1、第八讲 列方程解应用题（二） 列方程解应用题的主要步骤列方程解应用题的主要步骤 1.1.审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量， 这个量最好能和题目中的其他量有着紧密数 量关系； 2.2.用字母来表示关键量，用含字母的代数式来表示题目中的其他量； 3.3.找到题目中的等量关系，建立方程； 4.4.解方程； 5.5.通过求到的关键量求得题目最终答案 解二元一次方程（多元一次方程）解二元一次方程（多元一次方程） 1.1.消元目的：消元目的：即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程 2.2.消元方法：消元方法：主要有代入消元和加减消元 1.会解各种方程及方程组，熟练掌握各种解方程的解法 2.根
2、据题意寻找等量关系的方法来构建方程及方程组 3.合理规划等量关系，设未知数、列方程（组） 。 例例 1 1：有一个五位数，在它后面写上一个：有一个五位数，在它后面写上一个 7，得到一个六位数；在它前面写上一个，得到一个六位数；在它前面写上一个 7，也得，也得 到一个六位数如果第二个六位数是第一个六位数的到一个六位数如果第二个六位数是第一个六位数的 5 倍，那么这个五位数是倍，那么这个五位数是 分析：分析：设五位数是x，那么第一个六位数是107x，第二个六位数是700000 x依题意列 方程7000005 107xx（），解得1425x 例例 2 2：松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采：松鼠妈妈采松
3、子，晴天每天可以采20个，雨天每天可以采个，雨天每天可以采12个，它一连几天采了个，它一连几天采了112 个松子，平均每天采个松子，平均每天采14个，问这几天当中有几天是下雨天？个，问这几天当中有几天是下雨天？ 分析：分析：根据题意，松鼠妈妈采的松子有晴天采的，也有雨天采的，总的采集数可以求得，采 集天数也确定，因此可列方程组来求解 设晴天有x天，雨天有y天，则可列得方程组： 20121121 112 2 14 xy xy 1化简为5328xy 3 用加减法消元： 253 得：5()(53 )4028xyxy 解得6y .所以其中6天下雨. 例例 3 3：把金放在水里称，其重量减轻把金放在水里
4、称，其重量减轻 1 19 ；把银放在水里称，其重量减轻；把银放在水里称，其重量减轻 1 10 现有一块金银现有一块金银 合金重合金重770克，放在水里称共减轻了克，放在水里称共减轻了50克，问这块合金含金、银各多少克？克，问这块合金含金、银各多少克？ 分析：分析：设 770 克合金中金有x克，则银有(770)x克，根据题意，有： 11 (770)50 1910 xx，解得570 x ， 即这块合金中金有 570 克，银有770570200克 例例 4 4：口袋中有若干红色和白色的球若取走一个红球，则口袋中的红球占口袋中有若干红色和白色的球若取走一个红球，则口袋中的红球占 2 7 ；若取出的不；
5、若取出的不 是一个红球而是两个白球，则口袋中的白球占是一个红球而是两个白球，则口袋中的白球占 2 3 . .原来口袋中白球比红球多多少个？原来口袋中白球比红球多多少个？ 分析：分析：设原来红球数为x，白球数为y，那么根据题目条件有以下数量关系： 2 11 7 2 22 3 xxy yxy 方程组解得 9 20 x y ， 原来口袋中白球比红球多20911个 例例 5 5：张老师购买了一套教师住宅，原计划采取分期付款方式一种付款方式是开始第一年张老师购买了一套教师住宅，原计划采取分期付款方式一种付款方式是开始第一年 先付先付 7 万元，以后每年付款万元，以后每年付款 1 万元；另一种付款方式是前
6、一半时间每年付款万元；另一种付款方式是前一半时间每年付款 2 万元，万元， 后一半时间，每年付款后一半时间，每年付款 1 万万 5 千元两种付款方式的付款总数和付款时间都相同假千元两种付款方式的付款总数和付款时间都相同假 如一次性付款， 可以少付房款如一次性付款， 可以少付房款 1 万万 6 千元 现在张老师决定采用一次性付款方式 问：千元 现在张老师决定采用一次性付款方式 问： 张老师要付房款多少万元？张老师要付房款多少万元？ 分析：分析：设分期付款方式的付款时间为2x年，则： 7(21) 121.5xxx 263.5xx 1.56x 4x 将x的 值 代 入 方 程 的 右 式 ( 也 可
