1、专题专题 31 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 一、单选题一、单选题 1 （2020 陕西高二期末（理） ）已知随机变量X的分布列如下，则p （ ） X 0 1 2 3 P 1 12 1 3 1 6 p A 1 12 B 1 6 C 1 3 D 5 12 2 （2020 南京市临江高级中学高二期中）下表是离散型随机变量 X的分布列，则常数a的值是（ ） X 3 4 5 9 P 2 a 1 6 a 1 2 1 6 A 1 6 B 1 12 C 1 9 D 1 2 3 （2020 重庆北碚西南大学附中高二月考）已知随机变量 的分布列为(),(1,2,3,4,5)Pkmk k， 则
2、实数 m（ ） A 1 5 B 1 10 C 1 15 D 1 20 4 （2020 陕西高二期末（理） ）若随机变量X的分布列如下： X 3 2 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当()0.5P Xm时，m的取值范围是（ ） A2m B01m C02m D12m 5 （2020 河南高二期末（理） ）随机变量 X 的分布列为( ) X -1 0 1 P a b c 其中 a,b,c 成等差数列,则| 1PX 等于( ) A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 6（2020 青铜峡市高级中学高二期末 （理） ） 设随机变量 的概率为分布列如下表， 则
3、31P（ ） 1 2 3 4 P 1 12 a 1 3 1 3 A 7 12 B 1 2 C 5 12 D 1 6 7 （2020 河南南阳高二二模（理） ）盒中有 10 个螺丝钉,其中有 3 个是坏的,现从盒中随机地抽取 4 个,那么 概率是 3 10 的事件为( ) A恰有 1 个是坏的 B4 个全是好的 C恰有 2 个是好的 D至多有 2 个是坏的 8 （2020 天山新疆实验高二期末）有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取两件，若 X 表示取得次品的 个数，则 P(X2)等于( ) A 7 15 B 8 15 C14 15 D1 二、多选题二、多选题 9 （2020 大名县第一
4、中学高二月考）如果是一个随机变量，则下列命题中的真命题有( ) A取每一个可能值的概率都是非负数 B取所有可能值的概率之和是 1 C的取值与自然数一一对应 D的取值是实数 10 （2020 三亚华侨学校高二月考）下列关于随机变量及分布的说法正确的是（ ） A抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量 B某人射击时命中的概率为 0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布 C离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于 1 D离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的 11 （2019 东台市安丰中学高二期中） 设随机变量的分布列为 1,2,3,4,5 5 k Pak k
5、， 则 ( ) A151a B0.5 0.80.2P C0.1 0.50.2P D10.3P 12 （2019 山东潍坊高三月考）某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为 2 3 ，游览B，C和D的概率都是 1 2 ，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示 该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ） A游客至多游览一个景点的概率 1 4 B 3 2 8 P X C 1 4 24 P X D 13 6 E X 三、填空题三、填空题 13 （2020 汪清县汪清第六中学高二月考（理） ）已知随机变量 的分布列如下表，则 x_. 0 1 2 p x2
6、x 1 4 14 （2020 辉县市第二高级中学高二期中（理） ）已知随机变量 X 的分布列为()(1,2,3,4) 2 i P Xii a ， 则(24)PX等于_. 15 （2020 梅河口市第五中学高二月考（理） ）随机变量X的分布列为 ,1,2,3,4. 1 c P Xkkc k k 为常数， 则 15 22 PX 的值为_ 16 （2019 北京市第二中学朝阳学校高二期末）随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 P 0.2 x 0.25 0.1 0.15 0.2 则x_，3P_. 四、解答题四、解答题 17 （2019 全国高二课时练习）小王钱夹中只剩下 20 元、10 元、
7、5 元和 1 元的人民币各一张.他决定随机抽 出两张,用来买晚餐,用 X 表示这两张金额之和.写出 X 的可能取值,并说明所取值表示的随机试验结果. 18 （2019 全国高二课时练习）在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地 先后抽得两张卡片的标号分别为 x,y,记 =|x-2|+|y-x|.写出随机变量 可能的取值,并说明随机变量 所表示的 随机试验的结果. 19 （2020 南岗黑龙江实验中学高二期中（理） ）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求： （1）21X 的分布列； （2）求(14)
8、PX的值. 20 （2020 延安市第一中学高二期中（理） ）学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) （1）求在 1 次游戏中, 摸出 3 个白球的概率; 获奖的概率; （2）求在 2 次游戏中获奖次数X的分布列. 21 （2019 黑龙江铁人中学高二期末（理） ）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3人，每人回答一个问题， 答对者为本队赢得一分， 答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为 2 3
