1、专题专题 04 空间向量与立体几何单元测试卷空间向量与立体几何单元测试卷 一、单选题一、单选题 1 （2020 山东省微山县第二中学高二月考）空间直角坐标中 A(1，2，3)，B(1，0，5)，C(3，0，4)，D(4， 1，3)，则直线 AB 与 CD 的位置关系是( ) A平行 B垂直 C相交但不垂直 D无法确定 2 （2019 四川省绵阳南山中学高二月考）如图，在平行六面体 111 ABCDABC D中，M为AC与BD的 交点若 11 ABa， 11 ADb， 1 AAc，则下列向量中与 1 B M相等的向量是（ ） A 11 22 abc B 11 22 abc C 11 22 abc
2、 D 11 22 abc 3 （2019 江苏省高二期中）已知向量0,1,1a ，1, 2,1b .若向量a b 与向量2, , 4cm 平行， 则实数m的值是（ ） A2 B2 C10 D10 4 （2020 湖南省高二期末） 如图， 已知正方体 ABCDABCD中， E 是 CC的中点， 1 2 aAA， 1 2 bAB， 1 3 cAD，AE xayb zc，则（ ） Ax1，y2，z3 Bx 1 2 ，y1，z1 Cx1，y2，z2 Dx 1 2 ，y1，z 3 2 5 （2020 四川省双流中学高二月考）正方体不在同一侧面上的两顶点( 1,2, 1)A ，(1,0,1)B，则正方体外
3、 接球体积是（ ） A4 3 B 32 3 C32 3 D4 6 （2019 江苏省苏州实验中学高二月考）已知(1,2,3),OA(2, 2,1),OB (1,1,2)OC ，若点 D 是 AC 中点，则BC OD ( ) A2 B 3 2 C-3 D6 7 （2019 江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体 1111 ABCDABC D中， 1 2,AMMC 1 AMxAByADzAA，则实数 x，y，z 的值分别为( ) A 1 , 3 2 , 3 2 3 B 2 , 3 1 , 3 2 3 C 2 , 3 2 , 3 1 3 D 2 , 3 1 , 2 2 3 8 （2020 银川唐徕回
4、民中学高二月考）三棱柱 111 ABCABC中，底面边长和侧棱长都相等， 11 60BAACAA ，则异面直线 1 AB与 1 BC所成角的余弦值为（ ） A 3 3 B 6 6 C 3 4 D 3 6 9 （2019 浙江省柯桥中学高二期中）如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 底面ABC， 1 3AA ， 2ABACBC，则 1 AA与平面 11 ABC所成角的大小为 A30 B45 C60 D90 10 （2020 山西省高二期末）在一直角坐标系中，已知( 1,6),(3, 8)AB，现沿x轴将坐标平面折成60的 二面角，则折叠后,A B两点间的距离为（ ） A2 41 B
5、 41 C17 D2 17 二、多选题二、多选题 11 （2019 江苏省南京师大附中高二期中）已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 2,4, 1AB ，4,2,0AD ，1,2, 1AP ，下列结论正确的有（ ） AAP AB B APAD CAP是平面 ABCD 的一个法向量 D /APBD 12 （2020 福建省高二期末）在正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别是 11 AD和 11 C D的中点，则下列 结论正确的是( ) A 11/ / AC平面CEF B 1 B D 平面CEF C 1 1 2 DADDCDCE D点D与点 1 B到平面CEF的距
6、离相等 13 （2020 江苏省启东中学高二开学考试）在正三棱柱ABCABC 中，所有棱长为 1，又 BC 与B C交 于点O，则（ ） AAO= 111 222 ABAC AA uuu ruuu ruuu r BAOB C C三棱锥ABB O 的体积为 3 24 DAO与平面 BBCC 所成的角为 6 三、填空题三、填空题 14 （2020 山东省微山县第二中学高二月考）已知向量( 3,a 2，5)，(1,b x，1) ，且 8a b ，则 x 的值为_ 15 （2020 河南省高二期末）若向量(2, 1,2)a ，( 4,2,)bm ，且a与b的夹角为钝角，则实数m的 取值范围为_. 16
