1、专题专题 13 抛物线抛物线 一、单选题一、单选题 1 （2020 陕西省西安市远东一中高二期末（理） ）准线方程为1y 的抛物线的标准方程是( ) A 2 2xy B 2 2yx C 2 4xy D 2 4yx 2 （2019 乐清市知临中学高二期末）抛物线 2 2yx的焦点坐标为（ ） A 1 (0,) 2 B 1 (0, ) 8 C 1 ( ,0) 2 D(1,0) 3 （2020 北京高三月考）抛物线 2 4xy的准线与y轴的交点的坐标为（ ） A 1 (0,) 2 B(0, 1) C(0, 2) D(0, 4) 4 （2020 北京市八一中学高三月考）已知抛物线 2 4xy上一点A的
2、纵坐标为 4，则点A到抛物线焦点的 距离为（ ） A2 B3 C4 D5 5 （2020 定远县育才学校高二月考（文） ）已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦 点坐标为（ ） A B C D 6 （2020 江苏省泰州中学高二开学考试）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F,准线为l,且l过点 2,3 ,M在抛物线C上,若点1,2N,则MNMF的最小值为 A2 B3 C4 D5 7 （2020 湖北省高三月考（理） ）已知抛物线C： 2 2(0)xpy p的准线l与圆M： 22 (1)(2)16xy相 切，则p （ ） A6 B8 C3 D4 8 （2020 天津高三一模）已知抛物线
3、 2 4yx与 2 20 xpy p的焦点间的距离为2，则p的值为（ ） A2 3 B4 C6 D12 9 （2020 陕西省西安市远东一中高二期末（理） ）已知抛物线 2 :6C xy的焦点为F直线l与抛物线C交 于,A B两点，若AB中点的纵坐标为 5，则|AFBF（ ） A8 B11 C13 D16 10 （2020 山东省青岛第一中学高三月考）已知抛物线C： 2 12yx的焦点为F，A为C上一点且在第一 象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则AF （ ） A16 B10 C12 D8 二、多选题二、多选题 11 （2019 辽宁省高二期末）已知
4、抛物线 2 20ypx p上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和 6，则 p的值可取（ ） A1 B2 C9 D18 12 （2020 山东省高三开学考试）已知抛物线 2 2(0)xpy p的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆交 x 轴于 M，N 两点，设线段 AB 的中点为 Q若抛物线 C 上存在一点( ,2)E t 到焦点 F 的距离等于 3则下列说法正确的是（ ） A抛物线的方程是 2 2xy B抛物线的准线是 1y Csin QMN的最小值是 1 2 D线段 AB 的最小值是 6 13 （2019 山东省高二期中） 已知抛物线C：
5、2 20ypx p的焦点为F， 直线的斜率为 3且经过点F， 直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限） 、与抛物线的准线交于点D，若4AF ，则以下 结论正确的是（ ） A 2p BF为AD中点 C2BDBF D2BF 三、填空题三、填空题 14 （2020 黑龙江省铁人中学高二月考（文） ）设抛物线 2 2yx 上一点P到x轴的距离是 4，则点P到该 抛物线焦点的距离是_. 15 （2019 黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二月考（理） ）抛物线 2 yax的准线方程是 2y ，则a _. 16 （2020 北京高三其他）如果抛物线 2 2ypx上一点4,Am到准线的距离是 6，那么m
6、_. 17 （2019 浙江省诸暨中学高三一模） 抛物线 2 4yx的焦点F坐标为_， 过F的直线交抛物线 2 4yx 于A、B两点，若 2AFFB ，则A点坐标为_. 四、解答题四、解答题 18 （2020 四川省阆中中学高二月考（文） ）已知抛物线 2 12yx，双曲线 2 2 1 y x m ，它们有一个共同的 焦点. 求： （1）m 的值及双曲线的离心率； （2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程. 19 （2019 凤阳县第二中学高二期中（文） ）抛物线顶点在原点，焦点在 x 轴上，且过点（4，4） ，焦点为 F （1）求抛物线的焦点坐标和标准方程； （2）P 是抛物线上一动点，M
