1、【 ;百万教育资源文库 】 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 （大纲 卷） 文科数学 答案 解析 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】由补集定义易得 3,4,5uA? ， 故选 B 【考点】补集的概念 2.【答案】 A 【解析】因为 ? 是第二象限角， 22 5 1 2c o s 1 s i n 11 3 1 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【考点】同角三角函数基本关系式 3.【答案】 B 【解析】 ( ) ( )m n m n? ? ?， ( ) ( ) 0m n m n? ? ? ? 22| | | | 0mn? ? ? 即 22( 1 ) 1 ( 2 ) 4 0? ?
2、? ? ? ?3? 【考点】向量垂直，数量积坐标运算 4.【答案】 D 【解析】 22| 2 | 2 2 2 2xx? ? ? ? ? ? ?20 4 0 | | 2xx? ? ? ? ? ? 解得 20x? ? ? 或 02x? 【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法 5.【答案】 C 【解析】 2 6 2 62 +1 8= 2 112T C x x? ，故选 C 【考点】二项式定理的通项公式 6.【答案】 A 【解析】由 ? ?2 1lo g 1y f x x? ? ?， 1112 21yyxx? ? ? ? ? ?， 0x? ， 0y? ? ?1 1 ( 0 )21xf x x
3、? ? ?， 【考点】反函数，指数式和对数式的互化 7.【答案】 C 【解析】 130nnaa? ?，1 13nnaa? ?， ?数列 na 是以 13? 为公比的等比数列 .2 43a ? 1 4a?【 ;百万教育资源文库 】 1010101413 3 (1 3 )113S ? ? ?【考点】等比数列的通项与求和 8.【答案】 C 【解析】如图：设 椭圆的方程为 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?， 2 13| | | |22AF AB?， 12| | 2FF? ， 由椭圆定义得：1 3| | 2 2AF a?， 在 12Rt AFF 中， 22 2 2 21 2 1 2 3|
4、 | | | | | 22A F A F F F ? ? ? ?2a?， 2 2 2 3b a c? ? ? ?， ?椭圆 C 的方程为 22143xy?. 【考点】椭圆方程的求解 9.【答案】 B 【解析】由题中图象可知 若函数 sin( )( 0)x? ? ?，0042Txx? ? ?， 2T ? 2 2?， 4?. 【考点】三角函数的图象与解析式 10.【答案】 D 【解析】由题意知 311| ( 4 2 ) | 4 2 8xxy x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，则 6a? . 【考点】导数的几何意义 【 ;百万教育资源文库 】 11.【答案】 A 【解析】如图：
5、在 正四棱锥 1 1 1 1ABCD ABC D? 中，连结 AC ， BD 记交点为 O ， 连结 1OC ， 过 C 作 1CH OC? 于点 H ， BD AC? ， 1BD AA? ， BD?平面 11ACCA ， CH? 平面 11ACCA CH BD?， CH?平面 1CBD ， CDH? 为 CD 与平面 1BDC 所成的角 . 22211 2 3 24 22O C C C O C ? ? ? ? ?，由等面积法得， 11OC CH OC CC? ， 3 2 2 222CH?， 23CH?， 23 2s in 13CHC D H CD ? ? ? ? ?，故选 A. 【考点】线面
6、角的定义及求法 12.【答案】 D 【解析】设直线 AB 方程为 ( 2)y k x?，代入 2 8yx? 得 2 2 2 2( 4 8 ) 4 0k x k x k? ? ? ? 设 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y， ，则 212 248kxx k ?， 124xx? 0MAMB? 1 1 2 2( 2 , 2 ) ( 2 , 2 ) 0x y x y? ? ? ? ? ? 即 1 2 1 2( 2 , ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0x x y y? ? ? ? ? ? 即 1 2 1 2 1 2 1 22 ( ) 4 2 ( ) 4 0x x x x
