1、第 1 页（共 21 页） 2021 年陕西省渭南市临渭区高考数学第二次质检试卷（理科）年陕西省渭南市临渭区高考数学第二次质检试卷（理科） （二模）（二模） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 2 |23 0Ax xx ， |21 x By y，则AB等于( ) A(1,) B 1，) C(1，3 D( 1,) 2 （5 分）若复数z满足(1)3i zi（其中i为虚数单位） ，则| | z等于( )
2、 A5 B2 C2 D1 3 （5 分）已知 1 sin2 3 ，则 2 cos ()( 4 ) A 1 3 B 1 3 C 2 3 D 2 3 4 （5 分）已知 3 log2a ， 0.1 be， 3 3 clne，则a，b，c的大小关系是( ) Aabc Bacb Ccba Dcab 5 （5 分）在直三棱柱 111 ABCABC中，2AB ，3AC ，30BAC， 1 5AA ，则 其外接球的体积是( ) A6 B 9 2 C 8 2 3 D13 2 6 （5 分）已知向量(cos ,sin )a，(0, 1)b ，(0,) 2 ，则向量a与向量b的夹角为( ) A B 2 C 2 D
3、 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是( ) 第 2 页（共 21 页） A66 B36 C55 D45 8 （5 分）设随机变量X，Y满足：31YX，(2, )XBp，若 5 (1) 9 P X，则( )(D Y ) A4 B5 C6 D7 9 （5 分）下图网格纸中小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何 体的表面积为( ) A784 2 B744 2 C584 2 D544 2 10 （5 分）如图为我国数学家赵爽（约 3 世纪初）在为周牌算经作注时验证勾股定理 的示意图，现在提供 6 种不同的颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色， 相
4、邻区域颜色不同，则A，C区域涂同色的概率为( ) 第 3 页（共 21 页） A 2 7 B 5 7 C 9 13 D 4 13 11 （5 分）已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B 两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点(10,0)P，则AOB的面 积为( ) A4 3 B4 6 C8 2 D8 6 12（5 分） 已知定义在R上的奇函数， 满足(2)( )0fxf x， 当(0 x，1时， 2 ( )logf xx ， 若函数( )( )sinF xf xx，在区间 1，m上有 10 个零点，则m的取值范围是( ) A3.5，
5、4) B(3.5，4 C(3，4 D3，4) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） 2 1 1 () e xdx x 14 （5 分）设函数 32 ( )(2)f xxaxax若( )f x的图象关于原点(0,0)对称，则曲线 ( )yf x在点(1,3)处的切线方程为 15 （5 分）已知函数 2 3 ( )3cossin cos 2 f xxxx，给出下列结论： 函数( )f x的最小正周期为； 函数() 12 yf x 是偶函数； 函数( )f x关于点( 26 k ，0)()kZ成中心对称； 函数( )
6、f x在 3 , 22 上单调递减 其中正确的结论是 .（写出所有正确结论的序号） 16 （5 分）已知 1 F、 2 F分别是双曲线 2 2 :1 2 x Cy的左、右焦点，过点 1 F且垂直于x轴的 直线与双曲线C相交于A，B两点，则 2 ABF的内切圆的半径为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分分 1
7、7 （12 分） 设 n a是等比数列， 公比大于 0， 其前n项和为() n SnN， n b是等差数列 已 知 1 1a ， 32 2aa， 435 abb， 546 2abb （）求 n a和 n b的通项公式； 第 4 页（共 21 页） （）设 nnn cab，求数列 n c的前n项和 n T 18 （12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，BC 平面 11 AAC C，D是 1 AA的中点，ACD 是边长为 1 的等边三角形 （1）证明： 1 CDB D； （2）若3BC ，求二面角 11 BC DB的大小 19 （12 分）针对国内天然气供应紧张问题，某市打响了节约能源
