1、深圳市高三数学第一次调研考试试题答案及评分参考第1页（共13页） 2021 年深圳市高三第年深圳市高三第一一次调研考试次调研考试 数学试题答案及评分参考 一、单项选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B A D C B C 二、多项选择题： 题号 9 10 11 12 答案 AC BC BD ABD 12. 解析： （1）考查选项 A：若/CD平面xOy，考虑以下特殊情形： 当点B与坐标原点O重合时，S为正方形； 当点A与坐标原点O重合时，S为三角形，故选项 A 正确； （2）考查选项 B：若点A与坐标原点O重合，即AB在z轴上， 易知/CD平面xOy，且S为三角形，
2、不难知道其面积为 122 1 224 =，故选项 B 正确； （3）考查选项 C：当OAOBOC=，且点O在正四面体ABCD外部时， 则点D恰好为以OA，OB，OC为棱的正方体的一个顶点， 1AB =， 2 2 OA=，S是边长为 2 2 的正方形，其面积为 1 2 ，故选项 C 错误； （不难知道当OA OBOC=，且点O在正四面体ABCD内部时，S为三角形，且其面积为 5 12 ） （4）考查选项 D：设AB的中点为M，则 1 2 OM =，且 3 2 MD =， 易知 133 22 ODOMMD + +=，即 3 2 OD ， 点D到坐标原点O的距离小于 3 2 ，故选项 D 正确； 综
3、上所述，应选 A、B、D. 三、填空题： 13. 2 1 ( )= 4 f xx +（答案不唯一） ； 14. 8； 15. 6； 16. 13 + 23 . 绝密绝密启封并使用完毕前启封并使用完毕前 试题类型：试题类型：A 深圳市高三数学第一次调研考试试题答案及评分参考第2页（共13页） 13. 解析： 2 1 ( )= 4 f xx +，或 2 1 ( )= 2 x f x + ，或 2 1 ( )= 2 x f x + 等(只需 2 ( )=f xaxc+满足 1 4 ac =即可) 16. 解析：不妨设BCa=，ACb=， 若30ACB=，则由正弦定理可得2 sin30 AB = ，故
4、1AB =， 由余弦定理得 222222 3 12cos303(1)() 2 ababababab=+=+， 22 42 3ab+， 显然ABC 为由ABC所得到的拿破仑三角形(等边三角形)，设其边长为x， 易知90ACB=，且 3 3 ACa=， 3 3 BCb=， 22222 331 ()()() 333 xabab=+=+， ABC 的面积 222 33313 ()(42 3)+ 4121223 Sxab=+=， 显然可取等号，即ABC 的面积最大值为 13 + 23 ，故应填 13 + 23 . 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分） 设数列 n a的前
5、n项和 n S，满足 1 12 n n n S S S + = + ，且 1 1a =. （1）证明：数列 1 n S 为等差数列； （2）求 n a的通项公式. 解： （1）由 1 12 n n n S S S + = + ，得 1 121 n nn S SS + + = ， 2 分 1 11 2 nn SS + = ， 11 11 1 Sa = ， 故数列 1 n S 是首项为 1，公差为 2 的等差数列. 4 分 （2）由（1）知 1 1 (1) 221 n nn S = += ， 则 1 21 n S n = ，6 分 当1n且n 时，1 112 2123(21)(23) nnn aS
6、S nnnn = ，8 分 深圳市高三数学第一次调研考试试题答案及评分参考第3页（共13页） 故 n a 的通项公式为 1=1 =2 1. (21)(23) n n a n nn ， ， 10 分 【命题意图】 本题主要考查等差数列的定义和通项公式， 以及 n a与 n S的关系， 考察了学生的数学运算， 逻辑推理等核心素养. 18 （12 分） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知A为锐角， 22 sincos 2 ca BC ab =. （1）求A； （2）若 3 4 bc=，且BC边上的高为2 3，求ABC的面积. 解： （1） 22 sincos 2 ca BC ab
