1、1 2020-2021 学年高一数学下学期专项复习（人教 A 版 2019） 知识梳理知识梳理 第六章 平面向量及其应用 一、向量的有关概念 名称 定义 向量 既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或称模) 零向量 长度为零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量记作 0 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 平行向量 表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这两个向量叫作平行向 量，平行向量又叫共线向量规定：0 与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量 长度相等且方向相反的向量 二、平面向量的线性运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加 法 求两
2、个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律:a+b=b+a; (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 减 法 向量 a 加上向量 b 的相 反向量叫做 a 与 b 的差 数 乘 实数 与向量 a 的积是 一个向量,记作 a (1)模:|a|=|a|; (2)方向: 当 0 时,a 与 a 的方向相同; 当 0 时,a 与 a 的方向相反; 当 =0 时,a=0 设 , 是实数. (1)(a)=()a; (2)(+)a=a+a; (3)(a+b)=a+b 2 三、共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数 ,使 b=a. 四、平面向量基本定理 如
3、果 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 1,2, 使 a=1e1+2e2. 若 e1,e2不共线,我们把e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 五、平面向量的数量积及坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),|a|=1 2 + 1 2,ab=|a|b|cos=x1x2+y1y2 . 六、余弦定理及其推论 1.余弦定理 三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即 a2=b2+c2-2
4、bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. 2.推论 cos A= 2+2-2 2 ,cos B= 2+2-2 2 ,cos C= 2+2-2 2 . 七、正弦定理及其常见变形 1.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 sin= sin= sin=2R(R 为ABC 外接圆半径). 2.常见变形 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, sin A= 2,sin B= 2,sin C= 2, abc=sin Asin Bsin C, + sin+sin+sin=2R. 3 第六章 平面向量及其应用专项训练
5、考点一 向量的基本概念 解决向量的概念问题应关注五点 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键 (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关 (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈 (5)非零向量 a 与 a |a|的关系： a |a|是 a 方向上的单位向量 一选择题一选择题 1给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 0(a为实数） ，则必为零 ，为实数，若ab，则a与b共线 其中正确的命题个数为 A1 B2 C3 D4 【
6、答案】A 【解析】对于，两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量，错误； 对于，向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小， 但它们的模能比较大小，正确； 对于，0a时(为实数） ，0或0a ，错误； 对于，若0时，0ab，此时a与b不一定共线，错误； 综上，其中正确的命题为，共 1 个 4 故选 A 2下列说法中正确的是 A平行向量不一定是共线向量 B单位向量都相等 C若a，b满足| |ab且a与b同向，则ab D对于任意向量a，b，必有|abab 【答案】D 【解析】平行向量是共线向量，故A不正确； 单位向量的模相等，方向不一定相同，故B不正确； 若a，b满足| |ab且a与b同向，则ab显然