8、的攻坚战某研究人员为 了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，数据资料见表1: 表1: 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 1 2 3 4 5 天然气需求量/y亿立方 米 24 25 26 28 29 （） 已知这 5 年的年度天然气需求量y与x之间的关系可用线性回归模型拟合， 求y与x的 线性回归方程，并预测 2021 年该地区的天然气需求量； （）政府部门为节约能源出台了购置新能源汽车补贴方案 ，根据续航里程的不同，将 补贴金额划分为三类，A类：每车补贴 1 万元；B类：每车补贴 2 万元；C类：每车补贴 3 万元某出租车公司对该公司
9、 120 辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如表2: 表2: 类型 A类 B类 C类 车辆数目 20 40 60 为了制定更合理的补贴方案， 政府部门决定用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的 补贴情况， 在该出租公司的 120 辆车中抽取 6 辆车作为样本， 再从 6 辆车中抽取 2 辆车进一 步跟踪调查若抽取的两辆车享受的补贴金额之和记为，求的分布列及期望 第 5 页（共 21 页） 参考公式： 11 222 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx ， a ybx 20 （12 分）设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点
10、3 (1,) 2 ，且离心率为 3 2 ，F为E 的右焦点，P为E上一点，PFx轴，F的半径为PF （1）求E和F的方程； （2）若直线:(3)(0)l yk xk与F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A， C在第一象限，是否存在k使| |ACBD？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由 21（12 分） 已知曲线( )2(0)f xaxlnxax a在点(1P，f（1）)处的切线与直线10 xy 垂直 （1）求函数( )f x的最小值； （2）若12m证明： 2 ( )f xxmxlnx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分考生从分考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，
11、则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 ( 2 xt t yt 为参数） 在以原点O为 极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 2 3 12cos （）直接写出直线l、曲线C的直角坐标方程； （）设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 1 ( ) |2|f xxax a ， （实数0)a （）当1a ，求不等式( )3f x 的解集； （）求证：( )2f x 第
12、 6 页（共 21 页） 2021 年陕西省渭南市临渭区高考数学第二次质检试卷（理科）年陕西省渭南市临渭区高考数学第二次质检试卷（理科） （二模）（二模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 2 |23 0Ax xx ， |21 x By y，则AB等于( ) A(1,) B 1，) C(1，3 D( 1,) 【解答】解： | 13Axx 剟， |1By y，
13、1AB ，) 故选：B 2 （5 分）若复数z满足(1)3i zi（其中i为虚数单位） ，则| | z等于( ) A5 B2 C2 D1 【解答】解：由(1)3i zi，得 2 22 3(3)(1)3324 12 1(1)(1)112 iiiiiii zi iii ， 22 | |12 |125zi 故选：A 3 （5 分）已知 1 sin2 3 ，则 2 cos ()( 4 ) A 1 3 B 1 3 C 2 3 D 2 3 【解答】解： 2 1cos(2) 1sin2 2 cos () 422 ， 由于： 1 sin2 3 ， 所以： 2 1 1 2 3 cos () 423 ， 故选：D
14、 4 （5 分）已知 3 log2a ， 0.1 be， 3 3 clne，则a，b，c的大小关系是( ) Aabc Bacb Ccba Dcab 第 7 页（共 21 页） 【解答】解： 33 11 log22(0, ) 22 alog， 0.10 1bee， 3 3 31 ( 32 clne，1)， acb 故选：B 5 （5 分）在直三棱柱 111 ABCABC中，2AB ，3AC ，30BAC， 1 5AA ，则 其外接球的体积是( ) A6 B 9 2 C 8 2 3 D13 2 【解答】解：直三棱柱 111 ABCABC中， 如图所示： 已知2AB ，3AC ，30BAC， 所以利