7、 代 入 左 式 ) ， 可 知 分 期 付 款 的 付 款 总 数 为 241.5 414(万元)所以，一次性付款的总数为141.612.4(万元) 例例 6 6：姐姐现在的年龄是弟弟当年年龄的姐姐现在的年龄是弟弟当年年龄的4倍，姐姐当年的年龄和弟弟现在的年龄相同，姐倍，姐姐当年的年龄和弟弟现在的年龄相同，姐 姐与弟弟现在的年龄和为姐与弟弟现在的年龄和为26岁，则弟弟现在的年龄是多少岁？岁，则弟弟现在的年龄是多少岁？ 分析：分析：设弟弟现在的年龄是x岁，那么姐姐的年龄为26x岁，年龄差为262x， 弟弟当年年龄为(262 )326xxx岁， 由题意可列方程(326)426xx，解得10 x
8、所以，弟弟现在的年龄是10岁。 A A 1 1. .用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计 32 块，缝制成一个足球，如图块，缝制成一个足球，如图 所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与 3 个黑色皮块及个黑色皮块及 3 个白个白 色皮块相邻接问：这个足球上共有多少块白色皮块？色皮块相邻接问：这个足球上共有多少块白色皮块？ 分析：分析：设这个足球上共有x块白色皮块，则共有 3x条边是黑白皮块共有的另一方面，黑 色皮块有32x（）块，共有5 32x（）条边是
9、黑白皮块共有的（如图） 由于在这个足球上黑白 皮块共有的边是个定值，列得方程：35 32xx（），解得20 x 即这个足球上共有 20 块 白色皮块 2.2.某八位数形如某八位数形如2abcdefg，它与，它与 3 的乘积形如的乘积形如4abcdefg，则七位数，则七位数abcdefg应是应是 分析：分析：设xabcdefg，则(20000000) 3104xx ，759999996x ，8571428x ，即七 位数应是 8571428 3 3. .有三个连续的整数， 已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是有三个连续的整数， 已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三
10、倍的和是 68， 求这三个连续整数求这三个连续整数. . 分析：分析：设最小的那个数为x，那么中间的数和最大的数分别为1x 和2x 则 2(1)3(2)68xxx，10 x 所以这三个连续整数依次为 10、11、12 4 4. .小军原有故事书的本数是小力的小军原有故事书的本数是小力的 3 倍，小军又买来倍，小军又买来 7 本书，小力买来本书，小力买来 6 本书后，小军所本书后，小军所 有的书是小力的有的书是小力的 2 倍，两人原来各有多少本书？倍，两人原来各有多少本书？ 分析：分析：设小力原有故事书x本，则小军原有故事书 3x本。小力原有故事书 5 本，小军原有 故事书 15 本 5.5.一
11、群学生进行篮球投篮测验，每人投一群学生进行篮球投篮测验，每人投 10 次，按每人进球数统计的部分情况如下表：次，按每人进球数统计的部分情况如下表： 进球数进球数 0 1 2 8 9 10 人数人数 7 5 4 3 4 1 还知道至少投进还知道至少投进 3 个球的人平均投进个球的人平均投进 6 个球，投进不到个球，投进不到 8 个球的人平均投进个球的人平均投进 3 个球个球问：问： 共有多少人参加测验？共有多少人参加测验？ 分析：分析：设有x人参加测验 由上表看出，至少投进3个球的有754x 人，投进不到8个球的有34 1x 人 投中的总球数，既等于进球数不到 3 个的人的进球数加上至少投进 3
12、 个球的人的进球数， 为0 7 1 52 4675458616683xxx ； 也等于进球数不到 8 个的人的进球数加上至少投进 8 个球的人的进球数， 为334 18 39 4 10 1382436 10346xxx ； 由此可得方程：683346xx，解得43x 故共有43人参加测验 6.6.甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的 重量，需另付行李费，三人共付重量，需另付行李费，三人共付 4 4 元，而三人行李共重元，而三人行李共重 150150 千克千克如果一个人带如果一个人
13、带 150150 千克千克 的行李，除免费部分外，应另付行李费的行李，除免费部分外，应另付行李费 8 8 元元求每人可免费携带的行李重量求每人可免费携带的行李重量 分析：分析：设每人可免费携带x千克行李一方面，三人可免费携带3x千克行李，三人携带 150 千克行李超重1503x千克，超重行李共付 4 元行李费；另一方面，一人携带 150 千克行 李超重150 x千克，超重行李需付行李费 8 元根据超重行李每千克应付的钱数相同，可 列方程： 1503150 48 xx ，30 x 所以每人可免费携带的行李重量为 30 千克 7.7.某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为某旅游点