7、 （2019 山东省济南一中高二期中）如图所示，在正方体 1111 ABCDABC D中，M 为棱 1 CC的中点，则 异面线 1 BD与 AM 所成角的余弦值为_. 17 （2019 浙江省杭州高级中学高二期末）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互 相垂直，,M E F分别为,PQ AB BC的中点，则直线ME与平面ABCD所成角的正切值为_；异 面直线EM与AF所成角的余弦值是_ 四、解答题四、解答题 18 （2019 包头市第四中学高二期中）如图，已知三棱锥OABC的侧棱OAOBOC，两两垂直，且 1OA， 2OBOC，E是OC的中点. （1）求异面直线BE与AC所
8、成角的余弦值； （2）求直线 AE 和平面 OBC 的所成角. 19（2020 盘锦市大洼区高级中学高二期末） 如图， 在长方体 中， 点 、 分别为、的中点 （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值 20 （2020 盘锦市大洼区高级中学高二期末）如下图所示，在四棱锥SOABC中，SO底面四边形 OABC，四边形OABC是直角梯形，且90COAOAB， 1,4OAOSABOC ，点M是 棱SB的中点，N是OC上的点，且:1:3ON NC . (1)求异面直线MN与BC所成的角的余弦值； (2)求MN与平面SBC所成的角的正弦值 21 （2019 山西省长治市第二中学校高二月考）如图，在正方
9、体 1111 ABCDABC D中，,E F G分别是 1 ,AB CC AD的中点。 （1）求异面直线 1 B E与BG所成角的余弦值； （2）棱CD上是否存在点T，使得/ /AT平面 1 B EF？请证明你的结论。 22 （2019 绍兴市教育教学研究院高二期末）如图，FA 平面,90ABCABC ， / /,3,1,2ECFAFAECAB，4,ACBDAC交AC于点D. （1）证明：FDBE； （2）求直线BC与平面BEF所成角的正弦值. 23 （2019 安徽省高二期中）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯 形，. （1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （2）点 是线段上的
10、动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长. 专题专题 04 空间向量与立体几何单元测试卷空间向量与立体几何单元测试卷 一、单选题一、单选题 1 （2020 山东省微山县第二中学高二月考）空间直角坐标中 A(1，2，3)，B(1，0，5)，C(3，0，4)，D(4， 1，3)，则直线 AB 与 CD 的位置关系是( ) A平行 B垂直 C相交但不垂直 D无法确定 【答案】A 【解析】 空间直角坐标系中， A（1，2，3） ，B（1，0，5） ，C（3，0，4） ，D（4，1，3） ， AB=（2，2，2） ，CD=（1，1，1） ， AB=2CD， 直线 AB 与 CD 平行 故选：A 2 （2
11、019 四川省绵阳南山中学高二月考）如图，在平行六面体 111 ABCDABC D中，M为AC与BD的 交点若 11 ABa， 11 ADb， 1 AAc，则下列向量中与 1 B M相等的向量是（ ） A 11 22 abc B 11 22 abc C 11 22 abc D 11 22 abc 【答案】A 【解析】 如图所示， 11 BMBBBM， 1 2 BMBABC， 1 11 2 1 22 B Mcababc . 故选：A 3 （2019 江苏省高二期中）已知向量0,1,1a ，1, 2,1b .若向量a b 与向量2, , 4cm 平行， 则实数m的值是（ ） A2 B2 C10 D
12、10 【答案】A 【解析】 由已知，(1, 1,2)ab，因为a b 与c共线，所以存在实数，使得a bc ，故 (1, 1,2)( 2, 4)m，即 12 1 24 m ，解得 1 2 2m . 故选：A. 4 （2020 湖南省高二期末） 如图， 已知正方体 ABCDABCD中， E 是 CC的中点， 1 2 aAA， 1 2 bAB， 1 3 cAD，AE xayb zc，则（ ） Ax1，y2，z3 Bx 1 2 ，y1，z1 Cx1，y2，z2 Dx 1 2 ，y1，z 3 2 【答案】A 【解析】 11 22 CAACCEACCABACEDC 1 23 2 ABADAAbca 故选