15、用余弦定理： 222 2cos30BCACABAC AB ， 整理得 222 3 2( 3)223 2 BC ， 解得1BC ， 所以 222 ABACBC，故ABC为直角三角形； 所以点D为ABC的外接圆的圆心， 直三棱柱的外接球的球心在平面 11 AA B B的中心位置， 由于 1 5AA ， 所以 22 53 ()1 22 ROC， 故 3 439 ( ) 322 V 球 故选：B 第 8 页（共 21 页） 6 （5 分）已知向量(cos ,sin )a，(0, 1)b ，(0,) 2 ，则向量a与向量b的夹角为( ) A B 2 C 2 D 【解答】解：sin ,| | 1a bab
16、，且(0,) 2 ， cos,sincos() 2| a b a b a b ， 又0, a b剟， 22 ， , a b的夹角为 2 故选：C 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是( ) A66 B36 C55 D45 【解答】解：模拟程序的运行，可得 1A，0n 执行循环体，1n ，3M ，3A 不满足条件6n ，执行循环体，2n ，2M ，6A 不满足条件6n ，执行循环体，3n ， 5 3 M ，10A 不满足条件6n ，执行循环体，4n ， 3 2 M ，15A 不满足条件6n ，执行循环体，5n ， 7 5 M ，21A 第 9 页（共 21 页） 不满足条件6n ，
17、执行循环体，6n ， 4 3 M ，28A 不满足条件6n ，执行循环体，7n ， 9 7 M ，36A 此时，满足条件6n ，退出循环，输出A的值为 36 故选：B 8 （5 分）设随机变量X，Y满足：31YX，(2, )XBp，若 5 (1) 9 P X，则( )(D Y ) A4 B5 C6 D7 【解答】解：随机变量X，Y满足：31YX，(2, )XBp， 5 (1) 9 P X， 02 2 4 (0)1(1)(1) 9 P XP XCp ， 解得 1 3 p ， 1 (2, ) 3 XB， 114 ()2(1) 339 D X， 4 ( )9()94 9 D YD X 故选：A 9
18、（5 分）下图网格纸中小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何 体的表面积为( ) A784 2 B744 2 C584 2 D544 2 【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体， 故所求表面积为 22 11 42232222 22584 2 84 ， 故选：C 第 10 页（共 21 页） 10 （5 分）如图为我国数学家赵爽（约 3 世纪初）在为周牌算经作注时验证勾股定理 的示意图，现在提供 6 种不同的颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色， 相邻区域颜色不同，则A，C区域涂同色的概率为( ) A 2 7 B 5
19、 7 C 9 13 D 4 13 【解答】解：根据题意，至少使用 3 种颜色由使用颜色数量，下面我们分三种情况： 使用 5 种颜色：选色 5 6 C，涂上去 5 5 A，共有 55 65 720C A 种； 使用 4 种颜色：选色 4 6 C，先涂D有 4 种，下面，一、若A、C同色，则B和E各涂剩余 的两色，有 2 2 3A种， 二 、 若A、C不 同 色 ， 则B和E必 同 色 ， 有 3 3 A种 共 4243 6263 4 34360360720CACA 种； 使用 3 种颜色：选色 3 6 C，先涂D有 3 种选择，D用掉一种颜色，下面只有A、C同色， B、E同色，有 2 2 A种，
20、共 32 62 3120CA种， 共计7207201201560种， 其中A，C区域涂同色的有360120480种， 则A，C区域涂同色的概率为 4804 156013 故选：D 第 11 页（共 21 页） 11 （5 分）已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B 两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点(10,0)P，则AOB的面 积为( ) A4 3 B4 6 C8 2 D8 6 【解答】解：设直线:2l xty， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则由 2 8 2 yx xty ，可以得到 2 8160yt
21、y， 所以AB的中点 2 (42Mt ，4 ) t，线段AB的垂直平分线与x轴交于点(10,0)P，故0t 所以AB的中垂线的方程为： 2 112 (42)48yxttxt ttt ， 令0y 可得 2 82xt，解方程 2 1082t，得1t 此时 222 12 |1| 8 1116ABtyytt， O到AB的距离为 2 2 2 1 d t ，所以 1 1628 2 2 OAB S 故选：C 12（5 分） 已知定义在R上的奇函数， 满足(2)( )0fxf x， 当(0 x，1时， 2 ( )logf xx ， 若函数( )( )sinF xf xx，在区间 1，m上有 10 个零点，则m