14、有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为 30 元，成人票的价格为元，成人票的价格为 40 元，如果是团体还可以买平均元，如果是团体还可以买平均 32 元一位的团体票，一个由元一位的团体票，一个由 8 个家庭组成的旅游团个家庭组成的旅游团( (每个每个 家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成) )来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比 他们各自买票少花他们各自买票少花 120 元，问这个旅游团一共有多少人？元，问这个旅游团一共有多少人？ 分析：分析：设八个家庭中有x个是三口之家，y是个两口之家，则 20 (
15、21)24 (21)9242024xyxy，所以旅游团一共有 16189242024xyxy人。 8.8.有一队伍以有一队伍以 1.41.4 米米/ /秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以 2.62.6 米米/ /秒秒 的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了 1010 分分 5050 秒。问：队伍有多长？秒。问：队伍有多长？ 分析：分析：这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路 程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。
16、如果设 通讯员从末尾到排头用了x秒， 那么通讯员从排头返回排尾用了650 x秒， 于是不难列方 程。 设通讯员从末尾赶到排头用了x秒，依题意得，2.61.42.6 6501.4 650 xxxx，解 得500 x 推知队伍长为2.6 1.4500600（米） 。 9.9.有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的 2 倍时；丙是倍时；丙是 22 岁，当乙的年龄是丙的岁，当乙的年龄是丙的 2 倍，倍， 甲是甲是 31 岁；当甲岁；当甲 60 岁时，丙是多少岁岁时，丙是多少岁? ? 分析：分析：设丙22岁时，乙的年龄是x岁，当时甲的年龄就是2x岁，甲乙的年龄差为x岁
17、那么甲是 3l 岁时，乙是(31)x岁，丙是22(312 )532xx岁， 列方程得，312(532 )xx，解得25x ， 所以乙 25 岁时，甲 50 岁，丙 22 岁那么甲 60 岁时，丙 32 岁 10.10.金银合金的重量是金银合金的重量是250克，放在水中称重时，重量减轻了克，放在水中称重时，重量减轻了16克，已知金在水中称重量减克，已知金在水中称重量减 轻轻 1 19 ，银在水中称重量减轻，银在水中称重量减轻 1 10 ，求这块合金中金、银各含多少克？，求这块合金中金、银各含多少克？ 分析：分析：设250克合金中，金有x克，则银有(250)x克；依题意： 11 (250)16 1
18、910 xx，解得190 x ， 所以这块合金中金有190克，银有25019060克 B B 11.11.从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们题目是：从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们题目是： 我有金、银两个首饰箱，箱内分别装有若干件首饰，如果把金箱中我有金、银两个首饰箱，箱内分别装有若干件首饰，如果把金箱中(770):(370)7:4xx 的首饰送给第一个算对这个题目的人， 把银箱中的首饰送给第一个算对这个题目的人， 把银箱中30 x 的首饰送给第二个算对这个题目的人，的首饰送给第二个算对这个题目的人， 然后我再从金箱中拿出然后我
19、再从金箱中拿出730210件送给第三个算对这个题目的，再从银箱中拿出件送给第三个算对这个题目的，再从银箱中拿出 3 3090件送给第四个算对这个题目的人最后我的金箱中剩下的首饰比分掉的多件送给第四个算对这个题目的人最后我的金箱中剩下的首饰比分掉的多2件，件， 银箱中剩下的首饰与分掉的比是银箱中剩下的首饰与分掉的比是x 王子的金箱中原来有首饰 王子的金箱中原来有首饰_件， 银箱中原来有首件， 银箱中原来有首 饰饰_件件 分析：分析： 设原来金箱中有首饰y件， 银箱中有首饰 7 3 707 704 x y x y 件， 则： 210 90 x y ，90， 解得3， 734，故金箱中原来有首饰74