7、不正确，向量不能比较大小，故C错误； 向量的加法的平行四边形法则，可知对于任意向量a，b，必有|abab，故D正确； 故选 D 3有下列命题： 两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同； 若| |ab，则ab； 若| |ABDC，则四边形 ABCD 是平行四边形； 若mn，nk，则mk； 若/ /ab，/ /bc，则/ /ac； 有向线段就是向量，向量就是有向线段 其中，假命题的个数是 A2 B3 C4 D5 【答案】C 【解析】对于，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，正确； 对于，若| |ab，则a、b不一定相同，错误； 对于，若| |ABDC，AB、DC不一定相等， 四边形A
8、BCD不一定是平行四边形，错误； 5 对于，若mn，nk，则mk，正确； 对于，若/ /ab，/ /bc， 当0b 时，/ /ac不一定成立，错误； 对于，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，错误； 综上，假命题是，共 4 个 故选 C 4 （共线向量的概念）下列命题中，正确的是 A若/ /ab，则a与b方向相同或相反 B若/ /ab，/ /bc，则/ /ac C若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D若ab，bc，则ac 【答案】D 【解析】由于零向量的方向是任意的，取0a ，则对于任意向量b，都有/ /ab，知A错； 取0b ，则对于任意向量a，c都有/ /ab，/ /bc，
9、但得不到/ /ac，知B错； 两个单位向量互相平行，方向可能相反，知C错； 由两向量相等的概念知D正确 故选 D 5已知向量, a b不共线，3cab，(2)dmamb，若/ /cd，则m A12 B9 C6 D3 【答案】D 【解析】向量, a b不共线，3cab，(2)dmamb，/ /cd， 3(2)abmamb， 3 1(2) m m ， 解得1 ，3m 故选 D 6已知向量a，b不共线，且(32)ckab，dakb，若c与d方向相反，则实数k的值为 6 A1 B 1 2 C1 或2 D1或 1 3 【答案】A 【解析】由(32)ckab，dakb，且c与d方向相反， 所以(32)10
10、kk ， 即 2 3210kk ， 解得1k 或 1 3 k ， 当1k 时，cab ，dab，c与d反向， 当 1 3 k 时，3cab， 1 3 dab，c与d同向， 所以实数k的值为1 故选 A 二填空题二填空题 7给出下列六个命题： 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； 若| |ab，则ab； 若ABDC，则A，B，C，D四点构成平行四边形； 在平行四边形ABCD中，一定有ABDC； 若mn，np，则mp； 若向/ /ab，/ /bc，则/ /ac 其中错误的命题有 （填序号） 【答案】 【解析】在中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同，故错误； 在中，若| |ab
11、，则a与b大小相等，方向不一定相同，故错误； 在中，若ABDC，则A，B，C，D四点不一定构成平行四边形，故错误； 在中，在平行四边形ABCD中，由向量相等的定义得一定有ABDC，故正确； 在中，若mn，np，则向量相等的定义得mp，故正确； 在中，若向/ /ab，/ /bc，当0b 时，a与c不一定平行，故不正确 7 故答案为： 8下列说法中： 两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同； 若| |ab，则|ab； 若非零向量, a b共线，则ab； 向量ab，则向量, a b共线； 由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行； 其中正确的序号为 【答案】 【解析】对于，根据相等向量的定
12、义知，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，正确； 对于，当| |ab时，a与b不一定相等，命题错误； 对于，若非零向量, a b共线，则ab不一定成立，命题错误； 对于，向量ab时，向量, a b共线，命题正确； 对于，零向量的方向是任意的，所以零向量与任何向量平行，命题错误； 综上，正确的命题序号是 故答案为： 三解答题三解答题 9已知向量(3,2)a ，( 1,2)b ，(4,1)c （）若cmanb，求m，n的值； （）若向量d满足()/ /()dcab，| 2 5dc，求d的坐标 【答案】 【解析】 （）向量(3,2)a ，( 1,2)b ，(4,1)c ， 由cmanb，所以
