1、专题专题 20 数学归纳法数学归纳法 一、单选题一、单选题 1 （2020 河南省高二月考（理） ）利用数学归纳法证明 * ( )123(31)f nnnN 时，第一步 应证明（ ） A (2)12f B(1)1f C (1)123f D(1)1234f 2 （2020 白山市第一中学高二开学考试（理） ）某个命题与自然数n有关，若 * ()nk kN时命题成立， 那么可推得当1nk时该命题也成立，现已知5n时，该命题不成立，那么可以推得 A6n时该命题不成立 B6n时该命题成立 C4n时该命题不成立 D4n时该命题成立 3 （2020 宁县第二中学高二期中（理） ）用数学归纳法证明不等式 1
2、1113 1214nnnn 的过程中， 由nk递推到1nk时，不等式左边（ ） A增加了一项 1 21k B增加了两项 1 21k ， 1 21k C增加了 A 中的一项，但又减少了另一项 1 1k D增加了 B 中的两项，但又减少了另一项 1 1k 4 （2020 梅河口市第五中学高二月考 （理） ） 用数学归纳法证： 111 1 2321 n n （ * nN时1n ） 第二步证明中从“k到1k”左边增加的项数是（ ） A21 k 项 B21 k 项 C 1 2k项 D2k 项 5 （2018 黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二期中（理） ）用数学归纳法证明 “ 2 21 1 11,N 1 n
3、 n a aaaan a ”，在验证1n 是否成立时，左边应该是( ) A1 B1 a C 2 1aa D 23 1aaa 6 （2019 瓦房店市实验高级中学高二月考（理） ）用数学归纳法证明，则当 时，左端应在的基础上加上（ ） A B C D 7.（2020 江苏省天一中学高二期中）对于不等式 2 nn n+1(nN*),某同学应用数学归纳法的证明过程如 下: (1)当 n=1 时, 2 11 1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(kN*)时,不等式成立,即 2 kk k+1. 那么当 n=k+1 时, 2222 (k 1)k 1k3k2k3k2k2(k2)=(k+1)+1, 所以
4、当 n=k+1 时,不等式也成立. 根据(1)和(2),可知对于任何 nN*,不等式均成立. 则上述证法（ ） A过程全部正确 Bn=1 验得不正确 C归纳假设不正确 D从 n=k 到 n=k+1 的证明过程不正确 8 （2020 郏县第一高级中学高二开学考试（理） ）用数学归纳法证明不等式 1111 2 1222 n nnn 的过程中，由nk递推到1nk时不等式左边（ ） A增加了 1 21k B增加了 11 2122kk C增加了 11 2122kk ，但减少了 1 1k D以上各种情况均不对 9（2020 甘肃省兰州一中高二月考 （理） ） 用数学归纳法证明 (1)(2)()21 3(2
5、1)() n nnnnnnN 时， 由“ 1nknk”等式两边需同乘一个代数式，它是（ ） A22k B(2 1)(22)kk C 22 1 k k D (21)(22) 1 kk k 10 （2020 巴楚县第一中学高二期中（理） ）在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 1 2 n(n3)条时，第 一步验证 n 等于( ) A1 B2 C3 D0 11 （2020 河南省高二学业考试（理） ）利用数学归纳法证明 “(1)(2)(3)()nnnnn21 3(21) n n ， * nN ”时，从”nk”变到“1nk”时，左 边应增加的因式是（ ） A2 1k B 21 1 k k C 2
6、3 1 k k D (21)(22) 1 kk k 12 （2018 浙江省诸暨中学高二月考）已知 27 39 n f nn,存在自然数m,使得对任意 * nN ,都能 使m整除 f n,则最大的m的值为( ) A30 B9 C36 D6 二、填空题二、填空题 13 （2019 邳州市第四中学高二期中（理） ）用数学归纳法证明 111 1( 2321 n n nN 且1)n ， 第一步要证的不等式是_ 14 （2016 上海市金山中学高一期末）用数学归纳法证明“ 2 21 1 1.1 1 n n a aaaa a ”，在验证 1n 成立时，等号左边的式子是_. 15 （2019 江苏省连云港市
