1、【 ;百万教育资源文库 】 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 （大纲 卷 ） 数学 （理科）答案 解析 第 卷 一 、选择题 1.【答案】 B 【解析】 因为集合 1,2,3A? ， 4,5B? ， | , , M x x a b a A b B? ? ? ? ?，所以 ab? 的值可能为： 1 4 5?、1 5 6?、 2 4 6? 、 2 5 7? 、 3 4 7? 、 3 5 8?，所以 M 中元素只有： 5， 6， 7， 8 共 4 个 . 【 提示 】 利用已知条件，直接求出 ab? ，利用集合元素互异求出 M中元素的个数即可 . 【 考点 】集合的含义 2.【答案】 A 【
2、解析】 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?32 21 + 3 i 1 + 3 i 1 + 3 i 1 + 3 i 2+ 2 3 i 2 6 i 8? ? ? ? ? ? ? ?. 【 提示 】给出复数的幂运算，利用复数的乘法运算求值 . 【 考点 】 复数代数形式的四则运算 3.【答案】 B 【解析】 ( 1,1)m ? ， ( 2,2)n ? ， (2 3,3)mn ? ? ? ? ， ( 1, 1)mn? ? ? ? .（步骤 1） ( ) ( )m n m n? ? ?，( ) ( ) 0m n m n? ? ? ?=0， (2 3) 3 0? ? ? ?，解得 3? .（步骤 2）
3、 【 提示 】给出两个向量，利用向量的坐标运算，再根据向量的垂直的性质求值 . 【 考点 】向量的坐标运算 4.【答案】 B 【解析】 原函数的定义域为 (1,0)? ， 1 2 1 0x? ? ? ? ，解得 11 2x? ? ? .?则函数 (2 1)fx? 的定义域为11, 2?. 【 提示 】 原函数的定义域，即为 21x? 的范围，解不等式组即可得解 . 【 考点 】函数的定义域 5.【答案】 A 【解析】由2 1log 1y x?得 112yx?， 故 121yx? ?， 把 x 和 y 互换，即得 1 1() 21xfx? ? ?， 由 0x? ，得 111x?， 可得 0y?
4、.故所求反函数为 1 1( ) ( 0 )21xf x x? ?. 【 ;百万教育资源文库 】 【 提示 】 把 y看作常数，求出 121yx? ?， x， y 互换，得到2 1log 1y x?的反函数 ， 注意反函数的定义域 . 【 考点 】反函数，函数的值域 6.【答案】 C 【解析】由 130nnaa? ?， 得 1 13nnaa? ? ， 故数列 na 是公比 13q? 的等比数列 .又 2 43a? ， 可得 1 4a? .所以1010101413 3 (1 3 )113S ? ? ?. 【 提示 】 由已知可知，数列 na 是以 13? 为公比的等比数列，结合已知2 43a?可求
5、 1a ，然后代入等比数列的求和公式可求 . 【 考点 】等比数列的定义，等比数列前 n项和 7.【答案】 D 【解析】 因为 8(1 )x? 的展开式中 2x 的系数为 28C ， 4(1 )y? 的展开式中 2y 的系数为 24C ，所以 22xy的系数为2284168CC? . 【 提示 】 由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令 x 的指数为 2，写出出展开式中 2x 的系数，第二个因式 2y 的系数，即可得到结果 . 【 考点 】二项式定理 8.【答案】 B 【解析】 设 P点坐标为 00( , )xy ，则 2200=143xy? ，2 00 2PAyk x? ? ，
6、1 00 2PAyk x? ? ， 于是1222 002 2 20033 342 4 4P A P Axykkxx? ? ? ?， 故12314PAPAk k .2 2, 1PAk ? ? ?，133,84PAk ?. 【 提示 】 设 00( , )( 2)x y xP ?，代入椭圆方程可得 2020 344yx ?.利用斜率计算公式可得12PA PAkk，再利用已知给出的1PAk的范围即可解出 . 【 考点 】斜率公式，直线与椭圆的位置关系 9.【答案】 D 【解析】 由条件知21( ) 2 0f x x a x? ? ? ? ?在 1,2?上恒成立，即21 2axx?在 1,2?上恒成立
7、 . 函数【 ;百万教育资源文库 】 21 2yxx?在 1,2?上为减函数， m a x 21123212y? ? ? ? ?， 3a?. 【 提示 】 由条件知21( ) 2 0f x x a x? ? ? ? ?在 1,2?上恒成立 ， 进而转化为21 2axx?在 1,2?上恒成立 ，构造 函数 求出21 2xx ?在 1,2?上 的 最值， 可得 a 的 取值范围 . 【 考点 】利用导数判断函数的单调性，不等式恒成立问题 10.【答案】 A 【解析】如图，连结 AC，交 BD 于点 O，由正四棱柱的性质，有 AC BD? . 因为 1CC? 平面 ABCD，所以 1CC BD? ，