13、：A 5 （2020 四川省双流中学高二月考）正方体不在同一侧面上的两顶点( 1,2, 1)A ，(1,0,1) B ，则正方体外 接球体积是（ ） A4 3 B 32 3 C32 3 D4 【答案】A 【解析】 容易知：,A B是正方体的体对角线上的两点坐标 222 2222 3AB 故正方体外接球半径为 1 3 2 rAB 故 3 4 4 3 3 Vr 故选：A. 6 （2019 江苏省苏州实验中学高二月考）已知(1,2,3),OA (2, 2,1),OB (1,1,2)OC ，若点 D 是 AC 中点，则BC OD ( ) A2 B 3 2 C-3 D6 【答案】D 【解析】 (1,2,
14、3),OA (2, 2,1),OB (1,1,2)OC , 1,3,1BCOCOB , 13 5 1, 22 2 ODOAOC , 35 11 316 22 BC OD . 故选:D. 7 （2019 江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体 1111 ABCDABC D中， 1 2,AMMC 1 AMxAByADzAA，则实数 x，y，z 的值分别为( ) A 1 , 3 2 , 3 2 3 B 2 , 3 1 , 3 2 3 C 2 , 3 2 , 3 1 3 D 2 , 3 1 , 2 2 3 【答案】C 【解析】 1 2,AMMC 11 2 , 3 AMAC 111, ACACAAABA
15、DAA 111 2222 , 3333 AMACABADAA 111 221 333 AMAAAMABADAA, 221 333 xyz，. 故选:C. 8 （2020 银川唐徕回民中学高二月考）三棱柱 111 ABCABC中，底面边长和侧棱长都相等， 11 60BAACAA ，则异面直线 1 AB与 1 BC所成角的余弦值为（ ） A 3 3 B 6 6 C 3 4 D 3 6 【答案】B 【解析】 设棱长为 1， 1 AAc，AB a ，AC b 由题意得： 1 2 a b， 1 2 b c， 1 2 a c 1 ABac， 11 BCBCBBbac 22 11 11 111 22 AB
16、BCacbaca baa cb ca cc 又 2 22 1 23ABacaa cc 2 222 1 2222BCbacbaca bb ca c 11 11 11 16 cos, 66 AB BC AB BC ABBC 即异面直线 1 AB与 1 BC所成角的余弦值为： 6 6 本题正确选项：B 9 （2019 浙江省柯桥中学高二期中）如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 底面ABC， 1 3AA ， 2ABACBC，则 1 AA与平面 11 ABC所成角的大小为 A30 B45 C60 D90 【答案】A 【解析】 取 AB 的中点 D，连接 CD，以 AD 为 x 轴，以 C
17、D 为 y 轴，以 1 BB为 z 轴，建立空间直角坐标系， 可得1,0,0A， 1 1,0,3A，故 1 1,0,31,0,00,0,3AA ，而 11 1,0,3 ,0, 3,3BC，设平面 11 ABC的法向量为=, ,ma b c，根据 11 0,0m ABm AC，解得3,3,2m ， 1 1 1 1 ,? 2| ?| mAA cos m AA mAA . 故 1 AA与平面 11 ABC所成角的大小为 0 30，故选 A 10 （2020 山西省高二期末）在一直角坐标系中，已知( 1,6), (3, 8)AB，现沿x轴将坐标平面折成60的 二面角，则折叠后,A B两点间的距离为（
18、） A2 41 B 41 C17 D2 17 【答案】D 【解析】 如图为折叠后的图形，其中作,ACCD BDCD 则6,8,4ACBDCD， 0,0AC CDBD CD 沿x轴将坐标平面折成60的二面角 两异面直线,CA DB所成的角为60 可得：.cos6024CA DBCA DB 故由AB ACCDDB 得 22 |ABACCDDB 222 2+22ACCDDBAC CDCD DBAC DB 222 2+22ACCDDBAC CDCD DBCA DB 36 16 64 48 68 | 2 17AB 故选：D. 二、多选题二、多选题 11 （2019 江苏省南京师大附中高二期中）已知点 P