22、的取值范围是( ) A3.5，4) B(3.5，4 C(3，4 D3，4) 【解答】解：由( )f x为奇函数，则( )()f xfx ， 又(2)( )0fxf x，得：(2)()fxfx， 即函数( )f x是其图象关于点(1,0)对称，且周期为 2 的奇函数， 又sinyx的图象关于( ,0)k对称， 其图象如图所示： 在区间 1，m上有 10 个零点，则实数m的取值范围为：3.5，4)， 故选：A 第 12 页（共 21 页） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） 2 1 1 () e xdx x 3
23、12 33 e 【解答】解： 2333 1 1 111112 ()()|()(1) 33333 e e xdxxlnxelnelne x 故答案为： 3 12 33 e 14 （5 分）设函数 32 ( )(2)f xxaxax若( )f x的图象关于原点(0,0)对称，则曲线 ( )yf x在点(1,3)处的切线方程为 520 xy 【解答】解：由题函数 32 ( )(2)f xxaxax( )f x的图象关于原点(0,0)对称， 知( )f x为奇函数，可得0a ， 3 ( )2f xxx 2 ( )32fxx， f （1）5k所以切线方程为520 xy 故答案为：520 xy 15 （5
24、 分）已知函数 2 3 ( )3cossin cos 2 f xxxx，给出下列结论： 函数( )f x的最小正周期为； 函数() 12 yf x 是偶函数； 函数( )f x关于点( 26 k ，0)()kZ成中心对称； 函数( )f x在 3 , 22 上单调递减 其中正确的结论是 .（写出所有正确结论的序号） 【解答】解：函数 2 31cos213 ()3cossincos3sin2sin(2) 22223 x fxxxxxx ， 第 13 页（共 21 页） 对于，由三角函数的周期公式可得( )f x的最小正周期为 2 2 ，故选项正确； 对于，函数()sin2()sin(2)cos2
25、 121232 yf xxxx 是偶函数，故选项正 确； 对于，由于当 26 k x 时，sin(2)sin2()sin()0 3263 k xk ， 故函数( )f x关于点( 26 k ，0)()kZ成中心对称，故选项正确； 对于，在区间 3 , 22 上， 410 2, 333 x ，故函数( )f x在区间 3 , 22 上不是单调函 数，故选项错误 故答案为： 16 （5 分）已知 1 F、 2 F分别是双曲线 2 2 :1 2 x Cy的左、右焦点，过点 1 F且垂直于x轴的 直线与双曲线C相交于A，B两点，则 2 ABF的内切圆的半径为 3 3 【解答】 解： 由双曲线的方程可得
26、 2 2a ， 2 1b ， 所以可得左焦点 1( 3F ，0)， 右焦点 2( 3 F， 0)， 因为过点 1 F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于A，B， 所以3 AB xx ， 2 1 2 AB b yy a ， 即(3A ， 1 ) 2 ，(3B ， 1 ) 2 ， 所以 2 112 | 2 32 36 222 ABF SAB， 22 22 15 | |(2 3)() 22 AFBF， 设内切圆的半径为r，则 2 22 1 (|) 2 ABF ABAFBFrS， 可得 1 2 51 (2)6 222 r ，所以可得 3 3 r ， 故答案为： 3 3 三、解答题：共三、解答题：共 70
27、 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分） 设 n a是等比数列， 公比大于 0， 其前n项和为() n SnN， n b是等差数列 已 第 14 页（共 21 页） 知 1 1a ， 32 2aa， 435 abb， 546 2abb （）求 n a和 n b的通项公式； （）设 nnn cab，求数列 n c的前n项和 n
28、 T 【解答】解： （） n a是等比数列，公比q大于 0，且 1 1a ， 32 2aa， 2 20qq， 解得：2(1qq 舍去） ， 1 2n n a ； 又 n b是等差数列，设其公差为d，由 3 4354 228abbb，得 4 4b ， 又 4 546 242(42 )216abbd，解得1d ， n b的通项公式 4 (4) 1 n bbnn ； （）设 nnn cab，则 1 2n n cn ， 则 21 12 1 2 23 22n nn Tcccn ， 21 21 22 2(1) 22 nn n Tnn ， 得： 21 12 122222(1)21 12 n nnnn n T
29、nnn ， (1)21 n n Tn 18 （12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，BC 平面 11 AAC C，D是 1 AA的中点，ACD 是边长为 1 的等边三角形 （1）证明： 1 CDB D； （2）若3BC ，求二面角 11 BC DB的大小 【解答】 解：（1） 证明： 因为ACD是边长为1的等边三角形， 所以60ADC， 11 120DAC 因为D是 1 AA的中点，所以 111 1ADADAC，即 11 AC D是等腰三角形， 则 11 30ADC，故 1 90CDC，即 1 CDC D， 第 15 页（共 21 页） 因为BC 平面 11 AAC C， 11 /