8、 又 1CC AC C? ， 所以 BD? 平面 1CCO . 在平面 1CCO 内作 1CH CO? ， 垂足为 H，则 .BD CH? 又 1BD CO O? ， 所以 CH? 平面 1BDC ， 连结 DH，则 DH 为 CD 在平面 1BDC 上的射影，所以 CDH? 为 CD 与平面 1BDC 所成的角 . 设 1 1AA? ， 2AB? ， 在 1Rt COC 中，由等面积变换易求得 23CH? ， 在 Rt CDH 中， 2sin 3CHCDH CD? ? ?. 【 提示 】连结 AC，交 BD于点 O，在平面 1CCO 内作 1CH CO? .由 BD? 平面 1CCO ， 1
9、BD CO O? 得出 CH?平面 1BDC ， 所以 CDH? 为 CD 与平面 1BDC 所成的角 ， 由等面积变换易求得 23CH? ，即 可 求线面角的正弦值 . 【 考点 】线面角，线面垂直的判定 11.【答案】 D 【解析】抛物线 C 的焦点为 (2,0)F ， 则直线方程为 ( 2)y k x?， 与抛物线方程联立，消去 y 化简得2 2 2 2( 4 8 ) 4 0k x k x k? ? ? ?. 设点 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y 则12 284xx k? ? ?， 124xx? . 【 ;百万教育资源文库 】 所以1 2 1 2 8( ) 4y y
10、k x x k k? ? ? ? ?， ? ?21 2 1 2 1 22 ( ) 4 1 6y y k x x x x? ? ? ? ? ?. 1 1 2 2 1 2 1 2( 2 , 2 ) ( 2 , 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )M A M B x y x y x x y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 22 ( ) 2 ( ) 8 0x x x x y y y y? ? ? ? ? ? ? ?， 将上面各个量代入，化简得 2 4 4 0kk? ? ? ， 所以 2k? . 【 提示 】 由 题可得直线方程为 ( 2)y k
11、 x?， 联系方程消去 y 化简得 2 2 2 2( 4 8 ) 4 0k x k x k? ? ? ?， 设点11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， 求出 12xx? 、 12xx 、 12yy? 、 12yy .利用 1 1 2 2( 2 , 2 ) ( 2 , 2 ) 0M A M B x y x y? ? ? ? ? ?，即可求出 k的 值 . 【 考点 】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算 12.【答案】 C 【解析】 A 项，因为 (2 ) c o s ( 2 ) s i n ( 4 2 ) c o s ( ) s i n ( 2 ) c o s s i n
12、 2 ( )f x x x x x x x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ()fx的图象关于点 (,0)? 中心对称，故正确 ； B 项，因为 ( ) c o s ( ) s i n ( 2 2 ) c o s s i n 2 ( )f x x x x x f x? ? ? ? ? ?， 所以 ()y f x? 的图象关于直线 2x ? 对称，故正确 ； C 项，由题意知 22( ) = 2 c o s s i n 2 (1 s i n ) s i nf x x x x x?.令 sintx? ， ? ?1,1t? ，则 23( ) 2 (1 ) 2 2g t t t t
13、 t? ? ? ?. 令 2( ) 2 6 0g t t? ? ? ?，得 3= 3t ? .当 1t? 时，函数值为 0；当 33t ? 时，函数值为 439? ；当 33t ? 时，函数值为 439 .max 43() 9gt ?，即 ()fx的最大值为 439 .故选 C； D 项，由 ( ) c o s ( ) s i n ( 2 ) c o s s i n 2 ( )f x x x x x f x? ? ? ? ? ? ? ?知其为奇函数，综合选项 A、 B 知 ()fx为周期函数，故正确 . 【 提示 】 A 项，用中心对称的充要条件，直接验证 (2 ) ( ) 0f x f x?