9、，乙队中 3 人答对的概率分别为 2 2 1 , 3 3 2 且各人正确与否相 互之间没有影响.用 表示甲队的总得分. （）求随机变量分布列； ()用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用 B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件， 求 P(AB). 22某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行 9 选 3 考试（即共 9 项测试，随机选取 3 项）考核，若全部过关，则颁发结业证；若不合格，则参加下期考核，直至合格为止，若学员小李抽到“移 库”一项，则第一次合格的概率为 1 2 ，第二次合格的概率为 2 3 ，第三次合格的概率为 4 5 ，若第四次抽到可要 求
10、调换项目，其它选项小李均可一次性通过 （1）求小李第一次考试即通过的概率 1 P； （2）求小李参加考核的次数的分布列 专题专题 31 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 一、单选题一、单选题 1 （2020 陕西高二期末（理） ）已知随机变量X的分布列如下，则p （ ） X 0 1 2 3 P 1 12 1 3 1 6 p A 1 12 B 1 6 C 1 3 D 5 12 【答案】D 【解析】 由题意可得 111 1 1236 p，则 5 . 12 p 故选：D 2 （2020 南京市临江高级中学高二期中）下表是离散型随机变量 X的分布列，则常数a的值是（ ） X 3 4 5
11、 9 P 2 a 1 6 a 1 2 1 6 A 1 6 B 1 12 C 1 9 D 1 2 【答案】C 【解析】 111 1 2626 a a，解得 1 9 a . 故选：C 3 （2020 重庆北碚西南大学附中高二月考）已知随机变量 的分布列为(),(1,2,3,4,5)Pkmk k， 则实数 m（ ） A 1 5 B 1 10 C 1 15 D 1 20 【答案】C 【解析】 随机变量 的分布列为(),(1,2,3,4,5)Pkmk k 23451mmmmm 解得实数 1 15 m 故选：C 4 （2020 陕西高二期末（理） ）若随机变量X的分布列如下： X 3 2 0 1 2 3
12、P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当()0.5P Xm时，m的取值范围是（ ） A2m B01m C02m D12m 【答案】B 【解析】 由题意可得(2)0.1P X ，(0)0.3P X ，(1)0.5P X ，则(0,1m. 故选：B 5 （2020 河南高二期末（理） ）随机变量 X 的分布列为( ) X -1 0 1 P a b c 其中 a,b,c 成等差数列,则| 1PX 等于( ) A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【答案】D 【解析】 因为 a,b,c成等差数列,所以 2b=a+c, 又 a+b+c=1,所以 b= 1 3 , 所以 P(|X
13、|=1)=a+c= 2 3 ，故选 D. 6（2020 青铜峡市高级中学高二期末 （理） ） 设随机变量 的概率为分布列如下表， 则31P（ ） 1 2 3 4 P 1 12 a 1 3 1 3 A 7 12 B 1 2 C 5 12 D 1 6 【答案】A 【解析】 111 1 1233 a 1 4 a 由31，解得2或4 117 (|3| 1)(2)(4) 4312 PPP 故选：A 7 （2020 河南南阳高二二模（理） ）盒中有 10 个螺丝钉,其中有 3 个是坏的,现从盒中随机地抽取 4 个,那么 概率是 3 10 的事件为( ) A恰有 1 个是坏的 B4 个全是好的 C恰有 2
14、个是好的 D至多有 2 个是坏的 【答案】C 【解析】 对于选项 A， 概率为 13 37 4 10 1 2 C C C .对于选项 B， 概率为 4 7 4 10 1 6 C C .对于选项 C， 概率为 22 37 4 10 3 10 C C C .对于选项 D， 包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据 A选项，恰好有一个坏的概率已经是 13 210 ，故 D选 项不正确.综上所述，本小题选 C. 8 （2020 天山新疆实验高二期末）有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取两件，若 X 表示取得次品的 个数，则 P(X2)等于( ) A 7 15 B 8 15 C14 1
15、5 D1 【答案】C 【解析】 由题意，知 X 取 0，1，2，X 服从超几何分布， 它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式， 即 P(X0) 2 7 2 10 7 15 C C ，P(X1) 11 73 2 10 7 15 CC C ，P(X2) 2 3 2 10 1 15 C C ， 于是 P(X2)P(X0)P(X1) 7714 151515 故选 C 二、多选题二、多选题 9 （2020 大名县第一中学高二月考）如果是一个随机变量，则下列命题中的真命题有( ) A取每一个可能值的概率都是非负数 B取所有可能值的概率之和是 1 C的取值与自然数一一对应 D的取值是实数 【答案】ABD