19、 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 2,4, 1AB ，4,2,0AD ，1,2, 1AP ，下列结论正确的有（ ） AAP AB B APAD CAP是平面 ABCD 的一个法向量 D /APBD 【答案】ABC 【解析】 因为 0AP AD ， 0AP AB ，所以 A，B 正确， 因为 0 0 AP AD AP AB 所以AP是平面 ABCD 的一个法向量，所以 C 正确， 2,3,4BDBAAD,1,2, 1AP 不满足 APBD，则 D 不正确 故选：ABC. 12 （2020 福建省高二期末）在正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别是 11 AD和 11
20、C D的中点，则下列 结论正确的是( ) A 11/ / AC平面CEF B 1 B D 平面CEF C 1 1 2 DADDCDCE D点D与点 1 B到平面CEF的距离相等 【答案】AC 【解析】 对 A,因为E,F分别是 11 AD和 11 C D的中点故 11 / /EFAC,故 11/ / AC平面CEF成立. 对 B,建立如图空间直角坐标系,设正方体 1111 ABCDABC D边长为 2 则 1 2, 2, 2B D ， 0,1, 2FC .故 1 0 1 430BD FC .故 1 ,B D FC不互相垂直.又CF属于平面CEF.故 1 B D 平 面CEF不成立. 对 C,同
21、 B 空间直角坐标系有1, 2,2CE ,1 1 2 DADDDC 1 2,0,00,0,20,2,01, 2,2 2 .故1 1 2 DADDCDCE 成立. 对 D, 点D与点 1 B到平面CEF的距离相等则点D与点 1 B中点O在平面CEF上.连接,AC AE易得平面 CEF即平面CAEF.又点D与点 1 B中点O在 11 A ACC上,故点O不在平面CEF上.故 D 不成立. 故选：AC 13 （2020 江苏省启东中学高二开学考试）在正三棱柱ABCABC 中，所有棱长为 1，又 BC 与B C交 于点O，则（ ） AAO= 111 222 ABAC AA uuu ruuu ruuu
22、r BAOB C C三棱锥ABB O 的体积为 3 24 DAO与平面 BBCC 所成的角为 6 【答案】AC 【解析】 由题意，画出正三棱柱ABCABC 如图所示， 向量 111 222 AOABBOABBCBBABACABAA 111 222 ABAC AA uuu ruuu ruuu r ，故选项 A 正确； 在AOC中，1AC ， 2 2 OC = ， 2 2 13 1 22 OA ， 222 OAOCAC，所以AO和B C不垂直，故选项 B 错误； 在三棱锥ABB O 中， 1 4 BB O S ， 点A到平面BB O 的距离即ABC中BC边上的高，所以 3 2 h ， 所以 111
23、33 334224 A BB OBB O VSh ，故选项 C 正确； 设BC中点为D，所以ADBC，又三棱柱是正三棱柱， 所以AD 平面BBCC ， 所以AOD即AO与平面 BBCC 所成的角， 1 1 2 cos 12 OD AOD OA ，所以 3 AOD ，故选项 D 错误. 故选：AC 三、填空题三、填空题 14 （2020 山东省微山县第二中学高二月考）已知向量 ( 3,a 2，5)， (1,b x， 1) ，且 8a b ，则 x 的值为_ 【答案】8 【解析】 3,2,51, , 13 258a bxx ，解得8x 15 （2020 河南省高二期末）若向量(2, 1,2)a ，
24、( 4,2,)bm ，且a与b的夹角为钝角，则实数m的 取值范围为_. 【答案】5m且4m 【解析】 由a与b的夹角为钝角可得 0a b 且a与b不共线， 则 1 20 20 n DCbc n ECax b 即5m且4m. 故答案为：5m且4m. 16 （2019 山东省济南一中高二期中）如图所示，在正方体 1111 ABCDABC D中，M 为棱 1 CC的中点，则 异面线 1 BD与 AM 所成角的余弦值为_. 【答案】 3 9 【解析】 分别以 1 ,DA DC DD的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 1， 则 1 1 (1,0,0), (1