7、 y y y y? ? ? ? ? ? ? ? 1122( 2)( 2)y k xy k x? ， 1 2 1 2( 4 )y y k x x? ? ? ? ? 221 2 1 2 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) 2 ( ) 4 y y k x x k x x x x? ? ? ? ? ? ? 由， 整理 得 2k? . 【考点】直线与抛物线相交问题 二、填空题 13.【答案】 1? 【解析】 ()fx 是以 2 为周期的函数，且 1,3)x? 时， ( ) 2f x x? ，则 ( 1) ( 1 2 ) (1) 1 2 1f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? 【考点定位】函数的
8、周期性，函数求值 【 ;百万教育资源文库 】 14.【答案】 60 【解析】分三步：第一步，一等奖有 16C 种可能的结果；第二步，二等奖有 25C 种可能的结果；第三步，三等奖有 33C 种可能的结果，故共 1 2 36 5 3 60CCC ? 有种可能的结果 . 【考点】组合问题 15.【答案】 0 【解析】 z x y? ? ， y x z? ? ? ， z 表示直线 y x z? 在 y轴上的截距，截距越小， z 就越小 . 画出题中约束条件表示的可行域（如图中阴影部分所示） 当直线过点 (1,1)A 时， z 的 最小值为 0. 【考点】线性规划求最值 16.【答案】 16 【解析】
9、如图： 设 MN 为公共弦，长度为 R ， E 为 MN 的中点，连结 OE ，则 OE MN? ， KE MN? . OEK? 为圆 O 与圆 K 所在平面的二面角 . 60OEK? ? ? . 又 OMN 为正三角形， 32OE R? . 32OK? 且 OK EK? ， 3sin 60 2OE? ? ， 3 3 32 2 2R? 2R?， 24 16SR? ? ? 【考点】二面角与球的表面积 三、解答题 17.【答案】（ ） 设等差数列 ?na 的公差为 d ，则 1 ( 1)na a n d? ? ?【 ;百万教育资源文库 】 因为 719 942aaa?，所以 111641 8 2
10、( 8 )ada d a d? ? ? 解得 1 1a? ， 12d? ，所以 ?na 的通项公式为 12n na ?. （ ） 2)11 22(1nn a n nb n nn? ? ?，所以 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 1 1n nnnS n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【考点】等差数列通项公式和裂项求和 18.【答案】 （ ） 因为 ( )( )a b c a b c ac? ? ? ? ?，所以 2 2 2a b ac? ? ? 由余弦定理得 2 2 2 1c o s 22a c bB ac? ? ?，因此 120B?. （ ） 由 （ ）
11、知 120AC? ? ? ， 所以 1 3 1 3c o s ( ) c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n s i n 2 s i n s i n 22 4 2A C A C A C A C A C A C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故 30AC? ? ? 或 30AC? ? ? ，因此 15C?或 45C?. 【考点】余弦定理、两角和与差的公式以及求角问题 19.【答案】 （ ） 证明：取 BC 的中点 E ，连结 DE ，则 ABED 为正方形 . 过 P 作 PO? 平面 ABCD ，垂足为 O .连结 OA ， OB ， OD
12、 ， OE . 由 PAB 和 PAD 都是等边三角形 . PA PB PD?，所以 0OA B OD? ，即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点，故 OE BD? ，从而PB OE? .因为 O 是 BD 的中点， E 是 BC 的中点，所以 OE CD ，因此 PB CD? . （ ） 取 PD 的中点 F ，连结 OF ，则 OF PB ，由 （ ） 知， PB CD? ，故 OF CD? . 又 1 22OD BD?， 22 2O P PD O D? ? ?，故 POD 为为等腰三角形，因此 OF PD? . 又 PD CD D? ，所以 OF? 平面 PCD . 因为 AE CD
13、 ， CD? 平面 PCD ， AE? 平面 PCD ，所以 AE PCD . 因此， O 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离，而 1 12OF PB?. 所以 A 到平面 PCD 的距离 1. 【考点】三垂线定理进行证明，点面距离 【 ;百万教育资源文库 】 20.【答案】（ ） 记 1A 表示事件“第 2 局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第 3 局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第 4 局甲当裁判”，则 12A AA? ， 12( ) ( )P A P A A? ， 121( ) ( ) 4P A P A ? . （ ） 记 1B 表示事件“第 1