16、 【解析】 根据概率性质可得取每一个可能值的概率都是非负数，所以 A正确； 取所有可能值的概率之和是 1，所以 B正确； 的取值是实数，不一定是自然数，所以 C错误，D正确. 故选：ABD 10 （2020 三亚华侨学校高二月考）下列关于随机变量及分布的说法正确的是（ ） A抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量 B某人射击时命中的概率为 0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布 C离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于 1 D离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的 【答案】AD 【解析】 对于选项 A：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是 0，也可能
17、是 1，故是随机变量，故选项 A 正确； 对于选项 B：某人射击时命中的概率为 0.5，此人射击三次是三次独立重复实验，命中的次数X服从二项分 布3,0.5B而不是两点分布，故选项 B 错误； 对于选项 C：离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和一定等于 1，故选项 C错误； 对于选项 D：由互斥事件的定义可知选项 D 正确 故选：AD 11 （2019 东台市安丰中学高二期中） 设随机变量的分布列为 1,2,3,4,5 5 k Pak k ， 则 ( ) A151a B0.5 0.80.2P C0.1 0.50.2P D10.3P 【答案】ABC 【解析】 随机变量的分布列为1
18、,2,3,4,5 5 k Pak k , 1234 1 5555 PPPPP 2345151aaaaaa， 解得 1 15 a ， 故 A 正确； 31 0.50.830.2 515 PP ，故 B正确； 1211 0.10.520.2 551515 PPP ，故 C正确； 11 150.3 153 P ，故 D错误. 故答案为：A、B、C. 12 （2019 山东潍坊高三月考）某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为 2 3 ，游览B，C和D的概率都是 1 2 ，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示 该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ）
19、 A游客至多游览一个景点的概率 1 4 B 3 2 8 P X C 1 4 24 P X D 13 6 E X 【答案】ABD 【解析】 记该游客游览i个景点为事件 i A，0,1i ， 则 0 21111 1111 322224 P A ， 32 1 13 212115 1111 3232224 P AC ， 所以游客至多游览一个景点的概率为 01 151 24244 P AP A，故 A 正确； 随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4; 0 1 (0) 24 P XP A， 1 5 (1) 24 P XP A， 2 1 3 211 (2)1 322 P XC 2 2 3 2113 11
20、3228 C ，故 B 正确； 2 3 211 (3)1 322 P XC 3 3 3 117 1 3224 C ， 3 211 (4) 3212 P X ，故 C 错误； 数学期望为： 1597 ()0123 24242424 E X 213 4 246 ，故 D 正确， 故选：ABD. 三、填空题三、填空题 13 （2020 汪清县汪清第六中学高二月考（理） ）已知随机变量 的分布列如下表，则 x_. 0 1 2 p x2 x 1 4 【答案】 1 2 【解析】 由随机变量概率分布列的性质可知： 2 1 xx1 4 ，且 0 x1， 解得 x 1 2 故答案为 1 2 14 （2020 辉
21、县市第二高级中学高二期中（理） ）已知随机变量 X 的分布列为()(1,2,3,4) 2 i P Xii a ， 则(24)PX等于_. 【答案】 7 10 【解析】 ()(1,2,3,4) 2 i P Xii a ， 1 (1234)1 2a ，解得 a=5， 则 347 (24)(3)(4) 101010 PXPP. 故答案为： 7 10 15 （2020 梅河口市第五中学高二月考（理） ）随机变量X的分布列为 ,1,2,3,4. 1 c P Xkkc k k 为常数， 则 15 22 PX 的值为_ 【答案】 5 6 【解析】 P（X=k）=）= 1 c k k ，k=1，2，3，4，
22、c 1 261220 ccc ， c= 5 4 ， P（ 1 2 X 5 2 ）=P（X=1）+P（X=2）= 555 += 8246 ； 故答案为 5 6 16 （2019 北京市第二中学朝阳学校高二期末）随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 P 0.2 x 0.25 0.1 0.15 0.2 则x_，3P_. 【答案】0.1 0.55 【解析】由0.20.25 0.1 0.15 0.21x 得0.1x 31230.20.1 0.250.55PPPP 故答案为：0.1，0.55 四四、解答题、解答题 17 （2019 全国高二课时练习）小王钱夹中只剩下 20 元、10 元、5 元和
23、 1 元的人民币各一张.他决定随机抽 出两张,用来买晚餐,用 X 表示这两张金额之和.写出 X 的可能取值,并说明所取值表示的随机试验结果. 【答案】6,11,15,21,25,30 【解析】X 的可能取值为 6,11,15,21,25,30. 其中,X=6 表示抽到的是 1 元和 5 元; X=11 表示抽到的是 1 元和 10 元; X=15 表示抽到的是 5 元和 10 元; X=21 表示抽到的是 1 元和 20 元; X=25 表示抽到的是 5 元和 20 元; X=30 表示抽到的是 10 元和 20 元. 18 （2019 全国高二课时练习）在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,
