD1 AA1,所以 ED1 AG,于是四边形 ED1GA为平行四边形,故 AE GD1. 因为 B1F= BB1,A1G= AA1,BB1 AA1,所以 FG A1B1,FG C1D1,四边形 FGD1C1为平行四边形, 故 GD1FC1. 于是 AEFC1. 所以 A,E,F,C1四点共面,即点 C1在平面 AEF内. 21.(12分)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD为矩
22、形,PA平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC 平面 BDE. (1)证明:BD平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A的正切值. (1)证明PA平面 ABCD,PABD, PC平面 BDE,PCBD,PA平面 PAC,PC平面 PAC,PAPC=P. BD平面 PAC. (2)解设 AC 与 BD交点为 O,连接 OE. PC平面 BDE, 即 PC平面 BOE, PCBE,PCOE, BEO为二面角 B-PC-A 的平面角. BD平面 PAC, BDAC, 四边形 ABCD为正方形,BO= . 在PAC中, ,即 ,则 OE= , tanBEO= =3,
23、 二面角 B-PC-A 的平面角的正切值为 3. 22.(12分)如图,DC平面 ABC,EBDC,AC=BC=EB=2DC=2,ACB=120,P,Q分别为 AE,AB的中 点. (1)证明:PQ平面 ACD; (2)求 AD与平面 ABE所成角的正弦值. (1)证明因为 P,Q 分别为 AE,AB 的中点, 所以 PQEB.又 DCEB,因此 PQDC, 又 PQ平面 ACD,从而 PQ平面 ACD. (2)解如图,连接 CQ,DP,因为 Q 为 AB 的中点,且 AC=BC,所以 CQAB. 因为 DC平面 ABC,EBDC,所以 EB平面 ABC,因此 CQEB. 故 CQ平面 ABE. 由(1)有 PQDC,又 PQ= EB=DC, 所以四边形 CQPD 为平行四边形,故 DPCQ. 因此 DP平面 ABE,DAP为 AD和平面 ABE所成的角, 在 RtDPA 中,AD= ,DP=1,sinDAP= ,因此 AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为 .