13、(4，1)(3m，2)( 1n，2)(3mn，22 )mn， 所以 43 122 mn mn ， 8 解得 9 8 5 8 m n ； （）设( , )dx y，则(4,1)dcxy，(2,4)ab， 由()/ /()dcab，且| 2 5dc， 所以 22 2(1)4(4) (4)(1)2 5 yx xy ， 解得 2 3 x y 或 6 5 x y ， 所以(2, 3)d 或(6,5)d 10设两个非零向量a与b不共线 （）若(1,2)a ，( 1,1)b ，且kab与2ab平行，求实数k的值； （）若ABab，2()BCab，5CDab，求证：A，B，D三点共线 【解答】 （）解：由(1
14、,2)a ，( 1,1)b ， 所以(1,21)kabkk，2(3,0)ab， 因为kab与2ab平行，所以有3(21)0k ， 解得 1 2 k （）证明：因为ABab，2()BCab，5CDab， 所以2()(5 )333()BDBCCDabababab， 即3BDAB，所以AB与BD共线， 因此A，B，D三点共线 考点二 平面向量的线性运算 平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略 9 (1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合平行四边形法则 (2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量 的和用三角形法则 一选择题一选择题 1已知等边
15、三角形 ABC 的边长为 6，点P满足320PAPBPC，则|AP A 7 9 B 7 6 C7 D 7 3 【答案】C 【解析】320PAPBPC， 32APPBPC， 62()()2APAPPBAPPCABAC， 故 11 36 APABAC， 故 222 2 11111111 ()3666cos60377 3699369936 APABACABAB ACAC ， 故|7AP ， 故选 C 2在平行四边形 ABCD 中，设对角线 AC 与 BD 相交于点O，则ABCB A2BO B2DO CBD DAC 【答案】B 【解析】在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点O， 则2ABC
16、BABDADBDO 故选 B 10 3已知点G是正方形 ABCD 的中心，点P为正方形 ABCD 所在平面外一点，则PAPBPCPD等于 A4PG B3PG C2PG DPG 【答案】A 【解析】如图，PAPGGA，PCPGGC，PBPGGB，PDPGGD， 4()()4PAPBPCPDPGGAGCGBGDPG 故选 A 4已知向量( ,3)am，(3,)bn，若2(7,1)ab，则mn A1 B0 C1 D2 【答案】A 【解析】2(7,1)ab， 67 321 m n ，得1mn，1mn 故选 A 5在平行四边形 ABCD 中，ABa，ACb，若E是 DC 的中点，则AE A 1 2 ab
17、 B 3 2 ab C 1 2 ab D 3 2 ab 【答案】C 【解析】如图所示， 平行四边形ABCD中，ABa，ACb， 11 则ADBCACABba， 又E是DC的中点， 则 111 () 222 AEADDEbaabaab 故选 C 6在等腰梯形 ABCD 中，2ABCD，M为 BC 的中点，则AM A 11 22 ABAD B 31 42 ABAD C 31 44 ABAD D 13 24 ABAD 【答案】B 【解析】如图所示， 等腰梯形ABCD中， 2ABCD ， 1 2 CDAB ， 1 2 DCAB； 又M为BC的中点， 0BMCM， 又AMABBM， AMADDCCM；
18、2()()AMABBMADDCCM 3 2 ABAD； 31 42 AMABAD 故选 B 7在ABC中，ABc，ACb若点D满足3BDDC，则AD 12 A 37 44 bc B 31 44 bc C 31 44 bc D 13 44 bc 【答案】C 【解析】在ABC中，ABc，ACb；如图； BCACABbc， 又3BDDC， 33 () 44 BDBCbc； 331 () 444 ADABBDcbcbc； 故选 C 8如图，在ABC中，点D是 BC 边上靠近B的三等分点，则AD A 21 33 ABAC B 12 33 ABAC C 21 33 ABAC D 12 33 ABAC 【答
19、案】C 【解析】 1121 () 3333 ADABBDABBCABACABABAC 故选 C 二填空题二填空题 9在直角坐标系中，O为原点，2xOAyOBAB，则xy 【答案】0 【解析】2xOAyOBAB， 2()xOAyOBOBOA， 13 (2)(2)0 xOAyOB， 2x ，2y ，0 xy， 故答案为：0 10在ABC中，已知D是AB边上一点，若2ADDB， 1 3 CDCACB，则 【答案】 2 3 【解析】ABC中，D是AB边上一点，2ADDB， 1 3 CDCACB， 如图所示， 2CDCAADCADB， CDCBBD， 22222CDCBBDCBDB； 得，32CDCAC