20、3件，银箱中原来有首饰3,412件 12.12.运来三车苹果，甲车比乙车多运来三车苹果，甲车比乙车多 4 箱，乙车比丙车多箱，乙车比丙车多 4 箱，甲车比乙车每箱少箱，甲车比乙车每箱少 3 个苹果，个苹果， 乙车比丙车每箱少乙车比丙车每箱少 5 个苹果，甲车比乙车总共多个苹果，甲车比乙车总共多 3 个苹果，乙车比丙车总共多个苹果，乙车比丙车总共多 5 个苹果，个苹果， 这三车苹果共有多少个？这三车苹果共有多少个？ 分析：分析：设乙车运来x箱，每箱装y个苹果，根据题意列表如下： 车别 甲 乙 丙 箱数 x 772(7)7xx 14221xx 每箱苹果数 35x 35 357749 根据上表可列出
21、如下方程： 433 455 xyxy xyxy ，化简为 4315(1) 5415(2) yx xy ，得：230 x ，于是15x 将15x 代入或，可得：15y 所以甲车运 19 箱，每箱 12 个；乙车运 15 箱，每箱 15 个；丙车运 11 箱，每箱 20 个三车 苹果的总数是：19 1215 1511 20673(个) 13.13.有大、 中、 小三种包装的筷子有大、 中、 小三种包装的筷子27盒， 它们分别装有盒， 它们分别装有18双、双、12双、双、8双筷子， 一共装有双筷子， 一共装有330 双筷子，其中小盒数是中盒数的双筷子，其中小盒数是中盒数的2倍问：三种盒各有多少盒？倍
22、问：三种盒各有多少盒？ 分析：分析：设中盒数为x，大盒数为y，那么小盒数为2x，根据题目条件有两个等量关系： 227 181282330 xxy yxx 该方程组解得 6 9 x y ，所以大盒有 9 个，中盒有 6 个，小盒有 12 个. 14.14.甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A配件与一个配件与一个B配件组成甲每天生产配件组成甲每天生产 300 个个A配件，或生产配件，或生产 150 个个B配件；乙每天生产配件；乙每天生产 120 个个A配件，或生产配件，或生产 48 个个B配件为了在配件为了在 10 天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，
23、这样他们最多能生产出多少套产品？天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？ 分析：分析：假设甲、乙分别有8x （）天和y天在生产86x 配件，则他们生产82x 配件所 用的时间分别为862x 天和6216xx（）天，那么 10 天内共生产了26x 配件 (300120 )xy个，共生产了B配件150 (10)48 (10)1980 15048xyxy个 要将它们配成套，A配件与B配件的数量应相等，即3001201980 15048xyxy，得到 7528330 xy，则 33028 75 y x 此时生产的产品的套数为 33028 3001203001201320
24、8 75 y xyyy ，要使生产的产品 最多，就要使得y最大，而y最大为 10，所以最多能生产出13208 101400 套产品 15.15.米老鼠从米老鼠从A到到B， 唐老鸭从， 唐老鸭从B到到A， 米老鼠与唐老鸭行走速度之比是， 米老鼠与唐老鸭行走速度之比是6 5， 如下图所示， 如下图所示 M是是A、B的中点， 离的中点， 离M点点 26 千米的千米的C点有一个魔鬼， 谁从它处经过就要减速点有一个魔鬼， 谁从它处经过就要减速 25% %， 离， 离M 点点 4 千米的千米的D点有一个仙人， 谁从它处经过就能加速点有一个仙人， 谁从它处经过就能加速 25% % 现在米老鼠与唐老鸭同时出发
25、， 现在米老鼠与唐老鸭同时出发， 同时到达，那么同时到达，那么A与与B之间的距离是千米之间的距离是千米 分析：分析：设AMMBx，米老鼠的行走速度为6k，则唐老鸭的行走速度为5k(0k )，如 下图，则有米老鼠从A到B需要时间 26304 66(125%)6(125%)(125%) xx kkk 116 14(4) 615 xx k ， 唐老鸭从B到A需要时间 43026 55(125%)5(125%)(125%) xx kkk 116 20(26) 515 xx k 因为米老鼠与唐老鸭用的时间相同，所以列方程 116116 14(4)20(26) 615515 xxxx kk ， 解得46x
