1、必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加,做超链接,且各个栏目居中放; 只有“考点”的书,只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 第二章第二章 函数函数 第第一节一节 函数及其表示函数及其表示 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加,做超链接,且各个栏目居中放; 只有“考点”的书,只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 学习要求学习要求: 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映 射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解 析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用. 必备知识 整合 关键能力
2、突破 栏目多的在上面加,做超链接,且各个栏目居中放; 只有“考点”的书,只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 1.函数与映射的概念函数与映射的概念 必备知识 整合 函数 映射 两集合A、B 设A、B是两个 非空数集 设A、B是两个 非空集合 对应关系 f:AB 按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中 的 任意 一个数x,在集合B中都有 唯一确定 的数f(x)与之对应 按某种确定的对应关系f,使对于集合A中的 任 意 一个元素x,在集合B中都有 唯一定 的 元素y与之对应 名称 称f:AB为从集合A到集合B的一个函数 称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射 记法 y=f(x),xA
3、对应f:AB 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加,做超链接,且各个栏目居中放; 只有“考点”的书,只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 提醒 判断一个对应关系是不是函数关系,就看这个对应关系是否满足函 数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个 核心点. 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加,做超链接,且各个栏目居中放; 只有“考点”的书,只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 定义域 ; 与x的值相对应的y值叫做函数值,
4、函数值的集合f(x)|xA叫做函数的 值域 . (2)函数的三要素: 定义域 、值域和对应关系. (3)相等函数:若两个函数的 定义域 相同,且 对应关系 完全一致, 则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据. (4)函数的表示方法: 解析法 、图象法、列表法. 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加,做超链接,且各个栏目居中放; 只有“考点”的书,只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 对应 关系 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示 的是一个函数. 提醒 一个分段函数的解析
5、式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的 定义域不可以相交. 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加,做超链接,且各个栏目居中放; 只有“考点”的书,只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 1.常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)y=ax(a0且a1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R. (5)y=tan x的定义域为. (6)函数f(x)=x0的定义域为x|xR且x0. (7)y=logax(a0,且a1)的定义域为x|x0. R,Z 2 x xxkk 且 知识拓展
6、知识拓展 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加,做超链接,且各个栏目居中放; 只有“考点”的书,只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 2.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k0)的值域是R. (2)y=ax2+bx+c(a0)的值域:当a0时,值域为;当a0且a1)的值域是(0,+). (5)y=logax(a0且a1)的值域是R. 2 4 , 4 acb a 2 4 , 4 acb a k x 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加,做超链接,且各个栏目居中放; 只有“考点”的书,只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 1.判断正误(正确的打“”,错误的
7、打“”). (1)函数y=1与y=x0是同一个函数.( ) (2)f(x)=+是一个函数.( ) (3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( ) (4)函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个.( ) 3x 2x 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加,做超链接,且各个栏目居中放; 只有“考点”的书,只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 2.若函数y=f(x)的定义域为M=x|-2x2,值域为N=y|0y2,则函数y= f(x)的图象可能是( ) B 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加,做超链接,且各个栏目居中放; 只有“考点”的书,只上”