20、B， 12 33 CDCACB； 2 3 故答案为： 2 3 三解答题三解答题 11如图，已知ABC中，D为BC的中点， 1 2 AEEC，AD，BE交于点F，设ACa，ADb （1）用a，b分别表示向量AB，EB； （2）若AFtAD，求实数t的值 14 【答案】 （1）2ABba； 4 2 3 EBab ； （2） 1 2 t . 【解析】 （1）由题意，D为BC的中点，且 1 3 AEAC， 2ABACAD， 2ABba， 14 22 33 EBABAEbaaab ； （2）AFtADtb， (2)FBABAFat b ， 4 2 3 EBab ，FB，EB共线， 12 4 2 3 t
21、， 1 2 t 12如图所示，在ABO中， 1 4 OCOA， 1 2 ODOB，AD与BC相交于点M，设OAa，OBb （1）试用向量a，b表示OM； （2）过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F记OEa，OFb，求证： 13 为 定值 15 【答案】 （1） 13 77 OMab； （2） 13 7 . 【解析】 （1）由A，M，D三点共线，可设 1 (1) 2 m OMmOAm ODmab ， 由B，M，C三点共线，可设(1)(1) 4 n OMnOCn OBan b， 因为a，b不共线， 所以 1 4 1 1 2 mn m n ，解得 1 7 m ， 4 7 n ， 故 13
22、 77 OMab （2）因为E，M，F三点共线， 设(1)(1)OMkOEk OFk akb， 由（1）知 1 7 k， 3 (1) 7 k， 即 1 7k ， 3 77k ， 所以 13 7 ， 故 13 7 考点三 平面向量数量积的运算 向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a b|a|b|cosa，b 16 (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a bx1x2y1y2. 一选择题一选择题 1已知| 1a ，| 2b ，且a与b的夹角为 6 ，则|3 |ab A7 B2 2 C10 D19 【答案】
23、A 【解析】| 1a ，| 2b ，且a与b的夹角为 6 ， 3 1 23 2 a b ， 2222 |3 |2 3312 333 27abaa bb ， 故|3 |7ab， 故选 A 2已知向量, a b满足| 1a ，| 2b ，a， 3 b ，则|ab A3 B7 C7 D3 【答案】D 【解析】由| 1a ，| 2b ，a， 3 b ， 所以 1 |cos1 21 32 a ba b 故 2222 |()212 123ababaa bb 故选 D 3已知向量( 3,1),ab是单位向量，若|3ab，则a与b的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】C 【解析】根据题意，
24、设a与b的夹角为， 向量( 3a ，1)，则| 2a ， 若|3ab，则 222 |254cos3ababa b，变形可得 1 cos 2 ， 17 又由0 剟，则 2 3 ， 故选 C 4若非零向量a，b满足| 3|ab，(23 )abb，则a与b的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】C 【解析】根据题意，设a与b的夹角为，|bt，则| 3| 3abt， 若(23 )abb，则 22 (23 )23 26 cos30abba bbtt， 即 1 cos 2 ， 又由0 剟，则 2 3 ， 故选 C 5已知向量(1,2)a ，| 2b ，|13ab，则a与b的夹角为 A 6
25、 B 3 C 2 3 D 5 6 【答案】D 【解析】根据题意，设a与b的夹角为， 因为|13ab，所以 2 ()13ab，即 22 213aa bb， 向量(1, 2)a ，则|3a ， 则有32 32cos413 ，解得 3 cos 2 ， 又由0 剟，则 5 6 ， 故a与b的夹角为 5 6 ； 故选 D 6向量(2,1)a ，( 3,4)b ，(31,12 )cmm，若(2 )cba，则实数m等于 A1 B 5 ? 4 C 7 ? 4 D2 【答案】B 18 【解析】根据题意，( 3,4)b ，(31,12 )cmm，则2(37,92 )cbmm， 若(2 )cba，则(2 )2 (3
26、7)(92 )450cbammm ， 解可得： 5 4 m ， 故选 B 7已知向量, a b，满足| 1a ，|5b ，且| 2ab，则a b A1 B0 C1 D2 【答案】C 【解析】由| 2ab得 222 ()24ababa b, 即1524a b,解得1a b 故选 C 8已知| 2a ，| 1b ，且1a b ，则(2) ()abab A6 B8 C3 D3 【答案】A 【解析】(2) ()abab 22 2aba b 2 221 16 故选 A 9已知向量(2,3)a ，( ,5)bk，且3a b，则|2|ab A4 3 B3 2 C5 5 D6 2 【答案】C 【解析】(2,3
