1、教师姓名 单位名称 填写时间 学科 数学 年级/册 八年级（下） 教材版本 人教版 课题名称 第十七章 17.1利用勾股定理解决折叠问题 难点名称 根据折叠中的相等关系，利用勾股定理列出方程，将问题化繁为简，并且让“数”和“形”自然 的结合起来。 难点分析 从知识角度分析 为什么难 根据折痕找到折叠前后对应边对应角，运用方程的思想、勾股定理来求线段的 长度，具有一定的难度。 从学生角度分析 为什么难 折叠问题属于操作变化类题型，涉及转化思想、方程思想、解方程即数形结合 的数学思想方法，这里的数学思想是学生的难点。 难点教学方法 1. 通过折叠操作，明确折叠的性质，会进行线段的转移，熟练将方程思
2、想与勾股定理结合，掌握 利用勾股定理解决折叠问题的方法。 2.通过把具体问题联系到我们学过的直角三角形的知识，能够利用勾股定理的关系式，设出未知 数，列出方程。 教学环节 教学过程 导入 一、引入课题一、引入课题 1.动手折一折：用一张直角三角形形状的纸片,你能折叠出全等的三角形吗? 说明理由。让学生动 手操作。进一步引导学生猜想用一张任意长方形形状的纸片,你还能折叠出全等的三角形吗? 2.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么。 2.导语入课：勾股定理的应用非常广泛，在解决有趣的折叠问题中更体现了勾股定理的应用价值。 下面我们就一起探究勾股定理在折叠问题中的应
3、用。 知识讲解 （难点突破） 二、二、自主尝试与合作探究自主尝试与合作探究 探究一：直角三角形中的折叠探究一：直角三角形中的折叠 例 1 如图，一张直角三角形纸片，两直角边 AC=5cm,BC=10cm,将ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折 痕为 DE,则 CD 的长为_. 问：（1）从折纸过程中你发现了什么？（答：应用了轴对称的性质可得两三角形全等） （2）本题已知什么？求的是什么？ 222 cba （3） 本题将ABC 折叠， 使得 B 与 A 重合， 折痕为 DE， 可得到什么？为什么这两个三角形会全等？ 依据是什么？ （4）观察 CD 在哪一个三角形中？你能表示出这个三角形的每一
4、条边吗？ 【分析】： 折叠意味着轴对称，折叠前后的图形全等，会得到对应的线段和对应的角相等，在 明确已知条件，求解问题之间的联系，将条件集中于直角三角形中，便可利用勾股定理求解。 解：设 CD=xcm,则 DB=(10-x)cm,如图 由题意，根据折叠的性质， ADEBDE, 则 AD=BD=10-x, 且 AC=5. 在 RtACD 中，由勾股定理得， AD=AC+CD， （10-x）=5+x, x=15/4. 练习 1：已知：如图所示，在ABC 中，C=90，以 AD 为折痕进行翻折，使点 C 落在 AB 边上点 E 处，AC=6，AB=10，求三角形 ACD 的面积？ 问：（1）从折纸过
5、程中你发现了什么？图形折叠前后，哪些对应边相等？ （2）本题已知什么？求的是什么？ （3）求三角形 ACD 的面积应该怎么办？ （4）请谈谈我们解决这类折叠问题的思路和方法？ 注：(1)本题学生谈解决图形中的折叠问题时，解决问题的关键是什么？ 【分析】：首先利用折叠性质，找到相等线段 AE=AC，DE=CD。再看已知条件：AC=AE=6， AB=10，在 RTABC 中，利用勾股定理求出 BC=8，BE=AB-AE=4（一边求，一边标）。设所 求线段 CD=x，则 DE=x，DB=8-x。在 RTBED 中，利用勾股定理列方程：4+x=(8-x)， 求出 x，进而求三角形 ACD 的面积。 师
6、：用这样的解题思路，我们再来折叠长方形，看看又有什么样的问题等着大家呢？ 探究二：长方形（矩形）中的折叠探究二：长方形（矩形）中的折叠 例 2 如图所示，将长方形纸片 ABCD 的一边 AD 向下折叠，点 D 落在 BC 边的 F 处。已知 AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求 EC 的长。 【分析】：因为折叠得到的AEF 与原 AED 全等，所以 AF =AD =10cm，在 RtABF 中，由勾股定理 ,求得BF 的长度。进而得出 CF=BCBF=10-6=4，在 RtECF 中,设 CE= x，则 EF=8x，利用勾 股定理列出方程, CE 的长度 解：四边形 ABCD 是长方形
7、， AD=CB=10cm，AB=DC=8cm，D=DCB=ABC=90， 由折叠可得：AFEADE 全等，其中 AF=AD=10cm，EF=DE，AFE=90，并且 EF EC=DC=8cm。 在 RtABF 中，由勾股定理得： =100-64=36 BF=6cm 则 CF=BCBF=10-6=4cm， 在RtFEC中， 可以设EC=xcm， 则EF=(8x)cm， 根据勾股定理可以得 ECFC=EF， 即 x4=（8x）,x=3， EC 的长为 3cm. 师：通过对本道题的探究，你知道利用勾股定理解决折叠问题一般思路是什么（解题步 骤）？ 解题步骤归纳： （1）根据折痕找到折叠前后的全等三角
8、形，找对应的边相等； （2）标出题目中的已知线段，求出所能算出的边，标出题目中所有可以表示出的线段； （3）标明问题，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数。 （4）利用勾股定理，列出方程，解方程，最后得出解。 练习 2：如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 与点 B 重合，已知 AB3，AD9，求 BE 的长. 222 ABAFBF 222 ABAFBF 课堂练习 （难点巩固） 三、课堂练习：三、课堂练习： 如图,矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm,AD=8cm，在 BC 上找一点 F，沿 DF 折叠矩形 ABCD，使 C 点落在对 角线 BD 上的点 E 处，此时 CF
9、 的长是多少？ 你还能用其他方法求 CF 的长吗？ 师：提示用面积求： 方法一： 方法二： 师：提出问题 在方法一中，表示三角形 BDF 的面积时，能否以 BF 为底，DC 为高？试一试 学生通过计算发现未知数抵消了。 教师接着发问：“为什么会出现这种情况？” 学生思考后，发现未知数抵消的原因。在这个思考探究的过程中，使学生的思维发生了碰撞，碰 撞出火花，是学生的思维得到提升。 小结 折叠问题，它主要考察学生的逻辑推理能力，空间想象能力以及所学有关知识的灵活应用能 力，图形中往往出现直角三角形，这就需要利用勾股定理来解决，本文借助两道例题，从折叠问 题中求有关线段的长度出发，由浅入深地讲解在直角三角形中，如何利用于勾股定理列出方程， 将问题化繁为简，并且让转化思想、方程思想、“数”“形”思想自然的结合起来。 2 22 84xx 2222 1684xxx 3x 86 2 1 10 2 1 6 2 1 xx 3x xx10 2 1 6 2 1 86 2 1 3x
