1、19.1 函数函数 19.1.1 变量与函数变量与函数 【知识与技能】 运用丰富的实例， 使学生了解常量与变量的含义， 理解函数的概念,能根据所给条件 写出简单的函数关系式. 【过程与方法】 通过丰富的实例，分析变化过程中的常量与变量，经历从实际问题中得到函数关系 式的过程,发展学生的数学应用能力. 【情感态度】 引导学生探索实际问题中的数量关系,培养学习数学的兴趣和积极参与数学活动的 热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心. 【教学重点】 理解常量、变量和函数的概念,并能根据具体问题得出相应的函数关系式. 【教学难点】 确定函数关系式及自变量的取值范围. 一、
2、情境导入,初步认识 【教学说明】选取学生熟悉的生活情境,让学生感受其中的变化,从这些感受中逐渐 领悟知识. 情境情境 1 汽车以 60km/h 的速度匀速行驶,行驶里程为 s km,行驶时间为 t h.填写下列 表格,再试着用含 t 的式子表示 s. 情境情境 2 已知每张电影票的售价为 10 元，如果早场售出 150 张，午场售出 205 张， 晚场售出 310 张，那么三场电影的票房收入各为多少元？设一场电影售出 x 张票，票房 收入 y 元，怎样用含 x 的式子表示 y？ 情境 3 要画一个面积为 10cm2的圆， 圆的半径应取多少？画面积为 20cm2的圆呢？ 怎样用含圆面积 S 的式
3、子表示圆半径 r? 二、思考探究，获取新知二、思考探究，获取新知 问题问题 1 在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长 度的变化，填入下表： 如果弹簧原长 10cm，每 1kg 重物使弹簧伸长 0.5cm，怎样用含重物质量 m(kg)的式 子表示受力后的弹簧长度 l（cm）? 问题问题2 用10cm长的绳子围成长方形.试改变长方形的长度,观察长方形的面积怎样 变化.记录不同的长方形的长度值,计算相应的长方形面积的值,探索它们的变化规律(用 表格表示).设长方形的长为 xcm,面积为 Scm2,怎样用含 x 的式子表示 S? 将学生分成若干小组,分别探究两个问题,再汇总
4、交流. 【教学说明】在小组实践探究时,教师应参与小组活动,然后再作出总结. 上面的问题和探究都反映了不同事物的变化过程,其中有些量(时间 t,里程 s;出售票 数 x,票房收入 y;)的值是按照某种规律变化的.在一个变化过程中,数值发生变化的量, 我们称为变量.也有些量是始终不变的,如上面问题中的速度 60(km/h),票价 10(元)等,即为 常量. 一般来说，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定 的值，y 都有唯一的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.如果当 x=a 时 y=b,那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值. 提出
5、自变量取值范围的概念,总结求自变量取值范围的规律： (1)自变量以整式形式出现,取值范围是全体实数. (2)自变量以分式形式出现,取值范围是使分母不为 0 的数. (3)自变量以偶次方根形式出现,取值范围为使被开方数为非负数的实数;自变量以立 方根形式出现,取值为全体实数. (4)自变量以零次幂形式出现,取值范围为使底数不为 0 的数. (5)自变量取值范围还应考虑实际意义. 三、典例精析，掌握新知 例例 1 根据下列题意写出适当的关系式,并指出其中的变量和常量. (1)多边形的内角和 W 与边数 n 的关系. (2)甲、 乙两地相距ykm,一自行车以10km/h的速度从甲地驶向乙地,试用行驶
6、时间t(h) 表示自行车离乙地的距离 s(km). 【分析】弄清题意,找准其中的等量关系,并注意字母表示的量不一定是变量,如(2)中 的 y. 解:根据题意列表为: 例例 2 求下列函数中自变量的取值范围. (1)y=x2-2x-1; (2) 2 4 y x ; (3)24yx; (4) 3 x y x ; (5)13 62yxx ; (6)y=(x-1)0. 【教学说明】观察含自变量的式子,进行归类,再依各自特征求范围. 【答案】(1)一切实数; (2)x4; (3)x2; (4)x-3; (5)1x3; (6)x1. 【归纳总结】 含自变量的式子有时包含多种特征(如有分母,有被开方数等),