7、=， 22 2sin2cosabBcaabC=+， 1 分 由余弦定理，得 222 2coscababC=+， 2 2sinabBb=， 2 sinaBb=， 2 分 由正弦定理，得 sinsin ab AB =， 2sin sinsinABB=， 又()0,B，即sin0B， 1 sin 2 A=， 4 分 角A为锐角， 6 A=. 6 分 （2）BC边上的高为2 3， ABC的面积 1 =2 33 2 Saa =，7 分 又ABC的面积 1 =sin 24 bc SbcA=， 3 4 bc a=，即4 3bca=， 8 分 又 3 4 bc=， 深圳市高三数学第一次调研考试试题答案及评分参
8、考第4页（共13页） 2 16ca=，且 22 3 3 16 bca=，10 分 在ABC中，由余弦定理，得 2222 316193 cos 2224 38 3 bcaaaaa A bca + = ， 解得7a=， 11 分 = 37 3Sa=，即ABC的面积为7 3. 12 分 【命题意图】本题主要考察正弦定理，余弦定理等知识，意在考察考生方程、转化与化归思想，考察 了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养 19 （12 分） 某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未 投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分. 测试者累计得
9、分高于3分即通 过测试，并终止投篮. 甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各投10次，根据他们 每轮两分球和三分球的命中次数分别得到如下图表： （第 19 题图） 若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率. （1）求甲同学通过测试的概率； （2）若甲、乙两位同学均通过了测试，求甲得分比乙得分高的概率. 解： （1）甲同学两分球投篮命中的概率为5 . 0 5 10 7 10 6 10 3 10 4 10 5 = + ， 1 分 甲同学三分球投篮命中的概率为1 . 0 5 10 1 10 2 10 1 0 10 1 = + ， 2 分 设甲
10、同学累计得分为X， 深圳市高三数学第一次调研考试试题答案及评分参考第5页（共13页） 则(4)(4)(5)0.9 0.5 0.50.1 0.50.1 0.5 0.50.3P XP XP X=+=+= 甲同学通过测试的概率为0.3. 5 分 （2）同（1）可求，乙同学两分球投篮命中的概率为0.4，三分球投篮命中的概率为0.2， 7 分 设乙同学累计得分为Y，则 128. 04 . 04 . 08 . 0)4(=YP， 8 分 128. 04 . 06 . 02 . 04 . 02 . 0)5(=+=YP， 9 分 设“甲得分比乙得分高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B， 则()(
11、5)(4)0.075 0.1280.0096P ABP XP Y=， 10 分 0768. 0)5()4()5()4()(=+=+=YPYPXPXPBP， 11 分 由条件概率公式可得， ()0.00961 (|) ( )0.07688 P AB P A B P B =. 12 分 【命题意图】本题以体育运动为背景，通过频率与概率定义以及条件概率公式等知识点，考查学生数 学建模、数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现分类讨论的数学思想. 20 （12 分） 如图，在四棱锥SABCD中，13SASBSCSD=，ACCD，6AB=，8BD=. （1）求证：平面SAD平面ABCD； （2）求二面角A
12、 SBD的余弦值. （第 20 题图） 解： （1）证明： 如图所示，取AD的中点M，连接SM，MC. 1 分 SASD=， SMAD. ACCD， ACD是直角三角形， 1 2 CMAD=， AMCMDM=. SASC=， A B C D S M C A B D S 深圳市高三数学第一次调研考试试题答案及评分参考第6页（共13页） RtSAM RtSCM， 3 分 2 CMSAMS=， AMCMM=， SM 平面ABCD， 又SM 平面SAD， 平面SAD平面ABCD. 5 分 （2）由（1）可知，SM 平面ABCD， 2 BMSAMS=， 又SASB=， RtSAM RtSBM， BMAM
