1、1 18.2.2 8.2.2 菱形菱形 第第2 2课时课时 18.2 18.2 特殊的平行四边形特殊的平行四边形 人教版数学教材八年级下 2 2 如果一个四边形是平行四边形，则只要再有什 么条件就可以判定它是一个菱形？ 1 1 想一想，菱形和矩形分别有哪些型性质？它们想一想，菱形和矩形分别有哪些型性质？它们 比平行四边形又多了哪些性质？比平行四边形又多了哪些性质？ 菱形菱形 矩矩 形形 问题问题1.1.菱形的定义？菱形的定义？ 有一组有一组邻边相等邻边相等的的平行四边形平行四边形叫做叫做菱形菱形. 一组邻边相等一组邻边相等 平行四边形平行四边形 菱形菱形 根据菱形的定义根据菱形的定义, ,可得
2、菱形的可得菱形的判定方法判定方法1 1： 有一组有一组邻边相等邻边相等的的平行四边形平行四边形叫做菱形叫做菱形. 几何语言：几何语言： 四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， 且且AB= =AD， 四边形四边形ABCD是菱形是菱形. . 菱形还有其他的判定方法吗？菱形还有其他的判定方法吗？ A B C D O 思考，我们探究如何判定一个四边形是菱形？ 用类比的方法想一想，受矩形判定条件的启发 ，你对菱形的判定条件有什么样的猜想？ A B C D O 提示：矩形定义是在平行四边形基础上， 限制角，于是有三个角是直角的，四边形是矩 形”； 菱形的定义是在四平形四边形基础上，限制边， 是不
3、是可以得到，“四条边都相等的四边形是 菱形”； 矩形的对角线相等，于是有对角线相等的平行 四边形，是矩形，菱形的对角线相互垂直，是 不是可以猜想，对角线互相垂直的平行四边形 是菱形。 三、导学施教三、导学施教 如图，用一长一短两根细木条，在它们的如图，用一长一短两根细木条，在它们的 中点处固定一个小钉，做成一个四边形中点处固定一个小钉，做成一个四边形. . （1 1）任意转动木条（）任意转动木条（如图（如图（1 1）中四边形）中四边形ABCDABCD），）， 这个四边形总是平行四边形吗？为什么？这个四边形总是平行四边形吗？为什么？ （2 2）在木条的转动过程中，）在木条的转动过程中， 当它们互
4、相垂直时（当它们互相垂直时（如图（如图（2 2） 中中MNEFMNEF），四边形），四边形EMFNEMFN是是 怎样的四边形？你能证明怎样的四边形？你能证明 你的猜想吗？你的猜想吗？ （2）在木条的转动过程中，当它们互相 垂直时（如图（2）中MNEF），四边 形EMFN是怎样的四边形？你能证明你 的猜想吗？ 证明：四边形EMFN是平行四边形， OE=OF.又MNEF 即EON=FON=90， 且ON=ON， EONFON， EN=NF， EMFN是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形. . 例题，例题， ABCDABCD的对角线的对角线ACAC、BDBD相相
5、 交于点交于点O O，且，且AB=5AB=5，AO=4AO=4，BO=3BO=3， 求证：求证： ABCDABCD是菱形是菱形. . O D C B A 证明： 在ABO中，AB=5，AO=4，BO=3， AB2=AO2+BO2 由勾股定理的逆定理可得OAB是直角 三角形，即ACBD， ABCD是菱形. 对角线互相垂直对角线互相垂直的的平行四边形平行四边形是菱形是菱形 在在ABCDABCD中，中，ACBDACBD A B C D 菱形菱形ABCDABCD 几何语言几何语言 ABCDABCD是菱形是菱形 菱形的判定定理菱形的判定定理1 1： （或（或OA=OC,OB=OD,且且ACBD） 或者或
6、者对角线互相垂直平分对角线互相垂直平分的的四边形四边形是菱形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形. . 已知：已知：四边形四边形ABCD中，中， AB=BC=CD=AD. 求证：求证：四边形四边形ABCD是菱形是菱形. . 想一想想一想 在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，则四 边形ABCD是菱形吗？如果是，请给出证明；如果 不是，请举一反例. A B C D 四条边都相等四条边都相等的的四边形四边形是菱形是菱形. . A B C D 菱形菱形ABCDABCD 在四边形在四边形ABCDABCD中中 AB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DA 四边形四边形ABC
7、DABCD是菱形是菱形 菱形的判定定理菱形的判定定理2 2： 几何语言几何语言 A D C B E F 把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，把两张等宽的纸条交叉重叠在一起， 你能判断重叠部分你能判断重叠部分ABCDABCD的形状吗？的形状吗？ 解：过A作AEBC于E， AFCD于F，则AE=AF. ADBC，ABCD. 四边形ABCD是平行四边形. 又SABCDAE BC=AF CD， BCCD， ABCD是菱形. 提示：题中“等宽的纸条”有两层 意思：一是纸条应是两边平行的， 二是这两条平行边之间的宽度 （即平行线间距离）是相等的 菱形菱形的判定方法：的判定方法： 判定方法判定方法1 1：有一组
8、：有一组邻边相等邻边相等的的平行四边形平行四边形是菱形是菱形. . 判定方法判定方法2 2：对角线互相垂直对角线互相垂直的的平行四边形平行四边形是菱形是菱形. . 或者或者对角线互相垂直平分对角线互相垂直平分的的四边形四边形是菱形。是菱形。 判定方法判定方法3 3：四条边都相等四条边都相等的的四边形四边形是菱形是菱形. . P58 2 P60 6、10 判断下列说法是否正确？为什么？判断下列说法是否正确？为什么？ (1)(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ） (2)(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ ） (3)(3
9、)对角线互相垂直对角线互相垂直, ,且有一组邻边相等且有一组邻边相等 的四边形是菱形；的四边形是菱形； （ ） (4)(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形组对角的四边形是菱形 （ ） （5）对角线平分一组对角的平行四边形是菱形）对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 （ ） 三个角是直角 四条边都相四条边都相等等 两组对边分别平两组对边分别平行行 一组对边平行且相等一组对边平行且相等 两组对边分别相等两组对边分别相等 两组对角分别相等两组对角分别相等 对角线互相平分对角线互相平分 知识结构图 四边形四边形 平行四边形平行四边形 矩形矩形 菱
10、形菱形 补充补充1 1、已知：如图，、已知：如图，ADAD平分平分BACBAC， DEAC DEAC 交交ABAB于于E E，DFABDFAB交交ACAC于于F F 求证：四边形求证：四边形AEDFAEDF是菱形是菱形 3 2 1 A B C D E F AEDFAEDF是菱形是菱形 证明：证明：DEAC DFABDEAC DFAB 四边形四边形AEDFAEDF是平行四边形是平行四边形 DEACDEAC 2=32=3 ADAD是是ABCABC的角平分线的角平分线 1=21=2 AE=DEAE=DE 1=31=3 补充补充2、如图，顺次连接矩形、如图，顺次连接矩形ABCDABCD各边中点，各边中点， 得到四边形得到四边形EFGHEFGH，求证：四边形，求证：四边形EFGHEFGH是菱形。是菱形。 H G F E D C B A 证明：连接证明：连接ACAC、BDBD 四边形四边形ABCDABCD是是矩形矩形 AC=BDAC=BD 点点E E、F F、G G、H H为各边中点为各边中点 11 22 EFGHBDFGEHAC， EF=FG=GH=HEEF=FG=GH=HE 四边形四边形EFGHEFGH是菱形是菱形