25、,1,0),(0,1, ),(0,0,1) 2 ABMD，可得 1 1 ( 1, 1,1),( 1,1, ) 2 BDAM ，则 1 1 1 1 1 1 3 2 cos, 9|1 31 1 4 BDAM BD AM BDAM ，即异面直线 1 BD与 AM 所成角的余弦值为 3 9 . 故答案为： 3 9 17 （2019 浙江省杭州高级中学高二期末）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互 相垂直，,M E F分别为,PQ AB BC的中点，则直线ME与平面ABCD所成角的正切值为_；异 面直线EM与AF所成角的余弦值是_ 【答案】 2， 30 30 【解析】 由,AB A
26、D AQ两两垂直， 分别以,AB AD AQ所在的直线为 , ,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设 2AB ，则 (0,0,0),(1,0,0),(2,1,0),(0,1,2)AEFM ，所以( 1,1,2),(2,1,0)EMAF ，其中平面 ABCD的一个法向量为 (0,0,1)n ，所以ME与平面ABCD所成角的正弦值为 6 sin 3 EM n EMn ， 所以tan 2 ；又向量EM与AF所成角的余弦值为cos EM AF EMAF 30 30 ，又 (0, 2 ，所以异面直线EM与AF所成角的余弦值是 30 30 四、解答题四、解答题 18 （2019 包头市第四中学高
27、二期中）如图，已知三棱锥OABC的侧棱OAOBOC，两两垂直，且 1OA， 2OBOC，E是OC的中点. （1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值； （2）求直线 AE 和平面 OBC 的所成角. 【答案】 （1） 2 5 ； （2） 4 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,1 ,2,0,0 ,0,2,0ABC，0,1,0E， （1）2,1,0BE ，0,2, 1AC ，故 22 cos, 555 BE AC ，所以异面直线BE与AC所成角的余弦值为 2 5 . （2）平面OBC的法向量为0,0,1n ，0, 1,1EA，故 12 cos, 212 n EA ，因,0,n EA，
28、故, 4 n EA ，故AE与平面OBC所成的角为 244 . 19（2020 盘锦市大洼区高级中学高二期末） 如图， 在长方体 中， 点 、 分别为、的中点 （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值 【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 (1)如图，以点 A 为坐标原点，分别以 AB,AD,A为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,),(1,1,), , , , 与 BE 是平面 BDE 内两条相交直线 平面 BDE （2）由（1）进一步可得 F(0，)， 设平面 BDE 的法向量为，可取， 设平面 FBE 的法向量为
29、， 由,可得，取 x=1，可得(1,-2,) . 由于二面角 F-BE-D 为锐二面角，故所求的二面角的余弦值为 20 （2020 盘锦市大洼区高级中学高二期末）如下图所示，在四棱锥SOABC中，SO底面四边形 OABC，四边形OABC是直角梯形，且90COAOAB， 1,4OAOSABOC ，点M是 棱SB的中点，N是OC上的点，且:1:3ON NC . (1)求异面直线MN与BC所成的角的余弦值； (2)求MN与平面SBC所成的角的正弦值 【答案】 （1） 2 30 15 ； （2） 6 3 . 【解析】 (1)建系以o为原点，如图， 1 1 1 0,0,1 ,1,1,0 ,0,1,0 ,
30、0,4,0 2 2 2 SBMNC ， 所以 1 11 ,1,3,0 2 22 MNBC 2 30 coscos, 15 MN BC MN BC MN BC (2）1,0,0A， 1,0, 1 ,0,1,0SAAB，设, ,nx y z是平面SAB的法向量， 则 0 0 n SA n AB ，即 0 0 xz y ，取1,0,1n 6 cos, 3 n MN n MN n MN 所以MN与平面SBC所成的角的正弦值 6 3 . 21 （2019 山西省长治市第二中学校高二月考）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，,E F G分别是 1 ,AB CC AD的中点。 （1）求异面直线