13、=， A，B，C，D四点共圆， ABBD. 6 分 6AB=，8BD=， 10AD=， 5AM =， 又13SA=， 12SM =. 7 分 （解法一）以B为坐标原点，BD为x轴，BA为y轴，过点B平行于SM的直线为z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系，易得(0,0,0)B，(8,0,0)D，(0,6,0)A，(4,3,12)S， 8 分 则有(4,3,12)=BS，(0,6,0)=BA，(8,0,0)=BD， 分别设平面ABS和平面DBS的法向量为 111 ( ,)=mx y z和 222 (,)=nxy z， 则 0 0 = = ， ， BA m BS m 即 1 111 60 43120
14、 = += ， ， y xyz 9 分 则平面ABS的一个法向量为(3,0, 1)=m， 同理，平面DBS的一个法向量为(0,4, 1)n =， 10 分 1170 cos, 1701017 m n m n mn = ， 11 分 A B C D S M z y x 深圳市高三数学第一次调研考试试题答案及评分参考第7页（共13页） 设二面角A SBD的平面角为，则 170 cos 170 =. 12 分 （解法二）以M为坐标原点，过点M平行于DB的直线为x轴，平行于AB的直线为y轴，MS为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得(4,3,0)B，( 4,3,0)D ，(4, 3,0)A，(0
15、,0,12)S， 8 分 则有( 4, 3,12)BS = ，(0, 6,0)BA=，( 8,0,0)BD = ， 分别设平面ABS和平面DBS的法向量为 111 ( ,)=mx y z和 222 (,)=nxy z， 则 0 0 = = ， ， BA m BS m 即 1 111 60 43120 y xyz = += ， ， 9 分 则平面ABS的一个法向量为(3,0,1)m =， 同理，平面DBS的一个法向量为(0,4,1)n =， 10 分 1170 cos, 1701017 m n m n mn = ， 11 分 设二面角A SBD的平面角为，则 170 cos 170 =. 12
16、分 （解法三）如图所示，过点A，D分别作SB的垂线，并交SB于点E，F. 8 分 在等腰SAB中，由 2222 ABBEASSE=， 得 2222 613(13)BEBE=，解得 18 13 BE =， 在RtEAB中，由 22222 2 1836 160 6() 1313 AEABBE =， 9 分 同理， 32 13 BF =， 2 2 64 153 13 FD =， 则 14 13 EFBFBE=，10 分 由AD EAEFFD= + ， 可得 2222 2 ()2ADEAEFFDEAEFFDEA FD= +=+， 则 22 2222 36 1601464 15336 16064 153
17、 10()2cos, 1313131313 EA FD =+ ， 解得 170 cos, 170 EA FD=， 11 分 易知二面角A SBD的平面角就是EA与FD的夹角， 设二面角A SBD的平面角为，则 170 cos 170 =. 12 分 【命题意图】本题主要考察线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，空间向量，二面角的平面角.涉 A B C D S M E F x z A B C D S M y 深圳市高三数学第一次调研考试试题答案及评分参考第8页（共13页） 及到的思想方法主要有向量法，数形结合思想，等价转化思想.考察了学生的直观想象，逻辑推理，数学运 算等核心素养. 21 （12
18、 分） 设O是坐标原点，以 1 F， 2 F为焦点的椭圆 2 2 22 :1(0) xy Cab ab +=的长轴长为2 2，以 12 FF为直径 的圆和C恰好有两个交点. （1）求C的方程； （2）P是C外的一点，过P的直线 1 l， 2 l均与C相切，且 1 l， 2 l的斜率之积为 1 ( 1) 2 mm ， 记u为PO的最小值，求u的取值范围. 解：（1）由题意，22 2a =， 2a =， 1 分 又以 12 FF为直径的圆和C恰好有两个交点， 即bc=， 2 分 又 222 +=2bca =， 1bc= =， 3 分 C的方程为 2 2 1 2 x y+=. 4 分 (解法一)由题