7、锦屏高级中学高二期中（理） ）利用数学归纳法证明 “ 11111111 1 234212122nnnnn ”时从“nk”变到“1nk”时，左边应增加的 项是_. 16 （2019 江苏省高二期中（理） ）用数学归纳法证明“当 * nN时， 2351 1 2222 n 能被 31 整 除”时，从k到1k时需添加的项是_. 三、解答题三、解答题 17 （2020 陕西省西安一中高二期中（理） ）用数学归纳法证明： 2 1 59 14)332(nnn nN 18 （2020 武威第六中学高二期中（理） ）已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足2 nn San， （1）求 1 a， 2 a， 3
8、 a，并猜想数列 n a的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想 19 （2020 新疆维吾尔自治区高二期中（理） ）已知数列 1 1 2 ， 1 23 ， 1 34 ， 1 n(n1) ， （1）计算 123 ,S SS； （2）由以上结果推测计算 n S的公式，并用数学归纳法给出证明. 20 （2020 湖北省高二月考）已知数列 n a满足 1 1a ， 1 44 nnn aaa （1）计算 2 a， 3 a， 4 a的值，并猜想数列通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想 21（2020 白山市第一中学高二开学考试 （理） ） 已知数列 n a， 首项 1 1a ， 前n项和
9、 n S足 2* n n S nnN a . （1）求出 1234 ,S S S S，并猜想 n S的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 22 （2018 浙江省高三月考）已知 n a是等差数列, n b是等比数列, 1133154 2,abab aab设 , nnnn ca b S是数列 n c的前n项和 (1)求, nn a b； (2)试用数学归纳法证明： 1 8(34) 2n n Sn 专题专题 20 数学归纳法数学归纳法 一、单选题一、单选题 1 （2020 河南省高二月考（理） ）利用数学归纳法证明 * ( )123(31)f nnnN 时，第一步 应证明（ ） A (2)
10、12f B(1)1f C (1)123f D(1)1234f 【答案】D 【解析】 n的初始值应为 1，而(1)1234f . 故选 D 2 （2020 白山市第一中学高二开学考试（理） ）某个命题与自然数n有关，若 * ()nk kN时命题成立， 那么可推得当1nk时该命题也成立，现已知5n时，该命题不成立，那么可以推得 A6n时该命题不成立 B6n时该命题成立 C4n时该命题不成立 D4n时该命题成立 【答案】C 【解析】 假设4n时该命题成立，由题意可得5n时，该命题成立，而5n时，该命题不成立，所以4n时， 该命题不成立.而5n时，该命题不成立，不能推得6n该命题是否成立故选 C 3
11、（2020 宁县第二中学高二期中（理） ）用数学归纳法证明不等式 11113 1214nnnn 的过程中， 由nk递推到1nk时，不等式左边（ ） A增加了一项 1 21k B增加了两项 1 21k ， 1 21k C增加了 A 中的一项，但又减少了另一项 1 1k D增加了 B 中的两项，但又减少了另一项 1 1k 【答案】D 【解析】 当nk时，左边 111 12 kkkk ， 当1nk时，左边 111 (1) 1(1)2(1)(1) kkkk 11111 232121 kkkkkk ， 所以，由nk递推到1nk时，不等式左边增加了 1 21k ， 1 21k ；减少了 1 1k ； 故选
12、：D 4 （2020 梅河口市第五中学高二月考 （理） ） 用数学归纳法证： 111 1 2321 n n （ * nN时1n ） 第二步证明中从“k到1k”左边增加的项数是（ ） A21 k 项 B21 k 项 C 1 2k项 D2k 项 【答案】D 【解析】 当nk时，左边 111 1 2321 k ，易知分母为连续正整数，所以，共有2 1 k 项； 当1nk时，左边 1 111 1 2321 k ，共有 1 21 k 项； 所以从“k到1k”左边增加的项数是 1 21 (21)2 kkk 项. 故选 D 5 （2018 黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二期中（理） ）用数学归纳法证明 “ 2