27、),( ,5)abk， 2153a bk，解得6k ， ( 6,5)b ，2( 2,11)ab ， |2|4 1215 5ab 故选 C 19 二填空题二填空题 10设非零向量, a b满足()aab，且| 2|ba，则向量a与b的夹角为 【答案】 3 【解析】根据题意，设|at，则| 2bt，向量a与b的夹角为， 若()aab，则 222 ()2 cos0aabaa btt， 解可得 1 cos 2 ， 又由0 剟，则 3 ， 故答案为： 3 11已知单位向量a，b的夹角为 6 ，则|3 |ab 【答案】1 【解析】因为 222 |3 |2 331 331abaa bb ，所以|3 | 1a
28、b 故答案为 1 三解答题三解答题 12已知| 4a ，| 3b ，(3 ) (23 )31abab （1）求a与b的夹角； （2）求|ab的值 【答案】 （1） 2 3 ； （2）13. 【解析】 （1）| 4a ，| 3b ，(3 ) (23 )31abab 所以 22 29331aba b ，即3281 331a b ，所以6a b ， cosa， 61 4 32| a b b a b ，a，0b ， 可得 2 3 ， （2） 22 |2169 1213ababa b 13在平面直角坐标系中，(1,)am，(3,1)b 20 （1）若2m ，求|2|ab的值； （2）若向量ab，求m的值
29、 【答案】 （1）5 2； （2）3m . 【解析】 （1）根据题意，若2m ，即(1,2)a ， 则2(5,5)ab， 故|2|25255 2ab， （2）若向量ab，则30a bm， 解可得3m ， 故3m 考点四 平面向量数量积的性质应用 平面向量数量积求解问题的三个策略 (1)求两向量的夹角：cos a b |a| |b|，要注意 0， (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是 aba b0|ab|ab|. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： a2a a|a|2或|a| a a. |a b| a b2 a2 2a bb2. 若 a(x，y)，则|a|x2y
30、2. 一选择题一选择题 1在ABC中，90C ，点D在 AB 上，3ADDB，| 4CB ，则CB CD A8 B10 C12 D16 【答案】C 【解析】因为ABC中，90C ，点D在AB上，3ADDB，| 4CB ， 21 故 3313 () 4444 CDCAADCAABCAACCBCACB， 所以 21313 ()12 4444 CB CDCBCACBCA CBCB， 故选 C 2若ABC的外心为O，且60A ，2AB ，3AC ，则OA BA OB CBOC AC等于 A5 B8 C10 D13 【答案】C 【解析】取AB的中点D，BC的中点E，AC的中点F，连接OD，OE，OF，O
31、A， O为ABC的外心， 故ODAB， 21 () 2 OA BAODDABAAB， 同理可得： 21 2 OB CBCB， 21 2 OC ACAC， 60A，2AB ，3AC ， 222 1 232237 2 BC ， 则 22 1 (237)10 2 OA BAOB CBOC AC， 故选 C 3已知OA，OB，OC均为单位向量，且满足220OAOBOC，则AB AC的值为 A 3 8 B 5 8 C 7 8 D 19 8 【答案】B 【解析】OA，OB，OC均为单位向量，且满足220OAOBOC， 故A，B，C围成ABC， 设BC的中点为D，连接OA，OB，OC，OD， 22 因为22
32、0OAOBOC， 40OAOD， 故A，O，D三点共线，且4AOOD， 1OAOBOC， 故BOC为等腰三角形， 故有ODBC，即ADBC，且 1 4 OD ， 15 1 44 AD ， 2222 115 1( ) 44 BDOBODDC， 2 22 5155 () ()()( )0() 448 AB ACADDBADDCADDBDCADDB DC 故选 B 4在ABC中，4AB ，2AC ，点M是 BC 的中点，则BC AM的值为 A6 B6 C8 D8 【答案】A 【解析】在ABC中，4AB ，2AC ，点M是BC的中点， 22 22 111 ()()()(24 )6 222 BC AMA
33、CABACABACAB 故选 A 5点P是边长为 2 的正ABC的边 BC 上一点，且 1 3 CPCB，则()APABAC A2 B4 C6 D8 【答案】C 【解析】点P是边长为 2 的正ABC的边BC上一点，且 1 3 CPCB， 23 2212 () 3333 APABBPABBCABACABABAC， 221212418 ()() ()226 3333323 APABACABACABACABAB ACAC ， 故选 C 6 在ABC中，? 5AB ，1CB ，2AC ， 点M，N分别为 CA， CB 的中点， 则AN MB A 5 ? 2 B 5 ? 2 C 2 ? 5 D 2 ?