26、 所以，A、B两地相距 92 千米 1 16.6.甲、乙两种商品的原来价格比是甲、乙两种商品的原来价格比是7:3如果它们的价格各自上涨如果它们的价格各自上涨70元，它们的价格比元，它们的价格比 变为变为7:4求甲乙两种商品的原价各是多少元？求甲乙两种商品的原价各是多少元？ 分析：分析：方法1：设甲乙两种商品原来价格分别为7x元，3x元，根据涨价后价格比为7:4， 列方程得(770):(370)7:4xx，解得30 x ，所以原来两种商品的原价各是730210 元，3 3090元 方法2：设甲乙两种商品原价各是x元,y元，依题意列方程组得 7 3 707 704 x y x y 解得 210 9
27、0 x y 426 BDMCA x-430 x-26 ACM DB 甲乙两种商品原价各是210元,90元 方法3：由于原来两种商品相差734份，涨价后相差743份，由于涨价钱数相同， 所以应涨3,412份，所以原来两种商品的价格比x，涨价后价格比 4 1101 812 xx ， 所以价格涨了232x 份，恰是A元，所以B份是50元，所以原来两种商品的价格各是为A 元，3元 1 17.7.求方程求方程 3x3x5y5y3131 的整数解的整数解 分析：分析：方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得 x 315 3 y ，即 x102y1 3 y ，要使 方程有整数解 1 3 y 必须为整数 取 y2
28、，得 x102y 1 3 y 10417，故 x7，y2 当 y5，得 x102y 1 3 y 101022，故 x2，y5 当 y8，得 x102y 1 3 y 10163 无解 所以方程的解为： 72 , 25 xx yy 方法二：利用余数的性质 3x 是 3 的倍数，和 31 除以 3 余 1，所以 5y 除以 3 余 1（2y 除以 3 余 1） ，根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为： 取 y1，2y2，2302（舍） y2，2y4，4311（符合题意） y3，2y6，632（舍） y4，2y8，8322（舍） y5，2y10，10331（符合题意） y6，2y12，1234（
29、舍） 当 y6 时，结果超过 31，不符合题意。 所以方程的解为： 72 , 25 xx yy 1 18.8.解方程解方程 1800120080016000 15 abc abc （其中（其中a a、b b、c c均为正整数）均为正整数） 分析：分析：根据等式的性质将第一个方程整理得 96480 15 abc abc ，根据消元的思想将第二个式 子扩大 4 倍相减后为：(9 64 )4()804 15abcabc ，整理后得5220ab，根据 等式性质，2b为偶数， 20 为偶数， 所以5a为偶数， 所以a为偶数， 当2a 时，5 2220b， 5b ，所以8c ，当4a 时，5 4220b，
30、5b ，所以无解。所以方程解为 2 5 8 a b c 1 19.9.解不定方程解不定方程 1 53100 3 100 xyz xyz ( (其中其中x x、y y、z z均为正整数均为正整数) ) 分析：分析：根据等式的性质将第一个方程整理得 159300 100 xyz xyz ，根据消元思想与第二个式 子相减得14 8200 xy ，根据等式的性质两边同时除以 2 得：7 4100 xy ，根据等式性 质4y为 4 的倍数，100 为 4 的倍数，所以7y为 4 的倍数，所以y为 4 的倍数试值如下 4812 18,11,4 788184 xxx yyy zzz 2 20.0.某公交车起
31、点站已停放某公交车起点站已停放 10 辆公交车，第一辆公交车开出后，每隔辆公交车，第一辆公交车开出后，每隔 8 分钟就有一辆公交分钟就有一辆公交 车开出，在第一辆公交车开出车开出，在第一辆公交车开出 4 分钟后，有一辆公交车进站，以后每隔分钟后，有一辆公交车进站，以后每隔 12 分钟就有一辆公分钟就有一辆公 交车进站，回站的公交车在原有的公交车依次开出之后又依次每隔交车进站，回站的公交车在原有的公交车依次开出之后又依次每隔 8 分钟开出一辆，问：分钟开出一辆，问： 第一辆公交车开出后，经过多少时间，车站第一次不能正点发车？第一辆公交车开出后，经过多少时间，车站第一次不能正点发车？ 分析：分析：
