1、第三讲第三讲 等比数列及其前等比数列及其前 n 项和项和 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列_从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)_，那么这 个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_公比_，通常用字母_q_表示 符号语言：_an 1 an q_(nN*，q 为非零常数) (2)等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么_G_叫做 a 与 b 的等比中项即：G 是 a 与 b 的等比中项a，G，b 成等比数列G2_ab_. 注意： 任意两数的等差中项都唯一存在； 但只有两个数满足 ab0 时， a、 b
2、才有等比中项， 且有互为相反数的两个 知识点二 等比数列的有关公式 (1)通项公式：an_a1qn 1_a mq nm_. (2)前 n 项和公式：Sn _na1_，q1， _a11q n 1q _a1anq 1q _，q1. 知识点三 等比数列的主要性质 设数列an是等比数列，Sn是其前 n 项和 (1)若 mnpq，则 amanapaq，其中 m，n，p，qN*，特别地，若 2spr，则 apar a2s，其中 p，s，rN*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公 比为 qm(k，mN*) (3)若数列an，bn是两个项数相同的等比数列
3、，则数列ban，pan qbn和 pan qbn (其中 b， p，q 是非零常数)也是等比数列 (4)当 q1 或 q1 且 k 为奇数时，Sk，S2kSk，S3kS2k，是等比数列当 q1 且 k 为偶数时，Sk，S2kSk，S3kS2k，不是等比数列 (5)等比数列an的单调性 满足 a10， q1 或 a10， 0q0， 0q1 或 a11 时，an是递减数列 当 a10， q1 时，an为常数列 当 q0(nN*)，则logaan(a0 且 a1)成等差数列，反之亦然 (6)若an是等差数列，则aan(a0，a1)成等比数列，反之亦然 (7)三个数成等比数列可设三数为b q，b，bq
4、，四个数成等比数列且公比大于 0 时，可设四 个数为 b q3， b q，bq，bq 3. 2等比数列前 n 项和公式的推导方法_错位相减法_. 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)满足 an1qan(nN*，q 为常数)的数列an为等比数列( ) (2)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列( ) (3)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列( ) (4)数列an的通项公式是 anan，则其前 n 项和为 Sna1a n 1a .( ) (5)数列an为等比数列，则 S4，S8S4，S12S8成等比
5、数列( ) 题组二 走进教材 2(必修 5P46T4 改编)已知an是等比数列，a22，a51 4，则公比 q 等于( D ) A1 2 B2 C2 D1 2 解析 由题意知 q3a5 a2 1 8，即 q 1 2. 3(必修 5P54A 组 T8 改编)在 3 与 192 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列， 则这两个数为_12,48_. 解析 设该数列的公比为 q，由题意知，1923q3，q364，所以 q4.所以插入的两 个数分别为 3412,12448. 4(必修 5P62B 组 T2 改编)等比数列an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，若S10 S5 31 32，则 an
6、的通项公式 an_ 1 2 n1_. 解析 因为S10 S5 31 32，所以 S10S5 S5 1 32，因为 S5，S10S5，S15S10 成等比数列，且公 比为 q5，所以 q5 1 32，q 1 2，则 an1 1 2 n1 1 2 n1. 题组三 走向高考 5(2020 课标，10,5 分)设an是等比数列，且 a1a2a31，a2a3a42，则 a6 a7a8( D ) A12 B24 C30 D32 解析 设等比数列an的公比为 q， 故 a2a3a4q(a1a2a3)， 又 a2a3a42，a1a2a31，q2， a6a7a8q5(a1a2a3)2532，故选 D 6(201
7、8 北京，5)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算 出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份， 依次得到十三个单音，从第二个单音起，每个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等 于122.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为( D ) A32f B322f C1225f D1227f 解析 本题主要考查等比数列的概念和通项公式，数学的实际应用 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为 f，公比为122的等比数列，设此数列为an， 则 a81227f，即第八个单音的频率为1227f，故选 D 7(2019 全国卷)记 Sn为等