8、考点一“这种简化标题 学科素养 提升 3.(新教材人教A版必修第一册P65例2改编)函数f(x)=的定义域为( ) A.(0,+) B.0,+) C.(1,+) D.1,+) 1 21 x A 解析解析 要使f(x)=有意义,需满足2x-10,解得x0,函数f(x)= 的定义域为(0,+),故选A. 1 21 x 1 21 x 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加,做超链接,且各个栏目居中放; 只有“考点”的书,只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 4.(2020山东威海一中期中)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x-2)的定 义域为( ) A.(-1,1)
9、 B. C.(-1,0) D. 1 1, 2 1 ,1 2 D 解析解析 f(x)的定义域为(-1,0), -12x-20,解得x1,函数f(2x-2)的定义域为,故选D. 1 2 1 ,1 2 必备知识 整合 关键能力 突破 栏目多的在上面加,做超链接,且各个栏目居中放; 只有“考点”的书,只上”考点一“这种简化标题 学科素养 提升 5.已知f(x)是一次函数,且f f(x)=x+2,则f(x)=( ) A.x+1 B.2x-1 C.-x+1 D.x+1或-x-1 A 解析解析 因为f(x)是一次函数,所以可设f(x)=kx+b(k0).由ff(x)=x+2得k(kx +b)+b=x+2,即
10、k2x+kb+b=x+2,所以k2=1,kb+b=2,解得k=1,b=1,则f(x)=x+1.故选A. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 典例典例1 (1)给出下列四个对应: A=R,B=R,对应关系f:xy,y=,xA,yB; A=,B=,对应关系f:ab,b=; A=x|x0,B=R,对应关系f:xy,y2=x,xA,yB; A=x|x是平面内的矩形,B=y|y是平面内的圆,对应关系f:每一个矩形都 对应它的外接圆. 1 1x * 1 |N 2 aa * 1 |,N n b bn 1 a 考点一考点一 函数、映射概念的理解函数、映射概念的理解 关键能力 突破 必备知识 整合
11、关键能力 突破 学科素养 提升 A. B. C. D. (2)下列函数中,与函数y=x+1是相等函数的是( ) A.y=()2 B.y=+1 C.y=+1 D.y=+1 1x 33 x 2 x x 2 x 其中是从A到B的映射的为 ( ) B B 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 (1)对于,当x=-1时,y的值不存在,所以不是从A到B的映射;对于 ,A,B是两个集合,分别用列举法表述为A=2,4,6,B=,由对应 关系f:ab,b=知,是从A到B的映射;不是从A到B的映射,如A中的元素1 对应B中两个元素1;是从A到B的映射. (2)对于A,函数y=()2的定义域为x
12、|x-1,与函数y=x+1的定义域不同,不 是相等函数;对于B,两个函数的定义域和对应关系都相同,是相等函数;对 于C,函数y=+1的定义域为x|x0,与函数y=x+1的定义域不同,不是相等函 数;对于D,两个函数的定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B. 1 1 1 1, , 2 3 4 1 a 1x 2 x x 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 名师点评名师点评 1.定义域和值域都相同的两个函数不一定是相等函数. 2.判断一个从集合A到集合B的对应是不是一个函数(映射)的依据可归纳为 可以一对一,也可以多对一,但不能一对多. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养
13、 提升 1.下列对应关系: A=1,4,9,B=-3,-2,-1,1,2,3, f:xx的平方根; A=R,B=R, f:xx的倒数; A=R,B=R, f:xx2-2; A=-1,0,1,B=-1,0,1, f:xx2. 其中是A到B的映射的是( ) A. B. C. D. C 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 2.下列四组函数中,表示相等函数的一组是( ) A.f(x)=|x|,g(x)= B.f(x)=,g(x)=()2 C.f(x)=,g(x)=x+1 D.f(x)=,g(x)= 2 x 2 xx 2 1 1 x x 1x1x 2 1x A 必备知识 整合 关键能力 突破
14、 学科素养 提升 角度一角度一 具体函数的定义域具体函数的定义域 典例典例2 (1)函数f(x)=+lg(6-3x)的定义域为( ) A.(-,2) B.(2,+) C.-1,2) D.-1,2 (2)函数f(x)=+lg的定义域为( ) A.(2,3) B.(2,4 C.(2,3)(3,4 D.(-1,3)(3,6 1x 4 |x 2 56 3 xx x 考点二考点二 函数的定义域函数的定义域 C C 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 (1)要使函数f(x)=+lg(6-3x)有意义,则即-1x2.故函数 f(x)的定义域为-1,2). (2)要使函数f(x)有意义,
15、需满足 即 解得2x3或3x4,故f(x)的定义域为(2,3)(3,4. 1x 10, 630, x x 2 4 | 0, 56 0, 3 x xx x | 4, (3)(2) 0, 3 x xx x 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 典例典例3 (1)(2019河北衡水联考)若函数y=的定义域为R,则实数m 的取值范围是( ) A. B. C. D. (2)若函数f(x)=的定义域为x|1x2,则a+b的值为 . 2 1 43 mx mxmx 3 0, 4 3 0, 4 3 0, 4 3 0, 4 2 axabxb 角度二角度二 已知函数定义域已知函数定义域,求参数的取值范围求