7、 是 PF 的中点，求 M 的轨迹方程 20 （2020 安徽省高二期末（文） ）已知抛物线 2 :20C ypx p上的点5,Mm到焦点 F 的距离为6. （1）求 , p m的值； （2）过点2,1P作直线l交抛物线C于,A B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程. 21 （2020 河南省实验中学高三二模（文） ）过点 P(-4,0)的动直线 l 与抛物线 2 :2(0)C xpy p相交于 D、 E 两点，已知当 l 的斜率为 1 2 时， 4PEPD . （1）求抛物线 C 的方程； （2）设DE的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围. 22 （2020 广东省高二期末）已
8、知直线4x与抛物线 2 :2C ypx（ 0p ）相交于 A，B 两点，且OAB 是等腰直角三角形 （1）求抛物线 C 的方程； （2）若直线 l 过定点( 2,1)，斜率为 k，当 k 为何值时，直线 l 与抛物线 C 只有一个公共点？ 23 （2019 安徽省阜阳第一中学高二期中（文） ）已知抛物线C： 2 20ypx p的焦点为F，准线为l， 若点P在C上，过点P作PE垂直于l，交l于E，PEF是边长为 8 的正三角形. （1）求C的方程； （2）过点1,0M的直线m与C交于A，B两点，若3MAMB，求直线m的方程. 专题专题 13 抛物线抛物线 一、单选题一、单选题 1 （2020 陕
9、西省西安市远东一中高二期末（理） ）准线方程为1y 的抛物线的标准方程是( ) A 2 2xy B 2 2yx C 2 4xy D 2 4yx 【答案】C 【解析】 根据题意，抛物线的准线方程为1y ，即其焦点在 y 轴负半轴上，且1 2 p ，得2p ， 故其标准方程为 2 4xy . 故选：C 2 （2019 乐清市知临中学高二期末）抛物线 2 2yx的焦点坐标为（ ） A 1 (0, ) 2 B 1 (0, ) 8 C 1 ( ,0) 2 D(1,0) 【答案】B 【解析】 整理抛物线方程得 2 1 2 xy， 焦点在y轴， 1 4 P ， 焦点坐标为 1 0, 8 ，故选 B. 3 （
10、2020 北京高三月考）抛物线 2 4xy的准线与y轴的交点的坐标为（ ） A 1 (0,) 2 B(0, 1) C(0, 2) D(0, 4) 【答案】B 【解析】 准线方程为：，与y轴的交点为(0, 1)，故选 B. 4 （2020 北京市八一中学高三月考）已知抛物线 2 4xy上一点A的纵坐标为 4，则点A到抛物线焦点的 距离为（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】D 【解析】 抛物线 2 4xy焦点在y轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为 1y ，因为点 A 的纵坐标 为 4，所以点 A 到抛物线准线的距离为4 15 ，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所
11、 以点 A 与抛物线焦点的距离为 5. 5 （2020 定远县育才学校高二月考（文） ）已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦 点坐标为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 由抛物线得准线，因为准线经过点，所以， 所以抛物线焦点坐标为，故答案选 6 （2020 江苏省泰州中学高二开学考试）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F,准线为l,且l过点 2,3 ,M在抛物线C上,若点1,2N,则MNMF的最小值为 A2 B3 C4 D5 【答案】B 【解析】 由题可得,:2l x . 由抛物线的定义可知,2 M MFx, 所以MNMF=21 23 M MNx .故选 B 7 （202
12、0 湖北省高三月考（理） ）已知抛物线C： 2 2(0)xpy p的准线l与圆M： 22 (1)(2)16xy相 切，则p （ ） A6 B8 C3 D4 【答案】D 【解析】 因为抛物线 2 :2C xpy的准线为 2 p y ， 又准线l与圆 22 :1216Mxy相切， 所以24 2 p ，则4p . 故选 D 8 （2020 天津高三一模）已知抛物线 2 4yx与 2 20 xpy p的焦点间的距离为2，则p的值为（ ） A2 3 B4 C6 D12 【答案】A 【解析】 抛物线 2 4yx的焦点坐标为1,0，抛物线 2 20 xpy p的焦点坐标为0, 2 p ， 由已知条件可得 2