8、比数列an的前 n 项和若 a11 3，a 2 4a6，则 S5_121 3 _. 解析 解法一：设等比数列an的公比为 q，因为 a24a6，所以(a1q3)2a1q5，所以 a1q 1，又 a11 3，所以 q3，所以 S5 a11q5 1q 1 313 5 13 121 3 . 解法二：设等比数列an的公比为 q，因为 a24a6，所以 a2a6a6，所以 a21，又 a11 3， 所以 q3，所以 S5a11q 5 1q 1 313 5 13 121 3 . 考点突破 互动探究 考点一 等比数列的基本运算自主练透 例 1 (1)(2015 新课标全国，9)已知等比数列an满足 a11
9、4，a3a54(a41)，则 a2( C ) A2 B1 C1 2 D1 8 (2)(2019 全国卷)记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 a11，S33 4，则 S4_ 5 8_. (3)(2020 课标，6,5 分)数列an中，a12，amnaman.若 ak1ak2ak10215 25，则 k( C ) A2 B3 C4 D5 (4)(2020 课标，6,5 分)记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 a5a312，a6a424， 则Sn an( B ) A2n1 B221 n C22n 1 D21 n1 解析 (1)设等比数列an的公比为 q，由 a11 4，a3a54(a41)，
10、知 q1，则 a1q 2a 1q 4 4(a1q31)， 1 16q 64 1 4q 31 ，q616q3640，(q38)20，即 q38， q2， a21 2，故选 C (2)解法一：设等比数列an的公比为 q，由 a11 及 S33 4，易知 q1.把 a11 代入 S3 a11q3 1q 3 4，得 1qq 23 4，解得 q 1 2，所以 S4 a11q4 1q 1 1 1 2 4 1 1 2 5 8. 解法二：设等比数列an的公比为 q，因为 S3a1a2a3a1(1qq2)3 4，a11，所 以 1qq23 4，解得 q 1 2，所以 a4a1 q 3 1 2 31 8，所以 S
11、4S3a4 3 4 1 8 5 8. 解法三：设等比数列an的公比为 q，由题意易知 q1.设数列an的前 n 项和 SnA(1 qn)(其中 A 为常数)，则 a1S1A(1q)1 ，S3A(1q3)3 4 ，由可得 A 2 3，q 1 2.所以 S4 2 3 1 1 2 4 5 8. (3)由 amnaman，令 m1 可得 an1a1an2an，数列an是公比为 2 的等比数列， an22n 12n，则 a k1ak2ak102 k12k22k102 k11210 12 2k 112k1 21525，k4.故选 C (4)设等比数列an的公比为 q，则a6a4 a5a3 a5 qa3 q
12、 a5a3 q24 122， Sn an a112n 12 a12n 1221 n.故选 B 名师点拨 等比数列基本量的求法 等比数列的计算涉及五个量 a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根据条件列出关于 a1，q 的方程组求解，体现了方程思想的应用 特别提醒：在使用等比数列的前 n 项和公式时，q 的值除非题目中给出，否则要根据公比 q 的情况进行分类讨论，切不可忽视 q 的取值而盲目用求和公式 考点二 等比数列的判定与证明师生共研 例 2 (2019 全国卷)已知数列an和bn满足 a11，b10,4an13anbn4,4bn 13bnan4. (1)证明：anbn是等比数列，a
13、nbn是等差数列； (2)求an和bn的通项公式 解析 (1)证明：由题设得 4(an1bn1)2(anbn)， 即 an1bn11 2(anbn) 又因为 a1b11， 所以anbn是首项为 1，公比为1 2的等比数列 由题设得 4(an1bn1)4(anbn)8， 即 an1bn1anbn2. 又因为 a1b11， 所以anbn是首项为 1，公差为 2 的等差数列 (2)由(1)知，anbn 1 2n 1，anbn2n1， 所以 an1 2(anbn)(anbn) 1 2nn 1 2， bn1 2(anbn)(anbn) 1 2nn 1 2. 名师点拨 等比数列的判定方法 (1)定义法：若
14、an 1 an q(q 为非零常数，nN*)或 an an1q(q 为非零常数且 n2，nN *)，则 an是等比数列 (2)等比中项公式法：若数列an中，an0 且 a2n1an an2(nN*)，则数列an是等比数 列 (3)通项公式法：若数列通项公式可写成 anc qn(c，q 均是不为 0 的常数，nN*)，则an 是等比数列 (4)前 n 项和公式法： 若数列an的前 n 项和 Snk qnk(k 为常数且 k0， q0,1)， 则an 是等比数列 提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中 变式训练 1 已知数列an的首项 a10，an1 3an 2an1(n