34、5 【答案】B 【解析】在ABC中，? 5AB ，1CB ，2AC ，可知 222 CBACAB， 所以三角形是直角三角形，如图：建立如图所示的坐标系， 则(0,1)B，(2,0)A，点M，N分别为CA，CB的中点， 所以(1,0)M， 1 (0, ) 2 N， 所以 1 ( 2, ) 2 AN ，( 1,1)MB ， 所以( 2AN MB ， 1) ( 1 2 ， 15 1)2 22 故选 B 7已知O为ABC的外心，6AB，4AC ，则AO BC A10 B5 C10 D5 【答案】C 【解析】过点O分别作OEAB于E，OFAC于F，则E、F分别是AB、AC的中点， 24 可得Rt AEO
35、中， | cos |2| AEAB OAE AOAO 2 1 |cos|18 2 AB AOABAOBAOAB， 同理可得 2 1 |8 2 AC AOAC， ()8 1810AO BCAOACABAO ACAO AB ， 故选 C 8四边形 ABCD 中，2ABDC，0AB BC，| 2AB ，则AD DC A1 B1 C2 D2 【答案】B 【解析】由题意知|1DC ，0DC BC， 所以()2 1 cos0 1 1 cos2 1 1AD DCABBCCDDCAB DCCD DC 故选 B 二填空题二填空题 9已知矩形ABCD中，2AB ，1AD ，设AC与BD交于点O，则AO BO 【答
36、案】 3 4 【解析】 111 () () 224 AO BOACBDABADADAB 221 () 4 ADAB 22 13 (12 ) 44 ， 故答案为： 3 4 10在ABC中，O为中线AM上的中点，若2AM ，则()OA OBOC等于 【答案】2 【解析】由题意画出草图： 25 由于点M为ABC中边BC的中点， 2OBOCOM， ()22| |OA OBOCOA OMOAOM O为中线AM上的中点，即A、O、M三点共线， 2AM ， ()2| |2 1 12OA OBOCOAOM 故答案为：2 三解答题三解答题 11 （1）已知平面向量a、b，其中( 5, 2)a 若| 3 2b ，
37、且/ /ab，求向量b的坐标表示； （2）已知平面向量a、b满足| 2a ，| 1b ，a与b的夹角为 2 3 ，且()(2)abab，求的值 【答案】 （1）( 10, 2 2)b 或(10,2 2)； （2）3. 【解析】 （1）( 5, 2)a ，/ /ab， 设( 5, 2)b，且| 3 2b ， 3| 3 2，解得2 ， ( 10, 2 2)b 或(10,2 2)； （2）| 2,| 1ab， 2 , 3 a b ， 1a b ， 又()(2)abab， 22 () (2)2(21)8210abababa b ，解得3 12在ABC中，若ABa，ACb， 2 3 BDBC 26 （1
38、）用a，b表示AD，BD； （2）若2AB ，3AC ， 3 BAC ，求AD BD的值 【答案】 （1） 2 () 3 BDba， 12 33 ADab； （2） 22 9 . 【解析】 （1）如图，,ABa ACb， 222 ()() 333 BDBCACABba， 212 () 333 ADBDBAbaaab； （2）2AB ，3AC ， 3 BAC ， 212 () () 333 AD BDACABABAC 22422 999 ACABAB AC 821 423 992 22 9 考点五 平面向量基本定理及应用 应用平面向量基本定理表示向量的实质 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利
39、用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘 运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的 一选择题一选择题 1正方形 ABCD 中，点E，F分别是 DC，BC 的中点，那么EF 27 A 11 22 ABAD B 11 22 ABAD C 11 22 ABAD D 11 22 ABAD 【答案】C 【解析】E，F分别是DC，BC的中点， 1111 () 2222 EFDBABADABAD， 故选 C 2在ABC中，E为 AB 边的中点，D为 AC 边上的点，BD，CE 交于点F若 31 ? 77 AFABAC， 则 AC AD 的值为 A2 B3 C