13、 2 1 002 2 p ，0p ，解得2 3p . 故选：A. 9 （2020 陕西省西安市远东一中高二期末（理） ）已知抛物线 2 :6C xy的焦点为F直线l与抛物线C交 于,A B两点，若AB中点的纵坐标为 5，则|AFBF（ ） A8 B11 C13 D16 【答案】C 【解析】 抛物线 2 :6C xy中 p3， 设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由抛物线定义可得：|AF|+|BF|y1+ y2+py1+ y2+3， 又线段 AB 中点 M 的横坐标为 12 2 yy 5， 12 yy10， |AF|+|BF|13； 故选：C. 10 （2020 山东省青岛第一中学高
14、三月考）已知抛物线C： 2 12yx的焦点为F，A为C上一点且在第一 象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则AF （ ） A16 B10 C12 D8 【答案】C 【解析】 因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，ADBD 由抛物线定义知 1 | | 2 ADAFAB，所以30ABD因为F到准线的距离为 6， 所以| | 2612AFBF 故选：C 二、多选题二、多选题 11 （2019 辽宁省高二期末）已知抛物线 2 20ypx p上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和 6，则 p的值可取（ ） A1 B2 C9 D18 【答案】BD 【解
15、析】 设 00 (,)M xy，所以有 2 00 2ypx，由点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6，所以有 0 10 2 p x ， 0 6y ，所以有 2 00 2 0 0 2 10203602 2 6 ypx p xppp y 或18p . 故选：BD 12 （2020 山东省高三开学考试）已知抛物线 2 2(0)xpy p的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆交 x 轴于 M，N 两点，设线段 AB 的中点为 Q若抛物线 C 上存在一点( ,2)E t 到焦点 F 的距离等于 3则下列说法正确的是（ ） A抛物线的方程是 2 2xy B
16、抛物线的准线是 1y Csin QMN 的最小值是 1 2 D线段 AB 的最小值是 6 【答案】BC 【解析】 抛物线 2 :20C xpy p的焦点为0 2 p F ，得抛物线的准线方程为 2 p y ， 点2E t，到焦点F的距离等于 3，可得23 2 p ，解得2p ， 则抛物线C的方程为 2 4xy，准线为 1y ，故 A 错误，B 正确； 由题知直线l的斜率存在，0F，1， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，直线l的方程为1ykx， 由 2 1 4 ykx xy ，消去y得 2 440 xkx， 所以 12 4xxk， 12 4x x ， 所以 2 1212 242yy
17、k xxk，所以 AB 的中点 Q 的坐标为 2 2 21kk ， ， 22 12 42244AByypkk ，故线段 AB 的最小值是 4，即 D 错误； 所以圆 Q 的半径为 2 22rk， 在等腰QMN中， 2 22 21111 sin11 222222 Q y k QMN rkk ， 当且仅当0k 时取等号， 所以sinQMN的最小值为 1 2 ，即 C 正确， 故选：BC. 13 （2019 山东省高二期中） 已知抛物线C： 2 20ypx p的焦点为F， 直线的斜率为 3且经过点F， 直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限） 、与抛物线的准线交于点D，若4AF ，则以下
18、结论正确的是（ ） A 2p BF为AD中点 C2BDBF D2BF 【答案】ABC 【解析】 如图所示：作AC 准线于C，AMx轴于M，BE 准线于E. 直线的斜率为3，故tan3AFM， 3 AFM ，4AF ，故2MF ，3AM . 2,2 3 2 p A ，代入抛物线得到2p ； 2NFFM，故AMFDNF，故F为AD中点； 6 BDE ，故22DBBEBF； 2BDBF，4BDBFDFAF，故 4 3 BF ； 故选：ABC. 三、填空题三、填空题 14 （2020 黑龙江省铁人中学高二月考（文） ）设抛物线 2 2yx 上一点P到x轴的距离是 4，则点P到该 抛物线焦点的距离是_.