13、 21 1 11,N 1 n n a aaaan a ”，在验证1n 是否成立时，左边应该是( ) A1 B1 a C 2 1aa D 23 1aaa 【答案】C 【解析】 用数学归纳法证明“ 2 21 1 11,N 1 n n a aaaan a ”，在验证1n 时，把1n 代入，左边 2 1aa . 故选：C. 6 （2019 瓦房店市实验高级中学高二月考（理） ）用数学归纳法证明，则当 时，左端应在的基础上加上（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 当 n=k 时，等式左端=1+2+k2， 当 n=k+1 时，等式左端=1+2+k2+k2+1+k2+2+（k+1）2， 增加了项（k
14、2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2 故选：C 7.（2020 江苏省天一中学高二期中）对于不等式 2 nn n+1(nN*),某同学应用数学归纳法的证明过程如 下: (1)当 n=1 时, 2 11 1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(kN*)时,不等式成立,即 2 kk k+1. 那么当 n=k+1 时, 2222 (k 1)k 1k3k2k3k2k2(k2)=(k+1)+1, 所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 根据(1)和(2),可知对于任何 nN*,不等式均成立. 则上述证法（ ） A过程全部正确 Bn=1 验得不正确 C归纳假设不正确 D从 n=k 到 n
15、=k+1 的证明过程不正确 【答案】D 【解析】 题目中当 n=k+1 时不等式的证明没有用到 n=k 时的不等式，正确的证明过程如下： 在（2）中假设nk 时有 2 1kkk 成立，即 2 (1)(1)(1) 1kkk成立，即1nk时成 立，故选 D 8 （2020 郏县第一高级中学高二开学考试（理） ）用数学归纳法证明不等式 1111 2 1222 n nnn 的过程中，由nk递推到1nk时不等式左边（ ） A增加了 1 21k B增加了 11 2122kk C增加了 11 2122kk ，但减少了 1 1k D以上各种情况均不对 【答案】C 【解析】 当nk时， 1111 1222kkk
16、 ， 当1nk时， 11111 2321222kkkk ， 故增加了 11 2122kk ，但减少了 1 1k . 故选：C. 9（2020 甘肃省兰州一中高二月考 （理） ） 用数学归纳法证明 (1)(2)()21 3(21)() n nnnnnnN 时， 由“ 1nknk”等式两边需同乘一个代数式，它是（ ） A22k B(2 1)(22)kk C 22 1 k k D (21)(22) 1 kk k 【答案】D 【解析】 由题意有，假设nk时，( 1)(2)()21 3(21)() k kkkkkkN 成立，则 当1nk时， 左边 (2)(3)(1)(1)kkkk (1)(11) (1)
17、(2)() 1 kkkk kkkk k (1)(11) 21 3(21) 1 k kkkk k k 1 21 3(21)(21) k kk 右边 由数学归纳法可知上式成立 显然等式两边需同乘 (21)(22) 1 kk k 故选：D. 10 （2020 巴楚县第一中学高二期中（理） ）在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 1 2 n(n3)条时，第 一步验证 n 等于( ) A1 B2 C3 D0 【答案】C 【解析】 因为多边形的边数最少是3，即三角形，在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 1 3 2 n n条时，第 一步验证n等于3，故选 C. 11 （2020 河南省高二学业
18、考试（理） ）利用数学归纳法证明 “(1)(2)(3)()nnnnn21 3(21) n n ， * nN ”时，从”nk”变到“1nk”时，左 边应增加的因式是（ ） A21k B 21 1 k k C 23 1 k k D (21)(22) 1 kk k 【答案】D 【解析】 由题意“nk”时，左边为 12 ,.kkkk， “1nk”时，左边为23 ,.11kkkk ， 从而可得增加两项为21 22kk， 且减少项为1k ，故选 D. 12 （2018 浙江省诸暨中学高二月考）已知 27 39 n f nn,存在自然数m,使得对任意 * nN ,都能 使m整除 f n,则最大的m的值为(