40、4 D5 【答案】C 【解析】设ACAD， 因为 31 ? 77 AFABAC， 所以 31 77 AFABAD， 因为B，F，D三点在同一条直线上， 所以 31 1 77 ，所以4， 所以4 AC AD 故选 C 3在ABC所在平面中，点O满足0OA OBOC，则BO 28 A 21 33 BAAC B 21 33 BAAC C 12 33 BAAC D 42 33 BAAC 【答案】A 【解析】由0OAOBOC，可得BOOAOCOBBAOBBC， 即3()2BOBABCBABAACBAAC， 则 21 33 BOBAAC 故选 A 4ABC中，点M为 AC 上的点，且 1 2 AMMC，若
41、BMBABC，则的值是 A1 B 1 2 C 1 3 D 2 3 【答案】C 【解析】 1 2 AMMC， 所以 1 3 AMAC， 所以 1121 () 3333 BMBAAMBAACBABCBABABC， 若BMBABC， 则 2 3 ， 1 3 ， 1 3 故选 C 5在五边形 ABCDE 中，EBa，ADb，M，N分别为 AE，BD 的中点，则MN A 31 22 ab B 21 33 ab C 11 22 ab D 31 44 ab 【答案】C 【解析】因为EBa，ADb，M，N分别为AE，BD的中点， 所以 11 22 MNMEEDDNAEEDDB 11 ()() 22 ADDEE
42、DDEEB 1111 2222 ADEBab 故选 C 29 6已知等边ABC内接于O，D为线段 OA 的靠近点A的三等分点，则BD A 21 36 BABC B 21 39 BABC C 71 96 BABC D 71 99 BABC 【答案】D 【解析】如图所示：设BC中点为E， 则 1 3 BDBAADBAAO 12 33 BAAE 2 () 9 BAABBE 221 992 BABABC 71 99 BABC 故选 D 7在ABC中，点D在线段 BC 上，且3BDDC，若?ADmABnAC，则? n m A 1 ? 3 B 1 ? 2 C2 D3 【答案】D 【解析】因为3BDDC，
43、所以3BDDC， 所以3()ADABACAD， 故 31 44 ADACAB， 若?ADmABnAC， 则 1 4 m ， 3 4 n ， 30 所以?3 n m 故选 D 8 如图， 在ABC中，N为线段 AC 上靠近A的三等分点， 点P在 BN 上且 22 () 1111 APmABBC， 则实数m的值为 A1 B 1 3 C 9 11 D 5 11 【答案】D 【解析】 22222 ()()() 1111111111 APmABBCmABACABmABAC， N为线段AC上靠近A的三等分点， 所以 6 11 APmABAN，因为点P在BN上，即P，B，N三点共线， 所以 6 1 11 m
44、，解得 5 11 m 故选 D 二填空题二填空题 9 平行四边形ABCD中，M为CD的中点， 点N满足2BNNC， 若A BA MA N， 则的值为 【答案】 1 2 【解析】平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足2BNNC， 所以 12 ()() 23 ABAMANADABABAD， 21 ()() 32 ADAB， 则根据平面向量基本定理可得， 2 0 3 1 1 2 ， 解可得，1 ， 3 2 ， 31 则 1 2 ， 故答案为： 1 2 10 已知ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，DFtDE，AFxAByAC， 则xy的最大值为 【答案】 1 16 【解析】由题意得， 1