19、 【答案】 33 8 【解析】 抛物线方程的标准形式为： 2 2 y x ，准线方程为 1 8 y ， 由抛物线的定义得：点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线 1 8 y 的距离d， 因为点P到x轴的距离是 4，所以 133 4 88 d ，故填： 33 8 . 15 （2019 黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二月考（理） ）抛物线 2 yax的准线方程是 2y ，则a _. 【答案】 1 8 【解析】 抛物线 2 yax的标准方程为 2 1 xy a , 则 a0 且 2 1 4a ， 得 a 1 8 . 16 （2020 北京高三其他）如果抛物线 2 2ypx上一点4,Am到准线的距离是
20、6，那么m_. 【答案】 4 2 【解析】 抛物线 2 2ypx的准线方程为 2 p x ， 由题意得46 2 p ，解得4p . 点4,Am在抛物线 2 2ypx上， 2 2 4 4m ， 4 2m ， 故答案为： 4 2 . 17 （2019 浙江省诸暨中学高三一模） 抛物线 2 4yx的焦点F坐标为_， 过F的直线交抛物线 2 4yx 于A、B两点，若 2AFFB ，则A点坐标为_. 【答案】1,0 2,22 【解析】 抛物线 2 4yx的焦点F的坐标为1,0； 设点 11 ,A x y， 22 ,B x y，设直线AB的方程为1xmy， 11 1,AFxy， 22 1,FBxy，由 2
21、AFFB 得 12 2yy， 12 2yy ， 联立 2 1 4 xmy yx ，消去x得 2 440ymy， 12 4y y， 所以 12 12 4 2 y y yy ，解得 1 2 2y ， 2 1 1 2 4 y x， 因此，点A的坐标为2, 2 2. 故答案为：1,0；2, 2 2. 四、解答题四、解答题 18 （2020 四川省阆中中学高二月考（文） ）已知抛物线 2 12yx，双曲线 2 2 1 y x m ，它们有一个共同的 焦点. 求： （1）m 的值及双曲线的离心率； （2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程. 【答案】 （1）8m，3e ； （2）准线方程为3x，渐近线方
22、程为2 2yx 【解析】 （1）抛物线 2 12yx的焦点为(3,0)， 由双曲线 2 2 1(0) y xm m ，可得19m，解得8m， 双曲线的1a ，3c ，则3 c e a ； （2）抛物线 2 12yx的准线方程为3x，双曲线 2 2 1 8 y x 的渐近线方程为2 2yx . 19 （2019 凤阳县第二中学高二期中（文） ）抛物线顶点在原点，焦点在 x 轴上，且过点（4，4） ，焦点为 F （1）求抛物线的焦点坐标和标准方程； （2）P 是抛物线上一动点，M 是 PF 的中点，求 M 的轨迹方程 【答案】 （1）抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为 F（1，0） ； （2
23、）M 的轨迹方程为 y2=2x1 【解析】 （1）抛物线顶点在原点，焦点在 x 轴上，且过点（4，4） ， 设抛物线解析式为 y2=2px，把（4，4）代入，得，16=2 4p，p=2 抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为 F（1，0） （2）设 M（x，y） ，P（x0，y0） ，F（1，0） ，M 是 PF 的中点，则 x0+1=2x，0+y0=2y x0=2x1，y0=2y P 是抛物线上一动点，y02=4x0 （2y）2=4（2x1） ，化简得，y2=2x1 M 的轨迹方程为 y2=2x1 20 （2020 安徽省高二期末（文） ）已知抛物线 2 :20C ypx p上的点5,Mm
24、到焦点 F 的距离为6. （1）求 , p m的值； （2）过点2,1P作直线l交抛物线C于,A B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程. 【答案】 （1）2p ， 2 5m ； （2）230 xy. 【解析】 （1）由抛物线焦半径公式知：56 2 p MF ，解得：2p ， 2 :4C yx， 2 5 420m ，解得：2 5m . （2）设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 则 2 11 2 22 4 4 yx yx ，两式作差得： 121212 4yyyyxx， 12 1212 4 l yy k xxyy ， 2,1P为AB的中点， 12 2yy，2 l k， 直线l的方