24、3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地 先后抽得两张卡片的标号分别为 x,y,记 =|x-2|+|y-x|.写出随机变量 可能的取值,并说明随机变量 所表示的 随机试验的结果. 【答案】0,1,2,3 【解析】 因为 x,y 可能取的值为 1,2,3, 所以 0|x-2|1,0|x-y|2,所以 03, 所以 可能的取值为 0,1,2,3. 用(x,y)表示第一次抽到卡片号码为 x,第二次抽得号码为 y,则随机变量 取各值的意义为: =0 表示两次抽到卡片编号都是 2,即(2,2). =1 表示(1,1),(2,1),(2,3),(3,3). =2 表示(1,2),(3,2). =3 表示(
25、1,3),(3,1). 19 （2020 南岗黑龙江实验中学高二期中（理） ）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求： （1）21X 的分布列； （2）求(14)PX的值. 【答案】 （1）见解析； （2）0.7 【解析】由分布列的性质知：0.2 0.1 0.1 0.31m，解得0.3m （1）由题意可知 (211)(0)0.2PXP X ，(213)(1)0.1PXP X ，(215)(2)0.1PXP X (217)(3)0.3PXP X ，(219)(4)0.3PXP X 所以21X 的分布列为： 21X 1 3 5 7 9 P
26、0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 （2） (14)(2)(3)(4)0.10.30.30.7PXP XP XP X 20 （2020 延安市第一中学高二期中（理） ）学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) （1）求在 1 次游戏中, 摸出 3 个白球的概率; 获奖的概率; （2）求在 2 次游戏中获奖次数X的分布列. 【答案】 （I） （i） 1 . 5 ； （ii） 7 . 10 （I
27、I）X 的分布列见解析 【解析】 (1)设“在一次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i0,1,2,3)，则 P(A3) 2 3 2 5 C C 1 2 2 3 C C 1 5 . 设“在一次游戏中获奖”为事件 B，则 BA2A3，又 P(A2) 22 32 22 53 C C C C 11 32 2 5 C C C 1 2 2 3 C C 1 2 ，且 A2，A3互斥，所以 P(B)P(A2)P(A3 ) 1 2 1 5 7 10 . (2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2， P(X0) 7 1 10 2 9 100 ， P(X1)C217 10 7 1 10 21 50 ，
28、P(X2) 7 10 2 49 100 ， 所以 X 的分布列是 X 0 1 2 P 9 100 21 50 49 100 21 （2019 黑龙江铁人中学高二期末（理） ）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3人，每人回答一个问题， 答对者为本队赢得一分， 答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为 2 3 ，乙队中 3 人答对的概率分别为 2 2 1 , 3 3 2 且各人正确与否相 互之间没有影响.用 表示甲队的总得分. （）求随机变量分布列； ()用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用 B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件， 求 P(AB). 【答案】 （）的分布列
29、为 0 1 2 3 P () 34 () 243 P AB 【解析】()由题意知，的可能取值为 0，1，2，3,且 32 01 33 21222 (0)1, (1)1 327339 PCPC 233 23 33 22428 (2)1,(3) 339327 PCPC 所以的分布列为 0 1 2 3 P （）用 C表示“甲得 2分乙得 1 分”这一事件，用 D表示“甲得 3 分乙得 0分”这一事件，所以 AB=CD,且 C、D互斥，又 22 3 4 222111211110 ( )( )1 333323 1 323323 P CC 3 3 3 5 21114 ()( ) 33323 P DC 由互
30、斥事件的概率公式得 455 1043434 ()( )() 333243 P ABP CP D 22某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行 9 选 3 考试（即共 9 项测试，随机选取 3 项）考核，若全部过关，则颁发结业证；若不合格，则参加下期考核，直至合格为止，若学员小李抽到“移 库”一项，则第一次合格的概率为 1 2 ，第二次合格的概率为 2 3 ，第三次合格的概率为 4 5 ，若第四次抽到可要 求调换项目，其它选项小李均可一次性通过 （1）求小李第一次考试即通过的概率 1 P； （2）求小李参加考核的次数的分布列 【答案】 （1） 5 6 （2）分布列为 1 2 3 4 P 5 6 4 27 7 405 1 810 【解析】 （1）根据题意小李第一次考试即通过包括小李没有抽到“移库”一项；抽到“移库”一项且通过 2 3 8 8 1 33 99 1 2115 2 3236 C C P CC （2）根据题意小李参加考核的次数可能为 1，2，3，4，其中 1 5 1 6 PP， 521 24 21 633 327 P ， 5421 475471 31,31 62733 5405627405810 PP 分布列为 1 2 3 4 P 5 6 4 27 7 405 1 810