30、 /BCBC，所以 11 B C 平面 11 AAC C， 因为CD 平面 11 AAC C，所以 11 BCCD， 因为 1111 BCC DC， 11 BC 平面 11 BC D， 1 C D 平面 11 BC D，所以CD 平面 11 BC D， 因为 1 B D 平面 11 BC D，所以 1 CDB D； （2）连接 1 CA，则 1 ACCA，以C为原点， 1 ,CA CA CB的方向分别为x轴，y轴，z轴的 正方向，建立空间直角坐标系Cxyz， 则 11 13 (0,0,0), (0,0, 3),( 1, 3,0),( ,0),( 1, 3, 3) 22 CBCDB， 故 11
31、1333 ( ,0),( 1, 3,3),( ,0) 2222 CDBCC D ， 设平面 1 BDC的法向量为( , , )nx y z， 则 1 1 33 0 22 330 n C Dxy n BCxyz ，令3y ，得 2 3 (1, 3,) 3 n ， 由（1）知，平面 11 BC D的一个法向量为 13 ( ,0) 22 mCD， 故 13 3 22 cos, |24 3 3 n m n m nm ， 所以二面角 11 BC DB的大小为30 19 （12 分）针对国内天然气供应紧张问题，某市打响了节约能源的攻坚战某研究人员为 了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行
32、了统计，数据资料见表1: 表1: 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 1 2 3 4 5 天然气需求量/y亿立方24 25 26 28 29 第 16 页（共 21 页） 米 （） 已知这 5 年的年度天然气需求量y与x之间的关系可用线性回归模型拟合， 求y与x的 线性回归方程，并预测 2021 年该地区的天然气需求量； （）政府部门为节约能源出台了购置新能源汽车补贴方案 ，根据续航里程的不同，将 补贴金额划分为三类，A类：每车补贴 1 万元；B类：每车补贴 2 万元；C类：每车补贴 3 万元某出租车公司对该公司 120 辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如
33、表2: 表2: 类型 A类 B类 C类 车辆数目 20 40 60 为了制定更合理的补贴方案， 政府部门决定用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的 补贴情况， 在该出租公司的 120 辆车中抽取 6 辆车作为样本， 再从 6 辆车中抽取 2 辆车进一 步跟踪调查若抽取的两辆车享受的补贴金额之和记为，求的分布列及期望 参考公式： 11 222 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx ， a ybx 【解答】解： （）由题意可知 12345 3 5 x ， 2425262829 26.4 5 y ， 22222 1 242253264
34、285295 326.4 1.3 123455 3 b ， 26.41.3 322.5a ， 1.322.5yx，所以当7x 时，31.6y ， 2021年该地区的天然气需求量大约为 31.6 亿立方米 （）由题意可知抽样比为 61 12020 ， 所以A类车抽取 1 201 20 辆，B类车抽取 1 402 20 辆，C类车抽取 1 603 20 辆， 故的可能取值为 3，4，5，6， 1 2 2 6 2 (3) 15 C P C ； 12 32 2 6 4 (4) 15 CC P C ； 第 17 页（共 21 页） 11 23 2 6 62 (5) 155 C C P C ； 2 3 2
35、 6 31 (6) 155 C P C ； 所以的分布列为： 3 4 5 6 P 2 15 4 15 2 5 1 5 242114 ( )3456 1515553 E 20 （12 分）设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点 3 (1,) 2 ，且离心率为 3 2 ，F为E 的右焦点，P为E上一点，PFx轴，F的半径为PF （1）求E和F的方程； （2）若直线:(3)(0)l yk xk与F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A， C在第一象限，是否存在k使| |ACBD？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由 【解答】解： （1）由题意可设椭圆的标准方程为 22 22 1 xy ab ，