15、N *)，且 a 12 3. (1)求证： 1 an1 是等比数列，并求出an的通项公式； (2)求数列 1 an 的前 n 项和 Tn. 解析 (1)记 bn 1 an1， 则bn 1 bn 1 an11 1 an1 2an1 3an 1 1 an1 2an13an 33an 1an 31an 1 3， 又 b1 1 a11 3 21 1 2， 所以 1 an1 是首项为 1 2，公比为 1 3的等比数列 所以 1 an1 1 2 1 3 n1， 即 an 2 3n 1 12 3n 1. 所以数列an的通项公式为 an 2 3n 1 12 3n 1. (2)由(1)知， 1 an1 1 2
16、1 3 n1， 即 1 an 1 2 1 3 n11. 所以数列 1 an 的前 n 项和 Tn 1 2 1 1 3n 11 3 n3 4 1 1 3n n. 考点三 等比数列性质的应用多维探究 角度 1 等比数列项的性质的应用 例 3 (1)(2021 洛阳市第一次联考)在等比数列an中，a3，a15是方程 x26x20 的两根，则a2a16 a9 的值为( B ) A2 2 2 B 2 C 2 D 2或 2 (2)等比数列an的各项均为正数，且 a1a54，则 log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5 _5_. 解析 (1)设等比数列an的公比为 q， 因为 a3， a
17、15是方程 x26x20 的根， 所以 a3 a15 a292，a3a156，所以 a30，a150，S83，S8 S43.故选 C 另解：由题意S12 S4 1q 4q8S 4 S4 1q4q87 即 q8q460，q42 或3(舍去)， S8 S4 1q4S4 S4 1q43，故选 C 名师讲坛 素养提升 等差、等比数列的综合运用 例 5 (2021 重庆巴蜀中学期中)已知等差数列an中，a11，前 n 项和为 Sn，bn 为各项均为正数的等比数列，b12，且 b2S27，a2b310. (1)求 an与 bn； (2)定义新数列Cn满足 Cn an，n为奇数 bn，n为偶数 (nN*)，
18、求Cn前 20 项的和 T20. 分析 (1)用等差、等比数列基本公式求解 (2)分组求和即可 解析 (1)设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q(q0)，则由题意有 2q2d7， 1d2q210， 解得 q2 d1 或 q1 d7 (舍去)，ana1(n1)dn，bnb1qn 12n. (2)由题意知 Cn nn为奇数， 2nn为偶数. T20C1C2C3C4C19C20 12232419220 (1319)(2224220) 10119 2 414 10 14 1004 3(4 101) 引申(1)本例中数列Cn的前 n 项和 Tn_ n2 4 4 32 n1n为偶数， n1
19、2 4 4 32 n11n为奇数. _. (2)本例中若 Cnan bn，则Cn的前 n 项和 Tn_(n1) 2n 12_. 解析 (1)当 n 为偶数时 Tnn 2 4 414 n 2 14 n 2 4 4 3(2 n1) 当 n 为奇数时 Tnn1 2 4 414 n1 2 14 n1 2 4 4 3(2 n 11) Tn n2 4 4 32 n1n为偶数， n12 4 4 32 n11n为奇数. (2)Tn12222323(n1)2n 1n 2n 则 2Tn122223(n1)2nn 2n 1 得Tn222232nn 2n 1 212 n 12 n 2n 1(1n)2n12， Tn(n
20、1) 2n 12. 名师点拨 (1)若an，bn分别为等差、等比数列，则求an bn前 n 项和时用“错位相减法” (2)求奇数项与偶数项表达式不同的数列的前 n 项和一般用分组求和法(注意当 n 为偶数 时，奇数项、偶数项都是n 2项；当 n 为奇数时，奇数项有 n1 2 项，偶数项为n1 2 项)需对 n 进行 分类讨论求解 变式训练 3 (理)(2021 吉林调研)已知数列an是等比数列，a11，a48，bn是等差数列，b13， b412. (1)求数列an和bn的通项公式； (2)设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Sn. (文)(2019 课标，18,12 分)已知an是各项
21、均为正数的等比数列，a12，a32a216. (1)求an的通项公式； (2)设 bnlog2an，求数列bn的前 n 项和 解析 (理)(1)设数列an的公比为 q，由 a4a1q3得 81q3，所以 q2，所以 an2n 1. 设bn的公差为 d，由 b4b13d 得 1233d，所以 d3，所以 bn3n. (2)因为数列an的前 n 项和为a11q n 1q 112 n 12 2n1， 数列bn的前 n 项和为 b1nnn1 2 d3nnn1 2 33 2n 23 2n，所以 Sn2 n13 2n 2 3 2n. (文)(1)设an的公比为 q，由题设得 2q24q16，即 q22q80，解得 q2(舍去) 或 q4. 因此an的通项公式为 an24n 122n1. (2)由(1)得 bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前 n 项和为 13(2n1)n2.
