1、第六章 不等式 第一讲第一讲 不等关系与不等式不等关系与不等式 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 实数的大小与运算性质的关系 (1)ab_ab0_； (2)ab_ab0_； (3)ab_abbbb，bc_ac_； (3)同向可加性：abac_bc；ab，cdac_bd； (4)同向同正可乘性：ab，c0acbc；ab，c0ac_b0，cd0acbd； (5)可乘方性：ab0an_bn(nN，n2)； (6)可开方性：ab0nanb(nN，n2) 归 纳 拓 展 1ab，ab01 a 1 b. 2a0b1 ab0,0c b d. 4若 ab0，m0，则b a bm am(bm0) 双
2、 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两个实数 a，b 之间，有且只有 ab，ab，a1，则 ab.( ) (3)ab0，cd0a d b c.( ) (4)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变( ) (5)ab0，ab1 a0”是“a2b20”的( A ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 a b0 a bab0a2b2， 但由 a2b20a b0. 3(必修 5P74T3 改编)设 ba，dc，则下列不等式中一定成立的是( C ) Aacbd Bacbd Dadbc 解析 由同向
3、不等式具有可加性可知 C 正确 题组三 走向高考 4(2016 北京)已知 x，yR，且 xy0，则( C ) A1 x 1 y0 Bsin xsin y0 C 1 2 x 1 2 y0 解析 x，yR，且 xy0，则1 x 1 y， sin x 与 sin y 的大小关系不确定， 1 2 x 1 2 y，即 1 2 x 1 2 yb，则( C ) Aln(ab)0 B3a0 D|a|b| 考点突破 互动探究 考点一 比较代数式的大小自主练透 例 1 (1)若 xy0，b0，且 ab，试比较 aabb与 abba的大小； (3)若 ab0，试比较 ab与 a b的大小 解析 (1)(x2y2)
4、(xy)(x2y2)(xy)(xy)(x2y2)(xy)22xy(xy) xy0，xy0.(x2y2)(xy)(x2y2)(xy) (2)a abb abbaa ab bba a b ab.当 ab0 时，a b1， ab0， a b ab1， aabbabba； 当 ba0 时，0a b1，ab1，aabbabba. (3)ab0， ab0， a b0，又(ab)2( a b)2ab(ab2 ab) 2 ab2b， ab0， a b， abb， 2 ab2b0， 即( ab)2( a b)2， ab a b. 引申本例(2)的条件下 aabb_(ab)ab 2 . 名师点拨 比较两实数大小的
5、方法 比较两个代数式的大小，常用的方法有两种，一种是作差法，解题步骤是：作差变形 与 0 比较，变形的方法主要有通分、因式分解、配方等，变形的目的是为了更有利于判断 符号另一种是作商法，解题步骤是作商变形与 1 比较作商法通常适用于两代数式同 号的情形注意若a b1，b0，则 ab0，cd0，则下列不等式中一定不成立的是( C ) Aacbd Badbc Ca c b d D ac bd (2)(2021 广东华附、省实、广雅、深中期末联考)设 a1b1，b0，则下列不等式中 恒成立的是( C ) A1 a 1 b Cab2 Da22b (3)(2021 四省八校质检)若 logablogac
6、，则下列不等式一定成立的是( C ) Aab a c Cabca 解析 (1)对于 A，因为 ab0，cd0，所以 acbd 成立 对于 B，因为 acbd，所以 adbc 成立 对于 C，举反例，如 a6，b2，c3，d1，可知a c b d，故 C 不成立 对于 D，因为 ab0，cd0，所以 acbd0，故 ac bd成立故选 C (2)对于 A，当 a 为正数，b 为负数时，1 a 1 b，所以，A 错误；对于 B，当 a2，b 1 2时， B 不成立，所以错误；对于 C,1b1b21，所以选项 C 正确；对于 D，取反例： a1.1a21.21，b0.82b1.6，D 错误 (3)由
7、题意知 0a 且 a1，当 0ac0，abac，且1 b 1 c，从而 a b1 时，0bc，baca，D 错故选 C 名师点拨 (1)在判断一个关于不等式命题的真假时，先把要判断的命题和不等式的性质联系起来考 虑，找到与命题相近的性质，并根据性质判断命题的真假，有时还要用到其他知识，如本例 中幂函数、对数函数的性质等 (2)在应用不等式的性质时，不可以强化或弱化不等式成立的条件，如“同向不等式”才 可以相加，“同向正数不等式”才可以相乘 (3)在不等关系的判断中，赋值法是非常有效的方法 变式训练 1 (1)(2021 四川攀枝花统考改编)设 a， b， c 为实数， 且 ab0， 则下列不等