36、 椭圆的离心率 3 2 e ， 3 2 c a ， 222 abc，2ab， 将点 3 (1,) 2 代入椭圆的方程得： 22 13 1 4ab ， 联立2ab解得： 2 1 a b ， 椭圆E的方程为： 2 2 1 4 x y， ( 3,0)F， PFx轴， 1 ( 3,) 2 P， F的方程为： 22 1 (3) 4 xy； （2）由A、B在圆上得 1 | | | 2 AFBFPFr， 第 18 页（共 21 页） 设 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2) y 22 111 3 |(3)2 2 CFxyx 同理： 2 3 | 2 2 DFx， 若| |ACBD，则| |ACBC
37、BDBC，即| | 1ABCD， 12 3 4()1 2 xx ， 由 2 2 1 4 (3) x y yk x 得 2222 (41)8 31240kxk xk， 2 12 2 8 3 41 k xx k 2 2 12 41 41 k k 得 22 12123kk，无解，故不存在 21（12 分） 已知曲线( )2(0)f xaxlnxax a在点(1P，f（1）)处的切线与直线10 xy 垂直 （1）求函数( )f x的最小值； （2）若12m证明： 2 ( )f xxmxlnx 【解答】解： （1）( )2f xaxlnxax的导数为( )(1)2fxalnxa， 可得点(1P，f（1）
38、)处的切线向量为2aaa ， 由切线与直线10 xy 垂直，可得1a ，即1a ， 可得( )2f xxlnxx，导数为( )1fxlnx， 当0 xe时，( )f x递减；当xe时，( )f x递增， 可得xe处( )f x取得极小值，且为最小值f（e）e ； （2）证明：要证 2 ( )f xxmxlnx， 第 19 页（共 21 页） 即证 2 2xlnxxxmxlnx， 即为2 lnx lnxxm x ，0 x ， 设( )g xlnxx， 1 ( )1g x x ，当1x 时，( )0g x，( )g x递减，01x时，( )0g x， ( )g x递增， 可得( )g x在1x 处
39、取得最大值1， 设( )2 lnx h xm x ， 2 1 ( ) lnx h x x ，当xe时，( )0g x，( )g x递增， 0 xe时，( )0g x，( )g x递减，可得( )h x在xe处取得最小值 1 2m e ， 由12m，可得 11 21m ee ， 可得 2 ( )f xxmxlnx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分考生从分考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1
40、 ( 2 xt t yt 为参数） 在以原点O为 极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 2 3 12cos （）直接写出直线l、曲线C的直角坐标方程； （）设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围 【解答】解： 1 ( )( 2 xt It yt 为参数） ，3xy ，即30 xy直线l的直角坐标 方程是30 xy 2 3 12cos ， 2 2 3 12cos ，即 222 2cos3 曲线C的直角坐标方程为 22 33xy，即 2 2 1 3 y x ()II曲线C的参数方程为 cos ( 3sin x y 为参数） ， 则曲线C上的点到直线l的距离 |2co
41、s()3| |cos3sin3| 3 22 d 第 20 页（共 21 页） 当cos()1 3 时，d取得最大值 55 2 22 ， 当cos()1 3 时，d取得最小值 12 22 d的取值是 2 2 ， 5 2 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 1 ( ) |2|f xxax a ， （实数0)a （）当1a ，求不等式( )3f x 的解集； （）求证：( )2f x 【解答】解： （）原不等式等价于|21|1| 3xx， 当 1 2 x时，可得2113xx ，得1x ；) 当 1 1 2 x 时，可得2113xx ，得1x 不成立；) 当 1 2 x时，可得2
42、113xx ，得1x ； 综上所述，原不等式的解集为 |1x x 或1x （）法一： 1 3, 2 111 ( ) |2| |, 2 11 3, a xax a a f xxaxxax aaa xax aa ， 当 1 , 22 aa xf x a 时厖； 当 11 , 22 aa xf x aa 时， 当 12 ,xf xa aa 时剠， 所以 11 ( )22 22 min aa fx aa ，当且仅当2a 时等号成立， 法二： 111 ( ) |2| | 2222 aaaa f xxaxxxxx aaa ， 当且仅当 1 ()() 0 2 a xx a 时等号成， 又因为 11 | 222 aaa x aa ，所以当 2 a x 时，( )f x取得最小值， 11 ( )22 22 min aa fx aa ，当且仅当2a 时等号成立 第 21 页（共 21 页）