16、参数的取值范围 D - 9 2 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 (1)要使函数的定义域为R, 则mx2+4mx+30恒成立, 当m=0时,显然满足条件; 当m0时,由=(4m)2-4m30, 得0m. 综上可知,0m. (2)函数f(x)=的定义域是不等式ax2+abx+b0的解集. 由题意知不等式ax2+abx+b0的解集为x|1x2, 3 4 3 4 2 axabxb 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 所以解得 所以a+b=-3=-. 0, 12, 1 2, a b b a 3 , 2 3, a b 3 2 9 2 必备知识 整合 关键能力 突破 学
17、科素养 提升 角度三角度三 抽象函数的定义域抽象函数的定义域 典例典例4 已知函数f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)=f +f 的定义域 是 . 1 2 x 1 2 x 1 3 , 2 2 解析解析 因为函数f(x)的定义域是0,2,所以函数g(x)=f+f中的自变 量x需要满足解得x,所以函数g(x)的定义域是. 1 2 x 1 2 x 1 02, 2 1 02, 2 x x 1 2 3 2 1 3 , 2 2 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 变式探究 若函数y=f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)=的定义域是 . (2 ) 1 fx x 0,1) 解析解析 由题意
18、得解得0 x0恒成立, 则a=0或 解得0a1时, f(x)=x+a4+a,当且仅当x=2时,等号成立. 当x1时, f(x)=x2-2ax+9为二次函数,要想在x=1处取最小值,则函数图象的对 称轴要满足x=a1,并且f(1)4+a,即1-2a+9a+4,解得a2. 4 x 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 角度二角度二 已知函数值已知函数值,求参数的值求参数的值(或取值范围或取值范围) 典例典例7 设函数f(x)=则f(-1)= ;若f(a)f(a-1),则实数a的取值 范围是 . 2 2 ,0, 1,0, xx x xx -1 1 , 2 必备知识 整合 关键能力 突破 学
19、科素养 提升 名师点评名师点评 分段函数问题的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其 次选定相应的解析式代入求解. (2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解 析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变 量的取值范围. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 1.(2020辽宁盘锦一中模拟)已知函数f(x)=则f(f(x)2的解集为 ( ) A.(1-ln 2,+) B.(-,1-ln 2) C.(1-ln 2,1) D.(1,1+ln 2) 1 3 2e,1, ,1, x x xx x B
20、解析解析 因为当x1时, f(x)=x3+x2,当x1时, f(x)=22, 所以f(f(x)2等价于f(x)1,即21,解得x1-ln 2, 所以f(f(x)2的解集为(-,1-ln 2),故选B. 1 e x 1 e x 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 2.(2018课标全国文,12,5分)设函数f(x)=则满足f(x+1)f(2x)的x的 取值范围是( ) A.(-,-1 B.(0,+) C.(-1,0) D.(-,0) 2 ,0, 1,0, x x x D 解析解析 函数f(x)=的图象如图所示: 由f(x+1)f(2x)得得x1,舍去. 当a-10,即a1时,2a-1
21、-1=,解得a=log231,成立.故a=log23. 1 2 2 1 2 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 微专题微专题新定义函数的有关计算新定义函数的有关计算 新定义函数问题是近几年高考中函数的热点题型,解答这类问题的关键 在于阅读理解时准确把握新定义、新信息,并把它纳入已有的知识体系之中, 用原来的知识和方法来解决新情境下的问题,一般有两方面的考查:(1)利用 新函数进行计算;(2)讨论新函数的性质. 学科素养 提升 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 典例典例 (2020浙江镇海中学高三模拟)定义符号函数sgn x=若f(x)是定 义在R上的减函数,g(x)=
22、f(x)-f(ax)(a1),则( ) A.sgng(x)=sgn x B.sgng(x)=-sgn x C.sgng(x)=sgnf(x) D.sgng(x)=-sgnf(x) 1,0, 0,0, 1,0, x x x A 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 由题意知g(x)=f(x)-f(ax), 且f(x)是R上的减函数, 当x0时,xf(ax), 则g(x)=f(x)-f(ax)0, 此时sgng(x)=1; 当x=0时,x=ax,则有f(x)=f(ax), 则g(x)=f(x)-f(ax)=0, 此时sgng(x)=0; 当xax,则有f(x)f(ax), 必备
23、知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 则g(x)=f(x)-f(ax)0, 此时sgng(x)=-1. 综上所述,sgng(x)=sgn x. 故选A. 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 根据新定义得到f(x)的表达式,判断函数f(x)在定义域的单调性,可得结果. 1.(2020辽宁大连高三月考)在实数的原有运算法则中,我们定义新运算 “” 如下:当ab时,ab=a;当a(2x-1)sgn x的解集为 . 1,0, 0,0, 1,0, x x x 333 |3 4 xx 必备知识 整合 关键能力 突破 学科素养 提升 解析解析 当x0时,不等式可转化为x+22x-1,解得0 x1,不等式成立; 当x,因为2x-10,所以等价于(x+2)(2x-1) 1,即2x2+3x-30,解得x0. 综上所述,不等式的解集为 . 1 21x 333 4 333 |3 4 xx