1、第二讲第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 平面向量的基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个_不共线_向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且 只有一对实数 1，2使 a_1e12e2_. 知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与_x 轴，y 轴正方向相同_的两个单位向量 i，j 作为基底，对 任一向量 a，有唯一一对实数 x，y，使得：axiyj，_(x，y)_叫做向量 a 的直角坐标，记 作 a(x，y)，显然 i_(1,0)_，j(0,1)，0_(0,0)_. 知识点三 平面向量的坐标运算 (
2、1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab_(x1x2，y1y2)_，ab_(x1x2，y1y2)_， a_(x1，y1)_，|a|_ x21y21_. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB _(x 2x1，y2y1)_，|AB |_ x 2x1 2y 2y1 2_. 知识点四 向量共线的坐标表示 若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab_x1y2x2y10_. 归 纳 拓 展 两个向量作为基底的条件：作为基底的两个向量必须是不共线的平面向量的基底可以 有无穷
3、多组 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底( ) (2)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则 12，12.( ) (3)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成x1 x2 y1 y2.( ) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变( ) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标( ) 题组二 走进教材 2(必修 4P100T2 改编)(2021 北京十五中模拟)如果向量 a(1,2)，b(4,3)，那么 a2b ( B ) A(9,8)
4、 B(7，4) C(7,4) D(9，8) 解析 a2b(1,2)(8,6)(7，4)，故选 B 3(必修 4P101A 组 T5 改编)下列各组向量中，可以作为基底的是( B ) Ae1(0,0)，e2(1,2) Be1(1,2)，e2(5,7) Ce1(3,5)，e2(6,10) De1(2，3)，e2 1 2， 3 4 解析 A 选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B 选项中，不存在 实数 ，使得 e1e2.故两向量不共线，故其可以作为基底；C 选项中，e22e1，两向量共线， 故其不可以作为基底；D 选项中，e14e2，两向量共线，故其不可以作为基底故选 B 题组三 走
5、向高考 4(2015 新课标全国)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC (4，3)，则向量BC( A ) A(7，4) B(7,4) C(1,4) D(1,4) 解析 设 C(x，y)，A(0,1)，AC (4，3)， x4， y13， 解得 x4， y2， C(4，2)，又 B(3,2)， BC (7，4)，选 A 5(2018 全国卷)已知向量 a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若 c(2ab)，则 _1 2 _. 解析 由题意得 2ab(4,2)，因为 c(2ab)，c(1，)，所以 42，得 1 2. 6(2015 北京)在ABC 中，点 M，N 满足AM 2MC ，BN
6、NC .若MN xAB yAC，则 x _1 2_；y_ 1 6_. 解析 由题中条件得MN MC CN 1 3AC 1 2CB 1 3AC 1 2(AB AC)1 2AB 1 6AC xAB yAC ，所以 x1 2，y 1 6. 考点突破 互动探究 考点一 平面向量基本定理的应用师生共研 例 1 (1)如图，已知平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OA 与OB 的夹角为 120 ， OA 与OC 的夹角为 30 ，且|OA |OB |1，|OC |2 3，若OC OA OB (，R)，则 的值为_6_. (2)已知向量AC ，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示，若ACABA
7、D ，则 _ 3_. 分析 利用平行四边形法则对OC 作关于OA ，OB 为基底的分解 解析 (1)解法一： 以 OA 和 OB 为邻边作平行四边形 OB1CA1， 如图， 则OC OB1 OA1 . 因为OA 与OB 的夹角为 120 ，OA 与OC 的夹角为 30 ， 所以B1OC90 ，在 RtOB1C 中，|OC |2 3， 所以|OB1 |2，|B1C |4，所以|OA1 |B1C |4， 所以OC 4OA 2OB ，所以 6. 解法二：以 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(1,0)，C(2 3cos 30 ，2 3sin 30 )，B(cos 120 ，sin 1
8、20 ) 即 A(1,0)，C(3， 3)，B 1 2， 3 2 . 由OC OA OB (1,0) 1 2， 3 2 ， 即 1 2， 3 2 (3， 3)， 得 1 23， 3 2 3， 所以 2， 4， 所以 6. (2)建立如图所示的平面直角坐标系 xAy， 则AC (2，2)，AB(1,2)，AD (1,0) 由题意可知(2，2)(1,2)(1,0)， 即 2， 22， 解得 1， 3， 所以 3.故填3. 引申 若将本例(1)中“OC OA OB ”改为“OB OA OC ”则 _3 2_. 解析 过点 B 作 BHOA 交 OC 于 H，由例(1)知在 RtOBH 中，|BH|2
9、，|OH| 3， OB OH HB 1 2OC 2OA ，2，1 2，故 3 2. 名师点拨 应用平面向量基本定理的关键 (1)基底必须是两个不共线的向量 (2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的 充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来 (3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质， 如平行、相似等 易错提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便 变式训练 1 (2021 江苏南通月考)如图所示，半径长为 1 的扇形 AOB 的圆心角为 120 ，点 C 在弧 AB 上，且COB30 ，若OC OA
10、 2OB ，则 _2 3 3 _. 解析 根据题意，可得 OAOC，以 O 为坐标原点，OC，OA 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则有 A(0,1)，C(1,0)，B(cos 30 ，sin 30 )，即 3 2 ，1 2 ， 于是OA (0,1)，OC (1,0)，OB 3 2 ，1 2 . 由OC OA 2OB ，得(1,0)(0,1)2 3 2 ，1 2 ， 0， 31， 解得 3 3 ， 3 3 ， 故 2 3 3 . 考点二 平面向量坐标的基本运算自主练透 例 2 (1)已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设AB a，BCb，CAc，且CM 3
11、c，CN 2b. 求 3ab3c； 求满足 ambnc 的实数 m，n； 求 M，N 的坐标及向量MN 的坐标 (2)设向量 a，b 满足|a|2 5，b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为_(4， 2)_. 解析 (1)由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8) 3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8) (1563，15324)(6，42) 因为 mbnc(6mn，3m8n)， 所以 6mn5， 3m8n5， 解得 m1， n1. . 设 O 为坐标原点， 因为CM OM OC 3c， 所以OM 3cOC (3,24)(3，4)(0,20)， 所以 M(0,2
12、0) 又因为CN ON OC 2b， 所以ON 2bOC (12,6)(3，4)(9,2) 所以 N(9,2)所以MN (9，18) (2)设 a(x，y)，x0，y0)， AP ABBPABBNAB(ANAB)AB 1 4AC AB (1)AB 4AC ， 因为AP mAB2 9AC ， 所以2 9 4，得 8 9，所以 m1 1 9，故选 B 解法二：AP mAB2 9AC mAB8 9AN ， m8 91，m 1 9. (2)(理)如图， 设 AB 的中点为 D由 5AM AB 3AC， 得 3AM 3AC 2AD 2AM ， 所以CM 2 3MD ，所以 C，M，D 三点共线，且MD 3 5CD ，所以ABM 与ABC 公共边 AB 上的两高 之比为 35，则ABM 与ABC 的面积比为3 5.