19、) A30 B9 C36 D6 【答案】C 【解析】 由( )(27) 39 n f nn，得 (1)36f ， (2)3 36f ，(3)10 36f， (4)34 36f ，由此猜想36m. 下面用数学归纳法证明： (1)当1n 时，显然成立。 (2)假设nk时， ( )f k 能被 36 整除，即 ( )(27) 39 k f kk能被 36 整除； 当1nk时, 1 2(1)7 39 k k 1 3 (27) 39182 3 kk k 1 3 (27) 3918 31 kk k 1 31 k 是 2 的倍数， 1 18 31 k 能被 36 整除， 当 1nk时， ( )f n也能被
20、36 整除.由（1） （2）可知对一切正整数n都有( )(27) 39 n f nn能被 36 整除， m的最大值为 36. 故选：C. 二、填空题二、填空题 13 （2019 邳州市第四中学高二期中（理） ）用数学归纳法证明 111 1( 2321 n n nN 且1)n ， 第一步要证的不等式是_ 【答案】 【解析】 式子的左边应是分母从 1，依次增加 1，直到 2 21 ，所以答案为 11 12 23 14 （2016 上海市金山中学高一期末）用数学归纳法证明“ 2 21 1 1.1 1 n n a aaaa a ”，在验证 1n 成立时，等号左边的式子是_. 【答案】 2 1aa 【解
21、析】 因为左边的式子是从 0 a开始， 1n a 结束，且指数依次增加 1 所以1n ，左边的式子为 011 1 aaa 2 1aa， 故答案为 2 1aa . 15 （2019 江苏省连云港市锦屏高级中学高二期中（理） ）利用数学归纳法证明 “ 11111111 1 234212122nnnnn ”时从“nk”变到“1nk”时，左边应增加的 项是_. 【答案】 11 2122kk 【解析】 当nk时，等式为 11111111 1 234212122kkkkk ， 当1nk时，等式为 11111111 1 23421222322kkkkk ， 因此，从“nk”变到“ 1nk”时，左边应增加的项
22、是 1111111111 1 2 1 23421222 1 4 1 2212321kkkkkk . 故答案为： 11 2122kk . 16 （2019 江苏省高二期中（理） ）用数学归纳法证明“当 * nN时， 2351 1 2222 n 能被 31 整 除”时，从k到1k时需添加的项是_. 【答案】 551525354 22222 kkkkk 【解析】 根据数学归纳法， 当nk时：原式为： 2351 1 2222 k L ； 当1nk时，原式为 2351 1 2222 k 551525354 22222 kkkkk . 故需添加的项是： 551525354 22222 kkkkk . 故答
23、案为： 551525354 22222 kkkkk . 三、解答题三、解答题 17 （2020 陕西省西安一中高二期中（理） ）用数学归纳法证明： 2 1 59 14)332(nnn nN 【答案】详见解析 【解析】 证明（1）当1n 时，左边1，右边1，命题成立 （2）假设1,()nk kkN时，命题成立，即 2 1 59 13432kkk 则当1nk时， 2 1 5 9 134341241kkkkk 2 2 231211kkkk 所以当1nk时，命题成立 综合（1） （2）可知，原命题成立 18 （2020 武威第六中学高二期中（理） ）已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足2 nn
24、 San， （1）求 1 a， 2 a， 3 a，并猜想数列 n a的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想 【答案】 （1） 1 1a ， 2 3a ， 3 7a ，21 n n a ； （2）见解析 【解析】 （1）2 nn San，当1n 时， 1 1a ，且 11 21 nn San ， 于是 1 21 nn aa ，从而可以得到 2 3a ， 3 7a ，猜想通项公式21 n n a ； （2）下面用数学归纳法证明：21 n n a 当1n 时， 1 1a 满足通项公式； 假设当nk时，命题成立，即21 k k a ， 由（1）知 1 212 211 k kk aa ， 1 1
25、21 k k a ，即证当1nk时命题成立. 由可证21 n n a 成立 19 （2020 新疆维吾尔自治区高二期中（理） ）已知数列 1 1 2 ， 1 2 3 ， 1 3 4 ， 1 n(n1) ， （1）计算 123 ,S SS； （2）由以上结果推测计算 n S的公式，并用数学归纳法给出证明. 【答案】 （1） 123 123 =, 234 SSS； （2） 1 n n S n ，证明见详解 【解析】 （1） 1 1 = 2 S， 21 1112 += 2 3263 SS ， 32 1213 +=+= 3 43124 SS ； （2）由（1）猜想 1 n n S n ，下面用数学归纳