31、1 B E与BG所成角的余弦值； （2）棱CD上是否存在点T，使得/ /AT平面 1 B EF？请证明你的结论。 【答案】 （1） 2 5 ； （2）存在点T，满足 1 4 DTDC，使得/ /AT平面 1 B EF；证明见解析 【解析】 以D为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 设正方体棱长为2a 则2 ,2 ,0Baa， 1 2 ,2 ,2Baaa，2 , ,0Ea a，,0,0G a，0,2 ,0Ca，0,0,0D，0,2 ,Fa a， 2 ,0,0Aa （1）设异面直线 1 B E与BG所成角为 1 0, 2B Eaa，, 2 ,0BGaa 2 1 1 22 cos 555
32、B E BG a aaB E BG ，即异面直线 1 B E与BG所成角的余弦值为： 2 5 （2）假设在棱CD上存在点0, ,0Tt，0,2ta，使得/ /AT平面 1 B EF 则 1 0, 2B Eaa，2 , ,EFa a a ，2 , ,0ATa t 设平面 1 B EF的法向量, ,nx y z 1 20 20 B E nayaz EF naxayaz ，令1z ，则2y ， 1 2 x 1 ,2 , 1 2 n 20AT nat ，解得： 2 a t 1 4 D TD C 棱CD上存在点T，满足 1 4 DTDC，使得/ /AT平面 1 B EF 22 （2019 绍兴市教育教学
33、研究院高二期末）如图，FA 平面,90ABCABC ， / /,3,1,2ECFAFAECAB，4,ACBDAC交AC于点D. （1）证明：FDBE； （2）求直线BC与平面BEF所成角的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析（2） 10 20 【解析】 （1）证明 1：在ABC中,90 ,2,4,2 3ABCABACBC . 因为BDAC交AC于点D,所以1,3ADCD. 因为FA 平面,/ /,1,4ABC ECFAECAC, 所以FADDCE,所以FDDE. 又因为,BDACFA平面ABC,所以BD 平面,FDEBDFD 所以FD 平面BDE,所以FDBE. 证明 2：如图,以D为原点,分
34、别以,DB DC为 , x y轴,建立空间直角坐标系. 在ABC中,90 ,2,4,2 3ABCABACBC .因为BDAC交AC于点D,所以 1,3ADCD,所以(0,0,0),(0, 1,0),(0,3,0)DAC, (0, 1,3),(0,3,1), ( 3,0,0)FEB (0, 1,3),(3,3,1)DFBE 所以 0DF BE ,所以DFBE （2）解：由（1）可知,(3,3,0), (3,3,1)BCBE ,(3, 1,3)BF . 设平面BEF的法向量为( , , )nx y z, 所以 0, 0, BE n BF n 即 330, 330. xyz xyz 令3x ,则 3
35、6 , 55 yz,所以 3 6 ( 3, ) 5 5 n . 设直线BC与平面BEF所成角为,则 |10 sin 20| | BC n BCn . 23 （2019 安徽省高二期中）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯 形，. （1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （2）点 是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【解析】 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为 （1） 因为平面，所以是平面的一个法向量， 因为 设平面的法向量为，则， 即，令，解得 所以是平面的一个法向量，从而， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为 （2） 因为，设， 又，则， 又， 从而， 设， 则， 当且仅当，即时，的最大值为 因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值 又因为，所以