14、局结果为乙胜” 2B 表示事件“第 2 局乙参加比赛时，结果为乙胜” 3B 表示事件“第 3 局乙参加比赛时，结果为乙胜” B 表示事件“前 4 局中乙恰好当 1 次裁判” 则 1 3 1 2 3 1 2B B B B B B B B? ? ?，所以 1 3 1 2 3 1 2( ) ( ) ( ) ( )P B P B B P B B B P B B? ? ? 1 3 1 2 3 1 2 1 1 1 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 8 4 8P B P B P B P B P B P B P B P B? ? ? ? ? ? ?【考点】独立事件和互斥事件
15、的概率，离散型数学期望 21.【答案】 （ ） 当 2a? 时， 32( ) = 3 2 3 1f x x x x? ? ?， 2( )= 3 6 2 3f x x? ?. 令 ( ) 0fx? ? ，得1 21x ?，2 21x ?. 当 ( , 2 1)x? ? ? 时， ( ) 0fx? ? ， ()fx在 ( , 2 1)? ? 上是增函数； 当 ( 2 1, 2 1)x? ? ?时， ( ) 0fx? ? ， ()fx在 ( 2 1, 2 1)?上是减函数； 当 ( 2 1, )x? ? ? 时， ( ) 0fx? ? ， ()fx在 ( 2 1, )? ? 上是增函数； （ ） 由
16、 (2) 0f ? 得 54a? ，当 54a? ， (2, )x? ? 时，2 2 2 51( ) = 3 6 3 3 ( 2 1 ) 3 1 3 ( 2 )22f x x a x x a x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ()fx在 (2, )? 是增函数，于是当 2, )x? ? 时， ( ) (2) 0f x f?. 综上， a的取值范围是 5,4? ?【考点】导数求解函数的单调性与参数范围问题 22.【答案】（ ）由题设知 3ca? ，即 222 9aba? ?，故 228ba? . 所以 C 的方程为 2 2
17、 288x y a? .将 2y? 代入上式，求得 2 12xa? ?. 由题设知， 2 1262a ?解得 2 1a? .所以 1a? ， 22b? （ ）由（ ）知， 1( 3,0)F? ， 2(3,0)F ， C 的方程为 2288xy? 【 ;百万教育资源文库 】 由题意可设的 l 方程为 ( 3)y k x?， | | 2 2k? ，代入 并化简得， 2 2 2 2(8 ) 6 9 8 0k x k x k? ? ? ? ?， 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y， 1 1x? ， 2 1x? ，则 212 26 8kxxk?， 212 2988kxx k
18、 ? ?于是 2 2 2 21 1 1 1 1 1| | ( 3 ) ( 3 ) 8 8 ( 3 1 )A F x y x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 21 2 2 2 2 2| | ( 3 ) ( 3 ) 8 8 3 1B F x y x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 11| | | |AF BF? ，得 123( 1) 3 1xx? ? ? ?，即1223xx? ?故 226283kk ?，解得： 2 45k ? ，从而12 199xx?由于 2 2 2 22 1 1 1 1 1| | ( 3 ) ( 3 ) 8 8 1 3A F x y x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2 2 2 22 2 2 2 2 2| | ( 3 ) ( 3 ) 8 8 3 1B F x y x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故 2 2 1 2| | | | | | 2 3 ( ) 4A B A F B F x x? ? ? ? ? ?， 2 2 1 2 1 2| | | | 3 ( ) 9 1 1 6A F B F x x x x? ? ? ? ? 因而 222| | | | | |AF BF AB? ，所以 22| | | | | |AF AB BF， ， 成等比数列 . 【考点】双曲线方程，直线与双曲线的位置关系