25、程为：122yx ，即230 xy. 21 （2020 河南省实验中学高三二模（文） ）过点 P(-4,0)的动直线 l 与抛物线 2 :2(0)C xpy p相交于 D、 E 两点，已知当 l 的斜率为 1 2 时， 4PEPD . （1）求抛物线 C 的方程； （2）设DE的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围. 【答案】 1 2 4xy； 22b 【解析】 1由题意可知,直线 l 的方程为 1 4 2 yx, 与抛物线方程 2 :2(0)C xpy p方程联立可得, 2 2880yp y , 设 1122 ,D x yE x y,由韦达定理可得, 1212 8 ,4 2 p yyy
26、y , 因为 4PEPD , 2211 4,4,PExyPDxy, 所以 21 4yy,解得 12 1,4,2yyp, 所以抛物线 C 的方程为 2 4xy; 2设:4l yk x,DE的中点为 00 ,x y, 由 2 4 4 xy yk x ,消去y可得 2 4160 xkxk , 所以判别式 2 16640kk ,解得4k 或0k , 由韦达定理可得, 2 000 2 ,424 2 DE xx xk yk xkk , 所以DE的中垂线方程为 2 1 242ykkxk k , 令0 x则b 2 2 24221ykkk, 因为4k 或0k ,所以2b即为所求. 22 （2020 广东省高二期
27、末）已知直线4x与抛物线 2 :2C ypx（ 0p ）相交于 A，B 两点，且OAB 是等腰直角三角形 （1）求抛物线 C 的方程； （2）若直线 l 过定点( 2,1)，斜率为 k，当 k 为何值时，直线 l 与抛物线 C 只有一个公共点？ 【答案】 （1） 2 4yx（2）0k 或1k 或 1 2 k 【解析】 （1）直线4x与抛物线 2 :2C ypx（ 0p ）相交于 A，B 两点， 可设(4,2 2 )Ap，(4, 2 2 )Bp， 又OAB是等腰直角三角形，可得OAOB， 则 2 22 2 1 44 pp ，解得 2p ， 即有抛物线的方程为 2 4yx； （2）直线 l 过定点
28、(2,1)，斜率为 k，可设直线 l 的方程为1(2)yk x ， 当直线 l 平行于抛物线的对称轴 x 轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即0k ； 当直线 l 与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点， 由 2 12 4 ykxk yx 可得 222 2 (1 2 )4(1 2 )0k xkkxk，0k ， 由 2 2 (1 2 )4kk 222 4(12 )16 120kkkk ，解得1k 或 1 2 k ， 综上可得0k 或1k 或 1 2 k ，直线 l 与抛物线 C 只有一个公共点 23 （2019 安徽省阜阳第一中学高二期中（文） ）已知抛物线C： 2 20ypx p的焦
29、点为F，准线为l， 若点P在C上，过点P作PE垂直于l，交l于E，PEF是边长为 8 的正三角形. （1）求C的方程； （2）过点1,0M的直线m与C交于A，B两点，若3MAMB，求直线m的方程. 【答案】 （1） 2 8yx（2）66yx或66yx 【解析】 （1） 由PEF是边长为 8 的等边三角形， （2） 得| | | | 8PEPFEF ， 又由抛物线的定义可得PEl 设准线l与x轴交于D，则/ /PEDF， 从而60PEFEFD， 在Rt EDF中， 1 | | cos84 2 DFEFEFD，即4p 所以抛物线C的方程为 2 8yx； （2）设直线m：1xty，代入 2 8yx得 2 880yty， 设 11 ( ,)A x y， 22 ()B xy，则 12 8yyt ， 12 8y y ， 因为3MAMB， 所以 12 3yy ， 设 12 3yy ，则 1 12yt ， 2 4yt ，1248tt 解得 6 6 t ， 所以直线方程为 6 1 6 xy ， 即66yx或66yx