32、假设第一辆公交车开出x分钟后车站无车可发，可列方程： 4 1101 812 xx ，解得232x 第一辆公交车开出后第 232 分钟可以发一趟车， 到第 240 分钟时就无车可发了， 所以答案是 经过 240 分钟后车站第一次不能正点发车 C C 21.21.如图，图中如图，图中5、8和和10分别代表包含该数字的三个三角形的面积试问：包含分别代表包含该数字的三个三角形的面积试问：包含X这个字这个字 母的四边形面积是多少？母的四边形面积是多少？ 分析：分析：如图，设虚线把四边形X分成面积为a、b的两个三角形.利用同高的两个三角形面 积之比等于相应底边之比，可得： 5510 8aab （可化简为2
33、8ab）和 8810 5bab （可 化简为5420ba） ，由这两条方程构成方程组： 28 5420 ab ba ，方程组可解得： 10 12 a b ， 所以四边形X的面积为101222. 22.22.甲、乙、丙三个人玩三张牌，这三张牌分别写着不同的自然数，洗牌后发给每人一张，甲、乙、丙三个人玩三张牌，这三张牌分别写着不同的自然数，洗牌后发给每人一张， 按每人所拿的自然数得分，重复玩了按每人所拿的自然数得分，重复玩了3次后，甲共得次后，甲共得19分，乙和丙各得分，乙和丙各得13分，那么这三张分，那么这三张 牌上写的数是哪三个数？牌上写的数是哪三个数？ 分析：分析：三张牌上的三个数之和是19
34、 13 133 15 因为3不能整除13和19，所以甲、乙、丙谁也不可能三次拿到同一张牌， ，又因为 谁也没有拿到三张牌各1次，所以三人都是拿了某张牌两次、另一张牌一次设三 张牌从大到小写的数依次为a、b、c.由乙、丙各得13分，推知乙、丙的三张牌 是c、c、a和x、24x、x.则甲的三张牌是824224xxxx 、6x 、 x. 由24xy得82xyyx. 由 24(1) 82(2) xy xyyx 得3yx，从而324xx6x . 将18y 代入 1、 3得5b ，3c . 所以，三张牌从大到小写的数依次是7，5，3. 2 23.3.三张卡片上分另标有三张卡片上分另标有p、q、r数码数码(
35、 (整数整数) )且且0pqr，游戏时将三张卡片随意分发，游戏时将三张卡片随意分发 给给A、B、C三个人，每人各一张，根据每个人得到卡片上的数码数分别给他们记分，如三个人，每人各一张，根据每个人得到卡片上的数码数分别给他们记分，如 此重复游戏若干轮，结果此重复游戏若干轮，结果A、B、三人得分总数分别为、三人得分总数分别为 20、10、9已知已知B在最后一轮的在最后一轮的 X 8 10 5 b a X 8 10 5 得分是得分是r，那么在第一轮得分是，那么在第一轮得分是q； （； （2 2）p、q、r分别是、 、 分别是、 、 分析：分析：三人总分为20109391 393 13 如果游戏进行了
36、 39 或 13 轮，则1pqr或 3，与0pqr矛盾；如果游戏只进行了 1 轮，则20r ，被A得到，与“B在最后一轮的得分是r”矛盾所以游戏进行了 3 轮， 且13pqr 因为B共得 10 分，且最后一次得r分，所以前两次都得p分，否则三次至少得 13 分因 为C三次总分比B少，所以C没得过r分，前两次都得q分，即第一轮得q分的是C 假设C三次都得q，由B得10ppr和A得20rrp，解得10r ，0p ，与 0p 矛盾，所以C前两次得q，最后一次得p 由 29, 210, 220, pq pr rq 解得1p ，4q ，8r 2 24.4.购买购买 3 斤苹果，斤苹果， 2 斤桔子需要斤
37、桔子需要6.90元； 购买元； 购买 8 斤苹果，斤苹果， 9 斤桔子需要斤桔子需要22.80元， 那么苹果、元， 那么苹果、 桔子各买桔子各买 1 斤需要元斤需要元. . 分析：分析：假设购买 1 斤苹果、桔子分别需要x元、y元，则： 326.9 8922.8 xy xy ， 两式相加得111129.7xy，即2.7xy。 所以各买 1 斤需要2.7元。 点评： 从上面的过程可以看出， 本题可以直接采用算术解法： 买3811斤苹果和2911 斤苹果，须6.9022.8029.7元，所以各买 1 斤需要29.7 112.7元. 25.25.有甲、 乙、 丙三种货物， 若购甲有甲、 乙、 丙三种
38、货物， 若购甲3件、 乙件、 乙7件、 丙件、 丙1件， 共需件， 共需20元； 若购甲元； 若购甲4件、 乙件、 乙10件、件、 丙丙1件，共需件，共需27元；则购买甲、乙、丙各元；则购买甲、乙、丙各1件，共需要元。件，共需要元。 分析：分析：设甲、乙、丙的单价分别为x，y，z，则 3720(1) 41027(2) xyz xyz ， 由(1) 3(2)2 得3 202276xyz ，即各买一件需要6元。 点评：本题实际上是三元一次方程，但整体代入消元的思想与二元一次方程是相同的。 26.26.假设五家共用一井取水，甲用绳假设五家共用一井取水，甲用绳2根不够，差乙家绳子根不够，差乙家绳子1根