14、 ? ?是否成立即可判断其正误； B 项，用轴对称的条件直接验证 ( ) ( )f x f x? 成立与否即可判断其正误； C 项，可将函数解析式换为( ) 2 sin 2 sin 3f x x x?，再换元为 3( ) 2 2g t t t? ， ? ?1,1t? ，利用导数求出函数在区间上的最值即可判断正误； D 项，可利用奇函数的定义与周期函数的定义直接证明 . 【 考点 】三角函数的周期性 和 最值，对称性 第 卷 二、填空题 13.【答案】 22 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 由题意知 2 1 2 2c o s 1 s i n 1 93? ? ? ? ? ? ?， 故 cos
15、cot =2 2sin? ? . 【 提示 】 根据 ? 是第三象限的角，得到 cos? 小于 0，然后由 sin? 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 cos? 的值，进而求出 cot? 的值 . 【 考点 】同角三角函数的基本关系，反三角函数 14.【答案】 480 【解析】 先把排除甲、乙外的 4 人全排列，方法有 44A 种，再将甲、乙插入这 4 人形成的 5 个间隔中，有 25A种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有 4245480AA? （种） . 【 提示 】 排列好甲、乙两人外的 4 人，然后把甲、乙两人插入 4 个人的 5 个空位中即可 . 【 考点 】排列组合及其应用 1
16、5.【答案】 1 42 a? 【解析】 作出题中不等式组表示的可行域如下图中阴影部分所示 . 直线 ( 1)y ax?过定点 ( 1,0)P? ，由图并结合题意可知 12APk ?， 4BPk ? ， ?要使直线 ( 1)y ax?与平面区域 D 有公共点，则 1 42 a? . 【 提示 】 先画出满足约束条件的平面区域， 结合图 象分析平面区域里各个角点， 然后将其代入 ( 1)y ax?即可 求未知数范围 . 【 考点 】判断不等式组表示的平面区域 16.【答案】 16 【解析】如图所示，公共弦为 AB ，设球的半径为 R ，则 AB R? ， 取 AB 为中点 M ，连接 OM 、 K
17、M ，由圆的性质知 OM AB? ， KM AB? ， 所以 KMO? 为圆 O 与圆 K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则 60RMO?. 在 Rt KOM 中， 32OK? ， 所以 3sin 60OKOM ?.在 Rt OMA 中，因为 2 2 2OA OM AM?， 所以2213 4RR? ， 解得 2 4R? ， 所以球 O 的表面积为 24 16R ? . 【 ;百万教育资源文库 】 【 提示 】 正确作出图形， 根据球的截面性质，直角三角形的性质，求出球的半径，并由球的表面积公式求球的表面积 . 【 考点 】球的大圆、小圆及球的截面性质，二面角的平面角，球的表面积公式 三、解
18、答题 17.【答案】 3na? 或 21nan? 【解析】 设 na 的公差为 d，由 232Sa? 得 2223aa? ，故 2 0a ? 或 2 3a? .由 1 2 4,S S S 成等比数列得 22 1 4S SS? ，又 12S a d?， 222S a d?， 4242S a d?，故 22 2 2( 2 ) ( ) ( 4 2 )a d a d a d? ? ? ?.若 2 0a? ，则 222dd? ，所以 0d? ，此时 0nS? ，不合题意；若 2 3a? ，则 2(6 ) ( (3 2 2 )1)dd d? ，解得 0d? 或 2d? ， 因此 na的通项公式为 3na? 或 21nan?. 【 提示 】 由 232Sa? ，结合等差数列的求和公式可求 2a ， 然后由 22 1 4S SS? ， 结合等差数列的求和公式进而可求公差 d，即可求解通项公式 . 【 考点 】等差数列的通项及性质，等比数列的性质 18.【答案】（ ） 120?B （ ） 15?C 或 45?C 【