26、法加以证明：检验初始值1n 时等式成立，假设nk时 命题成立，证明当1nk时，命题也成立. 1n 时， 1 11 = 1 12 S ，成立； 假设nk时，有 1 k k S k 成立， 则当1nk时， 1 1 (1)(2) kk SS kk 1 1(1)(2) k kkk 2 21 (1)(2) kk kk 2 (1) (1)(2) k kk 1 (1) 1 k k ， 1nk 时，猜想也成立， 故由，可知，猜想对n N都成立. 20 （2020 湖北省高二月考）已知数列 n a满足 1 1a ， 1 44 nnn aaa （1）计算 2 a， 3 a， 4 a的值，并猜想数列通项公式； （2
27、）用数学归纳法证明（1）中的猜想 【答案】 （1） 2 4 5 a ， 3 2 3 a ， 4 4 7 a ，猜想： 4 3 n a n （2）见解析 【解析】 （1）因为数列 n a满足 1 1a ， 1 44 nnn aaa ， 所以当1n 时， 121 (4)4aaa，得 2 4 5 a ， 当2n时， 232 (4)4aaa， 3 44 (4)4 55 a，得 3 4 6 a ， 当3n时， 343 (4)4aaa， 4 44 (4)4 66 a，得 4 4 7 a 由此猜想 4 3 n a n ， （2）用数学归纳法证明如下： 当1n 时， 1 4 1 1 3 a ，猜想成立； 假设
28、当nk时猜想成立，即 4 3 k a k ； 则当1nk时， 1 44 kkk aaa 得 1 4 4 44 44 3 4 444(3)(1)3 4 3 k k k a k a akk k 所以当 1nk时猜想成立 根据、可知猜想正确. 21（2020 白山市第一中学高二开学考试 （理） ） 已知数列 n a， 首项 1 1a ， 前n项和 n S足 2* n n S nnN a . （1）求出 1234 ,S S S S，并猜想 n S的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】 （1） 1 1S ， 2 4 3 S ， 3 3 2 S ， 4 8 5 S ； 2 1 n n S
29、n （2）证明见解析 【解析】 （1）根据题意，由 2 n n S n a ， * nN ， 1 1a 得： 11 1Sa， 由 2 22212 2441SaSSS，得： 2 4 3 S ， 由 2 33323 4 399 3 SaSSS ，得： 3 36 24 S ， 由 2 44434 3 41616 2 SaSSS ，得： 4 8 5 S ， 猜想 n S的表达式为： 2 1 n n S n ； 综上所述，答案为： 11 1Sa， 2 4 3 S ， 3 3 2 S ， 4 8 5 S ； 2 1 n n S n ； （2）证明： 1.当1n 时， 2 1 1 1 1 ， 1 1S ，猜
30、想正确； 2.假设当 * 1,nk kkN 时，猜想正确，即 2 1 k k S k ； 那当1nk时，由已知得： 22 111 (1)(1) kkkk SkakSS 将归纳假设代入上式，得： 2 11 2 (1) 1 kk k SkS k 2 1 22 (1) k kk Sk k 1 2(1)2(1) 2(1)1 k kk S kk ， 这就是说，当1nk时，猜想正确； 综上所述 1，2 知：对一切*nN，都有 2 1 k k S k 成立. 22 （2018 浙江省高三月考）已知 n a是等差数列, n b是等比数列, 1133154 2,abab aab设 , nn nn ca b S是
31、数列 n c的前n项和 (1)求, nn a b； (2)试用数学归纳法证明： 1 8(34) 2n n Sn 【答案】(1)31,2n nn anb；(2)见解析 【解析】 (1)设 n a的公差为 , n db的公比为q,由 11 2ab,得 1 2(1) ,2 n nn and bq 又由 33154 ,ab aab,得 2 3 222, 2242, dq dq 解得3,2dq 所以31,2n nn anb (2)证明：由(1)知,(31) 2n n cn,则 1 4c 当1n 时, 1 1 1 8(3 14) 24S ,结论成立 假设当nk时, 1 8(34) 2k k Sk 成立,则当1nk 时, 11 11 8(34) 2(32) 2 kk kkk SSckk 1 8(62) 2kk 2(1) 1 8(31) 28 3(1)4 2 kk kk ,结论也成立 综合,由数学归纳法可知, 1 8(34) 2n n Sn .