7、这时要综 合考虑各种要求,准确界定范围. 例例 3 小强在劳动技术课中要制作一个周长为 80cm 的等腰三角形,请你写出底边长 y(cm)与一腰长 x(cm)的函数关系式,并求出自变量 x 的取值范围. 【分析】(1)周长等于三边的长度和,由此求得函数关系式;(2)自变量 x 要使腰、底为 正数,即 x0,y0.同时还要满足任意两边的和大于第三边,得到不等式组求解. 解：由题意,得 2x+y=80,所以 y=80-2x.由解析式本身有意义,得 x 为全体实数. 又由使实际问题有意义,则要考虑到边长为正数,且要满足三边关系定理,故有 0, 0, 2. x y xy .即 0, 2800, 228
8、0. x x xx 解得 20 x40.故 y=80-2x(20 x40). 四、运用新知，深化理解 1.分别指出下列关系式中的变量与常量： （1） 一个物体从高处自由落下， 该物体下落的距离 h(m)与它下落的时间 t(s)的关系 式为 2 1 2 hgt（其中 g9.8m/s2） ； （2）等腰三角形的顶角 y 与底角 x 存在关系 y=180 -2x； （3） 长方体的体积 V(cm3)与长 a （cm） ， 宽 b(cm)， 高 h(cm)之间的关系式为 V=abh. 2.人心跳速度通常和人的年龄有关，如果 a 表示一个人的年龄，b 表示正常情况下 每分钟心跳的最高次数.经过大量试验，
9、有如下的关系：b=0.8(220-a). （1）上述关系中的常量和变量各是什么？ （2）一个 15 岁的学生正常情况下每分钟心跳的最高次数是多少？ 3.(1)齿轮每分钟转 120 转,如果用 n 表示总转数,t(分)表示时间,那么 n 关于 t 的函数 关系式是_. (2)火车离开 A 站 10km 后,以 55km/h 的平均速度前进了 t(h)小时,那么火车离开 A 站 的距离 s(km)与时间 t(h)之间的函数关系式是_. 4.某水果店卖苹果,其售出质量 x(kg)与售价 y(元)之间的关系如表: (1)试写出售价 y(元)与售出质量 x(kg)之间的函数关系式； (2)计算当 x=6
10、 时，y 的值； (3)求售价为 19.4 元时，售出苹果的质量. 【教学说明】用字母表示的量不一定是变量，如 、g 等表示的是常量，要从变与 不变的实质出发来分辨变量和常量. 【答案】1.（1）时间 t 可以取不同值，随 t 的变化，h 值也改变，因此时间 t、距离 h 是变量， 1 2 、g 的值始终不变，是常量.（2）底角 x 可以取不同值，y 随 x 的改变而改 变，因此 x、y 是变量，而 180 与 2 是常量.（3）长 a，宽 b，高 h 都可以取不同的值， V 的对应值也是变化的，故 a、b、h、V 都是变量. 2.（1）变量是 b、a，常量是 0.8、220.（2）把 a=1
11、5 代入 b=0.8(220-a)，得 b=0.8 (220-15)=164. 3.(1)n=120t;(2)s=10+55t. 4.(1)根据信息:售出质量每增加1千克,售价则增加2.4元,售价中另一部分0.2元不变, 可求出 y 与 x 之间的函数关系式.(2)把 x=6 代入函数关系式可求出 y 值;(3)实际上是求当 y=19.4 时,它所对应的 x 的值. 解:(1)从表中提供的信息看,质量每增加 1 千克,售价增加 2.4 元,所以 y=2.4x+0.2. (2)当 x=6 时,y=2.4 6+0.2=14.6. (3)当 y=19.4 时,2.4x+0.2=19.4,解得 x=8.即售价为 19.4 元时售出苹果的质量为 8kg. 五、师生互动，课堂小结 由学生谈本节课的收获及仍存在的疑问等.教师根据学生的发言,予以点评总结. 1.布置作业：从教材“习题 19.1”中选取. 2.完成练习册中本课时练习. 本课时内容是学生的认识，由常量到变量的一个飞跃，教学时应根据学生的认知基础， 创设丰富的现实情境，使学生感知变量存在的意义，体会变量间的相互依存关系和变化 规律，掌握函数的知识.教学重在引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重 学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中存在着多姿多彩的数学问题，提高研 究与应用能力.