19、意， 1 l， 2 l的斜率存在且不为零，设过点 00 (,)P xy 的切线 00 :()l yyk xx= ， 由方程组 00 2 2 () 2 yyk xx x y = + ， =1， 消去y， 并整理得 222 0000 (1 2)4 ()2()20kxk ykx xykx+=， 6 分 l与C相切， 22 000 2 0 2 168(1()(21)(ykxykkkx=+=0， 7 分 化简并整理，得 0 22 0 () =21kxky +， 整理成关于k的一元二次方程得 222 0000 (2)210 xkx y ky+ =， （易知 0 2x ） 8 分 设 1 l， 2 l的斜率
20、分别为 1 k， 2 k， 易知 1 k， 2 k为方程 222 0000 (2)210 xkx y ky+ =的两根， 2 0 12 2 0 1 2 y kkm x = ， 深圳市高三数学第一次调研考试试题答案及评分参考第9页（共13页） 22 00 1 2ymxm=+ ， () 222 000 11 2xym xm+=+ ， 10 分 () 222 000 |112POxym xm=+=+ ， 易知当 0 0 x = 时，有 min |12uPOm=， 11 分 又 1 1 2 m ， 23u， 即u的取值范围为 2, 3. 12 分 (解法二)由题意， 1 l， 2 l的斜率存在且不为零
21、，设点 00 (,)P xy ， 1 lykxb=+： ， 2 m lyxn k =+：， 显然 m k k ，即 2 0km， 由方程组 2 2 2 ykxb x y =+ + ， =1， 消去y，并整理得 222 (1 2)4220kxkbxb+=， 6 分 1 l与C相切， 222 (4)4(21)(22)kbkb=+=0， 即 22 =21bk +， 7 分 同理由 2 l与C相切可得， 2 2 2 2 =1 m n k +， 由方程组 ykxb m yxn k =+ + ， =， 解得 0 2 2 0 2 () = nb k x km k nbm y km ， =， 8 分 2222
22、2 2 0 22 24222 2 0 22 2 () 2 () n kb knbk x km n kb mnbmk y km + = + ， =， 22 00 ymx 422222222 222 ()() = () kmknmmkbk nmb kmkm + = ， 又 22 =21bk +， 2 2 2 2 =1 m n k +， 2 22 2 22 00 2 2 (1)(21) =12 m kmk k ymxm km + ， 深圳市高三数学第一次调研考试试题答案及评分参考第10页（共13页） 22 00 1 2ymxm=+ ， () 222 000 11 2xym xm+=+ ， 10 分
23、() 222 000 |112POxym xm=+=+ ， 易知当 0 0 x = 时，有 min |12uPOm=， 11 分 又 1 1 2 m ， 23u， 即u的取值范围为 2, 3. 12 分 【命题意图】本题以直线与椭圆为载体，以椭圆的双切线（切点弦）性质为背景，利用代数方法解决 几何问题，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 22 （12 分） 已知函数 2 ( )ln2 (1 ln )f xaxxx=+，Ra. （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若函数 22 ( )e( )2g xf xa=有且仅有3个零点，求a的取值范围.（其中常数=2.718 2
24、8e，是自 然对数的底数） 解： （1）易知( )f x的定义域为(0,)+，且 2()ln ( ) axx fx x =，(1)0 f =，1 分 若0a，当(0,1)x时，( )0fx；当(1,)x+时，( )0fx， ( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减； 2 分 若01a，易知当(0, )xa时，( )0fx； 当( ,1)xa时，( )0fx；当(1,)x+时，( )0fx； ( )f x在(0, )a和(1,)+上单调递减，在( ,1)a上单调递增； 3 分 若1a =，则( )0fx， ( )f x在(0,)+上单调递减； 4 分 若1a ，易知当(0,1)
25、x时，( )0fx； 当(1, )xa时，( )0fx；当( ,)xa+时，( )0fx； ( )f x在(0,1)和( ,)a +上单调递减，在(1, )a上单调递增. 深圳市高三数学第一次调研考试试题答案及评分参考第11页（共13页） 综上所述， 当0a时，( )f x在(0,1)上单调递增， 在(1,)+上单调递减； 当01a时，( )f x在(0, )a 和(1,)+上单调递减，在( ,1)a上单调递增；当1a =时，( )f x在(0,)+上单调递减；当1a 时，( )f x在 (0,1)和( ,)a +上单调递减，在(1, )a上单调递增. 5 分 （2）令( )0g x =，则