45、 2 AFADDFABtDE 1111 () 22222 t ABBCt ABtAC， 所以 11 22 xt， 1 2 yt，所以 1 2 xy， 故 2 1 () 216 xy xy ， 当且仅当 1 4 xy时取等号，xy的最大值 1 16 故答案为： 1 16 三解答题三解答题 11如图，在平行四边形ABCD中，4AB ，2AD ，60BAD，E为CD的中点，H为线段BE上靠 近点E的四等分点，记ABa，ADb （1）用a，b表示AE，AH； （2）求线段AH的长 32 【答案】 （1） 1 2 AEab 53 84 AHABBHab； （2） 7 | 2 AH . 【解析】 （1）
46、111 222 AEADDEADDCADABab 333153 ()() 444284 AHABBHABBEABBCCEabaab （2）42 cos604a b ， 即 2 222 53255392553949 ()216244 846484166484164 AHabaa bb， 即 7 | 2 AH 12如图，四边形ABCD中，已知2ADBC （）用AB，AD表示DC； （）若2AEEB，DPDE，当A，P，C三点共线时，求实数的值 【答案】 （1） 1 2 DCABAD； （2） 3 4 . 【解析】 （）2ADBC 1 2 BCAD， 则 11 22 DCDAABBCADABADAB
47、AD （） 1 2 ACABBCABAD ， APADDP， 2AEEB，DPDE， 33 2 ()(1)(1) 3 APADDEADAEADADAEADAB， 若A，P，C三点共线时， 则 2 1 3 1 1 2 ，得 12 1 233 ， 得33，得 3 4 考点六 利用正弦、余弦定理解三角形 正、余弦定理的应用原则 (1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决 问题的目的，在解题时要学会灵活运用 (2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用 一选择题一选择题 1已知在ABC角A、B、C的对边分别是a、b、c，且4a ，3b ，2c 则ABC的
48、最大角 的正弦值是 A 1 4 B 15 2 C 15 4 D 15 4 【答案】D 【解析】最大角是A，根据余弦定理： 222 94 161 cos 22 3 24 bca A bc ，且(0, )A， 2 115 sin11 164 Acos A 故选 D 2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 222 bcabc， 3 tan 2 C ，则tan B的 值为 34 A3 3 B 7 14 C 3 21 14 D 3 9 【答案】A 【解析】 222 bcabc， 222 1 cos 222 bcabc A bcbc ，且(0, )A， 13 sin1 42 A ， tan3
49、A，且 3 tan 2 C ， 3 3 tantan 2 tantan()tan()3 3 1tantan3 13 2 AC BACAC AC 故选 A 3ABC的三内角A，B，C对的边分别为a，b，c若3 sin3 sin4 sin3 sinaAbBaBcC，则 coscossinsinABAB A 3 4 B 2 3 C 2 3 D 3 4 【答案】B 【解析】因为：3 sin3 sin4 sin3 sinaAbBaBcC， 所以： 222 3343ababc，可得 222 4 3 abcab ， 由余弦定理可得 222 2 cos 23 abc C ab ， 则 2 coscossins
50、incos()cos()cos 3 ABABABCC 故选 B 4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若3b ，3 3c ，30B，则a A6 B3 C6 或 3 D6 或 4 【答案】C 【解析】因为3b ，3 3c ，30B ， 所以由余弦定理 222 2cosbacacB， 可得 222 3 3(3 3)23 3 2 aa ， 整理可得 2 9180aa， 解得3a 或 6 故选 C 35 5ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知5a ，2c ， 3 5 cos 10 B ，则b A2 B3 C2 D3 【答案】B 【解析】5a ，2c ， 3 5 cos 10 B