39、；乙用绳根；乙用绳3根不够，差丙家绳根不够，差丙家绳 子子1根；丙用绳子根；丙用绳子4根不够。差丁家绳子根不够。差丁家绳子1根；丁用绳子根；丁用绳子5根不够，差戊家绳子根不够，差戊家绳子1根；戊用绳根；戊用绳 6根不够，差甲家绳子根不够，差甲家绳子1根如果各得所差的绳子根如果各得所差的绳子1根，都能到达井深问井深，绳长各是根，都能到达井深问井深，绳长各是 多少？（井深为小于多少？（井深为小于1000的整数）的整数） 分析：分析：依次设甲、乙、丙、丁、戊家绳长为A、B、C、D、E，井深k，则可列出方程 组如下： 2 3 4 5 6 ABk BCk CDk DEk EAk 这个方程组不是二元一次方
40、程组， 但是解方程组的思想方法与二元一次方程组相同， 依次迭 代2BkA，362CkBAk，4924DkCkA，512044EkDAk， 代入最后一个式子，612044AkAk，即721265Ak，所以265A， 721k 于是，191B ，148C ，129D ，76E 27.27.在同一路线上有在同一路线上有4个人个人: :第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四 个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的12时追上乘助力车的，时追上乘助力车的，14时遇到骑自行时遇到骑自行
41、 车的，而与开摩托车的相遇是车的，而与开摩托车的相遇是16时开摩托车的遇到乘助力车的是时开摩托车的遇到乘助力车的是17时，并在时，并在18时追上骑时追上骑 自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助力车的？自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助力车的？ 分析：分析：12时以前的位置关系对于这个问题的解决不起任何作用， 所以我们从12时开始考虑 设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为a、b、c、d，设在12时骑自行车的与坐 汽车的距离为x，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为y 有 21 42 53 64 xad xyab xybc ybd 123224 得到310 xcd，即 10 3 xcd 设骑自行
42、车的在t时遇见骑助力车的，则 12xtcd，即 10 12 3 t ，所以 1 15 3 t 所以骑自行车的在15时20分遇见骑助力车的 28.28.河水是流动的，在河水是流动的，在Q点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从P到到Q，然后穿过湖，然后穿过湖 到到R，共用，共用3小时若他由小时若他由R到到Q再到再到P，共需，共需6小时如果湖水也是流动的，速度等于河小时如果湖水也是流动的，速度等于河 水的速度， 那么从水的速度， 那么从P到到Q再到再到R需需 5 2 小时 问在这样的条件下， 从小时 问在这样的条件下， 从R到到Q再到再到P需几小时？需几小时
43、？ 分析：分析：设游泳者的速度为1，水速为y，PQa，QRb，则有： 31 1 5 2 12 63 1 a b y ab y a b y 且有1y、1y、y均不为0 12得 1 12 by y ，即 1 4 2 y b y 31得 2 2 3 1 ay y ，即 2 3 1 5 2 y a y 由 2、 4、 5得： 51 143 22 y yaby y ，即543yy 于是， 1 2 y 由 2得： 5115 1 224 ab 15115 1 1422 ab y 小时 即题中所述情况下从R到Q再到P需 15 2 小时 1 1. .丁丁和玲玲两人摘苹果，丁丁说： “把我摘的苹果给玲玲丁丁和玲玲
44、两人摘苹果，丁丁说： “把我摘的苹果给玲玲 7 个，玲玲摘的苹果的个数就是个，玲玲摘的苹果的个数就是 我的我的 2 倍倍 ”玲玲说： “把我摘的苹果给丁丁”玲玲说： “把我摘的苹果给丁丁 7 个，他的苹果个数就和我的一样多了个，他的苹果个数就和我的一样多了 ”问丁”问丁 丁和玲玲各摘了多少个苹果？丁和玲玲各摘了多少个苹果？ 分析：分析：设丁丁摘了x个苹果，由题意得： 772(7)7xx 14221xx 35x 即丁丁摘了35个苹果，而玲玲的苹果个数为357749(个) 2.2.大强参加大强参加 6 次测验，第三、四次的平均分比前两次的平均分多次测验，第三、四次的平均分比前两次的平均分多 2 分