26、2 2 2 ( ) e a f x =， 依题意可知函数( )yf x=与 2 2 2 e a y =的图象有3个不同的交点， 由（1）易知必有01a，或1a ， 6 分 当01a时，( )f x在(0, )a和(1,)+上单调递减，在( ,1)a上单调递增， ( )f x的极大值为(1)2f=，( )f x的极小值为 2 ( )(ln2ln2)f aaaa=+， 又 2 22 2 2 ( )(ln2ln2)(ln1)1 e a f aaaaaaa=+=+， 函数( )yf x=与 2 2 2 e a y =的图象至多有1个交点，不合题意， 7 分 当1a 时，( )f x在(0,1)和( ,
27、)a +上单调递减，在(1, )a上单调递增， ( )f x的极小值为(1)2f=，( )f x的极大值为 2 ( )(ln2ln2)f aaaa=+， 须有 2 2 2 2 2(ln2ln2) e a aaa+成立， 2 2 2 2 e a ，ea ， 8 分 2 2 2 2 (ln2ln2) e a aaa+， 2 2 2 ln2ln2 e a aa+（*） ， 下面求不等式（*）的解集， （解法一）令lnax=，则不等式（*）等价于 22 2e22 x xx +， 令函数 22 ( )22e2 x h xxx =+，则 2 ( )222exh xx = ， 令 2 222exyx = ，
28、则 2 22exy = ， x (,2) 2 (2,)+ y + 0 y 极大值 函数 2 222exyx = 在区间( ,2) 上单调递增，在区间(2, )+上单调递减， 又(2)0y=， 2 222e0 x yx =， 9 分 即( )0h x恒成立，故函数( )h x单调递减， 又(2)0h=，当且仅当2x时，( )0h x ， 深圳市高三数学第一次调研考试试题答案及评分参考第12页（共13页） 不等式 22 2e22 x xx +的解集为( ,2) ，即不等式（*）的解集为 2 (0,e )， 10 分 （解法二）令函数 2 2 2 ( )ln2ln2 e a aaa=+，则 2 2
29、2ln2 e ( ) a a a a =， 令 2 2 2ln2 e a ya=，则 2 22 e y a = ， x 2 (0,e ) 2 e 2 (e ,)+ y + 0 y 极大值 函数 2 2 2ln2 e a ya=在区间 2 (0,e )上单调递增，在区间 2 (e ,)+上单调递减， 又 2 (e )0y=， 2 2 2ln20 e a ya=， 9 分 即( )0a恒成立，故函数( )a单调递减， 又 2 (e )0=， 不等式 ( )0a 的解集为 2 (0,e )， 10 分 必有 2 eea， 下面证明，当 2 eea时，函数 22 ( )e( )2g xf xa=有且仅
30、有3个零点， （解法一）一方面，当 2 eea时， 2 33 2 2 (e)2e(1) e aa a faaa =+， 11 分 另一方面，当 2 eea时， 33232 (e )94e9e4ee (94e)0fa=， 3 (e ) (1)ff， 不难知道，当 2 eea时，函数 22 ( )e( )2g xf xa=有且仅有3个零点， 综上所述，实数a的取值范围为 2 (e,e ). 12 分 （解法二）当 2 eea时，有 22 12 ( )( ) ln(1ln ) ln2 (1ln )ff aaaaaaaa aa =+ 22224 2(2 )ln2(2 )0aaaaa aaaaa =+=
31、， 1 ( )( )ff a a ， 11 分 显然当0 x时，有 2 e 2 x x (证明略)， 于是，当 2 eea时，有 12122 (e)(1)2 e(1)(1)0 aa fa aaa aa a + =+=， 1 (e)(1) a ff + ， 不难知道，当 2 eea时，函数 22 ( )e( )2g xf xa=有且仅有3个零点， 深圳市高三数学第一次调研考试试题答案及评分参考第13页（共13页） 综上所述，实数a的取值范围为 2 (e,e ). 12 分 【命题意图】 本题以基本初等函数的单调性和零点问题为载体， 考查学生利用导数分析、 解决问题的 能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.