8、式正确的是( D ) A1 a 1 b Bac2bc2 Cb aabb2 (2)(2021 山东省枣庄市模拟)已知 0a1,0cbac Bc b ca ba Clogba c ca 解析 (1)对于 A 显然错误；对于 B，当 c0 时，不正确；对于 C，b a a b b2a2 ab baba ab 0，故不正确，对于 D， ab aab ab bb2 a2abb2，故选 D (2)显然 ba0，ca0， b ba c cabcabbcac， 即 abacbc，故选 D 另解：不妨取 c1 4，ab 1 2， 代入选项 A，B，C 都错，故选 D 考点三 不等式性质的应用多维探究 角度 1
9、应用性质判断不等式是否成立 例 3 (2018 课标，12)设 alog0.20.3，blog20.3，则( B ) Aabab0 Babab0 Cab0ab Dab0log0.210，blog20.3log210，ab0，排除 C 0log0.20.3log0.20.21，log20.3log20.51，即 0a1，b1，ab0，排除 D b a log20.3 log0.20.3 lg 0.2 lg 2 log20.2， bb alog20.3log20.2log2 3 21， b1b aabab，排除 A故选 B 解法二：易知 0a1，b1，ab0，ab0， 1 a 1 blog0.30
10、.2log0.32log0.30.41， 即ab ab ab，abab0.故选 B 角度 2 利用不等式的性质求范围问题 例 4 (1)已知1x4,2y3，则 xy 的取值范围是_(4,2)_,3x2y 的取值范围 是_(1,18)_. (2)(2021 河北衡水中学五调)已知 1a3，4b2，则 a|b|的取值范围是_1,7)_. 解析 (1)1x4,2y3， 3y2，4xy2. 由1x4,2y3，得33x12,42y6, 13x2y18. (2)4b2，0|b|4，又 1a3， 1a|b|7. 名师点拨 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等 式的性质
11、；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围解决的途径是先 建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求 解范围 变式训练 2 (1)(角度 1)(2021 广东省清远市期末改编)已知1 a 1 bb2 Bb a a b2 Clg a2lg(ab) D2a b2ab (2)(角度 2)(2021 上海金山中学期中)已知 1a2,2b3，则a b的取值范围是_ 1 3，1 _. (3)(角度 2)若 13，42，则 2 的取值范围是_ 3 2， 11 2 _. 解析 (1)对于 A，a2b2(ab)(ab)b， b a a b2，正确；对于 C，a
12、 2aba(ab)0，lg a2lg(ab)，不正确；对于 D，(ab) (ab)2b2ab 不正确，故选 B (2)2b3，1 3 1 b 1 2， 又1a2，1 3 a b1. (3)由 13 得1 2 2 3 2， 由42 得24， 所以 2 的取值范围是 3 2， 11 2 .故填 3 2， 11 2 . 名师讲坛 素养提升 利用不等式变形求范围 例5 设f(x)ax2bx， 若1f(1)2,2f(1)4， 则f(2)的取值范围是_5,10_. 分析 用 f(1)和 f(1)表示 f(2)，也就是把 f(1)，f(1)看作一个整体求 f(2)，或用待 定系数法求解 解析 yf(x)ax
13、2bx，f(1)ab，f(1)ab. 解法一：(待定系数法) 设 f(2)mf(1)nf(1)， 又 f(2)4a2b， 所以 4a2bm(ab)n(ab)(mn)a(nm)b， 可得 mn4， nm2， 解得 m3， n1. 所以 f(2)3f(1)f(1) 又 1f(1)2,2f(1)4， 所以 53f(1)f(1)10. 故 5f(2)10. 解法二：(运用方程思想) 由 f1ab， f1ab， 得 a1 2f1f1， b1 2f1f1， 所以 f(2)4a2b3f(1)f(1) 又 1f(1)2,2f(1)4， 所以 53f(1)f(1)10. 故 5f(2)10. 名师点拨 若题目中
14、所给范围的式子比较复杂，一定要把这样的式子当成一个整体，利用待定系数 法求解，在解题过程中还要注意不等式链中的隐含条件，如 ab 中，千万不要忽略 这一条件本例中若直接求出 a，b 范围，再求 f(2)范围，会因扩大范围而出错 变式训练 3 (1)已知 1ab5，1ab0，y0，若1lg x y2，1lg(xy)4，则 lg x2 y 的取值范围是 _1,5_. 解析 (1)设 3a2bm(ab)n(ab)， 则 3a2b(mn)a(mn)b， mn3， mn2， 解得 m1 2， n5 2. 3a2b1 2(ab) 5 2(ab) 又1ab5，1ab3， 1 2 1 2(ab) 5 2， 5 2 5 2(ab) 15 2 . 23a2b10. (2)由 1lg(xy)4，1lg x y2， 得 1lg xlg y4，1lg xlg y2， 1 2 1 2(lg xlg y)2， 3 2 3 2(lg xlg y)3， 则 lg x2 y 2lg xlg y1 2(lg xlg y) 3 2(lg xlg y)， 所以1lg x2 y5.故填1,5