45、，比后两次的平均分分，比后两次的平均分 少少 2 分 如果后三次的平均分比前三次的平均分多分 如果后三次的平均分比前三次的平均分多 3 分， 那么第四次比第三次多得多少分？分， 那么第四次比第三次多得多少分？ 分析：分析： 设第三次分数是a分， 第四次的分数为ax（）分， 则前两次的分数之和24ax（）分， 最后两次的分数之和24ax（）分， 有24249axaxaxa（）（）（）， 解得1x ， 即第四次比第三次多得 1 分 3.3.儿子与父亲下围棋，双方约定父亲胜一局就得儿子与父亲下围棋，双方约定父亲胜一局就得 2 分，儿子胜一局得分，儿子胜一局得 8 分，负的一方不管分，负的一方不管 是
46、谁都要扣是谁都要扣 1 分，比赛分，比赛 24 局以后，父子得分相同，问他们各胜几局？局以后，父子得分相同，问他们各胜几局？ 分析：分析：法一：设儿子胜了x局，输了24x局，父亲胜了24x局，输了x局， 则由得分关系得824224xxxx ，解得6x ， 所以儿子赢了 6 局，父亲赢了 18 局 法二：本题中要求儿子和父亲各胜多少局，可分别设两个未知数为x和y，要求两个未知数 的值，一般要根据不同的等量关系列出两个方程题中儿子、父亲比赛的总局数是 24 局， 可列出一个方程：24xy 另外， 两人的得分相同， 儿子胜的局数正好是父亲负的局数， 由此列出另一个方程：82xyyx所以可列出方程组：
47、 24(1) 82(2) xy xyyx 将变形为3yx，代入，得324xx，解得6x ，所以18y 所以儿子胜了 6 局，父亲胜了 18 局 4.4.一位牧羊人赶着一群羊去放牧， 跑出一只公羊后， 他数了数羊的只数， 发现剩下的羊中，一位牧羊人赶着一群羊去放牧， 跑出一只公羊后， 他数了数羊的只数， 发现剩下的羊中， 公羊与母羊的只数比是公羊与母羊的只数比是9:7；过了一会儿跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊，牧；过了一会儿跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊，牧 羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7:5这群羊原来有多少只？
48、这群羊原来有多少只？ 分析：分析：设原来公羊有x只，母羊有y只，那么根据题目条件有以下数量关系： 1 :9:7 :17:5 xy xy 根据有关比例性质，方程组可化简为： 28 21 x y ，所以这群羊原来有282149只. 5.5.有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出 8 个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了； 再从乙堆中取出再从乙堆中取出 6 个给丙堆，乙、 丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取个给丙堆，乙、 丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取 2 个给甲堆，个给甲堆， 使甲堆石子数是丙堆石子数的使甲堆石子数
49、是丙堆石子数的 2 倍，问：原来甲堆有多少个石子？倍，问：原来甲堆有多少个石子？ 分析：分析：解：设甲堆原来有x个石子，那么甲堆取出 8 个给乙堆后，甲乙两堆都是8x （）个 石子；再从乙堆中取出 6 个给丙堆，乙、丙两堆的石子数都变成（86x ）个石子；此时 又从丙堆中取 2 个给甲堆， 那么甲堆石子数变成 （82x ） 个， 丙堆石子数变成 （862x ） 个，有6216xx（），解得26x 1.有三个连续的整数， 已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是68， 求这三个连续整数. 分析：分析：设最小的那个数为x，那么中间的数和最大的数分别为1x和2x 则2(1)3(2)68xxx 6868x 660 x 10 x 所以这三个连续整数依次为 10、11、12 答案：答案：10、11、12 2.兄弟二人共养鸭 550 只，当哥哥卖掉自己养鸭总数的一半，弟弟卖出 70 只时，两人余下 的鸭只数相等，求兄弟两人原来各养鸭多少只？ 分析：分析：设兄原来养鸭x只，则弟原来养鸭550 x（）只 255070 24802 3960 320 xxx xxx x x （） （） 550320330（只） 答案：答案：兄原来养鸭 320 只，弟原来养鸭 230 只 3 3. .一人看见山上有一群羊，他自言自语到： “我如果
